《数学不再难学》

《数学不再难学》 数学绝对是令很多学生耿耿于怀的一个科目。哪怕是现在已经成年了的人，一提到数学就直摇头的也大有人在。看起来，他们也都有那么一两个与数学有关的“不堪回首的记忆”。难道就没有学好数学的方法吗,如果问问其他老师的话，他们可能会这样回答:“多做题就是最好的方法。”介绍数学学习方法的书更煞有介事地说:“学习的时候要开动脑筋。”“运算能力一定要好。”“理解比死记硬背重要得多。”“务必打好基础。”但是一问道:“是吗,那以我的水平，用这本辅导书，应该怎么去学呢,”很多老师就立刻哑口无言了。 即使问数学学得不错的朋友，他们也只能支吾出一句:“嗯,好好努力就行了吧～”话倒是没错，但这个回答对现实却一点儿帮助也没有。在我们这个以考试为尺度的现实中，这样的回答能有什么作用呢, 在长期对学生进行单独辅导的过程中，我一直在努力寻求这些问题的答案。刚开始，我按照高中时学习的方式去教他们，结果失败了。于是我就对学习方法产生了兴趣，通过回忆当初我自己的学习方法，留心观察我教的学生们，以及多次的实践，渐渐地，我终于发现了一套学习数学行之有效的方法。此后我教的每个学生成绩都有了很大提高，实力迅速提升。我对这个方法进行研究的同时，也在教授学生的过程中不断加以完善。这个方法在很多学生身上都取得了良好的效果。 我所说的学习方法是指利用每个人手头上都有的教材(如教科书、辅导书等)将数学实力提高一个层次的方法。数学搞定了，也就能在其他科目上投入更多的时间了。不管是什么辅导书，只需学习两遍就能完全掌握;不管遇到什么题目，都能从容地解答出来。只要各位按照我说的学习方法去学习，具备这样的实力是指日可待的事情。通过很多学生的失败和成功总结出来的宝贵，并以这些经验为基础，有针对性地进行了分类整理，清晰地指明了把数学成绩从垫底提高到上游生水平的捷径，只要照着去做，成绩一定会有显著提高的。 第一部分:数学越来越糟糕的原因 1.根基不实 如果谁胆敢说“数学真容易～”的话，恐怕会被周围的人痛殴一顿，也许还会被看做傲慢的人而受到孤立。我遇到的大部分学生都会感叹:“数学太难了～”在他们看来，就算自己尽力了，随着的升高，数学还是会变得越来越难。 “到底谁会觉得数学简单呀～” 不妨来思考一个问题。 如果问初中生“5+7等于多少,5×8等于多少,”的话，谁都可以轻而易举地回答是12和40。恐怕他们还会觉得问这个题目的人奇怪呢。这个题目为什么简单呢,在小学一二年级的时候也是简单的吗,不是。大家都有因为背不出九九口诀而在别人回家的时候被留在学校里继续背诵的记忆吧,在那时候这已经算是很难的题目了。还有，大家之中肯定有一些人上了高中后曾给初中生解答过一次方程式。 “喂～这个这样做不就可以了～你是木头脑袋呀,～”成了青蛙，就忘掉自己是蝌蚪的时候了，就知道一味地去斥责别人。然而，看自己现在学的数学辅导书时却还是长吁一声，叹道:“这个到底怎么做啊,”为什么自己学的题目总是那么难，一点儿解题的头绪都没有呢,如果找到了这个问题的答案，学起数学来就会容易多了。如果找不到，也就无从得知数学越学越难的理由了。 其实答案出奇的简单。 我们之所以在初中的时候会觉得小学的数学容易，是因为在初中学习的很多内容里，不 知不觉地又把小学的数学重新学习过了。 比如，小学时无法正确理解的负数概念，到了初中就能正确地理解了，加减法之类的题目也就简单多了。这也就意味着你已经确确实实具备了至少能解答小学题目的基本能力。要是能给初中生出小学的题目，给高中生出初中的题目该多好啊～然而，这是不现实的。作为高中生，如果只能很好地解答初中水平的题目是不行的，应该能从容地解答自己所在年级的题目才可以。 怎样才能解决这一问题呢, 初中生要对初中生必要的基础，高中生要对高中生必要的基础彻底地追根究底一番。这 就是我一直强调的追根究底式学习法。如果连四则运算(+，-，×，?)都做不好的话，初、高中的数学是无论如何也不可能学好的。还有，如果连一次函数都不知道，就算学了二次函数、三次函数也不可能真正理解，要解答这类题目等于是在挑战绝不可能的事情。只有地基夯实了，上面的建筑才能牢固。如果没有一个坚实的地基，那建筑只能成为豆腐渣工程。 “哎～这谁不知道啊,当然要把基础彻底学好了～”有人可能如此反问。 “是吗,那该怎么学才好呢,”这样一问，他却说不出个所以然来了。 大家肯定都有认识到基础不足之后就把以前学过的东西再复习几遍，或者把以前学过的 东西再翻出来看看的经历，但仅仅做到这种程度，还是不够的。我要向大家介绍一种切实可行的方法，它是依据我所教过的学生们自己的经验总结而成的，大家很容易就能照着做，而且能看到实际成效，帮助大家切实打好基础。 在这儿我要介绍的追根究底式学习法是一种投入很少的时间就能打牢基础的方法。这种追根究底式的学习结束以后，大家的实力都能在不知不觉中提高一个层次，数学也就不在话下了。对基础追根究底，数学会变得越来越容易。如果对基础置之不理，只是一味地追求进度，搞题海战术，只会越学越糟糕。 2.贪多嚼不烂 在我认识的人中，曾经有一个人因为不遵医嘱服药过量而差点送了命。不管多好的药，如果服用过量就会成为毒药。运动员总是在对自己的运动量进行适当的调节。勉强熬夜训练，也许会被认为对实力的提高有所帮助，实际上对身体却是有百害而无一利。数学学习也是如此。自己学习的时候总有一个具有最佳效果的适当的量。如果超过了这个量，你就会抱怨“数学题怎么这么多啊～”，“哎，该死的数学题快把我逼疯了～”。如此一来，数学就会变得索然无味，无论怎么学习，实力也几乎不会有什么提高了。 实际上，初、高中时期学习的数学题多得惊人。初中时起码要学习二到三本习题集，每本各有近一千到一千五百道题左右。多的时候甚至要学习四到五本这样的习题集。高中时，会有怎么做都做不完的“魔法”辅导书在那儿等着你。如果把与此相关的习题集也算进去，需要做的题就达数千道之多。投入了这么多的时间，做了这么多的题，为什么水平却总是不见长进，而在那儿原地踏步甚至是一点一点地退步呢,为什么会产生做的题目越多，前面的东西就越容易忘记的现象呢,到底是哪儿出问题了呢, 可以从两方面的原因来考虑。 第一是由于错觉。 当我们所学的概念在题目中出现时，那些与重要概念直接相关的题目就是重要的题目。而那些与重要概念关系不大，只是需要特别的技巧才能解开的题目就是不那么重要的题目。因此，在每个单元中，那些应该做到融会贯通的题目才是真正重要的题目，这样的题目并不是太多。但我们却总是有一种倾向，就是不管什么样的题目，只要它在那个单元中出现了，即使只有一道题没做，心里也觉得不踏实。如果以这种方式去学习，实际上是在根本不重要的题目上浪费了大量的时间。要做的题过多会让人失去耐心。到做真正重要题目的时候反而容易混淆。只有靠题海战术才能提高实力的想法其实是一种错觉。应该把做题的量减下来，以便对那些重要的题目进行集中的学习。大部分的时间都应该投入到这些重要题目上面去。唯有如此，学过的东西才能如实地反映在自己的成绩上面。另外，大部分学生在学习的时候，总是把每单元的『练习』等难度较高的题目全都做完之后才会转入下一单元。进入高中以后更是如此。如果在『例题』上面花1个小时的话，在『练习』上面就要花掉三个小时。 而试题的百分之七十却出自这一个小时所学的内容之中。其余的百分之三十也不一定和这三个小时学习的『练习』有什么关系。但我们却在这些根本不重要的题目上面倾注了太多的时间和努力。所以才会觉得数学难，也才会觉得学习量越来越大。这也正是很多人半途而废的理由之所在。对占百分之七十的重要题目应该投入学习时间的百分之七十以上。要学会把那些不重要的题目果断地忽略过去。应该先把重要的题目掌握好之后，再去学习不重要的题目。这样学习的话，数学会变得更简单，学习的量也会大幅度减少。 第二是由于对自己的水平不清楚。 连基础都没打好的人去做难题，无异于提着自己根本提不动的行李去爬山。有的学生自以为只要能把难题解出来，实力自然而然就会得到提高。其实，这是一种错觉。如果以高于自己水平的题目为中心进行学习的话，由于不会做的题目要比会做的还要多得多，数学学习便会渐渐变得索然无味，成为一种负担。一旦对数学失去了兴趣，要想再把兴趣找回来就十分困难了。因此，应该以适合自己水平的教材和适合自己水平的题目为中心进行学习。能解答出来的题目越多越好。因为唯有如此，学习才会有兴趣，只有保持兴趣，面对难题时才能无所畏惧地鼓起勇气钻研下去。这样一来，实力才能有进一步的提高。总而言之，我想强调的是，做的题太多也会成问题。应该减少做题的量。减多少呢,应该按照自己的水平和能力，以重要的题目为中心酌情减少学习量。本书将会针对大家的水平和学习的阶段，就如何把握好适当的学习量提出具体的建议。哪怕只通过减少学习量这一点，也会使大家的数学学习产生可观的效果。 3.不加整理 学习数学的时候，会发生一些荒唐的事。 第一个就是学过的东西在考试中再次出现时还是不会做，把题给做错了。明明在考试前已经做过了，但到底该怎么做却怎么也记不起来，甚至连自己是否做过这样的题都搞不清楚了。 第二个就是自己不知道该怎么做，费了半天劲儿去做的题目，学习好的同学看了一眼就说道:“啊～是这道题～”不费吹灰之力就做出来了。更荒唐的是，看别人做出来之后才发现这是一道自己也做过的题。 “他怎么这么快就能想起来这道题应该用这种方法去做呢,要是我也知道的话，数学不就简单多了吗„„”这样感叹的同时，恐怕就会觉得自己真的不是学数学的材料了。 为什么做过的题却想不起来呢, 大家去图书馆的时候，如果所有的书都不按照题目和主题等来分类，而是乱堆在一起的话，你还能很容易就找到哪本书吗,恐怕不是花了很长时间才侥幸找到，就是被迫放弃了吧。 数学也是一样的。数学题不管怎么减量，也还是有很多，而我们的记忆力却是有限的。可我们却在很长的时间里，一直在无规则、无方法地往自己脑子里塞入大量的数学题。一到考试的时候，要在脑子里再把某道题翻出来，简直就像海底捞针那样难。 为了解决这一问题，我们也曾经尝试过反复学习很多遍的方法。可是，就连那些一本辅导书学了7遍的学生也还是感叹“数学真是越学越糊涂了”。反复多遍并不等于就在脑子里整理好了，需要有一种比单纯的反复更好的方法。看到某道题之后，“啊～这道题是在哪个单元哪一种情况下出现的，它应该这样来做”。在脑子里很容易就能把学过的东西找出来，难道就没有这样的方法吗,这本书将会回答你这个问题。 原理很简单。 首先，把要记忆的重要题目分类列在纸上，就像对图书馆的书进行分类一样，然后把它原封不动地挪到脑子里去。这样一来，脑子里的东西就像在图书馆里一样井然有序了。 这就是我要强调的表格式学习法。 就像在拥挤的车棚中，不管有多少类似的自行车，你总是能很快找到属于自己的那一辆一样，这是一种能使你把题目与题目之间的相似点和不同点，题目独有的特征或解题方法等都一起记住的好方法。用这种方法学习的话，现在所做题目的解题方法立刻就能从你以前学过的海量题目中蹦出来。我利用这种表格教过很多学生，回过头来再学习第二遍的时候，他们就已经把我教过的内容全都吃透了。不管出哪个单元的题目，他们做起来都很得心应手。而且，时间大部分都被集中投入到了重要题目上，所以学习的时间也大大地缩减了。 使用表格学习法进行学习有三个好处:第一，将会加快你迈入上游生行列的步伐;第二，就像在轻车熟路的大道上，把旁边的胡同挨个钻一下也绝不会迷路一样，数学的支支干干也就无一不在你的掌握之中了;第三，学什么东西都能化为己有。这真是一种“一箭三雕”的好方法。 制作的表格等于是随身携带的地图。如果在没有表格的情况下去学习，等于是在没有地图和向导的情况下徒步攀登险峻的珠穆朗玛峰。 4.毫无 这是我从一名韩国前乒乓球国家队员那儿听来的故事。 有一个曾在鸡龙山上专攻乒乓球之道的人(人称“鸡龙山道士”)大声叫嚷“我要和刘南奎比赛”(刘南奎系奥运会金牌得主，当时乒乓球队里的老大哥)，开始遭到了拒绝，可是他坚持三天不回家，还爬到附近的大树上大声叫嚷，在他坚持不懈的请求下，国家队最终答应和他打一场比赛。从他热身时紧握乒乓球拍，挥起球拍来虎虎生风的架势来看，似乎不是一般人，“恐怕还真是个‘道士’”。队员们开始有了一点点的紧张，于是先派了一个年龄最小的选手和他比画一下。比赛结果为21?1，“鸡龙山道士”大败，那1分还是看他太可怜故意让他的。失败后那个人却说:“我要和刘南奎交手～我是专门针对刘南奎进行训练的～” 如果一个人学习的是狗刨式游泳，就算他学的时间再长，恐怕都难以胜过一个曾在小学的校游泳队里训练过的人。如果不对呼吸的方法、手脚的动作等进行系统学习，不管怎样刻苦练习，也很难超出一定的水平。 数学学习也要系统地进行才会有好的效果。 当被问及采用何种学习方法时，很多学生都会异口同声地说“多做几本习题集”，或者“不管会不会，赶紧往下进行”，或者就是“要做有难度的习题集”等等，他们正是以这些事倍功半的方法去学习的。虽然学校也会根据每个人的能力把学生分为上、中、下几个层次来因材施教，但那样分出来的学生水平还是参差不齐的，要做到让他们能够根据自己的水平恰当地学习实际上还是不可能的。对于学校的老师们来说，即便明知道有学生理解不了自己的讲解，也得继续往下讲，这实在是无奈之举。这种不考虑个人能力和水平的学习方式，往往只能得到事倍功半的效果。如果按照这种方法学习，恐怕连一本教科书或一本习题集都难以真正地吃透。还有，即使下了很大的功夫，实力的提高也是很有限的。如果不根据自己的能力和水平制定合适的学习计划，即使在学习上投入了大量的时间，换来的也往往是微不足道的效果。适合自己水平和能力的、系统的学习方法，与不走弯路的、正确的学习方法是不可或缺的。 “以我现在的水平，该从哪儿开始学起呢,” “应该集中学习什么呢,” “学完这个之后该学什么呢,” “到底该学多少才行呢,” “我怎么检验自己的学习是不是对路呢,” 有必要制定一个包含所有这些疑问的确切答案的、系统的学习计划。即只有看清楚通往 目的地的路，学习起来才会更轻松一些。只有如此，才能迅速提高实力，不致浪费时间。 本书将这种学习计划按照大家的水平分成了5个阶段，并将就具体的学习阶段和方法向大家做出介绍。大家现在处在一个什么样的水平，今后还要再学习些什么，怎样才能达成自己的目标，都将是本书要回答的问题。 本书中所介绍的学习方法都是由我在教学生的过程中最行之有效的东西整理而成的。相信不管是谁，只要稍稍考虑一下，就会意识到只有那样去做才会有效果，同意我的观点。 没有一个符合个人水平的学习计划，或者不考虑学生水平和能力的学习计划，都会使学习越来越糟糕。 5. 慢吞吞、准确性差 在我教过的学生中，有很多人明明平时可以得80分的，一到考试却总在60分左右晃荡，结果就变成了一副愁眉苦脸的样子。原因就是本来可以做对的题目做错了好几道。发生这种情况，大部分都是由于缺乏快速准确解题的能力导致的。在观看篮球或者足球比赛时，即使解说员在那儿说，“啊～今天的比赛实在是太精彩了～虽败犹荣～”赛场中失败的一方也绝不会笑，因为只有进了更多球而获胜的运动员们才能拥有胜利奖杯。数学也是如此。足球比赛中的射门就好比数学中的得分，不管解题步骤有多好，如果答案错了还是不能得分。因此，如果想得到与自己的实力相符的分数，在解题的时候能做到准确解答就是很重要的。另外，为了能在规定的时间内全部解答完毕，解题就一定要迅速。 观察一下学习好的学生，你就会发现他们解题大部分都相当快。另外，他们几乎不会有琐碎的运算，也很少在解题的过程中出错。这就是他们和学习不好的学生之间不易察觉的巨大差异。 “啊～我把这个减号错看成加号了～” “只要还有时间的话，这两道题我肯定都能做出来。” 这些问题在很多时候足以导致考试成绩拉开近10分的差距。“准确、快速”是现在的初、高中生们必须具备的一种学习能力。 怎样才能既准确又快速地解题呢, 验算是准确解题的方法。验算是解题速度快的人独有的一份礼物，因为如果解题过慢，就没有时间去进行验算了。如果解题的时间不是很充足，与其再去做一道难题，还不如多验算几道简单的更为有利，本书将会对其理由进行说明。另外，考虑到那些把验算误以为是做第二遍的学生们，本书还将介绍一种只需解题时间的1/10~1/5、简单易行的验算方法。 默算和熟练是快速解题的方法。之所以说有必要进行默算，是因为脑子总是比手动得快。另外，所谓熟练，就是指对某道题目熟悉，能把它从头到尾快速解答出来。走过几次的路很容易就能找到，因为你对它已经熟悉了。只有把题目练习到熟练的程度，才可能在考试中奏效。刚做完一遍就觉得“嗯～我现在懂了”这种程度是远远不够的，至少也要做到能够把做过的题目从头到尾一气呵成写下来才行。 等熟悉了默算和熟练的方法之后，往往就会出现脑比手快的现象。如果到了那种程度，不仅做题的时间不会不够用，在进度推进上也会比以前快得多。明明学习过了却总是得不了分，还有比这更委屈的事情吗,只要把我在这儿介绍的方法吃透了，大家就一定能够得到一个与自己实力相符的分数，考试的时候心里也会轻松一些。起码也能得一个对得起自己的分数吧„„ 第二部分:分阶段跟上数学 第1阶段 了解你自己――追根究底学习法 几乎没有谁是从一开始就学不好数学的，因为大家都是站在同一个起跑线上出发的。 但不知从何时开始，有些人就渐渐地被别人甩在了后面，而且差距会越来越大，最主要的原因是什么呢, 用一句话来说，就是基础薄弱导致的。基础薄弱的学生们都有一些共同的特征。“觉得数学越学越难～” “老师讲的内容很多都听不懂～” “学过也还是糊里糊涂的～” “我讨厌数学～”“不管怎么学，分数还是原地踏步～” 初、高中的数学是台阶式的，所以，如果连前一年级的内容都搞不清楚，那么下一年级中学习的内容理解起来就比较困难。因此，学习数学的时候最重要的是对薄弱的基础进行追根究底式的学习。数学学习和建筑异曲同工。比起盖平房来，建造一幢数十层的高楼在地基工程上的要求自然要高得多。建筑物越高，地基工程的重要性就越是不言而喻。如果不懂比赛的规则，看起比赛来一点儿意思也没有。就算别人在那儿“嘘，嘘”或者“哎”地连声感叹，自己也还是一头雾水。要想看懂比赛就要先掌握比赛的规则，要想学好数学也要先把基础打牢。如果没有把数学的基础打好，当别人在课堂上发出“啊哈～原来如此～”的感叹时，你却在嘟哝:“咦,他明白什么了,这一步到底是怎么推出来的,”自然就不会觉得有什么意思了。这样一来，不懂的东西就像滚雪球一样越积越多，最后恐怕连学习的勇气都没了。这时不管你怎么努力，数学实力都不可能再有什么长进了。谁都知道基础很重要，但大家基本上都没接触过什么行之有效的解决方法，虽然也都曾以自己的方式努力过，但往往收效甚微。我将把在丰富的经验基础上总结出来的最有成效的方法详尽地介绍给大家，希望这能给那些 基础薄弱的同学们带来一丝曙光。 我遇到过不少想努力摆脱下游生行列的学生，为了让他们使用这种方法来学习，我用尽心思进行劝诱和说服。刚开始的时候他们有些吃力，但按我说的一点一点照做下来之后，成绩终于有了显著的提高。看到父母宽慰的笑容，孩子们似乎也尝到了学习数学的小小乐趣。 打基础并没有想像的那么困难。夯实薄弱的基础吧，这是让数学容易起来的第一步。 1. SK逃脱下游生行列 初次遇到SK时，他刚刚过完寒假升入初中三年级。把孩子托付给我的时候，SK的父母所说的话不太寻常。“这孩子学习不是太好，虽然勉强也能算个中游水平，但还是有很多不会的东西，请老师您一定要忍耐，好好教教他。” 我一般在头一个月里都会留心观察一下这些学生的水平如何，在学习方面有没有什么问题等等。虽然在SK身上似乎存在着一些让我难以置信却又摸不着头脑的东西，但我还是继续讲下去了。过了一个多月之后，彼此也都熟悉了，但不知为何我总觉得自己讲课是在做无用功。于是便考了一次试，果不其然，SK竟然连30%的内容都没能掌握。从那时开始，SK和我受难的历程便开始了。有好几次我甚至想干脆不再教这一组(我是把SK和另一个学生放在一起教的)算了，上课简直成了考验我忍耐力的时间，但我还是不能就此放弃。这是因为他的父母，他们经常给我打电话:“我们的孩子让您受苦了吧，除了老师您这儿，现在也没有什么其他的地方可以去了。就算成绩没什么提高也没有关系，请您继续教他吧。” 他的父母与其他的很多父母不一样，他们对我是100%信任的。另外一个理由则是SK善良的微笑。即便因为学习不好批评了他，只要稍微安慰他两句，他立刻就会呵呵笑起来，有着对一个男孩子来说难能可贵的善良心地。虽然他和另一个学生总是理所当然地被拿来做比较，但看他和那个学生仍然相处融洽的样子就可以知道，他虽然学习不太好，却是一个很不错的孩子。我又想起了前面那个每天都去学校挨打的孩子，终于还是不忍心把他拒之门外。于是我便抱着“好吧～试一次～”的心态，开始了对他恩威并施的历程。“从现在开始，如果你有什么不懂的，哪怕是小学的内容你也一定要向老师提出来。”我的口气是不容置疑的。刚开始，他是一个在上课的时候沉默寡言的孩子，绝不会提什么问题，但渐渐地他的话匣子就打开了。“老师～，怎么就能推出来ad=bc呢,” “是不是等于()啊,” 偶尔被问到这样的问题时，我表面上虽然不露声色，内心却会觉得很是荒唐。SK都已经上初三了，怎么在数学方面连小学五六年级的内容都不会呢。怪不得刚给他讲完一道题，让他再把那道题做一遍的时候，他还是不会呢。实际上，这对与他一起学习的那个学生来说不是一件好事，但好像他们不是在一起上课一般，我对那个学生还是按照本来的进度和内容往下讲，对SK则把那些基础的低年级内容布置给他，让他回家单独补习。可是，SK的实力好像并没有什么进步，我也有些疲惫了。从开始教他到现在已经过了6个月，学校就要放假了。“看来是没有希望了，该到放弃的时候了。”我刚冒出这种想法，情况就起了变化。给他讲完一道题之后让他再去做类似的题目时，他便可以准确无误地解答出来。我不敢相信眼前的事实，便跳到另外一个单元来考他，可不管让他做什么题，他也还是能够轻而易举地做出来。我意识到终于成功了～别提有多高兴了，我至今都难以忘记当时SK如沐春风的笑脸。