黎曼积分的完备化

黎曼积分的完备化 倪郁东 , 陶长虹 ()合肥工业大学 理学院 ,安徽 合肥 230009 [ 摘 要 ] 综述了黎曼可积函数的基本特征 ,并指出黎曼可积函数列的极限运算在积分意义下是不封闭 的 . 在构造了完备化空间之后 ,证明了该空间就是勒贝格可积函数空间 ,从而说明了黎曼积分的完备化形式是 勒贝格积分 . () [ 中图分类号 ] O1741 1 文章编号 ] 167221454 20050420084204 [ [ 文献标识码 ] C [ 关键词 ] 黎曼积分 ;勒贝格积分 ;完备化 黎曼可积函数的特征1 [ 1 ] ( ) 众所周 知 , 经 典 的黎 曼 Rie ma nn积分 的实 质是 被 积函 数几 乎 处处 连续. 通 常由 以 下结 论 来 表述 : ( ) ( ) 引理 1 设 f x 是 [ a , b ] 上的 有 界函 数 , 则 f x 在 [ a , b ] 上 黎曼 可 积的 充 分 必 要 条 件 是 达 布 n n ( ) ΔΔDa r bo ux大和 S = M ?x 与达布小和 s =m?x 有着相同的极限.i i i i ? ? i = 1 i = 1 ( ) ( ) ( ) ω引理 2 有界函数 f x在 x0 处连续的充分必要条件是 f x在 x0 处的振幅 x0 = 0 . 这里 , ω( ) ( ) ( ) x= li m sup { f t} - li m i nf { f t} .0 + δ)+ δ)( ( t ?ox, t ?ox, δδ?0 0 ?0 0 ( ) ( ) ( ) 定理 1 设 f x是 [ a , b ] 上的有界函数 , 则 f x 在 [ a , b ] 上黎曼可积的充分必要条件是 f x 在 [ a , b]上几乎处处连续. ( )( )( )i i i 事实上 , 首先在 [ a , b]上作加密的分割序列 D : a = x< ?< x < ?< x = b , i = 1 , 2 , ?, 使得 i 0kni ( ) ( )ii λ( ) = ma x x - x ?0 , i ??. 若设 i k + 1 k1 ?k ?n i ( )( )( )( )( )( )i i i i i i ) ) ?[ x , x , ?[ x , x , x x M , m , k k + 1 k k + 1 k k ( ) ( ) i = 1 , 2 , ?, f i x= f i x=( ) ( ) x = b , x = b , f b,f b, 则易知 ( ) ( ) ( ) f x?f x?f x, x ?[ a , b] , i i 并且 n- 1 i b ( )( )( )( )i i i i ( ) ) f x d x =M m [ x , x = S ,i k k k + 1 ? a ? k = 0 n- 1 i b ( )( )( )( )i i i i ( ) ) m m [ x , x = s , f x d x =i = 1 , 2 , ?. k k k + 1 i ? a ? k = 0 以下证明 : [ 收稿日期 ] 2004208231 a. e. a. e. ( ) ) ( ) ( ) ) ) (( ) (( ( ) lim sup { f t} 记为 M x0 , lim f i x0 lim sup { f t} 记为 m x0 , lim f i x0 + ( δ)+ δ)( t ?ox, t ?ox ,i ?? i ?? δδ?0 0 ?0 0 a . e . ( ( ) ( ) ) ω( ) x.从而 li m f i x0 - f i x0 0 i ?? ? ( ) ( ) ( ) iii) ( 设 E= Y { x 0 , x 1 , ?, x } , 则 m E= 0 . 任取 x|E, a ?x?b , 则由 M x的定义可知 , 对于任 n 0 0 0 0 0 0 ii = 1 ) ( )( εεδδ{ f t} < M x 何> 0 , 存在> 0 , 使得 sup +. 显然 , 对前述 > 0 , 存在 I > 0 , 使得 i ?I 时 , 有 0 ( δ)t ?ox, 0 ( )( )i i λδδδ i <. 此时 , x0 - < x k < x0 < x k + 1 < x0 +, 并且 ( )( )i i ( ) ( ) ( ) ε( ) ( ) ) f t?f x= t ?[ x , x , sup { f t} ? sup { f t} < M x0 +,i 0 k k + 1 ( i) ( i) δ)( t ?ox, )t ?[ x , x 0 k k + 1 ( ) ( ) ( ) ε( ) ( ) ( ) ( ) 由此可得 M x0 ?f i x0 < M x0 +. 因此 , li m f? i x0 = M x0 , 同理可得 , li m f i x0 = m x0 .i ?? i ?? ( ) 由引理 1 可知 , f x黎曼可积的充分必要条件是 b ( ) ( ) [ f x - f x ]d x ?0 , i ??.i i a ? [ 2 ] ( ) ( ) () ( ) 又由{ f x} , { f x} 的有界单调性及勒维 L evi定理可得 , f x黎曼可积的充分必要条件是i i b ( ) ( ) li m [ f x - f x ] d x = 0 .i i a i ?? ? a . e . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ω由 f x- f x的非负性可得 , li m [ f x- f x] 0 , 即 x在 [ a , b ]中几乎处处为 0 . 