工科
分析
《工科数学分析》课程教案
一、课程目标
本课程以培养学生的数学应用能力和数学素质为教育目标。通过本课程学习,能为学生专业学习打下数学基础,培养学生的数学计算及软件应用能力、逻辑思维能力、空间想象能力和解决实际问题的数学应用能力,提升本课程为专业课程学习的服务能力。培养具有水利水电工程建设、管理所需的基本理论,掌握水利工程设计、
管理的基本
和技术手段,能在地方水利部门从事勘测、设计、施工与管理等方面工作的应用技术人才。
本课程以培养学生的数学应用能力和数学素质为教育目标,遵循“以应用为目的,以必需够用为度”的原则,建立符合专业需求的内容体系、突出数学应用能力培养,充分发挥高等数学课程在人才培养中的重要作用。
二、课程内容
x,,1、自变量趋于无穷大时的函数极限(的极限)
f(x)(a,,,)定义1 函数在上有定义,A为常数,
limf(x),A,M,0(,a)f(x),A,,,,,0x,M,,, ,x,,,
f(x)(,,,a)定义2 函数在上有定义,A为常数,
limf(x),Af(x),A,,,,,0,M,0x,,M,,, ,x,,,
f(x)(,,,,a),(a,,,)定义3 函数在上有定义,A为常数,
limf(x),Ax,Mf(x),A,,,,,0,M,0,,, ,x,,
在无穷远点的左右极限可记为 ,
f(,,),limf(x)f(,,),limf(x) 与 x,,,x,,,
limf(x),A,limf(x),A,limf(x)结论1 x,,x,,,x,,,
limf(x),A几何意义:的几何意义是对于任意给定的正数,总能相应地确定某个正,x,,,
f(x)(M,,,)y,A,,y,A,,数M,使得函数在上的图形位于直线与之间。 2、自变量趋于有限值时的函数极限(的极限) xx,0
,
f(x)定义4 函数在内有定义,A为常数, U(x,h)0
limf(x),A,,,0(,h)0,x,x,,f(x),A,,,,,0,,,有 ,0x,x0
limf(x),A几何意义:的几何意义是对于任意给定的正数,总能相应地确定某个正数,x,x0
,
f(x)y,A,,y,A,,,,使得函数在内的图形位于直线与之间。 U(x,h)0
f注:(1)可在函数的定义域内,也可不在,不涉及在有没有定义,以及函数值xx00
22x,1x,1lim的大小。如在处无定义, 但 = 2. f(x)0x,1x,1x,1
f(x)(2)如果自变量趋于时,相应的函数值 有一个总趋势-----以某个实数为Axx0
极限。
f(x)定义5(右极限) 函数在或内有定义,A为常数, (x,x,h)00
limf(x),A,,,0(,h)f(x),A,,,,,0,,,有 ,x,x,x,,00,x,x0
f(x)定义6(左极限)函数在内有定义,A为常数, (x,h,x)(h,0)00
limf(x),A,,,0(,h)f(x),A,,,,,0,,,有 ,x,,,x,x00,x,x0
f(x,0)f(x,0)右极限与左极限统称为单侧极限,常可记为与。结论2 00
limf(x),Af(x,0),f(x,0),A ,00x,x0
二、函数极限的性质
1、极限的唯一性
定理1 若,,则 A,Blimf(x),Alimf(x),Bx,xx,x00
2、局部有界性
,,
f(x)定理2 若,则存在的某一去心邻域,在内函数U(x,h)U(x,h)xlimf(x),A000x,x0
有界.
3、局部保号性
,,
定理3 若且,则存在某个去心邻域,在)U(x,h)U(x,h)limf(x),AA,0(或A,0)00x,x0
f(x)内 ,0(或(f(x),0).
4、迫敛性