之后，他对讲课内容的理解已经和一起学习的另一个学生差不多了。他最终修完了所有初中的课程，顺利地升入了高中。虽然我还想继续一起教他们，但由于这两个学生分别进了不同的高中，再加上他的父母也承受不了经济上的负担，便只好中断了，但这名学生却一直留在了我的记忆中。此后，承蒙他的母亲大力宣扬，来自城市各个角落的、已经放弃数学的学生们竟然在我这儿排起了队，这实在是一件令人哭笑不得的事情。每次有人介绍学生给我的时候，我便想，要是多给我介绍一些学习好的、容易教的学生该多好啊。但现在回想起来，正是由于教了这么多水平参差不齐 的学生，我才能够整理出这么一套学习方法来，所以对他的父母我也只能心存感激了。从此以后，我再遇到基础薄弱的学生时，在进行正式的课程之前，总是先让他们对基础进行追根究底式的学习。有时候干脆不往下讲，而是直接拿低年级的教材去教他们。只需以这种方式集中学习两三个月，效果便会凸现出来。让他们以这种方式去学习，学生们刚开始都会有“这样真的有效果吗,不会是在浪费时间吧,”之类的疑问。但后来十之八九的人都会常把微笑挂在嘴边，这是因为他们感觉到，自己对题目的理解能力和解答能力确实与以前不可同日而语了。如果学生觉得解题是件有趣的事情，成绩自然就会提高，而成绩提高所带来的快乐，又会促使他们加倍努力。这样一来，对原本完全放弃的数学又重新找回了自信，数学水平也就“天天向上”了。 至于数学的基础到底有多么重要，我们可以来看一下另一个学生的例子。 曾经有一位亲戚拜托我指导一下她刚上高中的女儿HA，于是我便教了HA6个多月。我是把HA和另一个学生放在一起教的，到初中为止这两个孩子都不怎么喜欢数学，成绩也不怎么好。为了让她们一开始就觉得数学绝不是一门多么难的科目，我就努力地把高中新接触到的概念尽可能简单和有趣地传授给她们。尤其是当遇到她们不太懂的部分时，我就会和初中的内容联系起来，以一问一答的方式解释给她们听，一直到她们真正听明白为止。幸运的是，这两个学生对初中的内容有一定程度的理解，所以当我把初、高中的内容联系起来讲给她们听的时候，她们在理解上并没有什么太大的困难。另外，由于她们生性活泼，所以也不害怕向老师提什么问题。HA渐渐地就不觉得数学难了，也开始相信只要自己肯学就一定能学好。这种自信在期中考试中便发挥出了作用，HA考了全班第一，很多同学都向她投去了钦佩的目光。这也就成了我那位亲戚家里振奋人心的一件幸事。之后我又教了她几个月的时间，HA已经变成了一个对数学课充满期待的学生。后来我搬到了别的地方去住，便无法继续教她了，但由于是亲戚，偶尔还会听说一些与她的学习有关的情况。每次碰面，HA的父母总会说一直到毕业为止HA的数学成绩都很优异，他们几乎没为此操什么心，真的很感激我之类的话。 牢固的“地基工程”随着年级的升高、学习的进行会日渐发挥出它的威力。同样多的学习时间，上游生却比下游生学得更多、更快，其中的一个原因便是彼此基础的不同。由此可见，在数学学习中最重要的是对基础概念的准确理解，做题也无非就是为了更准确地把握这些概念而已。惟有如此，才能做到不管题目以何种面目出现，我们都能对它的本来面目了如指掌，解答出来。 大家的数学基础是否也有待于追根究底呢, 2.该怎样追根究底, 总之一句话，要像小孩那样打破沙锅问到底。 小孩子总是爱问一些问题，一直问到自己烦了，父母也烦了为止。 “爸爸～那是什么呀,” “是交通事故危险指示牌。” “什么意思呀,” “就是说如果跑得太快了就会出事故。” “事故是什么,” “车子撞了，人受伤了就叫事故～” “嗯„„是这样啊～那危险是什么呢,” 一直这样问下去的话，只能用一些5岁小孩能听懂的话去解释，甚至有时候根本就不会 结束。连续被问20个左右这样的问题之后，大人们恐怕就要说:“哎呀～小孩子不用知道那么多～长大以后就都知道了～” 但如果没有这种提问的过程，小孩子是无法健康成长的，没有一个小孩能略过这一过程 长大成人。 数学学习也是一样。 大部分学生在学习的时候，即使有不懂的东西也只是忽略过去，或者简单地问一下就算 了，更不会为了解决自己不懂的问题而去翻看低年级的教材。你很难看到一个初中生拿着小学的辅导书努力地练习加减法，而问题恰恰就在这儿。 数学是一门如果基础打不好，后面的内容就绝对无法学好的科目。如果基础不够坚实， 在上面建造什么样的房子都很容易就会倒塌。所以，一直要追到源头，弄明白不懂的地方到底在哪里。 不懂的东西就要打破沙锅问到底，直到把老师问烦了为止～这就是对基础追根究底式补 习的核心所在。 该怎样学, 我们来举一个例子。 用英英词典学英语的时候，不认识的单词都是用英语来解释的，而解释中又会有不认识 的单词。然后再用英英词典去查那个单词，它的解释中又会有不认识的单词„„这样反复查下去的话，一定会遇到以最简单的、自己全都认识的单词组成的解释，然后就可以从那儿再一点点地逆推上去学习单词。 以这种方式学习单词一段时间以后，到一定的时候，用英语解释的句子中几乎就不会有 什么不认识的单词了。 所谓对基础追根究底式的补习，就是要像这样把自己不懂的基础内容的根源找出来进行 学习。 高中学习二次函数时，如果一次函数的内容还没有弄清楚(做几道初中水平的题目就可 以知道是否已经弄清楚了)，就要回头找到初中的一次函数那个单元。如果对一次函数中正比和反比的基本关系还搞不太清楚，就要再去找初一时学过的内容。就这样一直找下去，总会找到不懂的东西的根源。 之后就从那儿开始，整理内容，通过做一些例题，来重新掌握一下自己不懂部分的基本 概念。然后再解答一些相关的题目，一个阶段一个阶段地学下去。运算能力较弱的初中生要努力做一些小学的题目，可不要死充面子地光学些初中的东西，最后却落得个丢脸的下场„„对基础追根究底式的补习可以与任何其他部分的学习一并进行。在学习教科书或者辅导书时，可以既追根究底地补习，同时又照顾进度。特别是自己一个人学习的时候，为了能够把根源找出来，不妨试着去自问自答。所以，要常常把低年级的教科书或辅导书放在身边，随时学习。如果自我感觉对小学阶段学习的内容较有自信，那就把初中的教科书(辅导书)放在身边，现在学习的内容中一旦有搞不懂的问题，就要去翻找查看。如果可以得到其他人的帮助，就要一直问到找出自己不懂的问题的根源为止，也就是直到连一点点的疑问也没有为 止„„ 为了完成对基础追根究底式的补习，一定要具备以下心态: , 坦率承认自己无知～ , 敢于厚着脸皮带上低年级的辅导书～ , 就算挨打，对不太清楚的问题也绝不马马虎虎一带而过，而要坚持追问到底～ , 即使是因为自己耽误了进度(当然一个人学习的话就无所谓了)，对朋友也毫无愧疚～ 也许刚开始看低年级辅导书会有些不自在，怕被别人看见觉得不好意思，不仅如此，与其他部分的学习同时进行时，起初见效不是很快，就更容易产生想要放弃的念头。但以这种方式学习下去的话，随着进度的推进，你会感到不懂的东西在渐渐减少。之后没有多久，在学习中连基础的东西都不知道的情况就再也没有了。此后，进度也会加快，哪怕只学一点儿，对其理解的程度也会更深一些。如果到了这种程度，你就会觉得数学其实并不难，你也会由此发现自己更上一层楼。即便是以其他部分的学习为中心零星地进行追根究底式的基础补习，只要努力，不出三个月你也能看到它的效果。 该学什么, 在对基础追根究底式的补习中，最应该用心学习的就是基本概念、重要公式、基本题型。 这些都是必须准确掌握的。这儿所说的掌握绝不是用眼睛看一遍说一声“啊～原来如此”就行了的水平，而应该是，不看那些概念和公式也能够背诵出来，不管谁问都能用自己的话流畅地进行说明，碰到含有这些概念、公式的基本题目也能够熟练解答。由于是低年级的内容，所以一旦做起来的话，其实没那么难，也花不了多少时间。 追根究底式补习例题 我们来看一下初中二年级学习的一道方程组题目。 题目 解下面的方程组 „„? „„? 这道题只有在掌握了下面的内容后才能够解出来。 初一课程方程组求解 初二课程方程组求解 最小公倍数，一次方程式 小学课程乘法和加法，分数运算 看一下这道题的解题过程。 第1步 两个方程的两边同时乘以分母的最小公倍数: „„ ?? „„ ?? 运算和整理后得: 3x+2y=18„„ ?” 5x-2y= -4„„ ?” 第2步 为了消去一个未知数，把上面两个等式的两边分别相加，整理成一元方程式: 3x+5x+2y+(-2y)=18+(-4)„„ ? (3+5)x+(2-2)y=14„„ ??未知数和等式，负数 8x=14, x=„„ ?”一次方程式 ? x=„„ ? 第3步 把等式?代入等式?”，求y的值: 3+2y=18„„ ? 2y=18-=„„ ??一次方程式 2y=, y=„„ ?” ? y=„„ ? 上面所用到的低年级的内容中，哪怕有一个不会，这道题都会解错。 看一下解这道题必需的东西都有什么呢,小学里学的运算，初一课程中学的负数运算、 最小公倍数、未知数和等式、一次方程式等若干概念。在初二的课程中，只需要把这道题的解题步骤记住就可以了，其余的所有解题过程都是运用低年级学过的内容来解答的。基础竟如此重要。用追根究底式的方法学习上面这道题时，如果对初一课程中解一次方程式这部分掌握得不是很好，那该怎么做呢,当然要去找初一课程中的一次方程式了。但在解一次方程式的过程中，突然发现对未知数的运算不是很了解，那就要重新去学习未知数和等式部分。如果总是把正数和有理数混为一谈，那就要对这一部分重新进行塌塌实实的学习。对一道题目中包含的所有不太理解(或者无法熟练解答)的内容依次去查找和学习，如果在第一次查找到的内容中又碰到了不太理解的部分就要继续往下查找和学习，这些都包含在追根究底式学习方法的概念之中。或许一个基础极为薄弱的学生为了解一道题要重新学习很多的内容。像这样追查到自己不懂的根源后再一点点赶上来，就是对基础追根究底式的学习。 用追根究底式学习法，虽然只是做了一道题，却是一边整理过去所学的所有东西一边解 出来的。虽然刚开始的时候进度会比较慢，也会花费大量的时间，但不用多久，就没有必要再去翻看低年级的内容了。慢慢地，就没有必要再向前追查已学过的内容了，那时，大家就通过了追根究底式的学习阶段。 3.一口气追根究底 假设有一个学生在学习的时候发现自己对一次函数不太了解，就回到初二的课程中去查看，结果还是几乎什么都不会。这时应该怎么办呢,如果只是大致把现在所需的东西快速学习一遍，然后就接着原来的进度继续往下进行的话，这几乎是起不到什么帮助作用的。像这种基础极不牢固的学生，还不如干脆对基础来个一口气的追根究底更好一些。这种学生在赶进度的同时，如果也是按照追根究底的方式去学习的话，要查的东西实在是太多了，很容易就会厌烦或半途而废。另外，在升入高年级的时候，如果对上个学年学过的内容没有自信，觉得应该好好整理一番的话，不妨也来用一下这种方法。升入初中时重新学习小学的课程，或者升入高中时重新学习初中的课程也包含在内。甚至有时候，升入了初三，也可以重新学习初二的内容。按照自己的年级或目标去赶进度并不是最佳的方法。 该怎样学习, 要对自己已经学过的一学年或者一学期，甚至是在小学、初中阶段学的内容进行整理。这并不是说在解答本年级的题目时去翻找低年级的东西，而是指干脆另找一块时间去把低年级的教材或内容重新学习一遍。 “那耗费的时间岂不是太长了,”“那在这段时间里其他的同学岂不是多学了很多新东西„„”有些学生会有这样的担心。 但事实并非如此。 对基础一口气追根究底，其关键在于只是快速地学习那些必须要掌握的东西。举个例子来说，即使小学阶段学过的内容记不起来了，也没有必要把四、五、六年级的东西全部重新学习一遍，那反而很容易造成时间的浪费。只需要以那些与本年级关系密切的东西为中心进行学习，或者对自认为比较薄弱的环节进行集中学习就可以了。实际上，按照这种方法去学习并不会耗费太多的时间。高中生学习初中教材或者初中生学习小学教材的话，要完成目标所需花费的时间比大家想像的要少得多。这是因为面对低年级的东西，即以前学过的东西，学生会觉得比较简单，而且比较有自信。因为只需要学一些必须要掌握的东西，所以量也就不是很大，所需时限大体上以不超过一个月为佳。 学习什么东西, 只需要学习基本题型、基本概念和公式等核心的东西就足够了。 当然，大致浏览式的学习是不行的，要塌塌实实地去学。另外，本年级不需要的部分要果断地跳过去，那些高中阶段会重新学习或者与高中课程无关的初中内容，不学也是可以的。 此外，没有必要连测验题、练习题一类的附加题目都一一解答出来。这是因为，即便有漏掉的东西，在以后推进进度的过程中也还可以用追根究底的方法再学习一遍。最好不急不躁地一口气把相关问题解决掉。 至于学习的方法，可以从两个方面来考虑。 既可以按照主题分为集合、代数、解析、几何、概率以及统计等几大块，不分年级地去学习，也可以按照年级，从低年级课程开始一步步学起。虽然按照主题去学习效果更好一些，但并没有多大的差别。 下面这些是高中时必需的初中阶段的内容，或者初中时必需的小学阶段的内容中最重要的东西整理而成的，以供参考。它告诉我们，该学些什么会对一口气对基础追根究底有所帮助。 花絮1:童年的回忆 我小时候是个普通得不能再普通的孩子，没有什么特别的才能，吃饭和玩耍几乎就是我生活的全部。我还记得，上小学的时候有一次得了个大鸭蛋还在那儿引以为荣呢。小学六年级时第一次考了个第六名，还拿了个奖。之后，初中二年级的时候，因为几个偶然的理由，我才开始把学习当成了目标。 第一个理由与当时我觉得自己没什么特别的才能有关。由于我性格过于腼腆，所以在女孩子中也没什么“人气”(有没有“人气”对那个年龄的我来说是无比重要的)，又没什么特长(学校里有一个乐队，但我一来没那个天分，二来也没有那份试试的勇气)，而且我长得也不帅。好像从那时起，我就开始想，哪怕只是学习好，是不是也能得到一点儿别人的认可呢, 第二个理由则与“傲气”有关。读初二的时候有一个考了全校第一的家伙，在我看来简直是傲慢无比，所以我就想在学习上击败他一次。还记得当时我还特地把冷水灌入白铁罐中，把脚浸在里面，熬夜苦读。当然了，那次考试我失败了。 不管怎么说，我还是以此为契机开始努力学习，最终击败了那个家伙获得了第一名(因为是农村的学校，这没什么特别值得骄傲的，而且大部分同学都整天忙着干农活)。 高中的时候我学习也算比较努力，主要是为了让父母开心，也是为了能获得老师或大家 的认可，这就是最重要的理由。那时我几乎没有一定要上大学的念头，好像根本就没有认真地考虑过那个问题。我觉得每个人努力学习的理由都是不同的，大家认真地想一想的话，至少都应该有一两个吧。如果能有真正让自己动心的那种理由，而不是别人说出来的，哪怕这样的理由只有一两个(如果没有可以找一个出来)，任何人都可以产生向学习挑战的念头。这一点是最重要的～因为不管你上多少补习课，都很难追上那些拥有迫切的学习理由、靠自己努力学习的同学。 寻找自己应该学习的独一无二的理由吧～要想学习好，不，要想至少比现在的成绩有所提高，就一定要有一两个自己独有的应该学习的理由才行。 第2阶段 跳过难题学一遍――骨架学习法 看着学生们努力学习的样子，我感到最难以释怀的就是那些学生在以过于艰难的方式学习数学。大部分的学生并没有考虑自己的水平，而只是确定发下来一本辅导书就要从头到尾把它做完。 但正如大家所知道的，数学辅导书的内容并不是那么简单的。虽然高中生们抱着厚厚的辅导书自己一个人辛辛苦苦地学习，但大部分人学不了多久就放弃了。每到放假或者新学期伊始都要抱着从头再来的心态再去从“集合”学起。即便是学习不好的学生也惟独对于集合这一部分有一定的自信，其理由正在于此。 当然了，有时也会和补习班的老师或家庭教师一起把进度赶完。但那哪能算是自己学习的进度呀,也就是老师的进度罢了。恐怕在学习的时候所学内容的一半以上都不知道是在说什么吧。这样学下去的话，学生最终都会逐渐放弃，感叹:“数学真是太难了～”明明都学习过，但题目一出来还是不会做，因为实际上并没有真正掌握，所以当然会有那样的反应。这样的学习方法与其说是在积聚实力，倒不如说是在积累挫折感。 改变方法，走捷径吧～ 首先，只把简单的部分从头到尾学习一遍。只学习那些构成学习内容骨架的基本概念、基本公式、基本题目就可以了。筛选出基本的概念和公式，然后把它们扎扎实实地记住，再反复练习基本题目以求能做出正确解答，其余的东西尽可以都忽略过去。只要能切实做好这一点，在学校里就可以保持中游水平，在高考中就至少能考110分(满分150分)。 这样做有三个优点: 第一，学习数学的时间大幅度减少。 如果只是背诵一些基本的概念和公式、解答一些基本题目的话，学习量并不大，一天之内可以完成几个单元的进度。大体上，本来要学习一个学期的内容，一个月左右就能完成了。如果只需投入这么少时间就能把数学的基础打好，难道还不值得一试吗,另外，由于学习的内容是以一些简单的题目为主，所以会使人产生解题的兴趣，而且进度会比较快，由此也会产生成就感，数学在你眼里也就容易了一些。 第二，可以了解整个单元最重要的骨架是什么。 每个单元一般都有一些必须掌握的最重要的内容，如果先掌握好这些内容，一个单元的骨架也就了然在胸了。这样，对于重要的东西就能够更集中地进行学习，而再学习那些考试中偶尔会出现的高难度的题目也不会糊涂了。这些题目是考试中首选的出题对象，所以，在考试时基本的分数也就能够确保无虞了。 第三，学习到这一阶段，就算中途停止，之后无论再从哪一个单元入手，都不会很难。 用这个方法从头到尾学完了一遍之后，即使在一段时间内没有学习数学，无论再从哪一个单元入手，也都很容易就可以赶上其他的同学。而且，不管从哪一个单元开始，理解起来，或者学习起来都不会太难，因为已经切切实实地打好了基础。但如果只是认真地学习整个课程的几个单元之后就中途停止的话，再怎么重新开始努力学习，追赶起来也很吃力了。快速地、牢牢地把骨架内容从头到尾都学了一遍的人，只要想重新开始学习，无论何时都会很轻松。只筛选出核心内容快速学习一遍～ 这就是效果100%的第二条学习秘诀。 1.背诵令两个学生一喜一悲 我曾经教过两名初中二年级的学生，其中一名学习成绩处于中游水平，另一名学生HM则总是在中下游之间起伏不定。虽然HM看上去在课堂上大体也能听懂老师的讲解，但好像总是理不清学习的内容是什么。有一天，我讲解图形部分时，发现她对于题目几乎束手无策。HM的问题在于没有背诵好重要的概念或公式，所以当碰到题目的时候，本应该快速反应出来基本的性质或公式，她却做不到。刚开始的时候，我曾不断地督促她，还把原理详细地讲解给她听，希望她能通过进一步的理解自然而然地把这些东西记住，可是情况却几乎没怎么好转。于是我暂时不再继续往下赶进度，而是把图形部分中我觉得最重要的内容整理出来，让她把这些东西背得滚瓜烂熟。例如，把三角形内心的定义和性质及其在题目中的应用举例等简单整理后让她去背诵。我挑选了10个左右与此类似的有完整解答步骤的例题，让她不断地边检查边背诵，一直到她能从头到尾什么也不看凭记忆在白纸上写下来为止。等我确定HM已经切实地记住了之后，再重新回到图形单元中，结果发现在不知不觉间，她已经能够得心应手地解答图形题目了。从那以后，只要我碰到图形方面薄弱的学生，或者是看到题目后因为连基本的概念或定义都想不起来而不会做题的学生，我就会把那个单元中核心的东西整理出来，让他们一字不差地背诵下来。这种学习方法总是能收到超乎想像的效果。 第二个故事是关于一个在国外读完小学后回韩国的学生的。那个学生的父母在把他托付 给我的时候说:“这个孩子脑子还是挺好使的，就是不学习～打也好骂也好，请老师您管教一下吧～”看起来大部分的父母都认为自己孩子很聪明。实际上几乎没有哪个学生的脑袋瓜生来就不是学习的材料，只不过是不愿意努力罢了。不管怎样，那个学生在小学的时候，数学成绩还一直都是差一点儿就能算是上游水平，但到了初中以后，分数却一路下滑，几乎都快垫底了。所以他父母就给他换了一个又一个的老师，结果却无一例外地都以失败告终，于是又换成了我。教了他一段时间以后我发现，这个学生最大的问题就是极其讨厌背诵。也不知道是不是受到在国外学习习惯的影响，他公然表示就是不愿意去背东西(这个学生理解能力还可以，对于讲解的东西理解得还是不错的)，动不动就说在国外如何如何，说自己想以那儿的方式学习。虽然他的父母现在无法去外国，但在他的心中却依然无法舍弃回到国外的念头。因此，在这个学生听课后的第二天，问他前一天学习过的内容，结果发现本应背诵的东西也就记住了不过20%~30%。我想这样下去可不行，就让他把重要的概念写下来去背诵，结果他说怎么背也记不住。他是个根本不愿意背诵的学生，真是让人无可奈何。但念在他父母如此诚恳的拜托，我还是尽量忍耐下来，在上课的时候尽可能讲得有趣一些，付出了比对别的孩子多一倍的心血。他一开始还做出一本正经学习的样子，但一碰到需要背诵的东西就逃之夭夭了。因此，那些必须要记住公式或者概念才能做出来的题目，他几乎一道都不会。最终，他的父母看他的成绩一点儿都没有提高，没过多久就不再让他来了。这对于我来说是一段苦涩的回忆，我觉得很遗憾。如果他的父母再多给我一点儿时间的话，情况有可能会有 所好转的。 无论如何，我还是通过这次经历再次认识到了背诵在数学学习中的重要性。对于数学这门课来说，如果连定义、定理、性质、公式之类的东西都记不准，就无从着手。去国外的时候，对大部分人来说最大的难题就是“语言”。英语“airplane”的意思是“飞机”，对于美国人来说，只要发出“airplane”的声音，任何人都知道是“飞机”的意思，因为就是这样约定俗成的。但在韩国，如果一位老大爷看到“飞机”后问“那是什么”，你说是“airplane”的话，可能会挨一记耳光，因为韩语的约定俗成与英语是完全不同的。在数学里面也有很多这样的约定。也就是说，只有对此准确掌握，一听就能马上明白是什么意思，学习起来才不至于那么困难。要切实地掌握数学中的这些约定(定义、定理、性质、公式等)，才可以与题目进行“沟通”。