杨辉三角数阵的增宽

杨辉三角数阵的增宽 上海市奉贤中学 王志和 201400 杨辉三角是我国古代数学的卓越成就，它和谐对称，耐人寻味，本文将杨辉三角数阵的 横向增宽，得到一系列数阵，其性质与杨辉三角类似。 1 1 1 数阵(一)特点是:从第二行起， 1 2 3 2 1 每一个数都等于它的“头”上及 1 3 6 7 6 3 1 “两肩”上的三个数之和， 1 4 10 16 19 16 10 4 1 (空挡处以0计算，以下类同) 1 5 15 30 45 51 45 30 15 5 1 计算前几行，可以猜测， „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ n第n行的各数的和是。 3数阵(一) 数阵(二)特点是: 从第二行起，每一个数 都等于它的“挑起”的四个 1 1 1 1 数(左右各两个)之和，计 1 2 3 4 3 2 1 算前几行，可以猜测，第n 1 3 6 10 12 12 10 6 3 1 1 4 10 20 31 40 44 40 31 20 10 4 1 n4行的各数的和是。 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 数阵(三) 数阵(二) 特点是从第二行 起，每一个数都 1 1 1 1 1 等于它“头”上 1 2 3 4 5 4 3 2 1 的数及它的“挑 1 3 6 10 15 18 19 18 15 10 6 3 1 起”的四个数 1 4 10 20 35 52 68 80 85 80 68 52 35 20 10 4 1 (左右各两个) „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„ 共五个数之和， 数阵(三) 计算前几行， 可以猜测，第 nn行的各数的和是5。 一般地，按照以上的规则，当是奇数时，第一行有个1，从第二行起，每一个数mm m,1都等于它“头”上数的及“挑起”个数(左右各个数)的和;当是偶数时，mm,12 m从第二行起，每一个数都等于它“挑起”的个数(左右各个数)的和，可以猜测，第m2 nmn行的各个数的和是。 我们只以数阵(一)的情形给出证明，其它的道理一样。 2n考察的展开式，按次数从低到高排列。 (1，x，x) 21，x，x当n=1时，系数是 :1 1 1 22234当n=2时，，系数是:1 2 3 2 1(1，x，x),1，2x，3x，2x，x 22234即:， (1，x，x),1，(1，1)x，(1，1，1)x，(1，1)x，x 2323456当时，; (1，x，x),1，3x，6x，7x，6x，3x，xn,3 系数是:1 3 6 7 6 3 1 即 2323456(1，x，x),1，(1，2)x，(1，2，3)x，(2，3，2)x，(3，2，1)x，(2，1)x，x一般地: 232n,22n,12n2na，ax，ax，ax，？，ax，ax，ax设:= (1，x，x)01232n,22n,12n 2n，122n又设:= (1，x，x),(1，x，x)(1，x，x) 232n,22n,12n2n，12n，2b，bx，bx，bx，？，bx，bx，bx，bx，bx 01232n,22n,12n2n，12n，2 „„„„„„„„„„„„„„„„(1) 22n另外: (1，x，x)(1，x，x), 232n,22n,12n2a，ax，ax，ax，？，ax，ax，ax()(1，x，x)01232n,22n,12n 23= a，(a，a)x，(a，a，a)x，(a，a，a)x，？，001012123 2n2n，12n，2 (a，a，a)x，(a，a)x，ax2n,22n,12n2n,12n2n „„„„„„„„„„„„„„„„(2) 比较相等的(1)式和(2)式得: ，，，„, b,a,1b,a，ab,a，a，ab,a，a，a0010120123123b,a，a，a，b,a，a，b,a,1 2n2n,22n,12n2n，12n,12n2n，22n 2n即的展开式按的升幂排列的系数若是数阵(一)的第n行，则x(1，x，x) 2n，1的展开式按x的升幂排列的系数便是数阵(一)的第n+1行，由数学归纳法，(1，x，x) 2n2n得的展开式按x的升幂排列的系数就是数阵(一)的第n行数，而(1，x，x)(1，x，x) nn33的展开式系数和是，于是数阵(一)的第n行的数的和是。 2n利用数阵(一)与的展开式的系数的对应关系，也可以求出数阵(一)的3(1，x，x)2nx第n行的各个数，例如求第n行的第4个数，便是的的系数，即是:(1，x，x) 311求出。C,，C,C,，如时即第5行的第4个数是30等。对其它数阵的各行的各数亦可 n,5nnn,1