由引理 2 可i i i i i ?? ( ) 知 , f x黎曼可积等价于在 [ a , b]中几乎处处连续 . 黎曼可积函数空间的完备性2 定理 1 的结论告诉我们 , [ a , b]上黎曼可积函数的全体是 [ a , b]上有界的几乎处处连续函数的集合. 为了了解黎曼可积函数空间的完备性 , 我们首先考虑连续函数空间 C[ a , b]的完备性 . ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ρ在连续函数空间 C[ a , b]上 , x t与 y t的距离通常是x , y= ma x| x t- y t| . 在此距离的意1 a ?t ?b [ 1 ] 义下 C[ a , b]是完备的, 即 C[ a , b]对函数列的极限运算是封闭的. 但是 , C[ a , b]在 ρ( ) ( ) x , y= | x t-( ) 2 y t| d t [ a , b] ? 的意义下却是不完备的 . 这可由下面的例子看出 : 例 设 10 , t ? 0 , , 2 1 1 1 1 ( ) t - x n t= n , + t ? n = 2 , 3 , ?, , , 2 2 2 n 1 1 1 , t ? + , 1, 2 n ( ) ρ( ) ( ) ( ) 则易知{ x } 是 C[ 0 , 1 ]中的柯西 Ca uc hy点列. 但是{ x } 在x , y= | x t- y t| d t 的意义下不n n 2 [ 0 , 1 ] ? 会收敛于 C[ 0 , 1 ]中的任何元素 x , 否则 x 将满足 : ( ) ( ) | 1 - x t| d t = 0 , 1 , 1? 2 2 1 1 = 0 , x 由此可得一矛盾的结论 : x = 1 , 从而 C[ 0 , 1 ]是不完备的. 2 2 ρ 由此可见 , 连续函数列在度量2 意义下不一定收敛到某一连续函数 , 因而 C[ a , b ]中函数列的极限 ρ运算不再是封闭的. 类似地 , 对于一个几乎处处连续的函数列 , 若其在度量下收敛到某一函数 , 那么 2 此函数也不一定是几乎处处连续的函数. ( ) ) ρ( ( ) 定理 2 [ a , b]上黎曼可积函数即几乎处处连续函数空间在x , y= | x t- y t| d t 的意2 [ a , b] ? 义下是不完备的. ? 证 设 Q = { r} 是 [ a , b]上有理数的全体 , E = [ a , b] -1 n Q , t = r, 1 , n 1 , t ?Q , ( ) ( ) x t= n = 1 , 2 , ?, x t= n 0 , t ?r,n 0 , t ?E , 易见 , { x } 为 [ a , b]上几乎处处连续因而是黎曼可积的函数列 , 并且 n ( ) ( ) ( ) ( ) t - | d t = | x t - x t | d t = 0 , n = 1 , 2 , ?, | x nx t nQ [ a , b] ? ? ( ) ρ 从而2 x n , x?0 , n ??. ( ) ( ) ρ若存在 [ a , b]上几乎处处连续的函数即黎曼可积函数 y t, 使得x , y?0 , 即2 n | x n( ) y ( t ) | d t ?0 , n ??, t - [ a , b] ? 则由 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - t | d t ?| x t -x t | d t + | x t -y t | xy t | d t ?0 , n = 1 , 2 , ?, n n [ a , b] [ a , b] [ a , b] ? ? ? 可得 ( t ) - y ( t ) | d t = 0 , | x[ a , b] ? a . e . ( ) ( ) ( ) ( ) 从而 x ty t, 即 x t是 [ a , b]上几乎处处连续的函数 . 但是 x t显然是 [ a , b ]上处处不连续的函 数 , 因而黎曼可积函数列{ x } 不可能收敛到黎曼可积函数上. 这说明了黎曼可积函数空间是不完备的 . n 3 黎曼积分的完备化 我们已经知道 , 黎曼可积函数空间的子空间 C[ a , b ]也是不完备的 . 因此 , 我们将首先构造 C[ a , b ] () 的完备化空间 , 并证明其恰为勒贝格 L e be sgue可积函数空间 , 其后再类似地构造黎曼可积函数空间的 完备化空间 . 定理 3 设 L [ a , b]为 [ a , b]上勒贝格可积函数空间 , 并且 ( )( ) ( ) ( ) ( ) C? = x t x t- x t| d t = 0 , x t? C[ a , b] , x t?L [ a , b] , n = 1 , 2 , ? , li m | n n n ??[ a , b]? 则 ( ) (( ) y t| d t 的意义下是完备的 , 并且 C? 是 C [ a , b]的完备化空间 ; )ρ( ) i C? 在x , y= | x t-2 [ a , b] ? () ii?C = L [ a , b] , 即连续函数空间的完备化空间是勒贝格可积函数空间 . [ 4 ] ( ) 证 i 设 { y } 是 C? < L [ a , b ] 中 的 柯 西 点 列 , 则 由 L [ a , b ] 的 完 备 性可 知 , 存 在 函 数n ( ) y t?L [ a , b] , 使得 ( ) ( ) t - y t | d t ?0 , n ??. | y n[ a , b] ? 