假设有一个题目是:“用刻度为1毫米的尺子来测量，误差会有多少,”如果连“误差”的定义都不知道，这个题目根本就无从下手(参考:误差就是“近似值”减去“精确值”)。但如果知道误差的定义，不管对还是错，总还是有机会可能解出来的。如果无法克服这种语言(对于数学来说就是必须掌握的基础)的障碍，学习数学无异于孤身处于一个语言不通的国家。老师的讲解听起来就会像用一门你不懂的语言一样，就算努力学习，也还是像听天书一样不知所云。这样一来，在上学的时间里，与数学之间的“梁子”就只会越结越深。所以，把一个单元中核心的概念或者公式切实地理解和背诵下来，是学习数学时最重要的着手点。这是我总结出来的快速骨架学习法的核心所在。 2. 骨架内容该如何筛选, 在快速学习时，我们需要网罗出来的骨架内容都有哪些呢, 那就是概念和公式。 概念是一个单元的核心内容。如果学习新符号，概念就是指那个符号的定义、性质、特征等。如果学习图形，概念则是指图形的定义、定理、性质一类的东西。公式需要推导过程，是一个可以让我们省略很多解题步骤，很容易就能直接得出结果的数学式子，比如内角和定理、二次方程式求根公式等等。在初中课程中，一般用基本的定义或定理就很容易把题目做出来，所以相较于理解，重点在背诵上;而在高中课程中，相较于背诵，重点在理解上。但不管什么课程，都必须要背诵基本的概念和公式。 从整体上来看，在每个小单元中需要背诵的东西再多，大致也不过是一页纸的分量。这样的分量，就算再不善于背诵，略加学习也可以记得住。需要注意的一点就是在概念或者公式里没有必要包含过难的内容。这一学习的目的就在于把握整体的骨架，对于难度过高或者过于艰深的内容还是跳过去为好。 例如，在近似值部分中:误差区间 =近似值的范围/2 对于这个公式，不要只记公式本身，还要记住在四舍五入的情况下误差的区间是四舍五入后最小位数的1/2，在测量的情况下则是测量所用最小刻度的1/2。这样，需要背诵的东西可以整理如下: 误差区间 = 近似值的范围/2 例5.55?精确值<5.65时， 误差区间(5.65-5.55)/2=0.05 • 四舍五入情况下:四舍五入后其最小位数的1/2例 若四舍五入后为5.6，误差区间0.1/2=0.05 • 测量情况下:最小刻度的1/2例 用0.1kg的秤进行测量时，若为5.6kg，误差区间0.1/2=0.05kg 所幸的是像这种程度的整理，大部分的辅导书都已经列出了。而且，为了加强学习的效果，最好把它和一两个非常简单的例题放在一起背诵下来。这里所说的例题指的就是教科书或者辅导书中的范例。这样一来，背诵过的概念以题目的形式出现时你就不至于张皇失措，能够解答出来。也就是说，不只是单纯地背诵公式或者概念本身，还要针对它在什么题目中如何被运用进行简单的整理，一并背诵下来效果会更好。单纯的定义和简单的例题自然是不用说了，还要按照各种具体的情况分门别类地整理后背诵下来，做题的时候才会派上用场，背诵起来也会容易些。 该用什么书来学习, 教科书和辅导书在学习上的作用可以说是各有千秋。教科书的长处在于它有较为详尽的说明，而且只是把既简单又重要的内容整理出来;辅导书的长处则在于它收录了很多考试中常常出现的题目类型，而且还把概念等整理得条理清晰、一目了然。在学习的时候，要以教科书为中心，并依靠辅导书的帮助来整理一些需要背诵的东西。 基本公式、概念如何分辨, 当然是学校的老师强调、辅导书中强调、补习班或者家教老师也强调的东西了。这些东西中重合的部分(交集)就是必须掌握的重要的基本公式或者概念。所幸的是在教科书或者辅导书中重要的部分肯定会被标示出来，因此只需稍微留意一下就可以轻而易举地找到它们。在习题集(以收集大量的题目为主)中也会将一个单元的核心内容整理在一两页纸上，那都是一些必须掌握(需要背诵)的内容。 应该怎样整理, 反正前面提到的教科书或辅导书、习题集都已经替你整理好了，所以你只需要把它们拿来用就可以了。首先，大部分的教科书或辅导书都把每个单元中必须掌握的东西用大方框框了起来，或者用不同的颜色标示了出来。除此之外，大家还可以用自己的荧光笔或彩色笔把必须要记住的东西标示出来，然后集中背诵。如果是喜欢自己整理东西的学生，可以把它们写在一个随身携带的小本(类似单词本的样子)上去学习，这样会更有成效。因为只有条理清楚、便于携带，才会常常拿出来看看，学起来也才会比较容易。 要背诵到什么程度, 就像前面介绍的HM的故事一样，确定下来一个单元之后，要把这个单元里的重要概念、公式等熟记到只靠记忆也能把它们一字不差地写在白纸上为止。这时，重要的数学用语或公式中的数字可能要熟练到100%准确默写下来的程度。“我记住了吧～”“写它10遍就可以了吧～”这样是远远不够的。只有把自己背诵的东西按照上面的方法进行检查确认，那才是真正记住了。不管是谁问起来，都要能够用自己的话来回答。如果别人问:“误差是什么,”“误差就是近似值减去精确值～”若问:“四舍五入后的误差区间是多少,”“嗯……是四舍五入后最小位数的1/2啊～比如，如果5.6是一个四舍五入后的数字，那0.1/2=0.05就是误差区间。”只有能够做出这样的解释才可以。像这样用自己的话来解释，可以使你了解到自己对什么东西还不太清楚。如果可以准确地解释出来，就意味着在你的头脑中已经真正把这些东西整理好了。也就是说，在实际做题时，它会马上浮现在你的脑海中，可以派上用场。为了检查是不是真的已经掌握了，可以通过让朋友或老师提问自己来回答的方式进行练习。有一句话是我常常强调的:“没有经过检查的背诵不能称之为背诵。” 3. 4个月内高考成绩提高20分的故事 我曾经从4月开始一直到7月放假前，教过三名已经放弃数学的高三男生。衣冠不整，长相野蛮，烟草味扑鼻而来，当我遇到这三个男生时，心里立刻觉得像是被压上了一块大石头那样堵得慌。更糟糕的是，他们的高考模拟成绩连75分都到不了(满分150分)。他们也并不是一点儿都不学，只是不知道从什么时候开始忽视了数学，到了高三之后就觉得在数学上再也没有什么希望了。之所以托我教他们，只不过是希望高考的分数至少别再低于现在的水平就可以了。和他们给我的第一印象不同，这几个孩子还算懂礼貌，很听我的话。有时候，我去散步，偶尔碰到他们正在与女朋友约会，每次他们都会挠挠头，不好意思地跟我打个招呼。不管怎样，我给这几个学生定下的战略是很简单的。 我为他们定下了在3~4个月的时间内使成绩提高20分的目标。而且，由于当时有消息说高考试题会比较简单，所以我只是把每个单元中最重要的核心内容及题目反复地教给了他们。为了能在短时间内取得实实在在的成果，每一个小单元中需要连解题步骤都完全记住的题目被限定在了6个以内，而且越往后每个单元中我要求必须要掌握的题目数越少。至于那些高难度的概念或者题目，我根本就没有教过他们。不管是教谁，我常常强调的一个原则就是“比较简单的单元中出题会比较难，比较难的单元中出题反而会简单”。比如，根据我的判断，各个单元中只需真正地掌握几个重要的题目，在高考中就能有70%以上的命中率。好在这几个学生还是想把高考考好，进入理想大学的，也许是因为这样吧，他们总是按时完成布置的作业。当然作业量也不算大吧。 刚过第一个月的时候，他们的模拟考试成绩并没有什么起色，但等到下一次模拟考试，他们的成绩却开始有了显著的进步。后来我接到了来自他们父母的电话，刚开始我还担心是不是他们考试考砸了，出什么事了呢。结果我被告知，这三个学生的成绩都有超乎想像的提高，一个学生考了109分，其余的两个学生都超过了110分。连我自己都觉得有些难以置信，还是这几个大家伙可爱，令人欣慰。虽然时间很短暂，但这却是一次令人满意的相遇。 这次经历使我对自己总结出来的骨架学习法产生了自信。在此之后，当我遇到学习不好的学生时，我总是让他们把骨架内容实实在在地掌握好，以这种方式来准备考试，而这种方法也总是能带来超乎期待的效果。不要妄想一下子把那么多的东西都学好，只需把重要的题目集中起来实实在在地掌握好即可～这就是提高分数的秘诀。 4.骨架题该如何学习, 骨架题指的是那些基本类型的题目。这些题目是考试中的必考题，是检验各个单元的重要概念掌握与否的尺子。只要认真观察一下就可以发现，重要的题目和一般的题目还是有一定区别的。大致来说，在每个小单元中都有4个左右的题目，有时候也会只有一两个。只需要找那些在重要概念或公式的说明之后出现的题目就可以了。 要学习骨架题，最好以教科书为中心，但如果有像教科书那样，解释浅显易懂、骨架题已经分门别类整理好了的辅导书，也是不错的。骨架题就是那些与重要的概念、公式直接相关的题目。在大部分的辅导书中，被称为例题的题目中就掺杂着这种骨架题。因为例题既包括骨架题，也包括更高水平的题目，如果学习全部例题，对于正处于第2阶段的你来说，就显得有些负担过重了。由于现阶段不能让你因推进进度而感觉负担过重，所以还是选择那些以自己的水平能够很快挑选出来并能很快做完的教科书之类的教材比较合适。 现在我们来看一下教科书。 那些被冠以例题称谓的题目也就是所谓的骨架题。有一些例题比骨架题的水平还要低一些，还是在学习概念、公式的同时一起学习比较好。它们的作用大都是为了对概念进行说明或帮助理解。总之，在第2阶段里，只需要做一些骨架题或更低水平的题目就可以了。即只需要把教科书中的例题和难度低于骨架题的题目做出来就可以了。还有一些对例题起补充作用的练习题，在相当于骨架题个数的范围内做一些也未尝不可，但由于其量比较大，如果要全部做出来就会影响进度的推进。对于此类题目，哪怕一点儿也不做就跳过去也没有关系。初中的课程中例题太少，因此最好以那些在重要概念之后出现的题目为主来做题。需要注意的是，“练习”、“习题”切勿全部解答，跳过去就可以了，因为这些都不是现在这个阶段需要做的题目。 为什么只学骨架题, 第一， 因为快速地了解整体的脉络和重要内容是这个阶段的目标所在。 “原来这个单元是讲这个的啊～”“最重要的概念是这样的～”“重要概念原来是以这种方式来出题的啊～”如果能够了解这些，就已经足够了。能把握这些表示打好了基础。像这样，能先了解一个单元中最重要的内容和题目并快速学习一遍的话，你会觉得数学变得简单有趣多了。 第二，因为这有助于分辨出重要题目和不重要的题目。 如果连骨架题都不会，再怎么学习其他题目也不会有什么帮助。这就好比在连主路(骨架题)都不知道的情况下还要努力去了解支路一样，是很容易迷失的。为了进一步提高实力而回过头来重新学习的时候，由于对整体的脉络已经有了一个了解，就能以重要题目为主展开学习了。而且，由于这些都是长在骨架上的肉(不管有多少必修类型题)，所以可以在头脑中条理清晰地整理出来而不至于混淆。 第三，因为骨架题在考试题目中一定会出现。 如果把略微应用了骨架题的题目都算在内的话，会有很多的考试题目都在此列。即使是高考，只要把这些东西切实掌握好，考个100分以上也不会是一件很难的事。如果对单元中的骨架题进行集中学习的话，由于量并不大，所以考试的准备时间也可以大幅减少。另外，由于题目的量比较少，对题目的分辨能力也会自然产生，在解题的时候失误的概率也会大大降低。只要把这些实实在在掌握好了，至少能使你保持中游水平。 第四，如果以骨架题为中心，事先把一个学期的内容快速学习一遍的话，等在学校里上 课的时候，由于都已经预习过了，你就能更加积极地参与课堂上的互动。之前预习时忽视的概念也可以再塌塌实实地学一遍，这样在学校课堂上的收获会更大，理解得会更清楚，自然也就会觉得更为有趣。 该怎样学习, 可以把筛选出来的骨架题用彩色笔或者荧光笔鲜明地标示出来。如果是喜欢整理东西的学生的话，则可以把一个单元的题目整理为一页纸左右的笔记。另外，如果把第1阶段整理好的公式、概念之类的东西也放在一起，简直就等于自己编撰了一本优秀的独一无二的小小教科书。 还有，可以把题目一下子全罗列出来，这样做有一个优点—可以使你生出一双火眼金睛，轻而易举地就能分辨出题目和题目之间的差别所在。如果能把题目区别开来的话，在考试中会占多大的优势，就算我不说，相信大家也很清楚。但比起标示和整理来，更重要的是要切实地学习它们，在脑子里把它们理清楚。否则，即使整理得再漂亮，如果不去学习也不过是纯粹浪费时间罢了。 应该选多大的题量, 虽然确定到底该选多大的题量也是比较重要的，但由于以后你也可以把认为没有必要的题目删掉，所以刚开始选择题目的时候倒也不必过于慎重。随着学习一步步推进，哪些是重要的题目，哪些是不怎么重要的题目，都逃不过你那双慢慢练就的火眼金睛。大致说来，如果是高中的教科书，整理一个小单元，从5道题目左右开始比较好。初中的单元数目比较少，大多也都是一些简单的题目，所以一个小单元以10道题目以下较为适当。根据单元内容的多少，这一数目也可以有所变化，这儿所说的5道、10道，也只是为了检查是否已掌握概念所必需的大体数目罢了。 题目要练习到什么程度为止, 对于这些题目，要一直练习到在没有任何外界帮助的情况下，能够自己把它们解答出来为止。这与背诵公式和概念差不多，特别是对于教科书中出现的解题步骤，尽可能原封不动地把它们写出来是很重要的。有些学生总是自己随心所欲地杜撰一些解题步骤，这是一个必须改正的不良学习习惯。 要想把骨架题真正化为己有，就有必要像上面的图示一样进行两次检查。在第一次检查中，做到在各个单元的学习结束之后，对每一道题目都能不看参考资料从头到尾解答出来就可以了。这时，哪怕中间稍微看一点儿答案或者解题步骤都不可以，应该能在不看答案或提示的情况下凭自己的能力解答出来。第二次检查就是在结束了一个单元进入到下一个单元之后，在下一单元(过了几个单元之后再检查也可以)即将结束之际对前一单元的题目是否真正掌握再进行一次检查。据说在第一次背诵之后大约24小时或48小时之内再背诵一次的话，80%左右的背诵内容都会长时间留存在脑海中。所以，隔一定时间进行第二次检查是很有必要的。特别是如果曾经给做错的题目做过标记，之后进行复习、检查的时候就可以以那些题目为中心来学习，这样可以节约大量时间。另外，在一个学期或者半个学期的课程结束以后把全部题目再进行复习、检查，或者在准备期中、期末考试的时候进行复习、检查的话，几乎能够做到100%的掌握。对于有意进入第3阶段的学生来说，这个过程也可以省略。进入第3阶段的学生，复习、检查可以和表格式整理一起进行，这样可以有效地完成学习的内容。按上面所说以进行复习、检查的方式来学习的话，虽然感觉上似乎需要大量时间，但由于是以做错的题目为中心来学习，所以题目的量实际上是比较小的，而且由于越复习越熟练，所以所需要的时间也就越来越短。复习的目的就是熟练和检查。如果不够熟练，就无法做到快速地解答;如果没有检查，就无法保证准确地解答。 应该注意些什么, 题目的量一开始的时候不要定得太多。“当然得做10道左右才算有面子呀～”结果做着做着，如果超过5个单元以上，可能就会后悔了，开始抱怨:“怎么这么多啊～”从自己的能力出发，学习的题目量不构成负担，这才是明智之举。特别是到了复习、检查的时候，如果题目的数量过多，就会成为一个负担，做起来就比较吃力。 数学并不是一门学了一个单元之后就会有立竿见影之效的科目。只有对各个单元培养一种综合的实力，才不会做错已经学过的题目。实实在在地学习各个单元的骨架内容，比起华而不实地做大量的题目、一个单元一个单元往下赶进度来说，效果会更为明显。让我们试着以这种方法学习一个月左右的时间看看，即使是基础薄弱的人，在追根究底式学习的同时以骨架法进行学习，也能在不超过两个月的时间内看到效果。 小习惯系列1:无法理解题 我们经常可以听到人们说准确理解了题意相当于题目解了一半。题目的说明中就是有着这么多的提示。即使是说明简短的题目，有时也会因为会错了题意而出错，更不用说那些说明复杂的题目了。 其原因可以概括为三种。 第一，对说明中出现的重要词语的数学含义不太了解。 第二，无法理解整体的题意。 第三，审错题了。 第一个原因是由于没有搞清楚某些词的数学含义而导致的。 例如，如果有一个题目是“把下面函数中的反比例函数选出来”，如果连反比例函数是什么都不知道，这个题目肯定是做不出来的。这就好比进了仓库之后问自己“我来找什么来着”一样。数学中像这样必须要掌握的定义、定理(主要在图形里)有很多，切实掌握它们的含义是数学学习的第一步。这一问题可以通过第2阶段快速骨架学习法来解决。 第二个原因是对题目说明所蕴涵的意思理解错误。 还是前面提到过的在国外读完小学的那个学生。这个学生不仅如前面所说在背诵方面有些问题，而且在他身上还有很多各种各样的综合问题。即使不是需要背诵的问题，很多时候他也根本解不出题来，特别是如果题目的说明稍显复杂，他就会束手无策了。刚开始我还以为他没有把握好题目只不过是失误，但后来才发现是因为他对母语的含义经常把握不准。举其中一个例子，对于“对x进行整理”和“整理成包含未知数x的方程式”这两个题目。前者应该整理成x = o+o+o的形式，后者应该整理成方程式= ox+o的形式，但这个学生却根本分不清楚它们之间有什么区别。语言上微妙的差异会要求截然不同的答案。除了在国外学习过的学生容易这样，在下游水平的学生像这样发生误解题意的情况也很多。 第三个原因是偶尔会把题目审错，所以由于没有看对而做错的题目几乎在每次考试中都会出现一两个。高二的时候我有一个同桌，他和我学习的时间基本上差不多，但考试的分数却总是很难超过60分。他有一个毛病就是对自己做过的题目基本上都记不住。“我做对了呀……”他总是这么说，自己也觉得莫名其妙。还有，明明已经在答题纸上写出正确答案来了，后来一看才发现把它写在其他题目答案的位置了。我对此也无法解释，所以也就只能默默地听着而已。当时这个现象成了一个不解之谜，现在想来应该是没有集中精神把题目看准的缘故吧。 解决这种问题的方法如下: 首先，那些不清楚题目说明中词语含义的人应该检查自己能否把说明各个单元基本概念的重要定义背诵并写出来，或者是否可以用自己的话来进行准确的说明。 其次，对于题目说明理解错误的情况，解决起来一般要花费相当长的时间，而且通过数学之外的方式也不失为一种不错的方法。即多读书(通过读书来培养阅读理解能力，读自己感兴趣的小说也是可以的)。 最后，对于经常因性急而看错题目的情况，应该使自己养成务必把题目读两遍的习惯。虽然我学习还算不错，但总是由于性急的原因，往往是题目说明还没有读完就去解题，所以平均来说总是会多错一道题以上。因此，有一天我就告诫自己:从现在开始，就算觉得考试时间再紧张，也一定要把题目读两遍(咬牙)。这样做的结果就是，到了高三之后我在一年的时间内再也没有发生过由于审错题而出错的情况。即使没有必要认真到把题目一点一点解剖 开来加以分析的程度，但还是有必要练习慎重阅读题目，把题目的准确含义搞清楚。为此，平时做题的时候，在题目的说明上还是有必要多花一点儿时间的。因为只要仔细地思考了题目的含义，本来会做的题目基本上也就不会再有做错的可能了。 在阅读题目时，与读两遍同等重要的就是要慢慢读和特别留心题目说明的结尾。题目说明的最后到底是“把正确的选出来”还是“把不正确的选出来”，有时候在一瞬间总是容易混淆，大家肯定也都有因此出错的经历。本来解答得很好，却仅仅因为看错了题目或者理解错了题意而做错题的话，恐怕再也没有比这更冤枉的事了。 一定要把题目读准确～答案自在其中。 小习惯系列2:学习的终点是检查 我们在学习的时候，错觉之一就是以为既然自己已经学过了，就已经真的掌握了，但一到考试却又做错。到底是哪儿出了问题呢, 我升入高中以后才意识到检查是很重要的，而在此之前，就算我在学习时这样做了，也不知道它为什么重要。在考前复习的时候，我一定会检查一下自己是否真的把学过的内容记住了，题目是否真的会做了，也就是在白纸上把刚才背诵的内容或做出来的解题步骤再原封不动写一遍。如果总这样检查肯定会有什么地方写不出来，这样的话就把写不出来的那部分再好好学一下，然后再去试着写出来。等到了能100%确认的时候，学习也就可以告一段落了。由此，至少在我押的题目出现在试题中时，我能够一字不差地快速写出正确答案来。这是我在进入大学和研究生院之后在学习中也一直恪守的一条准则，也是我常常向教过的学生强调的一句话。之所以要检查是基于一条理由，因为你自己觉得已经准确掌握了的内容实际上可能在什么地方并没有准确掌握，这就是做错题的原因所在。特别是在没有用笔写过而只是用眼睛看过的情况下，考试时往往就会记不起来到底该怎样做，明明已经背诵过的东西，后来却怎么也想不起来了，这是一种很常见的情况。 检查是学习的必由之路。 前面我强调了在背诵和题目解答过程中检查这一过程的必要性。数学这门课要背诵的东西很多，要解答的东西也很多，而且准确性就是生命，所以对于自己是否真的学好了一定要加以检查才行。如果不检查只学习的话，就算学过了，到考试前也不能放心，因此考试之前就会把学过的内容看了又看。但如果边检查边学习的话，考试前就能安心地结束功课复习。 甚至于在考试前，会有时间睡个痛快觉或是去运动一番 花絮2:化侮辱为动力 是我初中毕业升入高中后发生的一件事情。不管在乡下的初中学习有多好，到城市里学习之后就能意识到以前的自己只不过是井底之蛙，在班里不过是勉勉强强排个第十名罢了。当时要选班长、副班长和组长，因为同学们都互不相识，所以就按照成绩排序来选拔，结果我的成绩连个候补都没能排上。在开学之初，由于我是初次来城市，在这儿连个朋友都没有，所以主要是在图书馆里打发时间的。这样没过多久，就开始期中考试了。我主要把时间花在了图书馆里，再加上我对“临时抱佛脚”又相当有自信，觉得“怎么说我在乡下的学校里也算是数一数二的啊”，带着这样的自信参加了期中考试。那次期中考试我考了班里的第二名。但老师在拿着成绩单进来之后却让我站了起来，而且竟然问我:“你是不是作弊了,”我顿觉眼前一阵晕眩，视线变得模糊了。我哪能受得了这种刺激，觉得连精神都有些恍惚了。我怀着一种愤怒的心情，痛下决心“下次不管发生什么事，我一定要考第一名”。