函数的单调性

数学基础模块 上册 3.1.3 数的单调性 【教学目标】 1．理解函数单调性的概念，掌握判断函数的单调性的方法． 2．通过教学，使学生领会数形结合的数学方法；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的能力． 3．体验数学的严谨性，渗透由一般到特殊的辩证唯物主义观点． 【教学重点】 函数单调性的概念；学会运用图象法观察函数的单调性和用定义法证明一些函数的单调性． 【教学难点】 利用函数单调性的定义判断和证明函数的单调性． 【教学方法】 这节课主要采用类比教学法和分组教学法．教师用问题引导学生从函数图象的变化趋势类比得出增减 函数的概念，然后对图象进行代数分析，得出用定义证明函数单调性的步骤．从形的直观感知到严密的代 数分析，使学生领会数形结合研究函数的方法．借助两个证明题，深化学生对单调性概念的理解． 【教学过程】 从常见的美丽的建筑物图片入师：播放动画，师联系实际， 导 手，让学生感知数学的美，激发学生共同欣赏后，引导学激发兴趣． 入 生的学习兴趣． 生观察部分曲线的变化 趋势，引入课题． 1．展示下列函数图象 师：提出问题，引 导观察思考： 1．观察图象的变化从图象直观感知 y 趋势怎样？ 函数的单调性． y＝f(x) 2．你能看出当自变 B 量增大或减少时函数值 A ) f(xf(x) 21 如何变化吗？ 生：观察动画，思 x x 2O x 1 新 考回答． y y＝f(x) A 课 B f(x) f(x) 12 2．增函数与减函数的定义： 教师引导学生归纳通过观察函数图x x O 12x 增函数：在给定的区间上自变增函数与减函数的定象直接给出增函数、 量增大(减少)时，函数值也随着增义． 减函数的定义，符合 大(减少)． 学生的特点，容易被 减函数：在给定的区间上自变 学生接受． 量增大(减少)时，函数值也随着减 少(增大)． 63 第四章 指数函数与对数函数 3．例1 给出函数 y＝f (x)的图象，学生观察图象完成从观察直观图象如图所示，根据图象指出这个函数此题，掌握用图象来判入手，加深对单调性在哪个区间上是增函数？在哪个区断函数单调性的方法． 定义的理解，掌握用间上是减函数？ 教师强调，在说明图象法判定函数单调y 函数单调性时，要指出性的方法，使学过的 明确的区间． 知识及时得到应用． -1 1 2 3 4 o x 函数 y＝f (x)在区间[－1，0]， [2，3]上是减函数；在区间[0，1]， [3，4]上是增函数． 4．练习1 学生回答，教师点 (1) 观察教材P64 例1的函数图象，评． 通过练习1，让学新 说出函数在(－?，＋?)上是增函数 生进一步掌握利用函 还是减函数； 数的图象来判断函数 (2) 观察教材P65 例2的函数图象， 单调性的方法，从而 分别说出函数在(－?，0)和(0，＋ 提高学生的读图能课?)上是增函数还是减函数． 力，并与前面学过的5．设 y＝f (x)，在给定的区间上， 知识结合，对学过的它的图象如图． 函数有更新的认识． y y＝f(x) B A ) f(xf(x) 21 x教师带领学生结合 x 2O 1x 增函数图象分析如何利 在此图象上任取两点A(x ，y)，用函数的解析式来判断将增函数、减函11 B(x，y)，记 一个函数是增函数． 数定义中的定性说明22 ,x＝x 转化为定量分析．从－x，,y＝y－y． 2121 而给出利用函数解析增函数 式来判断函数单调性 的方法． 自变量增大(,x＞0)， 函数值增大(,y＞0)． 启发学生思考， 完成从直观到抽象、 从感性思维到理性思 维的升华． ,y ＞0 ,x 64 数学基础模块 上册 学生类比分析如何 利用函数的解析式来判在板书例题的过 断一个函数是减函数． 程中，突出解题思路减函数 与步骤． 教师指出利用函数 图象判断单调性的局限 自变量增大(,x＞0)， 性，引导学生从函数解 函数值增大(,y＜0)． 析式入手证明单调性的 思路与步骤． ,y ＜0 教师讲解例题2，通过例题解答，,x 6．例2 证明函数 f (x)＝3 x＋2在板书详细的解题过程． 加深对函数单调性定区间(－?，＋?)上是增函数． 义的理解，并自然而 ，x是任意两个不证明设x12 然地将定义运用到判相等的实数，则 新 定函数单调性中，理 , x＝x －x 21 论与实践相辅相成． , y＝f (x)－f (x) 21 ＝(3 x＋2)－(3 x＋2) 21 课＝3(x －x)， 21 3(x,y－x)21 ＝ ＞0． ,xx －x21 教师引导学生总结突出重点，深化因此，函数 f (x)＝3 x＋2在区 解题步骤，可简记为： 证明步骤，分解难点． 间(－?，＋?)上是增函数． 一设、二求、三判定． 7．总结由函数的解析式判定函数单 通过学生讨论、调性的步骤： 老师点拨，顺利帮助S1 计算 ,x和 ,y； ,y,y学生判断 的正负． S2 计算 k＝ ． ,x ,x 当 k＞0时，函数在这个区间上 是增函数； 当 k＜0时，函数在这个区间上 学生讨论并试解例 是减函数． 题．老师点拨、解答学 18．例3 证明函数 f (x)＝ 在区间x生疑难． 巩固用函数解析 式来判定单调性的思(0，＋?)上是减函数． 路和步骤． 证明：设x ，x是任意两个不12 相等的正实数． 因为 ,x＝x－x，21 11 ,y＝f(x)－f(x)＝ － 21xx21 x,x 12＝ xx 12 65 第四章 指数函数与对数函数 x,x,x21 ＝－． ＝－xxxx1212 又因为 xx＞0， 1 2 ,y1学生模仿练习． 巩固理解，形成所以 ＝－＜0． ,xxx新 技能． 12 1因此，函数 f (x)＝ 在区间课x (0，＋?)上是减函数． 9．练习2 3证明函数 f (x)＝ 在区间 x (－?，0)上是减函数． 1. 函数单调性的定义； 学生阅读课本梳理总结也可针2. 判定函数单调性的方法． P66～68，畅谈本节课的对学生薄弱或易错处 收获． 进行强调和总结． 老师引导梳理，总 结本节课的知识点． 教材 P 69，练习 A组第 2题； 巩固拓展． 练习B组第 1、2题． 66