9卡特兰数(蓝桥杯)

9卡特兰数(蓝桥杯) 卡特兰数又称卡塔兰数，英文名Catalan number，是组合数学中一个常出现在各种计数问中出现的数列。以比利时的 数学家欧仁?查理?卡塔兰 (1814–1894)的名字来命名，其前几项为 : 1, 1, 2, 5, 14, 42, 132, 429, 1430, 4862, 16796, 58786, 208012, 742900, 2674440, 9694845, 35357670, 129644790, 477638700, 1767263190, 6564120420, 24466267020, 91482563640, 343059613650, 1289904147324, 4861946401452, ... 常规分析 首先，我们设f(n)=序列个数为n的出栈序列种数。(我们假定，最后出 栈的元素为k，显然，k取不同值时的情况是相互独立的，也就是求出每种k最后出栈的情况数后可用加法原则，由于k最后出栈，因此，在k入栈之前，比k小的 值均出栈，此处情况有f(k-1)种，而之后比k大的值入栈，且都在k之前出栈，因此有f(n-k)种方式，由于比k小和比k大的值入栈出栈情况是相互独 立的，此处可用乘法原则，f(n-k)*f(k-1)种，求和便是Catalan递归式。ps.author.陶百百) 首次出空之前第一个出栈的序数k将1~n的序列分成两个序列，其中一个是1~k-1，序列个数为k-1，另外一个是k+1~n，序列个数是n-k。 此时，我们若把k视为确定一个序数，那么根据乘法原理，f(n)的问题就等价于——序列个数为k-1的出栈序列种数乘以序列个数为n - k的出栈序列种数，即选择k这个序数的f(n)=f(k-1)×f(n-k)。而k可以选1到n，所以再 加法原理，将k取不同值的序列种数相加，得到的总序列种数为:f(n)=f根据 (0)f(n-1)+f(1)f(n-2)+„„+f(n-1)f(0)。 看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f(n)=h(n)= C(2n,n)/(n+1)= c(2n,n)-c(2n,n+1)(n=0，1，2，„„)。 最后，令f(0)=1，f(1)=1。 类似问题 买票找零 有2n个人排成一行进入剧场。入场费5元。其中只有n个人有一张5元钞票，另外n人只有10元钞票，剧院无其它钞票，问有多少中方法使得只要有10元的人买票，售票处就有5元的钞票找零,(将持5元者到达视作将5元入栈，持10元者到达视作使栈中某5元出栈) 凸多边形三角划分 在一个凸多边形中，通过若干条互不相交的对角线，把这个多边形划分成了若干个三角形。任务是键盘上输入凸多边形的边数n，求不同划分的数f(n)。[6]比如当n=6时，f(6)=14。 分析 如果纯粹从f(4)=2，f(5)=5，f(6)=14，„„，f(n)=n慢慢去归纳，恐怕很难找到问题的递推式，我们必须从一般情况出发去找规律。 因为凸多边形的任意一条边必定属于某一个三角形，所以我们以某一条边为基 准，以这条边的两个顶点为起点P1和终点Pn(P即Point)，将该凸多边形的顶点依序标记为P1、P2、„„、Pn，再在该凸多边形中找任意一个不属 于这两个点的顶点Pk(2<=k<=n-1)，来构成一个三角形，用这个三角形把一个凸多边形划分成两个凸多边形，其中一个凸多边形，是由 P1，P2，„„，Pk构成的凸k边形(顶点数即是边数)，另一个凸多边形，是由Pk，Pk+1，„„，Pn构成的凸n-k+1边形。 此时，我们若把Pk视为确定一点，那么根据乘法原理，f(n) 的问题就等价于——凸k多边形的划分方案数乘以凸n-k+1多边形的划分方案数，即选择Pk这个顶点的f(n)=f(k)×f(n-k+1)。而k可以选 2到n-1，所以再根据加法原理，将k取不同值的划分方案相加，得到的总方案数为:f(n)=f(2)f(n-2+1)+f(3)f(n- 3+1)+„„+f(n-1)f(2)。看到此处，再看看卡特兰数的递推式，答案不言而喻，即为f(n)=h(n-2) (n=2，3，4，„„)。 最后，令f(2)=1，f(3)=1。 此处f(2)=1和f(3)=1的具体缘由须参考详尽的“卡特兰数”，也许可从凸四边形f(4)=f(2)f(3)+ f(3)f(2)=2×f(2)f(3)倒推，四边形的 2)f(3)=2，则f(2)f划分方案不用规律推导都可以知道是2，那么2×f( (3)=1，又 f(2)和f(3)若存在的话一定是整数，则f(2)=1，f(3)=1。(因为我没研究过卡特兰数的由来，此处仅作刘抟羽的臆测)。 类似问题 一位大城市的律师在她住所以北n个街区和以东n个街区处工作。每天她走2n个街区去上班。如果她从不穿越(但可以碰到)从家到办公室的对角线，那么有多少条可能的道路, import java.util.*; import java.math.BigInteger; public class Catalan { //求卡特兰数 public static void main(String[] args){ int numberOfCatalan = 101; //多少个卡特兰数 BigInteger[] digis = new BigInteger[numberOfCatalan]; digis = generateCatalan(numberOfCatalan); Scanner scanner = new Scanner(System.in); int number; while(true) { number = scanner.nextInt(); if(number == -1) break; String answer = digis[number].toString(); System.out.println(answer); } } static BigInteger[] generateCatalan(int numberOfCatalan) { //产生卡特兰数 BigInteger digis[] = new BigInteger[numberOfCatalan + 1]; BigInteger x = new BigInteger("1"); //第一个卡特兰数为1 digis[1] = x; int y = 0; int z = 0; for(int counter = 2; counter <= numberOfCatalan; ++ counter) { y = 4 * counter - 2; z = counter + 1; digis[counter] = digis[counter-1].multiply(new BigInteger("" + y)); digis[counter] = digis[counter].divide(new BigInteger("" + z)); } return digis; } } 使用递归的方式解决卡特兰数 public static double CatalanNumber(int n) { if (n == 1) { return 1; } else { return CatalanNumber(n - 1) * 2 * (2 * n - 1) / (n + 1); } } public static void main(String[] args) { for (int i = 1; i <= 50; i++) { System.out.println(i + "'s Catalan Number is " + Catal anNumber(i)); } }