在第一学期的期 末考试中我果然考了班里的第一名，在全校则进入了前五名。那时，看着班主任，心里真是有说不出的痛快…… 不管是谁，如果受到了别人的侮辱却又无法与之争辩的话，通常可能有两种反应:一种是通过发火或者反抗来把自己所受的侮辱化解掉，另一种则是把侮辱转化为自己发展的动力。我们在这两者之中，比起“就你了不起～你好好活着吧。你再怎么招惹我，我都不怕～”“好，下次走着瞧。我一定会成功，给你点儿颜色看看～”这样的想法是不是更明智一些呢, 第3阶段 听说了没有――表格学习法 每次我看到那些处于中等以上水平的学生，总是很遗憾:虽然运算做得挺准确，说明一下的话也能理解得不错，但就是一碰到稍微有点儿难度的题目就不知道从何下手了。只要有人稍微教他们一点儿学习方法，其水平立即就会有一个提升，他们只是因为不知道该怎么做而彷徨。他们总是有这样那样的苦恼:“我现在的学习方法到底对不对,好像有些不太对头啊……”“为什么看到考试题目就是想不起来解题方法呢,还有，本来做得好好的，却总是在中间卡住了，为什么会这样呢,”“为什么越往后学，前面学过的东西就越是乱七八糟,好像我太容易忘记了。”“数学到底得学多少才能学明白啊,” 如果知道了这些问题的答案再去学习的话，就像破壳而出的小鸡一样，很多学生都可以出人意料地把数学实力和成绩轻而易举地提高一个档次，再也不必硬着头皮去学习了。掌握正确的学习方法真的就有这么重要。 学习这个东西，只要方法得当，你所取得的成果肯定会与付出的努力成正比。特别是数学，作为一门逻辑科学，如果学习方法有问题，就会多耗费你几倍的精力。如果一开始走错了路，可能会白费半天劲儿，不管你怎么走也还是看不到尽头。这就是数学。 大部分有一定数学基础的学生都可能会有一种错觉，认为只要无条件地大量做题，实力就会提高，所以就不管是复杂的题目还是简单的题目，只顾着在海量的辅导书和习题集里埋头作战了。在这样做的过程中又搞不清楚这对自己到底有没有帮助，是不是在白白浪费时间，所以也就总觉得心里没底。再加上学的东西还没有忘的多，心里就开始烦躁了，只得在浩瀚无垠的题海中苦苦挣扎，筋疲力尽，连学习的念头都丢得一干二净。 所以，他们看到数学学得好的同学时总会说:“你是个数学天才，我就不行～我不是学数学的料～”就这样连一点儿自信心都没有。但有一点我敢肯定，那就是初、高中的数学几乎不需要什么数学天赋，只要打好基础，学习方法得当，谁都可以征服它。这就是初、高中的数学。 我要在这儿介绍的两种学习方法可以为大家铺就一条征服初、高中数学的康庄大道。 第一条就是通过解答各种类型题来学习。 既然要解题，就要一边思考着学习的效果如何，一边去解题。经过第2阶段之后，为了培养自己对题目形式变化的适应能力，应该通过有效的方法来给出各种各样的解题方法。在这儿也有一个要领，如果学习的时候对所有的题目都付出同等的精力，对学习肯定是不利的。有重要的题目，就有不太重要的题目;有应该多花些时间的题目，就有应该少花些时间的题目，也有些题目是应该忽略过去的。还有，在题目中该记住些什么、该怎样练习才能对自己真正起到帮助作用，要先把这些都搞清楚再去学习。惟有如此，才能做到每次解题时都能使实力逐渐提高。 第二条就是用表格整理法来学习。 这个概念对于大家来说稍微有些陌生，这一新的学习方法的目的就是，碰到任何题目，合适的解题方法都可以立即浮现在自己的脑海中。这一方法对于那些为攻克数学堡垒而苦恼的众多学生来说，是一件非常有效的武器。而且随着所学内容越来越复杂、越来越难，这个方法所能发挥的效力也就越来越大。如果按照我所说的方法去学习的话，不管是多么难的辅导书，只需反复两遍就几乎能100%掌握，初、高中的数学无论如何也难逃大家的手掌心了。 1.面包与数学分数 我曾经教过一个初中一年级的女生，后来又去教她正在读高三的哥哥。他的父母在拜托我的时候说，比起高考成绩来，更主要是想提高他平时的考试成绩。就这样，我开始教他数学。 比起擅长数学的初中一年级的妹妹，这个学生的学习水平用一句话来说就是属于那种苦苦挣扎的水平。虽然基础倒是掌握了一些，高一水平的简单题目也能够解答出来，但只要题目稍微难一些，他就会把头深深地埋在课桌上好半天，然后挠挠头说一声:“我不会～”我首先把他当时学习的数学课程中可以作为必修类型的题目按照单元分别挑选出来，加以整理之后，只是让他拼命去学这些东西。练习题连看都不让他看，只让他做那些比整理出来的题目难度还低的“例题”，还让他通过集中的复习和检查过程来把整理出来的题目重新解答出来。他刚开始也许是对这种学习方法不太有信心吧，偶尔会流露出不安的表情，但随着学习成果一点一点地显现出来，他好像对于数学学习又有信心了。不久以后学校里就有一次考试，我把那些考试范围内首选的出题对象交给他的时候，对他说:“你这次准备考多少分,”“可以考个90分吧～”他回答道，但脸上的表情却好像在说:“要是真能这样就好了～”我笑了笑，威胁道:“你这次要是考不过那个分数，就别再来见我了～”当时那个学生的数学成绩在整个高中期间一直都是60来分，所以我们不太有信心，但是嘴上还是只往好处说。当时我不知道出于何种考虑，对自己教的学生总是采用“考试成绩预告制”。如果没能取得自己预定好的目标分数，他们就要受到“可怕”的惩罚，如果取得了目标分数，就要买些吃的东西带给我。考试过后，又到了他来学习的那一天了。我当时心里有些担心，考试出什么题是由学校老师决定的。他来了以后不会告诉我说因为我押的题没有出，所以这次成绩更差了吧。结果，这个学生推开门走了进来，手里提着满满一袋子面包。也不知道是学校的老师可怜那么多对数学丧失信心的学生还是怎么着，这次考试只出了一些必修类型的基本题目。而他说这些都是他已经做过多次的题目，所以再做起来也就没什么难的了。最终那个学生在那次考试中超过了90分，在他的高中数学史上算是最高的分数了。实际上，在高难度的课程里，不太可能出什么难题。这次考试就像我平常总是强调的那样，“简单的内容出难题，难的内容出简单的题”。之后，那个学生的父母对我说:“最近这个孩子就只知道学数学了～”听到他这样满怀热情学习数学，我心里十分高兴。理所当然地，在下一次的考试中，他还是考了个高分。 2.必修类型题是什么, 应该做些什么题呢, “就像一直做的那样，把每一个单元的题目都从头到尾做一遍就可以了吗,”不可以～如果这样做的话，是不能指望有什么好的效果的。学习的时候应该以重要的题目为中心、根据自己的水平确定好合适的量。虽然在数学里学习的东西会根据大家所选择的教材不同而有所差异，但大致不过就是下面这些。 (1)基本“例题” (2)“必修类型题” (3)“类型题”(跟在必修题之后的题目) (4)简单的“练习” 这四类题目中最重要的就是“必修类型题”了。 我们在“题目解答”和后面要介绍的“表格式整理”中，需要通过集中的复习和检查来学习的题目就是“必修类型题”。这儿所说的必修类型题指的就是那些解题法能够使核心概念得到有力表现的、具有代表性的题目，即考试中常常出现的题目。这会与第2阶段中学过的骨架题略微有些重复，但必修类型题指的是那些在考试中出现的概率比较高的题目，比起骨架题来题目数更多，也稍微难一点儿。幸运的是，很多辅导书中已经把必修类型题区分好放在那儿了，大家几乎不必为到底选择哪些题目苦恼了。某些辅导书会把一些让人觉得“这哪里是什么必修类型题啊”之类的题目包含在必修类型题范围之内，大致都是一些难度过高或者需要特殊解题法的题目。但只要在每个单元把筛选过程多做几遍，就能自然而然地把这些题目挑出来了。所以，用辅导书挑选必修类型题要比用教科书简单得多，因为教科书是以骨架题而不是必修类型题为主整理出来的。 集中学习必修类型题重要吗, 比起其他题目来，我们在“解答题目”的阶段应该在必修类型题上面花费最多的时间和精力。其他的题目可以做一遍就算过去了，但必修类型题应该通过复习、检查的过程来集中学习。 为什么集中学习必修类型题很重要呢, 第一个理由就是考试题目的出题倾向。 从出题人的立场来看，是不能出太多难题的。因为如果那样做的话，大部分的学生恐怕连50分都过不了。因此，如果把考试题目根据难度和重要性(在单元中所占的重要性)分为上、中、下来看的话，难度为中、下程度而重要性偏上的情况是最多的。难度为中、重要性也为中的情况从出题概率上来说要比前面的少得多。我在教授学生的过程中曾经无数次地为学生预测过考试题目，有时候给出30道题目，就能有将近80%的命中率，这就是因为都是以此为基准的。学习的时候不按照难度和重要性把题目的类型或概念加以区分，而是对所有的概念和题目都等同视之，就好比为根本不住的房子供暖一样，纯粹只是浪费燃料而已。以这样的方式去学习只会越学越糟糕。正如我一直强调的，学习时间有限，而要学习的内容却很多，所以把题目的水平和量调节好是很有必要的。 第二个理由就是为了在考试中得到更好的分数。 假设总共有10道考试题目，根据难度将其分类如下: 根据上图把三个层次的学生正确解答上面题目的概率用图表表示如下: No. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 总分 A组0.9 0.9 0.9 0.9 0.65 0.65 0.65 0.65 0.4 0.4 7 B组0.95 0.95 0.95 0.95 0.8 0.8 0.8 0.8 0.6 0.6 8.2 C组1 1 1 1 0.95 0.95 0.95 0.95 0.85 0.85 9.5 正确解答率为100%的时候记为“1”，0%的时候记为“0”，为60%的话记为“0.6”。看 着这个图表，你认为中游水平的学生(A、B组)应该主要把精力投在哪儿呢,如果不仔细想的话，我们或许就会认为，比起上游水平的学生(C组)来，在第9、10题上正确解答率太低是中游水平的学生的最大问题所在，所以可能就会觉得应该对难题进行集中学习。 但真正重要的是从第1题到第8题之间的题目。如果中游水平的学生(B组)对于第1题至第8题之间的题目能够达到上游水平学生的正确率，得分会怎样呢,能够得9分，即，如果满分是100分，就能得90分。这是一个可以令勉强能得80来分的学生稳得90分的行之有效的妙法。 方法很简单，就是要从应该多做第9题、第10题这类水平题目的诱惑中摆脱出来，然后把这些节省下来的时间集中投入到第1题至第8题这类水平的题目上。把学习一道难题所耗费的时间用来学习3~4道简单的题目是更为有利的。这清楚地表明了，集中精力在何种难度的题目上对于平时的学习和考前准备来说有多么的重要。 到底应该筛选出多少必修类型题, 如果要筛选必修类型题，常常每个单元都没有一个固定的数目。有些单元比较多，而有些单元可能又非常少。以辅导书中列出来的为准是比较适当的。由于教科书在学校的考试中极为重要，所以跟着学校课程学习是很有必要的。 高中辅导书的一个小单元里属于必修类型题的大致会有10道左右，即使把题目难度较高的类型包括在内，也以不超过15道为佳。有时候会有5道以下的情况，但由于在学校的考试或其他考试中出题总是每个单元占有一定的比例，所以一个单元的必修类型题既不可选择过少，也不可选择过多。由于初中的概念比较简单，单元总数比较少，所以有时候一个概念可能会带有很多题目类型，但仔细观察一下就会发现，题目在形式上的差别并没有多大。例如，在运算方式为主解题的单元中，既能这样算又能那样算，以此来创造出多种题目。因为初中课程的单元总数并不多，所以辅导书在一个小单元中会把20道左右的题目作为必修类型题来加以介绍，偶尔也会出现只有10道以下题目类型的单元。总之，即使初中的题目类型数较多，但由于大多都是一些彼此间密切相关的题目，学起来还是要比高中课程相对简单一些。如果一个小单元大致有20道左右的话，半个学期的量也就是60~80道左右，只需把这些准确掌握了，就能得90分以上。其实，大家要学习的量并不是那么大。 3.必修类型题该这样来解 在“题目解答”的过程中，重要的一点就是要做那些适合自己能力的题目，要勇于忽略掉那些对自己水平来说过难的题目。做一道难题通常会花掉解答三四道简单题目的时间，而学习的时间是有限的，如果大部分时间都花费在做难题上，那进度就会慢如蜗牛，没多久就会因为厌倦而放弃。 不过，那也不是说难题一点儿都不要做。那只是说，如果大家觉得有些题目超出必修类型题水平，比如，那些需要一定解题技巧和能力的应用题或者那些标示为“高难度”的题目，就应该略过去。即使不做这些题，把它们跳过去也没有什么大问题。几乎没有哪本辅导书会把必须掌握的重要题目列在“练习”之中。大部分的辅导书都会把“练习”中基本的部分和高难度的部分区别开来，大家在这一阶段需要学习的东西就是基本的部分。 有些学生可能会说:“不行～要是把‘练习’就那样放过去了，以后哪有时间再去做,还不如现在干脆先把它做了再往下进行～” 但如此一来，进度的推进就会很吃力，脑子就很容易会立即糊涂起来。应该把做那些题目的时间用在必修类型题的复习、检查和表格式整理上，这才是使学习效果最大化的捷径。 该怎样学习, 在前面的第2阶段里，大家已经学过把骨架题筛选出来学习的方法，所以对某个单元中 哪些才是重要的题目应该大致有一个了解，现在只要在其“骨架”上再添加点“血肉”就可以了。在“题目解答”的阶段中要做的事情就是把必修类型题挑选出来，对其水平之下的题目进行集中的学习。由于在第2阶段中已经做过与概念、公式的说明一起出现的“例题”了，所以这次可以把这些略过去。只是，即使有些必修类型题已经在第2阶段的骨架题中学习过了，最好也还是在这儿再学习一次。 必修类型题顾名思义，是在考试中出现概率较高的题目，所以准确地掌握这些题目是非常重要的。只是做到能解答出来还远远不够，应该能够把那道题目所包含的独特解题法与其他题目的解题法毫无混淆地加以区分和背诵下来，而且，还必须要有一个检查的过程。因为惟有如此，才能无论在何时何地遇到这个题目都能解答出来。 “类型题”和简单的“练习”都是为了复习“必修类型题”，或者通过把“必修类型题”加以变形来训练对新的题目的适应能力而给出的。因此，如果在“练习”中出现了需要新的解题法的题目，或者较为奇特的题目的话，也没有必要紧张，忽略它们即可。“啊～原来还有这样的题目啊～”“还可以这样出题的呀～”在做“练习”的时候，只需要有这样的印象就可以了。 在第3阶段的“题目解答”过程中最重要的事情就是把必修类型题挑选出来加以学习，而在学习挑选出来的题目时能最大程度地提升其效果的方法则非表格式整理莫属。如果有人觉得做到表格式整理那一阶段较难的话(特别是初中生有可能会觉得表格式整理是一种负担)，请按照下面的方法去做。 把必修类型题挑选出来之后(使用已经标示出来的辅导书也同样可以)，正如在第2阶段所做的那样，通过进行两次复习、检查的方式来对那些东西进行学习。大部分学生在数学方面失败的原因就是没有对重要的题目类型进行集中的复习、检查。即使没有进行表格式整理，只要做到了这一步，也可以取得较为可观的效果。但那些要进入表格式整理这一阶段的人就没有必要再去进行复习、检查了。由于进行复习、检查在表格式整理的过程中还会再做，所以在解答题目的阶段中只需要把必修类型题水平以下的题目(前面提到的)挑选出来，在理解的同时只通过一次检查实实在在解答出来就行了。 应该注意的是，偶尔会有些学生不以整理(不管是不是表格式整理)或者进行复习、检查的方式去学习，而只是倾向于在做完“练习”后直接做“高难度的习题集”，大有把题目做遍的气势。但如果以这种方式去学习的话，失败的几率是非常高的。因为他们在头脑中连必修类型题都还没理清楚，所以消化不了高难度的题目。这样去学习的话，学的越多，学过的内容就越容易混淆，不管怎么学都不会有什么起色，最终反而不利。这在比起初中来题目更多更复杂的高中阶段尤为严重。比起投入的时间来，收获却显得如此微不足道。如果大家真的想跻身于上游生行列的话，在题目解答的过程中还应该同时运用“表格式整理学习法”。由于表格式整理能够取得比大家所付出的努力更大的效果，所以我希望大家尽可能地做到这一步。 4.数学，我一个人也能行喽～ 上次那个摆脱下游生行列的SK离开我这儿大约一年之后，他的母亲把已经升入高一的MC介绍给了我。由于学习努力，MC的数学成绩在初中的时候基本接近于上游水平，但进入高中之后，他在学习的过程中发现不会的东西越来越多，感觉数学学习非常困难。如果继续这样下去，恐怕他就只能完全放弃高中的数学了，于是，便找我来教他。MC是一个按时完成作业，给他讲解东西的时候也会认真听讲的学生，但不知道什么原因，水平始终不见长进。尤其有一个最大的问题就是，新一个单元结束之后，前一个单元的东西就会忘得一干二 净。而当时给他讲解的时候，他理解得相当不错，类似的题目也能解答出来…… 经过多次试验和观察之后，我发现了他的问题症结所在:前面学过的东西在经过一段时间之后和后面学习的内容混淆在了一起，所以题目的解答方法总是记不起来。如果一直用这种方式教下去，上游生的梦想恐怕就要破灭了。初中时曾经得过90分的他，在期中考试中勉强只考了70来分。 于是，我决定改变对他的教学方法。 首先把进度快速进行完一遍(跳过辅导书的“练习”)，然后回过头来通过再一次的复习，利用整理必修类型题的表格，让他集中地练习背诵题目的特征。在考前复习的时候，也把已经学习过的必修类型题按照标题加以区分，把解题法整理出来之后让他反复地学习。到考试之前，实际上我心里还是有些不安，有好几次都嘱咐他务必在考试之前再进行一遍复习和检查。也许是由于这一原因吧，在第一学期期末考试中，他考了将近90分，但那时我心里觉得也就是运气不错而已。但考试结束之后没有多久，惊人的变化便在我的眼前发生了。在一个新单元结束之后，他再也不会把前面的单元中学习过的题目混淆了。特别是，他在并没有进行多少次复习的情况下，自己就能在学习的过程中发现差异，练就了一双善于区分的眼睛。刚开始的时候我还感觉有些奇怪，但经过数次测试之后我发现，所有我给他出的题目他几乎都能轻而易举地做出来。至少他能把以前学习过的必修类型题都解答出来了。 “现在就算让我自己学我也能学好。” 他的自信心也流露了出来。之后，由于MC的父母在经济上的负担，以及刚从大学毕业的姐姐开始指导他的学习等原因，我们的师徒关系就到此结束了。 5.为什么要进行“表格式学习”, 我在整个初中和高中时代都常常听到别人说我是数学尖子生。可在高中的时候，虽然还是有人说我数学棒，数学辅导书我甚至能学习5遍，但到了考试的时候，一拿到试卷，我还是会紧张得脊背上冷汗直流。不过我在学校里的平时成绩还算是不错的，毕竟出题范围比较窄，还可以“临时抱佛脚”应付过去。但因为我当时并没有在头脑中把高中数学理清楚，而有些模拟考试却是在整个范围内出题，所以，我就总是怀着忐忑不安的心情去考试。有时候，偶尔有道题卡住了，我就会丧失自信，慌慌张张考完试，换来一个惨不忍睹的分数。虽然我很喜欢数学，但却从来没有感到数学容易过。解了上千道题目，它们的特征你都能一一记住吗,如果遇到经过了少许变化的题目，你都能很容易地想起最合适的解题方法吗,大量做题，就能把这些问题都解决吗,题海战术式的学习方法是绝无胜算可言的～这些方法都已经通过大量学生的失败得到了证明，但不幸的是，用这种方法来学习的学生依然大有人在。为什么,因为不知道其他的方法～那只要瞄准必修类型题集中进行学习就可以了吗,同学们中肯定也有人会说:“我也是以必修类型题为中心来学习的啊。” 我们利用数学辅导书或者教科书来做题的时候，学着学着就会在中间遇到一些重要的题目类型。这边新单元中做上5个左右重要类型题目的话，那边前面做过的题目就无暇顾及了。继而，只要这样过几个单元，前面学的东西留在记忆中的影像就已经是隐隐约约的了。大部分的辅导书都会对这类必修类型题加以强调，大家虽然把这些东西学完了，但在其他的地方再次遇到与此类似的题目时却不会解答，或者搞不清楚到底应该在什么情况下应用什么解题方法，因为这样而彷徨无策的情况屡见不鲜。一句话，脑子里面已经乱成了一团浆糊。通过复习、检查的方式来学习的话，这些问题是可以部分得到解决的。可是，且不提那么多种类型的题目难以高效率地记住，即便是记住了，却也未必能培养出对何种解题方法应如何应用的判断能力。 只把必修类型题挑选出来学习还是不够的～ 为了解决这一问题，就应该对必修类型题加以整理。有谚语道:“珍珠要穿起来才能成为珍宝。”珍珠只有被穿成项链，戴在人们身上之后才能真正发挥它的价值。同理，比起分别学习一个又一个的题目来，按照某种体系(解题法、不同点和类似点、连贯性、判断标准等)把它们加以整理之后再去学习的话，背诵起来就会容易得多了。这样，遇到题目的时候，再从脑子里把它搬出来就会得心应手了。这就好比拿着方位图去一个从没有去过的地方一样。这个方位图就是这儿一再强调的表格。 为什么整理得一目了然很重要, 第一，能培养出善于区分题目的火眼金睛。 因为表格式学习法是把题目和题目之间的不同点、题目所独有的特征、题目的解题方法等和题目形式放在一起来背诵的。这样一来，在看到题目的时候，立即就会反应出“这道题该用这种解题方法喽”，解答起来也就得心应手了。还有，这就像熟人即使许久没见，一见面也能很容易地辨认出来一样，学过之后很长时间再次遇到那道题目也还是能很容易就想起解题方法来。 第二，把一个单元中的重要题目都集中到一起，那个单元的主干就一目了然了。 “啊～这个单元的核心概念原来是和这些题目有关呀～”由此便能得知重要题目和不重要的题目都有哪些。即，由于能够区分开一个单元之中出现的主干题目和分支题目，在头脑中进行系统化的整理也就简单起来了，进而就能想到，“原来这个题目和那个题目才是这个单元中应该切实掌握的啊～”“原来这个解题方法是这个单元的重点～” 第三，学习完一道题目转入下一道题目之时，由于刚做的题目还历历在目(因为都整理在一张纸上了)，便能发现前面的题目和现在做的题目之间的关系。“原来这道题和前面做的那道题是在这一点上有所不同～”“哦～原来这一点一样啊～”这样去解其他题目，虽然表面上只是在做一道题，实际上却是把这道题和此前学过的所有题目之间的连贯性、不同点、解题法的特征都一起掌握了。