1 ( ) ( ) ( ) 对于每个自然数 n 以及 y ?C? , 存在 x t?C[ a , b] , 使得| x t- y t| d t <. 由此可得 , n n n n [ a , b] n ? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) - t | x ny t | d t ?| x t -y t | d t + | y t -y t | d t ?0 , n ??, n n n [ a , b] [ a , b] [ a , b] ? ? ? ( ) 即 y t??C , 从而 ?C 是完备空间 . ( ) ( ) ( ) ρ显然 , C[ a , b] < ?C , 并且x , y= | x t- y t| d t 的意义下 , C[ a , b ]在 ?C 中稠密 , 即 C[ a , b ]2 [ a , b] ? 是 ?C 的稠密子集 . 因而 , ?C 是 C [ a , b]的完备化空间. ( ) ( ) (若 x t?C? , 则存在{ x t} < C[ a , b] , 使得 )ii n | x n( t ) - x ( t ) | d t ?0 , n ??. [ a , b] ? [ 4 ] ( ) ( ) 由此可得 , x t在 [ a , b]上依勒贝格测度收敛于 x t.n ( ) ( ) ( ) 由黎斯 Rie sz定理 可 知 , 存 在 子 列 { x n t } < C [ a , b ] 在 [ a , b ] 上 几 乎 处 处 收 敛 于 x t , 从 而i ( ) x t?L [ a , b] . [ 4 ] ( ) ( ) 若 x t?L [ a , b] , 则由 C[ a , b]在 L [ a , b]中的稠密性可知 , 存在{ x t} < C[ a , b] , 使得n ( ) ( ) | x nt - x t | d t ?0 , n ??, [ a , b] ? ( ) 从而 x t??C. 综上所述可得 , ?C = L [ a , b] . ( ) ( ) ( ) ρ定理 4 黎曼可积函数空间 R [ a , b]在x , y= | x t- y t| d t 的意义下的完备化空间是2 [ a , b] ? 勒贝格可积函数空间 L [ a , b] . 证 构造空间 ( )R? = t ( ) ( ) ( ) ( ) x li m | x t- x t| d t = 0 , x t? R [ a , b] , x t?L [ a , b] , n = 1 , 2 , ? , n n n ??[ a , b]? 则类似于定理 3 的证明 , 可得 : ( ) 1?R 在勒贝格积分的意义下是完备的 , 并且 ?R 是 R [ a , b]的完备化空间 ; ( ) 2R? = L [ a , b] , 即黎曼可积函数空间的完备化空间是勒贝格可积函数空间. 推论 黎曼可积函数空间是勒贝格可积函数空间的稠密子空间 , 即 R [ a , b ] 在 L [ a , b ] 中具有稠 密性. 最后指出 , R [ a , b] < C?. 因此 , 连续函数空间是黎曼可积函数空间的稠密子空间 . [ 参 考 文 献 ] () [ 1 ] 程其襄等 . 实变函数与泛函基础 第二版[ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,2003 . () [ 2 ] 夏道行等 . 实变函数论与泛函分析 上册[ M ] . 北京 :人民教育出版社 ,1978 . () [ 3 ] 郑维行等 . 实变函数与泛函分析概要 第一册[ M ] . 北京 :人民教育出版社 ,1980 . () [ 4 ] 夏道行等 . 实变函数论与泛函分析 下册[ M ] . 北京 :人民教育出版社 ,1979 . Perf ect ion of Riemann Integral N I Y u2d on g , T A O C h a n g2hon g ( )Hef ei U niver sit y of Technolo gy , Hef ei 230009 ,China Abstract : Thi s paper de scribe s t he f eat ure of Riema nn integratiable f uncito n , and point o ut t hat t he space of Riema nn integratia ble f unctio n i s no t p erf ect under t he mea ning of L ebe sgue integral . Af ter co nst rcting t he perf ective space , p ro ve t hat t hi s sp ace i s j ust t he space of L ebe sgue integratia ble f unctio n , t hus explain t hat L ebe sgue integral i s t he fo r m of t he perf ective Riema nn integral . Key words : Riema nn i ntegral ; L ebe sgue integral ; perf ectio n