这样去学习的话，遇到一道题时就能准确而毫无混淆地记起应用哪一种解法。 第四，因为作为主干的必修类型题已经切实整理好了，所以继续学习一些分支题目也绝不会产生混淆。即，继续学习新的题目类型或者高难度的题目类型时，能够毫无混淆地把自己知道的东西系统地向外扩展。只要主干挺拔而结实，分支再多也不会喧宾夺主。 这种表格应该制作多少个, 表格制作得越多越好。每个单元都制作一个用来学习当然很好，但有些单元制作起来却比较困难。这种情况下，用后面即将介绍的简单表格方式去学习就可以了。 无论如何，比起不制作表格来，这无疑是更为有效的。 好了～现在大家一起去制作表格的工厂逛逛吧。 6.怎样制作表格, 制作起来比较简单。 从形式最简单的表格，到形式虽复杂却有效的表格和形式多样的表格，我都会向大家介绍。大家只需要选择其中任何一种自己最擅长的方式去制作就可以了。 下面来制作一个“简单的表格”。 首先把必修类型题筛选出来之后，把它们一目了然地写在一张白纸上面。还要给各道题目都加上一个小标题。下面的例子就是以因式分解为对象制作而成的一个简单表格。 这是最简单形式的表格。把题目一目了然地整理在一起来学习，就是这种表格式学习法的核心所在。比想像的要简单,但它的效果却大得超乎大家的想像。在制作表格时一定要添加上小标题。在添加小标题的时候，由于它与各个单元的核心内容相关，所以只要起一个与内容有关的简短且容易记忆的标题即可。 因式分解表格式整理 1. 适用公式 1-1 x2+6xy+9y2 1-2 x2-4y2 1-3 2x2+3xy-2y2 1-4 x3-3x2+9x+27 2. 提取公因式 (例)x2-2x-ax+2a 3. 未知数为两个以上时 3-1 次数不同时:a3-ba2-a-b 3-2 次数相同时:x3+x2z+xz2-y3-y2z-yz2 3-3 常数项较长时:x2+2xy+x+y2+y-2 4. 置换 (例)2(x-1)2+3(x-1)(x+2)+(x+2)2 5. 利用因式整理 (例)2x3-3x2+3x-1 虽然大部分的辅导书中都会有这样的小标题附加在必修类型题上，但我们总是会忽视那些东西，其实它们是非常重要的。举例来说，在集合的题目中，如果有一道题要求利用“文氏集合图”来求集合中元素的个数的话，就可以加上“利用文氏集合图求元素个数”的小标题。 这样再见到那道题目的时候，很容易就能想起来是属于在集合中求元素个数(题目的特征或类别)的小单元，应该利用“文氏集合图”(解题法)来解答等。所以要加上小标题来背诵。 在解题的过程中，那道题目的特征是什么，应该采用什么样的解题方法等也都能够一起学习。 这就是我们在只把题目做出来就算了的时候常常忽略的部分。 在上面的简单表格示例中，“适用公式”和“提取公因式”都是在快速学习骨架题时就已经学过了的内容，所以这儿只需简略地整理一下就可以了。即，自己已经充分掌握的基本题目就不要再详细地写出来了，只要把最具代表性的写出来就足够了。 好了～现在去看一下更为有效的表格式整理吧。 “有效的表格”还会添加如下的内容，而且还会把它们整理得条理清楚、便于背诵。只要能把这种表格制作出来，我们的学习自会如虎添翼。 应该包含的内容依次有: 第一，简要整理出来的解题法。一道题所使用的解题法实际上比那道题目本身更为重要。如果根据题目的形式把解题法准确地掌握了，不管题目的模样如何变化，都很容易就能记起它的解题法来。 第二，这道题目的特征是什么，适用什么公式或者概念等都要加以说明。这样一来，公式和概念记住了，题目及其解题法也记住了，那个单元的核心内容也就可以说被一网打尽地学习了一遍。 第三，区分题目和题目的判断标准。 什么情况下用这种解题法来解答，什么情况下用那种解题法来解答，要把它的判断标准标示出来。这尤其适合于必修题目太多，或者只通过单纯的解题法难以区分的情况。 虽然这种情况在初中的单元里也有所体现，不过还是在高中的单元中出现得比较多。 再来看一个以因式分解为对象的表格。 公式是否适用,有无公因式, ? 最高次项的系数是1时:常数项的?(约数)代入 ? 最高次项的系数不是1时:常数项的?(约数)/a代入 表格中黑色字体的部分(公式是否适用,有无公因式,未知数为两个以上，置换，上述情况皆不符合～因式整理/分组分解)就是这个表格的骨架。这个表格把遇到某一题目时我们的思维过程表现了出来。 首先，看一下公式是否适用，不行的话，再看一下有没有什么公因式可以提取出来。 再不然就看一下是不是我知道的题目类型，如果还不是的话，就可以判断这是一道利用因式整理来解答的题目。 这就是有效的表格式整理方法。在这种形式的表格中，大家必须要背诵的就是除了题目本身之外的所有内容。 觉得制作这个东西有些难度, 那么，对简单的表格和有效的表格来一个折中如何, 简单的表格+解题法 把有效的表格中出现的解题法写进简单表格上的各个题目中去即可。虽然多做的只有这些，但是它的效果却远大于简单的表格。 倒也不必把所有的单元都做得像这儿介绍的有效的表格那么面面俱到，有些单元这样制作起来会很吃力。 可以自己简单地制作一下，也可以在别人的帮助下制作。 因为在今后反复学习的时候，等大家对那个单元和题目掌握了更多的东西，表格自然也就能制作得更完美一些。以后再一点一点地加以修改，能表明自己的实力在不断地增长，所以这也算是一份颇值得品味的乐趣。 因此，现在大家制作出来的东西就算是登不了大雅之堂也没有关系，因为重要的是学习，而不是图画画得多好…… 但如果有些题目成为漏网之鱼该怎么办, 那都是些高难度的题目或者几乎对于所有的人来说都是第一次遇到的题目，所以没有必要担心。 因为连我都做错，那么除了几个数学尖子生之外，大部分的人都会做错的。大部分的题目还是出自这个表格形式之中，所以只要把它们做对了，就足够让你得到上游水平的分数了。 该怎样活用表格，该用什么方法来学习, 如果把制作表格这一过程与前面的“题目解答”同时进行的话，效果会更佳。虽然只单独做这一件事也没什么不可以的，但在解题的过程中做的话，表格制作起来会更加容易，而表格的内容也很有可能更加充实一些。 大致而言，当一个单元的“题目解答”过程结束的时候，只要带着整理的心情去制作就是了。 如果是一个简单的表格，在学习的过程中要多思考，才会有好的效果。因为并没有什么其他说明，所以要在做一道题的时候思考一下它和其他题目的相似点和不同点，只有努力把解题法中的重要部分记录或者背诵下来，并进行一些复习、检查的练习才能取得更好的效果。如果只是毫无头绪地做题，充其量也就比一一解答辅导书中所有的题目效果稍微好一点点罢了。 如果是一个有效的表格，最好的方法则是把表格从头到尾背诵下来。也就是说，除了题目本身之外的所有东西都必须要背诵。题目是没有必要准确背诵下来的，之所以写下来，只不过是为了让眼睛熟悉适用那种解题法的代表性题目的形式罢了。 还有，在进行下一单元的学习或者做习题集时，如果把制成的表格放在旁边做参考，对于重要题目的区分和背诵会大有裨益。另外，在考前复习时它也会派上大用场。 应该学到什么程度为止, 对于简单的表格，能记起题目的小标题和题目的形式，再看到这道题时能够准确地解答出来就可以了。对于有效的表格，应该一直练习到能够在不看表格的情况下把表格的内容原封不动地挪到一张白纸上才行。 因此，和第2阶段一样，准确地学习这个表格是很重要的，最好能够按照下面所说的去做。 在下面的图表中，对于检查学习的部分，没有必要非得在第2单元结束之后就开始对第1单元的复习。如果对自己的记忆力有信心的话，也可以等再过几个单元之后对前面的几个单元进行一次性的检查学习。只是，如果过了太长时间之后再进行的话，要学的东西或许会变得相对较多(忘记的东西较多)。 所以，学习速度较快的人可以在过几个单元之后再进行一次性的复习，而速度较慢的人则要尽可能采用每过一两个单元就把前面的单元复习一遍的方式。 无论怎样，在进行第二、第三遍检查的时候，与其把所有的题目再做一遍，还不如检查第一遍时标记的做错过的题目，或者自认为还不够熟练的题目。以此为中心来展开学习，可以大幅度减少学习的时间。 最后，进度推进半个学期或一个学期过后，要通过整体的检查学习来进行收尾。这一点可以放在考前复习的时间里做，也可以另外安排其他的时间去做。 如果用这种方法学习到这种程度的话，想不进入上游生的行列恐怕也难了。 7.灵活运用多种表格 表格式整理法并没有某种固定的形式。只要把各个单元的重要题目整理得一目了然，制作得能让学习变得更加方便即可。因此，表格的形式可能因个人的喜好而表现出多种多样的风格。 特别是，如果制作表格时能把它与那个单元的特征联系起来，则可以更加容易和便利地把那个单元整理出来。所以，制作出多种形式的表格是可能的。 但是，尽管表格的形式会有所不同，可基本上需要填写的内容却是相似的。题目的小标题是必须要填写的，尽可能把题目的特征、解题法、题目之间的关系、解题时的判断标准之类的内容也一起写进去更好。 首先，介绍一下为那些对数学学习有一定程度自信的学生准备的“扩展题目类型的表格”。 如果看一下表格中出现的东西就可以发现，它比之前的有效的表格还要多包含二种题目类型(复二次式和对称式)。 这些题目比起其他的题目来重要性要差一些，所以是考试中出现概率较低的题目。在这儿我利用星号把较重要的题目和不太重要的题目区别开来了。 此外，只有把一项拆开之后才能出现可以提取的公因式，展开之后经过重新整理才能出现可置换的东西等，也可以把这些种类的题目包含在里面。 还可以把虽然不是因式分解题，但需要利用乘法公式的变形来解答的题目也一起包含在这个表格中来进行记忆。 总之，只要把大的骨架切实掌握了，这些细枝末节的情况都是很容易就能记住的。 下面表格中出现的内容都是以学校所学的程度就可以解答出来的，由于它在出题范围狭窄的稍微有些难度的考试中会作为考题出现，所以掌握一下还是有好处的。 即使只整理到这种程度，想遇到超出这一范围的题目就已经不是一件容易的事情了。这就是“扩展题目类型的表格”最大的优势所在。 下一个是“图画式表格”。“图画式表格”主要适用于利用图画来解答函数或图形题目的情况，制作的时候要用图画来表示它的特征，然后在上面把各个题目类型的解题法、判断标准等都写下来。虽然本书中的示范表格把解题法和判断标准等省略了，但最好还是能添加上。 用眼睛看画出来的图画记忆起来大致要比背诵文字简单一些。如果有这个能力的话，利用“图画式表格”还是要比用一般表格更为有效的。 第三就是像机构图一样，按重要的情况分类之后再分别 公式是否适用, 有无公因式, ? 最高次项的系数是1时:常数项的?(约数)代入 ? 最高次项的系数不是1时:常数项的?(约数)/a代入 往下进行细致划分的一种“树形图式表格”。这种表格也和前面的一样，是一种根据题目的形式及其解题法来区分的便于背诵的表格。 首先根据题目的特征(未知数的个数和次数的关系)对各种情况加以区分，即使是相同特征的题目也要再根据具体的情况(根据能否进行因式分解，或者能否消去二次项等)加以分类。 这种表格主要适合于在数和方程式、不等式、概率和统计等单元中进行灵活的运用。 “鸡尾酒式表格”是考虑到把各种状况和条件组合为考试题目的情况而制成的。它对常见的大量题目到底应归属于哪儿进行观察，然后把它们分到各自合适的地方。这样制作好之后，原本看起来没什么关系的题目在解题法上的差异点和重要之处等，很容易就能整理得一览无余。虽然还有可能出现更多形式不同的题目，但只要以考试中最常见的题目为中心来限制表格上题目的数量，“鸡尾酒表格”制作起来也不会那么复杂。 除此之外，大家还可以制作出多种多样的表格来。 知道应该包括什么内容，考虑到如何整理能使它看起来和记起来都更容易(一个单元所具有的特征也要包含在内)，大家可以任意制作。 多样的表格式整理的例子 图画式表格 树形图式表格 二元一次方程组 一次式，2个未知数的方程式??? (例)3x+2y-3=0, x-y-1=0 三元一次方程组 一次式，3个未知数的方程式??? (1)一般型 (例)3x+2y-z=12, x+y+z=6, x-2y-z=-2 (2)循环型:x, y, z轮流出现。 解题法:把三个式子一次性相加后再分别减去各式。 (例)2x+y+z=16, x+2y+z=9, x+y+2z=3 二元二次方程组 二次式，两个未知数的方程式 (1)一次式+二次式:把一次式代入二次式来求解。??? (例)2x+y=4, x2-y2=-3 (2)二次式+二次式: ? 因式分解:如果两式中的一式能进行因式分解，先进行因式分解，之后求两组一次+二次方程组的解。?? (例)x2+xy-2y2=0, x2-5xy+2y2=16 ? 消去二次项:如果能消去二次项，将两式自然加 减。??? (例)3y2+2x+5y=4, 2y2-5x+3y=9 ? 消去常数项:若无法消去二次项则把常数项消掉，拿因式分解后所得的两个方程式之一来求方程组的解。? (例)2x2+xy-20y2=16, x2+xy-6y2=12 (3)特殊形式 ? 交换型:x, y互换的形式。利用两式的和与差求解。 (例)x2-2xy-10x=0, y2+2xy-10y=0 ? 对称型:即使x, y互换方程式仍然相同。 (例)x+y=6, x2+y2=20 鸡尾酒式表格 ? 基本的方程式活用类型:时间—距离—速度题，盐水 题等 (例)A、B两人围着荷塘转圈，如果互相朝相反的方向走的话6分钟碰一次头，如果互相朝同一方向走的话26分钟碰一次头。A的速度比B快，已知A的速度为100米/分钟，求B的速度。 解法一:列一个方程式求解。 ? ?利用临时变量的类型:物品价格题，事件中的事件，工作的量和速度题等 (例)要使某件物品在以优惠30%的价格出售之后还想获得成本6%的收益。这时，求这件物品的定价应该在成本之上增加百分之几, 解法二:确定一个临时变量来运用，或者设成本为1来求解。 ? 利用两个变量列出方程组来求解的类型 (例)某个学校今年共有学生1 080名。与去年相比，男生增加了20%，女生减少了20%，整体来说增加了8%，分别求出今年男、女生的人数。 ? 变量比方程式还多的不定方程式类型 (例)高考中，数学题目共有30道，共40分。每个题目所占的分数有1分、1.8分、2分三级。要求各分数级的题目都不得少于一个，请问1分的题目最少应该有几个, 制作形式复杂多样的表格有很多好处，特别是在题目的类型难以区分，内容繁杂的时候更为有用。这样制作表格的话，一个单元中必须掌握的东西可以说就全学习过了。 可是，如果只是为了制作好表格而投入太多的时间和精力是没有多大意义的。因为对于大家来说，重要的不是制作表格，而是要去学习它。 有效的表格只是一件帮助你越学越简单的好工具。虽然没有工具会比较困难，但也只有技艺不佳的工匠才会拿工具的好坏做挡箭牌。 第三阶段小结 ?1 做辅导书中的基本题、必修题、类型题、简单的练习等。这时要以必修类型题为中心进行学习，但最好不要做太难的题目，对于这些题目略过去即可。 ?2 在“题目解答”的阶段中，一个单元结束时要通过制作表格来进行整理。一定要包含 题目和那个题目的小标题，如果能另外添加上诸如解题法、题目的特征、适用何种解题法的判断标准、题目之间的差异点等的话，效果会更好。题目的数量，高中生应以每个单元大致不超过15道题为宜，初中生以20道题以下为宜。 ?3 除了题目本身之外，表格中的所有其他内容都要能背诵。题目则要练习到切实做会了为止。 ?4 为了使学习更有效率，可以制作形式复杂的表格、扩展题目类型数量的表格、考虑到各单元特征的图画式表格、树形图式表格、鸡尾酒式表格等多种形式的表格，但不要在表格的制作上花费太多的时间。 ?5 一个单元过后，一定要抽出时间来对前面所学过的表格进行复习、检查。 ?6 整体进度(一学期或一学年)结束之后要对前面学过的东西进行再次检查。 小习惯系列3:题目再怎么做也还是不会 考试的时候，往往是题目做着做着就卡住了。虽然有些是因为学过太长时间已经忘记了，但有些分明是刚学没多久，却怎么也想不起来了，可自己明明进行了复习。 这种情况，大致有两个原因。 第一，没有牢牢地记住解题的步骤。 题目做着做着就突然想不起来下面该怎么做了。不按照解题的步骤来，而只是我行我素地去做，最终却吃尽了苦头，找不到头绪，只得放弃了事。这就好比放着旁边宽阔的大道不走，偏偏要去清理障碍，走一条坎坷的小路，最终还是不能到达自己的目的地一样。像这样，有些学生往往在做到半路的时候经过推测就贸然把答案写出来，或者自己随意去更改解题的方法，这对于提高水平是一个很大的障碍。特别是在从小学升入初中或者从初中升入高中的时候，这种情况常常出现。教科书或辅导书中出现的解题步骤都整理得非常好，如果能按照正确的解题步骤做题才说明你已经具备了准确解题的实力。因此，应该尽可能地努力按照教材中出现的解题法来解题，一字不差地背诵。当然，解题并非只有一种方法，但大致来说，教科书或辅导书中出现的一般都是最有效的解题法，所以最好还是努力跟着它们的思路走。 如果总是忘记解题的步骤，可以采用把解题步骤写下来，边记忆解题顺序边解题的方法。 例如，初中的一次方程式解题步骤如下: (1)如果系数中有小数或者分数的话，则两边同时乘以一个合适的数，使其成为整数。 (2)打开括号。 (3)包含未知数x的项在左边，其余的项移至右边。 (4)整理等式两边，使其符合ax=b的形式。 (5)两边同时除以x的系数a。 像这样整理出来(也可以写在旁边)，每次做题的时候就按照这个步骤来解题，还要努力有意识地在解题的过程中把它记住。这样解答几道题之后，步骤也就自然而然地记住了。 第二，没有把一道题解答两遍。 我在教学生的时候常常强调的一句话就是:“如果一道题不解答两遍就等于没做过。” 我自己在学数学的时候也一直是努力遵守这条规则的，结果是，大部分题目再一次解答 时基本就不会犯错了。虽然有很多学生往往以那样会花费更多的时间为由而不好好遵守这一规则，但这一习惯的的确确是非常重要的。解答两遍的含义绝不是单纯把步骤写两遍。所谓解答两遍是指自己在做题的时候，不要参考解题步骤，而要完全靠自己的力量从头到尾把它做出来。这样的话，只解答一遍，也能学会解题的步骤。但之所以要解答两遍，目的在于检查。 特别是下面这几种情况一定要解答两遍。 第一，只是用眼睛解答过的题目。 第二，因为在解答过程中卡住了，参考了答案才完成的题目。 第三，哪怕是一点点，也是求助于别人之后才解答出来的题目。 一般说来，用眼睛来解题，或者在解题过程中参考了辅导书中的解题步骤的话，当时好像已经会做了，结果到考试的时候再遇到那道题时却往往一点儿都想不起来，或者在当时获得提示的那个地方该用什么解题方法怎么也想不起来了，苦恼一番之后不得不放弃了事，这种情况数不胜数。如果不想遭受这种痛苦的话，一定要在没有任何帮助的情况下只靠自己的力量再把题目做一遍。能完全靠自己的力量把数学题从头到尾解答出来，这才算是自己真正的实力。不管是老师还是其他人帮你解答出来的题目都不能算是你自己做出来的，所以应该认为还没有做过它。有时候，在补习班或者家教课上，必修类型题总是由老师做给你看，而把“练习”当做作业布置下来。这是极其错误的方法，真正重要的题目由别人来做，不做都可以的题目却由自己来做～虽然已经有人把必修题目做给你看了，但一定要靠自己的力量把那道题再解答一遍，还要练习到能毫无差错地解答出来为止～ 遵不遵守这条规则由大家自己把握。遵守这条规则的人或许会显得有些迟钝，时间花费当然会比别人多，但学习的天平却往往会偏向那样的人一侧，不是吗,一定会有回报的。 开始的时候几乎不存在的毫厘之差日后也可以发展成为千里之距。 因此，靠自己的力量从头到尾把题目解答出来，按照教材中的解题步骤一字不差地进行记忆，这就是让已做过的题目在考试中再次遇到时不至于成为拦路虎的秘诀所在。 小习惯系列4:一定要验算 150 在考完试后对答案的时候，常常让我们张皇失措的一种情况就是，在解题的时候明明觉得做对了的题目却因为一些令人啼笑皆非的失误做错了。而更令人哭笑不得的是很多学生明知道这种情况，却还是忽视验算。他们当然有自己的借口: “解题的时间实在是太紧张了。” “哪怕只是一道题，多做难题也比做简单题好啊。难题占的分数高啊～” “验算花的时间太多了～” 解题的时间过于紧张诚然是一个问题，但有一个事实一定要搞清楚:即使解题的时间再紧张，比起多做对一道难题来，验算一下自己认为做对了的四五道简单题目在提高分数这一点上恐怕更为有利。自己抱着一道难题苦苦挣扎，把时间都花在了这上面，结果后来一看，却因为自己以为做对了的简单题目错了两道而导致分数下降，那可真没有比这更傻的事了。 举个例子看一下。 假设在考试的题目中简单的题目是3分，难题是5分。大家想一想，假如四五道简单的题目中有一道在第一次做的时候因为没有计算好而做错了，这时如果对这些题目进行验算的 话，是可以保证挣到这3分的。但假设这些时间不是用来验算简单的题目，而是用来做一道难题。或许有的学生会因勇于挑战难题受到周围人的“表扬”，但大致而言，考虑到难题挑战成功的几率一般不会超过30%，保证能够挣得的分数也就只有1.5分而已。如果简单的题目是4分，难题是5分的话，连考虑都不用考虑，验算两三道简单的题目要有利得多。 我们再更冷静更有逻辑地思考一下的话，当然是验算简单的题目有利于获得较高的分数。但奇怪的是，我们常常沉溺于能够把难题做出来的幻想之中，不验算已经做出来的题目就直接去挑战下一道题目了。 验算是一种可以最大程度提高考试分数的方法。如果这样能够让成绩真正反映出自己的实力来，为什么还不验算呢, 该如何验算,有些人误以为验算就是把题目从头到尾再做一遍。而实际上，验算是用解题时间的1/10~1/5来确认自己解题的过程或答案是否正确的一个方法。如果因为验算而花费大量时间的话，还不如干脆不验算的好(当然，题目都做完之后还剩下很多时间的情况例外)。 验算的方法可以分为利用“解题过程”验算和利用“答案”验算两种。 来看一下一次方程式的解题过程。 (例)x+x-= (解)首先把它转变成Ax=B的形式 (+)x=+ ……? x==3 ……? x=3 ……? x= ……? 首先看一下利用答案进行验算的方法。 把求得的答案代入所给题目的方程式中去。 把?的结果代入方程式?或者所给方程式x+ x-=中去。 由于在运算过程中有可能会写错，所以应该把求得的答案直接代入题目所给的方程式中去，但如果你能确保略经整理后的方程式没有错误的话，代入整理后的方程式中去也是可以的。 像上面的例子这种情况，就可以代入到方程式?中去。如果代入到?或?中去的话，验算的意义也就基本上没了，所以不提倡这样做。 下面再来看一下利用解题过程进行验算的方法。 这种情况适用于求得的答案难以代入所给的方程式中，或者求得的答案代入之后出现的结果是错误的时候。这时应该对???，???，???的过程中的各个阶段是否有什么错误进行验算。很多时候都是通过那种方式发现自己失误之处的。但偶尔有些题目并没有给出方程式来，需要你自己去列一个方程式。像这种情况，在列方程式的过程中就有可能会出错，所以这时有必要先对列方程式的过程进行验算。 那么，到底应该先验算什么，后验算什么呢,对于考虑到各种情况的验算过程，根据下 面的顺序图进行验算就可以了。为了能这样进行验算，就应该注意要把解题过程写清楚，不要省略掉太多的解题步骤。 学习好的学生之中，有些人想把解题和验算合在一起来完成。拿我来说，就在验算熟练到一定程度之后像这样把解题和验算合在一起去做题，省下的时间就用在集中攻克难题上。 这样做可以稍微节省一些时间。如果要回过头来验算题目的话，就要花一些时间去回忆当初是怎么做的，而像上面这样却不需要花费这部分时间。 方法如下: 即，第一遍解题的时候，先推出方程式?来，然后对从给出的方程式到?的过程进行快速的验算。当然只需要验算重要的部分即可，在这儿，集中看一下移项到右侧的就可以了。验算并不是全部重新做一次。 推出方程式?后，再检查一下在从?到?的推算过程中有没有失误的地方。在这儿只需要看一下左侧就可以了。 以这种方式通过边解题边验算求得一个答案之后，把它代入给出的方程式中去进行验算。这样一来，只通过解答一遍就能完美地把解题和验算一次性完成，省下的时间就可以专门用来攻克难题了。 解题过程越复杂，题目越难，验算也就越重要。即便都是些简单的题目，如果验算一下，也总是可以发现一两道做错的题目。 确保不白丢分的秘诀就是验算。 “没有经过验算你就不能认为答对了。” 那些总因为不验算而犯错的学生，把这条准则贴到课桌上吧～ 花絮3:数学是要自己来做的 在教学过程中会发现，有些学生只学习你教过的那些内容，而有些学生却还想学习教过的内容之外的东西。我曾经教过一些以“英才教育”为目的选拔出来的学生。以英语、数学等科目为中心，对他们进行单独培训。这些学生包括二名男生，一名女生。但我教了一段时间后就发现，在这几名学生中，这名女生学习尤为出色。同样的内容，同样的授课，但惟独那名女生比其他人考得好很多。听说，应该是男生更有数学头脑才对…… 所以，有一天我就问那名女生。“你是不是还在学别的什么呀,”话音刚落，她就像早就等在那里一样，递给我一本习题集:“嗯～我还自己在家里学这本习题集呢。”她回答道。 现在学习的内容已经够多了，到底她用什么时间学别的，我对此很是纳闷。 原来，那名女生如果在考试中没有男生考得好，回家就会又哭又闹地折腾一番。即使考得和他们差不多，回到家中也会把一些老师没要求的题目认真地做一遍。这名女生当然会比别人学习好一些了。学生们可能会误以为跟着好老师学习的话，水平就会更上一层楼。虽然这或许多少有一点点帮助，但实力真正提高的时候正是你抱着想学的心态自己去钻研的时候～ 我一直努力不去把鱼直接拿给学生们吃，而是教给他们钓鱼的方法。所以当我觉得把该教的东西全都教给他们时，就会果断地放手，不是大包大揽地把题目解给他们看，而是指导他们尽量自己去解题，并为他们指出所犯的错误。 我一直认为，给他们指出什么是正确的方向，什么是重要的、什么是不太重要的，多个单元之间的相互关系如何，其共同的解题法都有哪些等这一类学生自己难以想到的部分才是我的职责所在。其余的所有东西都应该由学生自己来学习。 因为我认为，数学是一门学习者在解题过程中培养自己实力的科目。 学习好的学生的共同之处在于:自力更生的态度～还想学习教过内容之外的东西～学过的部分要比别人学得好的“野心”～ 这些都是学习好的学生共同拥有的心态。 虽然学习的秘诀和优秀的老师也是重要的，但请大家务必记住一个事实，那就是，从你决意自己主动学习的那一瞬间起，你的实力就会开始增长了。 第4阶段 赶快克服你的弱点吧――弱点追踪学习法 很多学生在学习数学的时候，常常会说这样的话:“我函数不好～”“我对图形没什么信心～”“只要出现概率统计题，我就傻眼了～”“我为什么每次都是因为看错了题目而做错题呢,” 我经常看到很多学生由于克服不了自己的弱点而逐渐失去了对数学的兴趣。不管是谁都有自己的弱点。它可能是某个单元，也可能是某种题目类型。记得我在读高中的时候就觉得统计部分非常难。在那一部分我充其量不过相当于一个中游生的水平，所以一旦在考试中出现这部分的题目，我就会哀叹一声:“唉，又碰上了～”象征性地做一番努力之后就只能用硬币决定了。 如果任由这些弱点发展下去，最终会成为严重的问题。 如果前面的单元存在着漏洞，在后面的单元中还会再次出现，结果越积越多，成为一个大窟窿。小学的时候忽视的一个弱点，到了初、高中的时候就变为一只使数学变得艰难无比的拦路虎。而且，不管是在平时考试，还是模拟考试，抑或是高考中，由于这一弱点的存在，至少也要比别人多错几道题。 “只要把这一点解决了，数学应该就会容易很多……”这样想的学生如果真的能把这个弱点解决掉，就可以对数学再增加一份自信。即使新学的内容比较难，但由于自己有过克服掉弱点的经历，所以就不会轻言放弃，而会勇敢地去迎接挑战。 在这一阶段中，我要向大家介绍弥补数学弱点的方法。如果能用这种方法克服掉自己的弱点，大家也就又实实在在地向上游生行列迈进了一步。 我在这儿要介绍的解决弱点的方法并不难，只是需要绝不退缩一步的勇气罢了。抱着种种借口在克服弱点的路上踌躇不前的你啊～趁如今窟窿还小，赶紧补上吧～在窟窿大到把自己整个人都填进去也于事无补之前，追踪弱点并把它消除掉就是第四条学习秘诀。 1.“就业班”的传奇英雄 这是我高中三年级的时候发生的一件事。 有这样一名学生，他来自就业班(为就业而学习的班)，而不是升学班(为上大学而学习的班)。但是，他在升入高三之后突然在高考模拟考试中考了将近300分的高分(满分320分)， 令全校为之轰动。之后他也一直能考300分左右，当时这真是一团难解之谜。 于是，无数的传闻就出来了:这个学生作弊了，他与复印试卷的小姐有某种关系，他拥有只要看到题目答案就会自动在脑子里出现的超能力等等，不一而足。我们当时还很是羡慕地感叹:“啊～要是答案能这样直接蹦出来该多好啊,～”但大部分的人(包括学生和老师)都很有把握地断言，到真正高考的时候，他肯定考不了那么好。 结果，那个学生在高考中好像考了285分。虽然分数稍微下来了一点儿，但最终还是证明了那位令全校瞩目的学生的实力是实实在在的。在学期中间的时候，有位老师问他是怎么学习的。他回答说:“如果做错了题，就把那道题彻底学习一遍，直到确保下次再也不会做错为止。” 很多学生对此不以为然，谁还不是那么学习的…… 但事后想来，我们的确并没有那样学习过。一般都是把做错的题目再做一遍之后就在那儿扼腕叹息:“唉～可惜啊，我怎么就没想到这一点呢。”但并没有把错误的根源挖掘出来，到那道题所属的单元中把相关的基本概念和题目彻底地学习一遍。 考试中出现的题目个数再多，归根结底，一个单元里能出的题目毕竟有限。那个轰动全校的学生的学习方法，是一种在学习的过程中对自己的弱点进行彻底的追踪和消灭的学习方法。 我在教那些声称自己“惟独在某一方面比较薄弱”的学生时，就会在把这则故事讲给他们听的同时，强调为了攻克这一薄弱的部分，需要有直面自己的弱点并与之对决的勇气。虽然对这一弱点视而不见也不会造成太大的成绩滑坡，但如果能克服掉的话，就可以在上游生的行列中高枕无忧了。 下面这件事发生在我教过的一名高二年级的男生身上。 这名男生其他科目成绩都处于上游生的水平，惟独在数学的高考模拟考试中一点儿都使不上劲儿。我首先对这名学生是否真正掌握了基本内容进行测试，得出的结论就是，这名学生的问题在于他对以新的面目出现的题目缺乏适应能力。然后我就选定了一本把过去高考的真题按照单元整理出来的辅导书，集中地教他。对于做错的题目，就回到那个单元的内容再去学习一番，以这种方式往下推进。等数学课程基本结束的时候，那个学生的高考模拟考试分数已经与其他科目成绩一样，达到了超过130分(满分150分)的水平。他认识到了教科书中的题目与高考中的题目要求不同，要解决像高考题目那样应用性较强的题目，就必须掌握相应的解题规则和入手方法。在难题的解答中，怎样自然地应用已知的内容，在这一点上他不断地积累经验，同时对自己在学习过程中一直忽视的弱点进行了弥补。通过这两点，他逐渐克服了对陌生题目的害怕心理。 “老师～现在高考模拟考试好像也没那么难了～”我记得，此后上课的时间变得轻松而愉快。 在数学上没有弱点的学生几乎是不存在的。任由弱点发展下去的学生却大有人在。 像前面介绍的同学们一样，我们需要有一种在承认自己弱点的同时能以积极的态度去应对和克服它的良好心态，不放任自己的弱点～ 这是只有勇敢者才能做出的选择。 2.弱点，该怎样追根究底, 对弱点进行追踪是什么意思, 它指的是，不要只是单纯地以“啊～原来我这些没做好，下次一定要好好做”的态度来应对自己的弱点，而应该把成为弱点的部分找出来，然后追根究底。 都有哪些弱点呢, 可以分为以下几类: (1)对某个单元没有信心 (2)某种类型的题目经常做错 (3)对某个主题没有信心 (4)考试或学习中有坏习惯 这些都可以是自己的弱点，在这儿我对把这四种弱点追根究底的方法做一介绍。 弱点，该怎样追根究底, 第一，要克服在某个单元上的弱点，把那个单元整理出来也就轻而易举地解决了。 按照前面介绍的表格式整理法，整理那个单元的时候，把过难的题目先搁在一边，以必修类型为中心把题目整理得一目了然。同时添加小标题。接下来，不断反复，直到把那些题目完全记在脑子中为止，并去理解其解题过程。这时应该注意的是，如果重要的类型只学习一遍就算过去了，之后立即把目光转向其他的大量题目上，就没什么效果了。因此，对于那些必修类型题目，应尽量少选一些，进行多次的复习、检查，要达到不管什么时候再做都一定能做得出来的程度为止。对你来说成为弱点的单元一般也是大部分学生身上的弱点，因此，出题就会相对较为简单，大家最好只把注意力集中在重要的题目上。有的时候，也会由于题目之间过于相似而难以区分。这时只要通过表格式方法进行整理，把题目之间的不同点、特征、解题法、公式等一次性学完，就可以彻底克服弱点。 例如，如果对概率、统计没有自信的话，就可以把其中代表性的题目筛选出来，集中地学习那些题目的基本公式、概念、解题法等，直到可以在头脑中鲜明地浮现出来为止。正如大家所知道的，这种方法是在前面的阶段中一直强调的方法。至于这种整理的方法到底有多么了不起的效果，只要把你认为是弱点的一两个单元挑出来试一下就会知道了。如果自己觉得确实已经把曾经是弱点的单元的基础夯实了，就可以稍微扩大一下题目的范围，并增加一下题目的难度了。在自己觉得确实已经充分掌握了之后再渐渐地向外扩展，正是这种方法的核心所在。再重复强调一遍，对于那些存在弱点的单元，如果贪心不足地想把单元中的所有题目都一次做完的话，只会感觉到越做越混淆，越做越难。 第二，要克服在某种类型题目上的弱点，就要对考试中做错题目的根源一追到底，找出来后解决掉。 考试的时候，很多题目看上去好像是陌生的，但实际上大部分都是做过一遍的题目，或者与之类似的题目。而即便这样还是做错了，就是因为没有以去除弱点的方式来学习的缘故。 即使题目的内容有所不同，但如果上一次你在利用概率的加法定理解答的题目中做错了，这次又在类似的题目中做错了的话，就是因为没有以克服弱点的方式来学习。 因此，考完试之后，要想一下做错的题目当初不会做或者没有想起来的理由到底是什么，如果自己有哪部分在理解或解答上没有信心，就要找到内容的出处，不仅与那道题直接相关的内容，就连它周围的东西都要毫无遗漏地学习一遍。 有可能的话，还可以考虑一下那道题与相关的题目之间有何不同，具有什么样的特征等，边整理边加以练习，这样一来，就再也不会发生做错那道题或与其类似的题目的事情了。而且这还能够成为一个把自己原来不知道的很多题目之间的连贯性和特征等了解一番的好机会。这样的学习方法在准备高考之类的大型考试时也是非常有效的。 第三，克服在某一主题上的弱点的方法。 在某一主题上的弱点，对于初中生来说就是碰到以新面目出现的题目经常不会解答，对于高中生来说就是经常在最大值、最小值题目上没有自信。为了解决这一问题，就要像前面说过的克服某一单元弱点的方法一样去做整理工作。只不过在这儿更应该侧重的是整理这一过程，而不是对题目进行复习、检查的解题过程。 像这样对某一主题缺乏自信的时候，只要把与这个主题相关的内容通过前面所说的表格式整理法学习一番的话，原本看起来很复杂的题目就干净利索地整理在自己的头脑之中了。 举个例子来看一下。 初中生的话，在方程式的应用方面出现最多的题目也就是有限的那么几个类型。即，速度—距离—时间题、钟表题、盐水题、工作或自来水题。把这些分类之后仔细观察一下其特征，然后把其中的代表性题目集中练习一番。不管什么题都一直做到能做对时为止。然后就可以一点一点地去做类型相同的其他题目或者截然不同的题目了。 高中生的话，举一个最大值、最小值题目的例子来看一下。把高中数学中出现的最大值、最小值题目整理如下: 一个未知数的最大值、最小值 1. 一个未知数的最大值、最小值 (1)二次函数的最大值、最小值(???) 2. 两个未知数以上的最大值、最小值 (2)A2+B2+„+C2+„+(常数)形式的最大值、最小值(??) 3. 在有限定条件的方程式的情况下的最大值、最小值 (1)有限定条件的方程式的二次函数的最大值、最小值(???) (2)有限定条件的方程式的两个未知数的最大值、最小值(??) (3)利用判别方程式解题(?) (4)有实数条件的不等式中的最大值、最小值 (5)不等式的域和最大值、最小值(??) 4. 特殊形式的最大值、最小值 (1)算术、几何平均(???) (2)柯西不等式 与给出的表格所反映的一样，它包括了很多类型的题目。除此之外还有很多类型的最大值、最小值题目，但大部分都是些知道这一解法后就能做出来的类型。如果考试不是太难的话，只要掌握表格中那些星号为两个以上的部分，就完全可以应付得了。 虽然这个表格中并没有包括解题法、例题等，但是大家在自己制作的时候，如果能把这些东西添加上的话，就算得上是一个完整的表格了。如果能把这些整理出来的内容在头脑中按照解题法的特征加以区分，分门别类地记住的话，可以说对于90%以上的高中最大值、最小值题目都已经成竹在胸了。 由于整理好的题目类型已经真正掌握了，所以如果考试中出现了与其相关的题目的话， 当然就能解答出来;即使出的题在上面并没有整理出来也没有关系，因为对自己和其他人来说这都是一道陌生的题目，所以最终也不会对自己造成损失。 第四，如果某种习惯成了自己的弱点的话，为了使其得到纠正，就要努力有意识地或者使用特定的方法来改掉这一习惯。 在学习数学的时候，能成为弱点的习惯实在是太多了，下面拿其中的性急和麻痹大意来举例看一下。如果观察一下上游生中能维持满分的学生就可以发现，他们大部分都是沉着冷静的人。因此，或是仔细把自己做的题目验算一下，或是把题目的说明部分读两遍，或是把自己的解题过程整理得干净利落，总而言之，哪怕性子急的人只是在做题的时候变得沉着冷静、认真一些也是很有必要的。数学是一门哪怕只偏差了万分之一，也肯定会答错的科目，必须要准确。而准确性源自于沉着冷静，因此，平常做题的时候就有必要给自己一些自我暗示。 “我一定要把题目的说明部分读上两遍。” “我要经常一边验算一边写解题过程。” “我做题的时候一定要慢慢来。” “我做题一定要做到确认所有的题目都做对了为止。” 此类的自我叮嘱对于纠正这种习惯来说是最好的方法了。 我教过的学生中，有人总是因为不验算而犯错误，我对此大加斥责，从此之后这样的错误就会少很多。有时候，或许这种刺激学生的方法也可以成为令他们改掉坏习惯的契机。不管怎样，关键还要靠学生自己。如果自己下定决心要改正的话，没有什么习惯是改正不了的。上面所说的四种克服弱点的学习方法就是弱点追踪式学习法。 何时应该用弱点追踪的方式来学习, 它并没有什么特定的过程或阶段，考试的时候或者平时学习的时候，不管何时都可以使用这种方法。只是，如果基础实在太差，它就成了自己的弱点，这时以“对基础追根究底的方式”来学习就可以了。 大体来说，结束了前面介绍的第1、第2阶段后，从进入第3阶段时开始，就可以在任何必要的时候通过这种消除弱点的方法来进行学习了。 应该注意的是，在平时推进进度的过程中，很多时候明知道某一部分是自己的弱点，但还是因为进度的原因就那样忽略过去了。这是一种学习了也不会有什么大进展的做法。如果不得不先那样做的话，一定要做一个标记，或者，最好另外抽一些时间来把它解决掉。如果不这么做，任由它过去的话，以后就会连自己的弱点到底是什么都搞不清楚了，最终还是会因为那个弱点而使自己在数学学习中被缚住手脚。 如果克服了成为自己弱点的单元或主题，克服了成为自己弱点的习惯，最后再克服掉成为自己弱点的题目类型，对于大家来说，初、高中的数学将不再可怕。 第四阶段小结 弱点追踪式学习不是一个单独的阶段，而是与其他的学习过程同时进行的。弱点追踪法可以整理如下: ?1 找出自己的弱点是什么。在学习的过程中，对于每次认识到的弱点，要以本书中介 绍的解决方法来积极地应对。 ?2 如果某一主题或单元成为弱点的话，就只把必修类型题筛选出来，复习、检查之后通过表格式整理法来学习。 ?3 如果某种题目类型成为弱点的话，就把那种题目所在单元中的概念和相关题目全都复习一遍。 ? 4 如果某种习惯成为自己弱点的话，为了使其得以纠正，就要努力有意识地或者找出某种特定的方法，并在平时多加训练。 小习惯系列5:图与方程式，1+1=3 如果把图(坐标图、曲线图或图形)从数学中刨去的话，就好比一只老虎没有了牙。图于数学就是如此的不可或缺。把这些图握在手中，就像在门锁死的时候有用来开门的各种工具一样。 一般来说，上游生都比较善于用图来解题，相反，中游水平的学生一般来说用图解题的能力就相对较弱，也有些学生一碰到以图的形式出现的题目就先害怕了。原本是为了让学习更容易一些而画的图，反而成了使学习变得更难的元凶～ 熟悉用图解题的方式，可以使你逐渐接近上游生的阵营。 我想在这儿说明一下习惯用图解题为什么如此重要。关于与图相关题目的解题法的详细内容，如果要在这本书中展开的话，实在是太多了，所以我在这里只好把它省略掉。 用图来学习好处多多。 首先就是便于理解。 实际发生的事情，听别人描述了半天，还不如自己去现场亲眼看一下更能对情况有一个清晰的认识。还有，对某种复杂的状况进行说明时，如果利用一下图画会更便于理解。数学也是一样，图画对于我们的准确理解会有很大的帮助。 使用图来表现的话，可以得到更多的提示，图可以提供更多的信息。画图来表现一条直线的方程式，这条直线的斜率如何，经过第几象限，和其他直线是什么关系，和x、y轴是如何相交的等等，大量的信息会蕴涵其中，这在做题的时候是非常有用的。如果在解题的过程中突然做不下去了，还可以利用其他提示来把题目解出来。 而且，用图来解题便于验算。虽然有时候用所给方程式验算也会很容易，但图更容易使你一眼就看出自己算出来的结果是否正确。虽然求出了答案，但如果其斜率反了的话，用方程式验算不能立即查出错误，看一眼图很容易就能明白错在哪里了。 除此之外，用图来解题很多时候都会快得多。用方程式来解要写半页的题目，用图来解只需要1/4页就可以做出来了。大致来说，越是复杂的题目这种差距越大。 下面举个一次函数的例子来说明一下。 2x+3y-6=0 看上面的方程式和图，通过方程式来看斜率到底多大，与y轴的截距是多少，很难立刻知道(学习好的人通过默算也能知道)。但如果看一下图的话，一眼就能知道斜率是，与y轴的截距是2，与x轴的截距是3。 下面假设还有另外一个方程式。 2x+3y-6=0 x-2y+2=0 单单看左侧的两个方程式，无法知道两个方程式之间是一种什么关系，而看图的话却很容易就能获得大量的信息。 首先它们交于一点。即，它们的斜率是互不相同的，它们的交点位于第一象限。因此，这样就能够明明白白地区分开每个方程式的特征是什么样的。 如果要求两条直线与x轴围成的三角形的面积，仅通过左侧的两个方程式把题目解出来有一定的难度，而利用右侧的图形的话，到底该怎样做就很明了了。 只要准确地知道两条直线的交点就可以了。 用图来解题并不是说方程式就不再重要了。在上面的题目里，求交点的时候，虽然也可以使用准确画直线的方法，但如果要更准确一些的话，还是要解两个方程式。 图和方程式的关系像针和线一样难以分割，无法放弃一个只选择另一个。这就像两栖动物一样，两方面都要擅长才行。 所以，即使平时只用方程式也能把题目解出来，也还是要练习用图来解题，因为通过这种方式可以培养自己无坚不摧的解题能力。 方程式和图两个都掌握的话，我们就不再只是得到1+1=2的效果，至少也能获得1+1=3以上的效果。 验算功能和解题时间的缩减正是那种效果。 用方程式解出来的结果，画一下图很容易就能得到验证，用眼睛一看，立刻就能知道哪儿出错了。还有一些题目，只要把图画出来，看一下就能立刻做出来。用方程式求解可能需要花费5分钟的题目，用图来求解也许连1分钟都花不到。 逃避用图来解题也算是一个弱点。 如果我遇到不善于用图解题的学生的话，就总是故意让他们多画图。觉得水可怕就不去水边的话，永远也学不会游泳。即便呛了很多水，也要经常去水边，只有这样的人才能学会游泳。 与这个弱点正面对决吧～ 即使花的时间稍微多一些，也要把能够画出来的图全都画出来～ 大家一定会碰到很多对“图”感激不尽的时候的。 花絮4:90分与100分是不同的 90分与100分虽然看上去十分接近，但事实上却差得非常远。有些学生有时候考90分，有时候考100分，所以也就会觉得两者之间没什么大的差别。但是，一直维持100分不是一件容易的事情。虽然在我们看来，水平也就相差一张纸那么薄，可实际上，要想一直维持100分，就要付出两倍于总考90分的学生的努力。 举例来说，在一门需要背诵的考试科目中，以1~10页讲义为考试范围。 考90分的学生学习那10页需要用多少时间,因为内容并不是很多，所以2~3个小时就足够了。可是，考100分的学生却要花费5个小时左右。为了把这10页中的内容一字不差地记下来，才需要花那么多时间。背诵一页就要花去30分钟左右，那还是经过很多练习之后的结果。而且还要在白纸上把背诵的东西写出来以确认是否已准确记忆，直到再也没有任何错误的时候才会停止。 在考试中，背诵得准确和不准确的差别就会产生5~10分的差异。即使背诵得稍微有些模糊，做错的几率也会有50%，如果一道题共有5个选项，对于两三项不是那么有把握，就只能去蒙。分数也就因此上下浮动。当然有些科目并不是只通过背诵就能应付得了的，但总而言之，为了学习的完美就要付出多得多的时间。高层建筑越往上施工就越难。在数学中不管出什么题都能考100分，这样的学生至少另外又学习了一些高难度的习题集。如果每次出题都比较简单的话，得100分或许还不难，但如果不是那样，一直维持100分就是一件十分艰难的事情。特别是在出题很难的考试中，这两者之间的差异也就凸现出来了。一直维持100分的学生也许可以考90来分，而一直在90分左右徘徊的那些学生却降到了70来分。 为了考试中会出现的一两道难题而再去做一本新的习题集，正是这种艰难造就了100分和90分的差异。 一直维持100分与考一次100分也有着很大的不同，只有那些知道其中差异的学生才有资格屹立群生之巅。 第5阶段 真的到开动脑筋的时候了――习题集学习法 读这本书的上游生可以分成两类。 有些学生认为:“表格式整理就够用了～其余的时间应该用来学习其他的科目～”而另外一些学生则认为:“我不能就此满足～我一定要达到可以蔑视初、高中数学的程度～” 前面的学生是考虑到只需达到那种程度就足以在平时的考试中得90分以上了，所以觉得数学可以到此为止，应该去学其他的科目了。如果是这种情况，他们就应选择一些大部分题目为平时考试难度的不太难的习题集，去对所学的内容进行检查。只要做到这一步，在平时考试中或者高考出题较简单时，他们就足以保持在上游生的行列了。 而选择后者的学生，也许有着至少也要把数学变成自己的一张王牌的念头。也许是为了让数学成为自己的强项，或是希望数学能比别人多考5~10分，不然就是期望在高考中数学能得一个高分，还有可能是为了准备数学竞赛。 总之，如果希望在初、高中的数学中，不管出什么题都不至于张皇失措，都要能解得出来的话，就很有必要来挑战这一阶段了。而这有一个前提条件，即必须是在通过表格式整理把必修类型题都完美地掌握之后，才能转向高难度的习题集。如果没有这个前提，就很有可能浪费时间。 有些学生看了前面介绍的所有方法之后，或许会说:“哦～这种方法我曾经用过……” 但，盲人摸象般只获得一知半解基本是没什么用处的。要想开出正确的药方来，就一定要对药的用法和效果有一个准确的掌握。 “为什么最好使用这种学习方法,” “以我的水平来看，什么方法最适合我呢,” “要在什么时候、怎么学、学多少才行呢,” 对于这些疑问，带着答案去学习，与在还不知道答案的情况下去学习，是有着巨大的差异的。比起那些只知道闷着头往前奔的人，切实知晓了通往巅峰的路和到达方法的人到达巅峰的可能性要大得多。 现在只剩下一点儿了。巅峰已开始隐约进入视野。目标就在前方，绝不能在这里停下前进的脚步～让我们把胜利的旗帜插在巅峰之上，痛痛快快大笑一场。 失败与成功，两个故事 很早以前，我曾经在某个城市里教过一些被作为尖子选拔出来的学生。虽然他们只不过是初中二年级，但却是那个城市名列前10名的优秀学生。当时的英才班学的是高中课程的内容。虽然我也觉得有些过于勉强了，但还是选定了一本连放在高中来学都会觉得较难的辅导书去教他们。他们都是在上课时间注意力高度集中的学生，我以为他们一定能够跟得上。 在10个单元左右的学习过程中，我给他们考了几次试。怎么会这样,～大部分人连60分都没过。但我还是用那本书继续教了下去。到那时为止，我对学生应该用什么样的学习方法还没有一个明晰的答案，而且对于学生家长们要求用那本书来教他们的孩子也难拂其意。 搬家之后，我就不再教那个班了，事后想来，真是追悔莫及。那些学生肯定会觉得数学是一门很难的科目，而且恐怕会在数学上面投入大量的时间。从那以后，即使遇到考全校第一的学生，我也绝对不会从过难的辅导书入手了。除了那些以在数学竞赛中获奖为目标的学生，我都会用一本难度适中的辅导书不紧不慢塌塌实实地来教学生。等学生们通过表格式整理把这些内容几乎100%切实掌握了的时候，再转向高难度的习题集。 前面提到过的跟我学习的两组初三年级的上游生中，其中一名男生进了高中之后继续跟着我学习，他的名字叫MS。升入高中之前，他已经把高一的内容学习了两遍—包括表格式整理，所以我得以在他高一的时候拿高难度的习题集来教他。由于MS对于高中一年级的数学必修题目已经将近100%掌握了，所以即使是高难度的习题集，也有70%左右的题目是他轻而易举就能解答出来的。而且在每一个单元中，也许是由于难题之间也存在连贯性，而他的解题能力又大有提高的缘故吧，当做完一本习题集后转而做另一本习题集时，他几乎可以做到完全无误。 我还按主题分门别类地把辅导书中与学校课程内容有关的东西整理出来教给他，当教材几乎都学完之际，他的实力真的已经是不可同日而语了。 有一天，有一道题目连我看起来都觉得相当难，他反而轻易地解答了出来，于是我就问他:“喂～这道题你是怎么做出来的,”“嗯,就是想到了呗。”他回答道。他解题的速度也快得到了令人瞠目结舌的地步。到了后来，在高一课程中，他似乎已经达到比我还会解题的水平了。虽然有时候MS也会因为听说自己的朋友中已经有人在学习高二、高三的数学课程而感到有些不安，但我还是一直坚持“简单的单元往深处学，难的单元往浅处学”的原则。因为如果简单的单元出简单的题目的话，大家就都能做对了，所以一定会出得难一些;而如果较难的单元再出难题的话，就会有太多的学生得一个大鸭蛋，所以一定会出得简单一些。 我并没有急于教他高二、高三年级的课程，而是集中把高一数学中高难度的题目全都教给了他。在这个课程结束之后，才把高二、高三的课程简单易懂地教给了他(学生们一般都会觉得高二、高三数学很难)。一个学期还没有结束，MS就已经在学校中获得了一个“数学天才”的称号，不管是谁都承认在本年级中一提到数学自然非MS莫属。 我一直教他到高二暑假。MS在高二年级第一学期伊始全校学生不分年级的数学竞赛中，击败许多高三年级的学生夺得了全校第二名。“还是MS厉害啊～”学校里的称赞声不绝于耳。我并没有为了数学竞赛而另外教他什么东西，但只凭此前我所培养的他的能力也足够让他在高中数学中拿个名次了。有一天我在路上走的时候恰好碰上MS陪父母出来散步，那时他已经读高三了。 他的父母很高兴地说:“都是托了老师您的福，这个孩子才能对数学这一科这么有自信。” 他的父母还说在学校里他的数学让别人望尘莫及，直到口干舌燥还一个劲儿地向我表示感谢。 真的是只靠我的指导才那样的吗,我觉得这还是因为MS一直以来喜欢数学、学习努力，同时也是因为他的父母对我始终信赖，把孩子托付给我，因此共同创造出这么完美的结果。 无论如何，他的父母的一番话使我感到，自己不只是单纯为了挣钱而教学生的一片苦心得到了家长的理解，让我真正体会到教学的乐趣。 就像上面的例子一样，在数学学习中重要的是要一步一个台阶地向上攀登。如果无视这一点，不管怎么学实力都不会有多少长进。数学是一门逻辑性很强的学科，如今已经到了放弃题海战术式的非逻辑性学习方法的时候了。 2.该用什么样的习题集，该怎样去解题, 如果大家把前面的三个阶段都扎实地完成了，那么也就充分具备了挑战第5阶段的实力(第4阶段是与其他阶段同时进行的，所以什么时候都能做)。 该选择什么样的习题集, 所谓高难度的习题集，是指那种需要掌握较难的概念才能解答出来或者与解题能力有关的题目很多的习题集。虽然偶尔有些习题集纯粹就是由这样的题目组成的，但如果一本习题集包括30%以上的这种题目，就可以叫做高难度的习题集。只由过难的题目组成的习题集反而对学习没有什么好处，因为至少得有60%~70%会做，才能既起到复习必修题目的效果，又能产生自信心。如果选定的习题集有50%左右都做不出来的话，很容易令人厌倦、失去兴趣，因此，最好选择一本简单题与难题适度混合的辅导书。还有，最好也能包括一些高考题。因为这样一来，不需要另外学习其他的东西，就能在解答该书高考题的过程中对高考出题的倾向和水平有一个了解。由于高考题中有很多富于创意的题目，所以对于解题能力的培养是非常有益的。而且高考题也常常会在学校的考试中出现，对平时的考试也能起到一个准备的作用。 做几本习题集比较合适, 只做一本的话，效果会比较小。因为做过的难题，在别的地方再遇上的时候常常还是不一定能做对，而且这样一来，也就没有机会对那个单元里难题之中的重要题目是什么进行观察了。最好选定两本左右水平差不多的习题集，如果有自信的话再多选择一本也是可以的。虽然大家可能觉得会多花不少时间，但实际上只需要三个月左右就能结束两本习题集中一学年的进度，就像MS那样。因为在做高难度的习题集时，基本例题之类的简单题目是没有必要去做的，只要去做那些难度在必修题以上的题目就可以了。而且在高难度题目之中，大部分解答起来花费的时间多少都会长一些，并且没有必要去背诵，所以也不用通过复习、检查的方式去学习，只需要好好地学一遍即可。如果只完成一个学期的进度的话，一个半月的时 间已经是绰绰有余了。如果是在数学上面投入很多时间的学生的话，一个月之内就可以结束。 该用什么方式去学习, 在进度往前推进的时候，最好不要采取做完一本习题集再去做另一本习题集的方式。这样做的话，做过的难题很容易就会忘记。比起上面的方式来，最好能够在学习的时候采取“Z”字形的方式在两本习题集之间游走。一本习题集中的一个单元结束之后，再去另一本习题集中把那个单元学习一遍。这样在两本习题集之间来来回回地学习的话，很容易就能区分出难题之中的重要题目(大部分都是重复出现的题目)，而且学习会因自然而然进行的复习而获得良好的效果。把做错过的题目标示出来，等到考前复习或者完成了一个学期的进度时，再回过头来复习一次的话，大家的实力就会更上一层楼。学习这些难题的理由之一就是为了提高对陌生题目的解题能力。因此，在进行这种学习时，有效的方法就是要多思考。 “我是怎么把这道题做出来的,” “解题过程怎么会是这样的呢,” “这与必修类型题有什么不同,” “这道题的解题方法是不是和哪道题类似,” “常常出现的重要题目为什么重要,” “有没有别的解题方法呢,” 抱着此类的想法去做题的话，你就可以整理出一套自己独有的解题方法。 大致来说，在解题的时候，我们需要考虑的东西有:寻找共同的解题法、寻找在解题过程中产生的疑问的答案、试着用其他方法去解题、寻找连贯性等。带着对这些问题的思考，一边解决疑问一边学习，远比毫无思考地做题更为有效。寻找共同的解题法是指要注意在解题时同样的解题方法。在题目A中使用过的解题法在题目B中再次使用的时候，不能视而不见，而要思考一下它们之间的不同点和类似点等，并连贯地整理出来。例如，包含绝对值符号的题目都出现在方程式或函数中，因此，如果早已把包含绝对值符号题目的解题方法按各种情况区分整理好的话，在学习其他单元的时候就会有很大的帮助，至少也能让一看到包含绝对值就害怕的情况不再发生。 寻找在解题过程中产生的疑问的答案，顾名思义，就是说如果在解题的过程中遇到了无法理解的部分时，要为解决这一疑问而深思。实在无法理解解题过程时，应该努力寻求其他人的帮助，或者参考类似题目的解题法来理解这一过程。试着用其他方法去解题并不是说对所有的题目都这样做，只需要尝试几道题目就可以了。有些题目可能会有多达四五种的解题法，在学校的考试题或者高考题中，一道题有数种解题方法的情况也不在少数。 虽然辅导书中收录的一般都是标准方法，但练习一下用其他的方法去解题还是有其优点的。第一，如果在考试中遇到了不会做的题目，当一种方法行不通的时候也不至于张皇失措，还可以尝试一下其他方法。第二，通过思考辅导书中的解题法与自己的解题法之间的差别，对题目的理解就会更加深一层。第三，解数学题的技巧会有所长进。也就是说，碰到一道题目的时候，思考解题方法的能力会得到提升。虽然不能把很多题目都像这样用其他方法解答一遍，但在一个单元之中选出几道题来，以这种方式练习一下对于培养实力还是大有裨益的。寻找连贯性是指要一边思考单元之间或者题目之间的类似点或不同点，一边去解题。例如，一次方程组和两条直线之间就有着非常连贯的关系。因此，在函数中学习两条直线的关系(重合、相交、平行)时，就要与前面学习过的方程组的内容相互比较。 高难度的题目常常是由多个题目糅合在一起而成的，所以如果能思考一下它与其他单元中学过的东西或与重要的必修类型题之间的关系，学习就会富于成效。这种注重思考的数学学习法能让你从表格式整理阶段再向上提升一层。即，它能够使你具备对从来都没有做过的题目也能从容不迫地解答出来的实力。不要把这种思考式的学习法只应用在高难度的题目上，这是对于第3阶段之后学习的必修题难度以上的题目都适用的一种方法。对于其中的寻找共同解题法和连贯性，我会在后面做更加具体的介绍。 总之，如果能够以这种方式对高难度的习题集进行学习的话，在初、高中的数学中，不管遇到以何种面目出现的题目你都将具有应付自如的能力。 第五阶段小结 以下是解高难度习题集时的几条规则: ?1 如果还没有结束前3阶段，就不要去做高难度的习题集，否则付出的代价将远远大于所得的收获。 ?2 要选择两本左右高难度题目占30%~40%的习题集。 ?3 对两本习题集中的每个单元进行“Z”字形的游走式学习，并快速完成一学期的进度，但不要做基本的题目。 ?4 在学习的时候思考一下两本习题集的共同部分或者难题的特征，你会获益良多。 ?5 学习的时候一定要思考的东西有:寻找共同的解题法、寻找在解题过程中产生的疑问的答案、试着用其他方法去解题、寻找连贯性等。 小习惯系列6:学习时间相同，水平却不同的原因 我曾经教过两个属于上游生行列的学生，这两个学生的实力都是名列全校前10名的。我是从他们初中三年级开始教的，一直到放暑假为止。可是，虽然是同样的教材、同一个老师，这两个学生却有着显著的差异。一个学生的学习类型是背诵型的，作业按时完成，在指定的范围之内出题的话几乎能考100分。而另一个学生则是好问型的，平时指定范围的考试常常考不好(主要是由于懒惰的缘故)，但如果是在高难度的意料之外的范围内出题的话，反而能把题目做得很好。观察这两个学生学习的方式真是一件饶有趣味的事情。在平时的考试中，两个人基本没什么差别。即使在模拟考试中也往往有很多时候看不出什么差别来，但那基本上都是题目难度不高时出现的情况。如果题目出得很难，两个人就表现出了巨大的 差异。 好问型的学生基本上都能答对，而背诵型的学生却常常做不出一半。我留心观察了一下这两个人在数学上到底存在什么基本的差别，结果发现，最大的差别就在于他们对自己做的题是否有疑问。背诵型的学生除了老师教过的东西之外什么其他的都不学，即使做题也只是把心思用在对其内容的整理和背诵上，就算有些琐碎的疑问也是忽略过去了事。 但好问型的学生却不停地烦我。“这个和在„数和方程式?中出现的那个是不是挺相似啊,”“这个解题过程有些奇怪啊,”“这样做不行吗,”“为什么不行,” 有时候我心里想:“他要是不提这个问题就好了(连我也得认真思考一段时间才行的问 题)。”他总是不肯放过我，一个劲儿地追着问。 好问型的学生虽然只做了一道题，却自己把以前做过的所有题目和现在的这道题联系起来，不断地在头脑中整理，就像不断地建一个个坚固的堡垒一样。 那个学生升入高中的时候已经达到了可以对高中数学居高临下的水平。他的实力已经得到了认可，一提起“数学”，连那个学校的老师们都能立即想起这个学生来。 在做题的时候带着疑问去钻研，这才是推动你登攀数学巅峰的力量。 带着这样的疑问去做题，为了找到这一疑问的答案而中断正在进行的进度，再返回到自己辅导书中前面的部分去，这才是提高实力的学习方法。 以忙或只把作业做完就行为借口，对一些小疑问置之不理只知道往下推进进度，这样的人要登上数学的塔尖是很难的。 在做题的时候: “这道题是不是和在什么地方碰到的一道题很相似呢,” “这道题的解题方法是不是和其他单元的某一道题很相似,” “这个单元中这道题和其他的题目在哪一点上不同呢,” “在解题过程中，这一部分为什么突然变成这样了呢,” “不用这种方法，用前面学过的其他方法来做一下怎么样,会错吗,” “解题过程中必须要掌握的东西是什么,” 应该边寻找上面这些疑问的答案边去学习。 在学习数学的时候要带着这些疑问去学，等这些疑问一个个得到解决之后，你就会感觉到自己的实力有了显著的提高。虽然刚开始的时候或许会因为花费很多的时间而感到烦躁，但如果你按照前面所说的方法尽可能地对学习的量和水平进行调整，把省下的时间都用来努力解决这些疑问的话，你将会具备别人难以企及的数学实力。 我在读高中的时候在数学上并没有优秀到遥遥领先的地步，而且前面也提到过，那时候我并没有做过什么整理工作，所以常常是学了几遍下来头脑中也还是没有整理清楚。但我在学习的时候总是对不同于常用方法的其他解题法很感兴趣，在做题的时候经常利用其他解题法进行尝试。高三的时候我参加了学校组织的第一次数学竞赛，当时一道题就占50分，共有4道题，而我由于比别人多做对了一道(做对了两道～)考了个第一名，因为我对使用各种方法来做一些稀奇古怪的题目还是很有自信的。 碰到的题目越难，这种学习方法也就越能发挥它的威力。谁都强调“思考式数学”学习的重要性，但把它付诸实践的人却不多。如果不思考的话，数学实力就会在提高到某一程度后停滞不前。能学习到这个阶段的学生在做题的时候，不要急于把习题集做完。就像不要坐车，而是要步行着览尽沿街各处的风光一样，学习的时候最好用心对每一个题目进行思考。 思考一下其他的解题法或者回头查看前面学习过的内容并整理一下，这才是成为数学强者的捷径。 小习惯系列7:共同解题法中一定有什么东 西～ 共同解题法包含两方面的内容，一方面是指利用经常在不同单元中出现的共同的数学符号或概念的解题法，另一方面是指解题时共同使用的切入方法。所谓共同的数学内容，就是像绝对值符号那样不管在哪个单元中出现，只要掌握好其解题的原理，无论在什么地方碰到它，利用其共同的解题规则都可以进行解答。所谓共同的切入方法，就是指像根据题目的特征找到规则之后进行解答、逆向解答、用图解答这样切入题目或者解答题目的方法。 大家通过接触各种题目在不知不觉间学习了这些东西，只是根据谁先更加扎实地把这些东西学到手而在解答题目、系统地记忆方面产生了差异。即使单元变了，年级变了，这些东西也不会怎么变，而且，随着年级的升高，题目数量的增加，这些东西会变得愈发重要。题目越多、越复杂，或者越是碰到从没有见过的题目，对这些共同的解题法进行系统整理的人就越会做题。 比如看到某道题之后: “这道题有没有解题时能适用的共同的数学符号或内容,” “找到规则的话就能做出来吗,” “通过逆向整理去解题的话，会怎么样呢,” “举一个反例，这道题是不是就能解决呢,” “画一下图的话会怎样,” 如果像这样在短短不到几秒的瞬间之内，头脑中就已经先对这道题该怎样做进行了思考，之后再找出一种最恰当的解题法来切入的话，题目解出来的几率就会大幅度提高。 这个结论来自于我的经验。 我看到初、高中的数学题时，头脑中就会自动依次出现一个又一个的方法，思考该如何去解答。这并不是因为我读到了研究生的地步才产生的一种能力，纯粹是为了考虑如何才能把高中数学教好，用心去钻研题目而产生的。当然，这也是我尝试用尽各种方法来整理大量题目之后才知道的。 因此，我在教学生的时候常常提到以前用类似的方法做过的其他单元中出现的题目。如果从学生那儿传来“啊～”的感叹声，我就感觉这是实力在提高的声音。从今以后那个学生就会具备用一种解题法去解答其他单元的多道题目的能力。另外，偶尔我还会把绝对值之类的经常用到的解题法整理出来之后专门教给他们。我希望有很多学生能在初、高中的题目上至少超过我的水平，而且在我教过的学生之中还确实有过不少那样的学生。 这种共同解题法到底有多少, 实际上，我做过很多辅导书中的题目，也做过很多高考题，只要掌握了10种解题法，大部分的题目就都可以做出来了。这里面没有包括的，高中生谁都很难做出来。当然了，这10种里的每一种又可以分成多种情况。 举例来说，有绝对值符号的情况就可以分为几种:有一个的情况，有两个的情况，三个以上的情况。 总之，我要强调的是，做初、高中的数学题时共同使用的解题切入法并不是太多。大家在学习的时候，只需稍微留意和思考一下，这些东西很容易就可以找得到。初中时常用的共 同解题法有:转化为容易的形式解答、缩减未知数个数解答、寻找规则解答、用图解答、简单划分情况来解答、逆向思考解答等。大致说来，共同的解题法并不多，所以只要对几种比较熟悉的话，就能不费劲儿地解答很多题目了。高中时常用的共同解题法有:划分情况解答、降为幂数较低的形式解答、利用对称解答、利用多样的规律解答、利用绝对值解答、利用根号解答、利用证明解答、利用逆向关系解答、用图解答、利用反例解答、列出方程式解答。 把这些东西在头脑中系统地整理出来的话，不管在什么情况下遇到什么样的题目都能应付自如地解答出来。 花絮5:牢牢占据第一名宝座的故事 我曾经在几周的时间里向50名左右的初、高中生做了关于学习方法的讲座。那时大部分的学生都是关注学习的学生，所以总体来说，那次讲座师生互动得很好，课堂上很是热闹。 讲座结束之后，一名高一的学生问了我一个问题。 “老师～我现在是全校20名左右，名次怎么也上不去了。” “为什么,” “全校数我们班里学习好的人多，有一个家伙几乎每天只睡4个小时的觉，他是一个即使在课间休息时也埋头学习的书呆子，而且几乎算得上是个天才～看来我是怎么也赶不上他了。” 于是，我回答他说:“我虽然IQ只有120，但从没有因为有些人IQ有150就觉得自己不可能考第一名。即使是在我的名次排到全校第20~30名以外的时候，我也相信，只要我信守和自己的约定，任何时候我都可以考第一名。为什么,因为我已经知道可以让我考第一名的方法啊～重要的是你要相信自己，并且信守和自己的约定—在这儿就是指一定要按照自己制定的计划去做，同时还要保持自己要求的学习质量。还有，要有自信。去按照我教的方法学一下试试，如果考了第一名的话，记得送老师一个小礼物就行。” 我说服那个学生，绝对不是只有天才才能考第一名的，利用正确的学习方法去达到自己目标的人就可以考第一名。虽然这并不是一件容易的事情，但所幸的是他相信了我说的话。 从那以后，他的努力学习换来了在其后不足6个月的时间里考取全校第二名的优异成绩。而且从之后的那个学期开始一直到毕业为止，他都始终占据了全校第一名的位置。于是作为考取第一名的纪念，他送了我一个小礼物。他的一个朋友同样听过我的讲座，成绩也有了很大的提高，却最终没有达到顶尖的水平。她说:“照老师您教的那样做的话，肯定能够考第一名，但是我实在受不了那份苦。”这就是那个学生的局限所在，她把自己的目标水平定得不高。不管怎么样，她总算也考进了大学，过得还算不错。 重要的是考第一名的那个学生不但知道正确的学习方法，而且还彻底地按照那个方法去做了。考取第一名，就是要恪守自己确定的学习目标的量和质(因为也有学生马马虎虎就算过去了)。如果不恪守这些的话，即使是考了第一名，也很容易被别人超越。因此，保住第一名的位子就意味着要在和自己的战斗中取胜。这就像奥林匹克选手一定要在比赛前不间断地锻炼自己的身体，以期有最佳的状态一般—他们常说的一句话就是要战胜自己。在考前按照自己计划好的量和质做完美的准备是牢牢占据第一名宝座的方法所在。 第三部分 数学和学习习惯 1.不良的学习习惯，一定要纠正 我在教数学的过程中遇到过很多的学生，而我总是在一开始就注意观察他们的学习习惯。有时候，我用自认为有效的方法教他们，不知道为什么，他们的数学实力或成绩却没有什么提高。这种情况大部分都是他们不良的学习习惯造成的，所以我常常在刚开始教他们的时候就抱着这样的想法:“这次他们又有哪些坏习惯呢,”对他们进行留心的观察，一直到帮他们纠正过来为止，始终都在与坏习惯进行着艰苦的斗争。 为了纠正后面将要介绍的做题过慢的学生的习惯，我曾经把各个题目较快一些的解题法整理成整整一本书左右的分量。这些都是在对解题过慢的学生进行观察的一年时间里，我一直给他们指出并整理出来的更快些的解题方法，积攒起来竟有这么多。 纠正不良的习惯就是这么艰难，要花不少的时间，而且，如果被它缚住手脚是相当不利的，因为得到的结果往往要远远大于付出的代价。为了纠正不良习惯，重要的是找到问题的原因所在，有时候只要知道正确的方法就能很容易地纠正过来。无论如何，只有知道原因才能有意识地去努力，然后随时间推移慢慢地好转。没有什么习惯是无法纠正的，只不过是要多花费一些时间罢了。“我会不会也有这样的不良习惯,”问一下自己，如果真的有，就记住我所介绍的方法，努力把它纠正过来吧。数学学习自然就会一帆风顺的。 2.绝不可能成功的三种情况 数学学习绝不可能成功的三种情况有: (1)不背诵。 (2)不相信老师。 (3)讨厌学习。不是没有能力，而是讨厌学习本身。 第一，如果不去背诵就绝对无法脱离下游生行列，我在前面已经介绍过这样的例子了。对包括数学在内的大部分科目来说，背诵都是最基本的东西。大家或许会以为，进了大学或者研究生院之后可能就没有需要背诵的东西了，实际上却并非如此。不用背诵就能搞定的科目几乎是不存在的。 第二，不相信老师的学生就不会听老师的话。所以让他做作业的话，不是找各种借口推托就是勉强装个样子而已，那样的学生不管怎么教他也绝不会有什么长进。明明老师都说了这样去做水平就会有所提高，却偶尔还是有些学生抱着“哎～不会吧～”的想法不去照做。到后来才知道后悔，“我为什么不那样去做呢,”我看到在我教过的很多学生中，那些很听我的话、总按照我说的去做的学生都轻而易举地就提高了数学实力。大家都有过自己喜欢的老师教的科目学得就好的经历吧,就算不喜欢也好，试着相信老师一次吧～ 第三，对数学不感兴趣，讨厌数学。一句话，这是最令人头疼的一种情况。迄今为止，我还是没有找到能把对数学毫无兴趣的学生行之有效地引入学习正途的方法。如果受托教这样的学生，往往要把大量的时间花费在跟他讲在人生中学习有多么重要上面，而不是在课程的进行上，而且，为了把课讲得有趣一些还要用尽各种方法。偶尔也有成功的时候。如果以我说的话为契机，那个学生偶然间感觉到学习对于自己来说有一点点重要，数学还是值得一学的话，即哪怕他只是有一点点自己要学习的想法，可能性也才由此产生。这个时候就好比让即将熄灭的烛火保持燃烧一样，将兴趣和学习的量求得一个适当的平衡点，小心翼翼地推进进度是很重要的。 结论就是，对于那些对学习毫无兴趣的学生，只有能够正确地引导人生、善于教诲的优秀老师才能帮助他们。如果用尽了各种方法，学生自己还是连一点点努力都没有的话，暂时不要让他学数学也算是一个不得已的好方法了。(当然，大部分的家长都不会同意的„„) 今天的初、高中生中，自己愿意停留在下游生行列的学生有几个,数学，试着学一下，就不会觉得太难。如果只把目标定在中游水平，不需要学那么多也可以。我认为，比起不努力学习的学生来，更多的学生只是方法选择不当，或者有不良的学习习惯而已。鼓起勇气来吧～巅峰并没有大家想像的那么遥远。如果能避免数学学习绝不可能成功的这三种情况，总是会有成果的。 总之，既然要在初、高中待上6年的时间，把数学搞好总比没搞好强多了吧, 3.解题过慢有害 这是在我教两名初中一年级的学生时发生的事情。 这两个学生的共同点就是做题太慢和太调皮。有一次由于她们太吵，被我训斥得眼泪都流出来了，可是还没过5分钟就又恢复了老样子。比起教她们学习来，让她们别吵才是更费劲儿的，但从另一个角度看，她们也还是挺可爱的。 无论如何，对于数学学习来说，做题慢吞吞是一件很成问题的事情，所以先要把这个问题解决了才行。小学式习惯根深蒂固的这两个学生又各有不同的症状。SH总是不好好写解题过程，总想用默算把题目做出来，因而把时间都耽误了，而SJ是把解题过程写得过于仔细(慢吞吞)了。SH做难题还可以，做简单的题目却常常出错。所以，如果题目的难度属于中等水平的话，SJ做的要比SH好得多，如果题目的难度属于上、中、下混合的话，两个人的分数就差不多。因此，我首先要求SH不要再默算了，要把所有的解题过程都一字不落地写下来。但这个性急的学生却总是把解题过程乱写一气，常常是写到2/3左右的时候就直接把答案写出来了，或者做着做着稍微有些地方不明白的话，就在那儿冥思苦想，把时间都白白浪费了。所以我就要求她时刻注意按照辅导书中写的那样，解题步骤要一直写到答案出来为止，并训练她不要总在一道题目上停留太长的时间，还要求她不要默算，首先要做到准确地进行笔算。真的不是一件容易的事情，花费了很长的时间。不过，她在简单的题目中出错的情况终于越来越少，考试成绩也有了大幅度的提高。SJ的问题在于解题过程写得过于仔细、解题过于慢吞吞。简单的移项或者把加减符号从括号中挪出来等，我来做的话(初中的方式)只需要两行的东西，她会写上长长的6行至8行。我让这个学生练习着通过默算来减少解题步骤，引导她通过集中地默记几个部分(把括号展开、移项等)来改变这一状况。结果，她的解题过程减少到了4行左右，从此以后，她在考试的时候时间不够用的情况就少多了。到了这一地步，不但需要很多时间，还要不断地教导她们，其间有很多事情很难用短短几句话形容。有些学生存在着运算或解题过慢的情况，所以，常常由于解题的时间不够，或者因剩下的时间太少过于匆忙而导致本来会做的题目也做错了。如果能够很快做出的话，从各个方面来说都是有利的:在同样的时间内能够学习更多的内容，而且，在考试的时候可能会多做一道题出来，或者能够进行验算，从而对分数的提高大有帮助。快速解题，练习得越多，也就越有好处。 快速解题的方法之一是熟练。即，不管是什么题目，如果做过很多遍，准确地掌握它的解题方法的话，就像找很熟悉的房子一样，由于已经熟知路线，解题的时间会缩短很多。还有，把解题过程写下来所花费的时间也缩短了。为了达到熟练的程度，就要像前面所说的那样，多做一些在没有任何外部帮助的情况下只靠自己的力量从头到尾把题目解答出来的练习。通过那样的反复可以自然而然地达到熟练的程度。但有些学生仅仅靠这些还是不够的， 即解题本身花费的时间过长，把解题过程全部写下来花费的时间实在是太多了。为了减少所需的时间，默算练习是很必要的，一般的解题步骤用脑子来算就可以了。解题熟练之后，脑子解题的速度要比我们的手快得多，所以会发生手跟不上趟的现象。这就是最终的目标。到了这个时候，我们的脑子在解题的同时即可进行验算，有充分的时间去思考题目应该如何解答，总体来说，解题所需要的时间也会大大缩短。在达到这种程度之前需要进行大量的练习。但有一个必需的条件，那就是准确性。为了解题更快一些而去默算，结果却因为失误做错了的话，快速解题的意义也就没有了～因此，为了使默算的作用得到充分的发挥，就必须具备准确解题的能力。 我们的目标是准确性要高，快速解题的方法也要熟练。 这种一举两得的方法如下: 第一，为了提高准确性，首先通过笔算(用笔来写的运算)把准确性提高到99%的水平是很重要的。对于那些平时不写方程式、通过默算来处理却又失误频频的学生，即使需要花费的时间很多，基于准确性的考虑也一定要经历用笔算来把所有的解题过程写下来的阶段。等自己觉得已经可以进行无懈可击的笔算时，才可以过渡到默算这一阶段。 第二，要从笔算转向默算。前面之所以要求99%，是因为考虑到那些偶尔抱着“我的笔算还没有达到无懈可击的程度”的想法而不想过渡到默算的学生才提出的。虽然大幅度提高准确性很重要，但实际上自己能感觉出准确性到某种程度就足够了。还有些学生也许会问，既然几乎都能无懈可击地把题目解答出来了，干吗还要过渡到默算的阶段去,默算会节省很多时间，这是它的一大优点。如果时间充裕一些，也许就可以多做出一道难题来，也可以赢得验算的时间。因为这个就可以多得几分。还有，数学解题能力(思考能力)也会得到非同寻常的发展，即使是在用手解题的过程中，脑子也能对题目展开多方面的思考。做到这一步需要耐力与勇气。多练习几遍就会发现，在默算的时候也能够像笔算一样在头脑中进行非常明晰的运算了。要为此进行练习。虽然刚开始的时候想在解题过程中减少一个步骤都有些费劲儿，但到后来，用脑子思考一下就可以把题目解答出来了。还有，本来用两位数与一位数相乘，默算起来也很吃力的，经常练习之后，即使用两位数乘以两位数，默算起来也不怎么难了。默算练习得越多，技术也就越有长进。 这种练习什么时候做, 没有必要占用单独的时间，在进行其他项目的同时有意识地努力练习一下即可。每次做题的时候都练习一点儿，效果很快就会显现出来。这样去做的话，我们就能一箭射中准确性和速度这两只雕。题目有难度的时候，大家的努力就会得到实实在在的回报，而且，具备了这种默算能力之后，平时学习习题集或辅导书的时候进度就会快很多。 稍等～默算Test 1)12×7= 2)23×5= 3)22×51= 4)34×57= 5)258×9= 如果这5道题都能默算出来，那么，大家的数字默算已经达到无懈可击的水平了。 4.如果连自己的字迹都认不出来，一定会答错 在我教过的很多学生之中，字写不好的情况有很多。写字不好会出现什么问题,在数学中是可以成为一个问题的。如果自己写的字连自己都认不出来的话，那就真是一个问题了。还有，如果字写得太急，过于潦草，数学符号中连加减都分不清的话，就成问题了。以我的经验，这种写字成问题的学生在五名之中就有一名。这种问题并不是只存在于下游生之中。我教过的学生中，有一个单从数学方面来讲在本年级中数一数二的学生，也曾经很多次因为看不清楚自己写的解题内容而在验算的时候把题目做错了。当然，也有很多次在解题的过程中就因为把字弄混淆了而做错题。每当那个时候，我就让他不断地练习慢慢地写字和准确地写标准字—特别是数字或符号。虽然他写的字本身并没有多大的好转，但不知道是不是在做题的时候留心了的缘故，失误明显减少了很多。因为对于那个学生来说，多错一道题就是一件很严重的事情。虽然在学习不好的学生之中也许会有人说:“就算不失误也就只能勉强得个60分，多错一道4分的题有什么大不了的,没什么差别啊～”但只要再纠正一两种不良习惯，也许就能够把现在的分数提高到70多分。有句话不是叫做“千里之行，始于足下”吗,除此之外，我教过很多有不良习惯的学生。他们或是因为写字的速度太快或字写得太小导致很难辨认，或是不把解题过程好好地整理出来，这儿写一点儿那儿写一点儿，最终搞不清楚都在哪儿。每次碰到这样的学生，我就会先向他说明为什么要纠正过来，再把纠正的方法也告诉他。 大体来说，男同学这种情况比较多，纠正的方法也很简单。 第一，尽可能用标准字(方方正正的字体)来写。 第二，尽可能用比现在大一些的字号来写。因为经常会因字写得太小而无法辨认。 第三，慢慢地写。这并不是说要慢吞吞地去写，而是为了用标准字去写，特别是为了把符号之类的东西准确地写出来，要认真地去写的意思。 几乎没有通过练习纠正不了的东西，每个人的字体也是在从小长大的过程中不断变化的。只要下定决心，前面指出来的问题至少能得到改善，纠正写字的方式并不是一件难事。我教过的学生在挨了一顿训斥之后，虽然写字的技巧并没有什么提高，但至少能够小心翼翼地去写重要的符号或者数字了，因为这种问题出错的情况几乎没有了。 另外，我有一个小建议，要想把字本身写好，去练字或者常常模仿别人的字体也是一种方法。 5.复杂的题目，可以这样变简单 谜语应该怎样来猜, 大致来说，谜语一般都会含有很多不合逻辑的内容，那是谜语本身有陷阱的缘故。所以，往往是仔细想一下谜语本身的说明，答案就能猜出来了。 做数学题和猜谜语是一样的道理。“就像猜谜语一样去找提示。”就像前面在“无法理解题意”中所说的那样，数学题目在本身的说明部分中就有很多提示可以让你找到答案。所以，很多时候准确理解了题意也就相当于解答了一半。特别是在题目说明复杂的时候，要懂得把题目分解开来去读。题目越复杂，这种方法也就越能发挥它的威力。我们在做标题为“活用” 或者“解题能力”的题目时，这种方法极为有效。 “把题目分解开来去读” 的意思是，在题目的说明中有多项内容混合在一起，所以要把这些各自分离出来。 分解题目有两种形式。 第一，一道题目的说明分解成几个条件。 第二，把句子的各个部分一一转换为数学符号。 看一下第一个例子。 “有整数a、b，<0，|a|=4，|b|=3时，求(a-b)2的值。” 思考一下这道题。上面的这道题是由5项内容组成的: (1)a、b都是整数 (2)<0 (3)|a|=4 (4)|b|=3 (5)求(a-b)2的值 在这种情况下为了求得(5)的答案，就要准确地知道a、b的值。 所给的信息是(1)、(2)、(3)、(4)。 在这儿(2)、(3)、(4)中先解哪一个都可以。 a=?4，b=?3都是可能的值。 在这种情况下求(a-b)2的值，答案会不止一个。 (2)的条件中<0，所以a=4、b=-3，或者a=-4、b=3 因此，(a-b)2=,4-(-3),2=(-4-3)2=49 在这儿，条件(1)的a、b都是整数，没有多大的意义，但在其他的题目中这样的条件有时候会很重要。 很多学生在学习或者考试的时候并不这样对题目一一分解，但在自己的脑子里却已经自动在做着这些事情了。即使是复杂的题目，把说明部分分成几个条件去看，就很容易理解题意了。 “有整数a、b，<0，/|a|=4，/|b|=3时，/求(a-b)2的值。” 利用分隔符号“/”来分解是我常常使用的方法。只要题目的说明稍微复杂一点儿，我就会自然而然在合适的地方画出分隔符号“/”来读题。这样分解开来去看，到底有几个条件就可以一目了然，在做题的时候就不至于会有遗漏，能够考虑全面地把题目解答出来。在题目中无缘无故写在那儿的条件是不存在的。 大家肯定有很多因为没有考虑到题目条件中的某一点而出错的经历。不管什么时候都是把题目中所给出的条件全部用完才可以放心。还有，理解题意也会变得容易，什么是条件，什么是应该求的东西，立即就能区分出来。这样一来，制定解题的计划就会容易得多。 看一下第二个例子。 “一辆公交车从A站出发的时候乘客共有x名，在B站下车，新上了7名乘客，在C站又下车，新上了6名乘客，结果现在的乘客数比刚出发的时候多了8名。求x是多少,” 我们把这道题分解如下: 刚出发的时候乘客数为x x B站:下车 新上7名 C站:下车 新上6名 +6 比刚开始多了8名 x+8 即，列出方程式+6 =x+8来。 解这个方程式就可以得到题目的答案。 这就是一个把所给句子的各个部分符号化的过程。 我们通常在做题的时候写得不是这么详细，但在对这种题目的解答熟练到不会出错的程度之前，最好还是像下面这样去做。 一辆公交车从A站出发的时候乘客共有x名。 刚开始的乘客数:x名 在B站下车，新上了7名乘客。 B乘客数: 在C站又下车，新上了6名乘客。 C乘客数: 结果现在的乘客数比刚出发的时候多了8名。求x是多少, 之所以要画下划线，是为了像前面所说的那样，把内容分解开来以确认不致遗漏。在做题的时候，最好能像这样直接在题目底下或者旁边按照顺序一边写一边整理，以免发生混淆。题目越是复杂，就越是要把题目分解开来读，一边整理一边解答，这可以使对题目的理解和解答变得简单，还可以减少失误，缩短解题的时间。 把题目分解开来去读～这是在题目说明即使很复杂的时候，也不会让你觉得很难的最佳方法。 6.鼓励出成绩 我教过很多学习不好的学生，而且即使不是因为学习，我也有很多机会去接触大量的学生。因为我在教数学之前在教堂里教了初、高中生们几乎长达10年之久。 虽然听起来有些奇怪，但我是一个认为数学学得不怎么好也没有关系的人。数学不可能比自己的人生更重要。如果让我在一个数学不好但为人善良的孩子和数学很好却目中无人的孩子之中选择一个的话，我会毫不犹豫地选择善良的孩子。因为在人生中，有很多比擅长解数学方程式更重要的东西。我遇到过很多虽然学习不好品质却极为优秀的孩子，他们懂礼貌， 知道为别人着想，懂得尊重老师。对这样的学生，绝对不可以只是因为他学习不怎么好就去折磨他。这样做只会有副作用，很多时候还不如多称赞一些他优秀的方面，反而更能对他的学习有帮助，促使他本人自觉地去努力学习。 你认为大部分的学生想提高成绩的第一大理由是什么, 根据调查问卷的结果，比起上大学来，回答说是为了让父母高兴的学生更多。我教过很多的孩子，其中成绩有大幅度提高、可以算得上成功了的孩子们的父母几乎都有一个共同点:父母虽然对孩子的学习很关心，但不会过度加以斥责。当然这不是毫不关心，而只是抱着客观的心态，用一种温暖的、鼓励的眼神注视着他，这是做父母的能够给予孩子的最好照顾。“好了，没关系～尽最大努力就可以了。你是个好孩子～”只需要做到这种程度，对孩子实力的提高已经是足够的了。 如果大学上的是文科的话，学习数学的机会不是很多，但如果上的是理工科或者自然类学科的话，数学就会像影子一样尾随着你。虽然我的数学学习已经到了一定水平，但从来没有一年我不在学习数学，数学一直伴随着我。 难道这不是一种缘分吗,在我的人生之中，从小学开始到高中为止的12年，以及后来到博士为止的10年，总共22年的时间里，数学一直在不屈不挠地跟着我走。我甚至还一直在教数学～如果我讨厌数学的话就意味着不幸的开始和幸福的结束，但或许是偶尔还觉得数学挺有意思的缘故，我才得以一直坚持到了今天。一直到我读高中的时候，每当题目的答案蹦出来时，我就会感到有一种由衷的喜悦。别人做错的题如果我做对了，我会感到非常的自豪—连我自己也觉得我当时好像有些问题。 无论如何，重要的是当答案出来时候的那种乐趣。虽然当时只要看一眼辅导书的分量就会让我叹气，但在把题目的答案算出来的乐趣之中，一个单元很快就会过去。而且，每当我与月光为伴从图书馆回家的时候，不知何故，总是像一个略有所得的人一般，感觉平静而舒适。在那以后，数学的“诚实守信”偶尔也会很合我意。 一看到数学，只要想到它有答案，哪怕我还没有做出来，也会很塌实。为什么,因为肯定会有解题的方法…… 当然，也有些数学题是解不出来的，但反正我又不是数学家，可以无视它的存在。除了有趣的谜语，我从来都不试图去把答案找出来。 在上大学的时候，我也曾经想过以后当个数学老师，可能就是因为这个吧，在进入大学之后，我还是觉得数学课有意思，成绩似乎也算不错。我通过学习很多学科，以总结出来的经验为基础，重新对初、高中数学进行钻研，领悟到数学是驯服我们头脑的一种训练方法。它可以培养我们逻辑性的思考方式、适当的推理能力、准确性和记忆能力等。当然，并不是只要把数学学好了就能具备所有这些能力。 但如果你能够把学习数学的经历渗透到其他多种多样的经历中去，不管大家去什么地方、做什么事情，都会被认为是一个非常有逻辑性和准确性、记忆力好的人。