一元二次方程

一元二次方程 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 第二章 一元二次方程 【课时划分】 2.1花边有多宽 1课时 2.2配 2课时 2.3公式法 2课时 2.4分解因式法 1课时 2.5为什么是0.618 3课时 回顾与思考 1课时 第一教时 【教学】2.1 花边有多宽 【教学目标】 1(要求学生会根据具体问题列出一元二次方程。通过“花边有多宽”，“梯子的底端滑动多少米”等问题的提出，让学生列出方程，体会方程的模型思想，培养学生把文字叙述的问题转换成数学语言的能力。 2(通过的讲解和引导，使学生抽象出一元二次方程的概念，培养学生归纳分析的能力。 【教学重点】 一元二次方程的概念 【教学难点】 如何把实际问题转化为数学方程 【教学用具】三角板 【教学方法】讲练结合法 【教学过程】 一、情景引入 1、生活实例1 观察:课本P46图2一1的长方形地毯(这块四周建有宽度相等的底边的地毯，它的长为8m， 2宽为5m，如果地毯中央长方形图案的面积为18m，那么花边有多宽, 2、实例2:连续整数，使前三个数的平方和等于后两个数的平方和, 2、实例3:一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子顶端距离地面的距离为8m，如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动多少米, 请根据上述三个生活实例、数学问题列出方程。 二、认识一元二次方程 1、由上面三个实例，我们可以得到下面3个方程: 2 2 22 2 (1)((8一2x)(5一2x)=18 (2)(x+(x+1) +(x+2) =(x+3) +(x+4) 222(3)((x+6) +7 =10 2、请将上面3个方程进行化简，并议一议:上述三个方程有什么共同特点, 3、归纳一元二次方程的概念: 只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，并且都可 2以化成ax+bx+c=0(a,b,c为常数，a?0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 一元二次方程概念的内涵:(1)是整式方程(2)只含有一个未知数(3)未知数的最高次数是2。 22我们把ax+bx+c=0(a,b,c为常数，a?0)称为一元二次方程的一般形式，其中ax，bx，c分别称为二次项、一次项、常数项，a,b分别称为二次项系数和一次项系数。 三、巩固练习: 1、找出下列关于x的方程中的一元二次方程，并说出其二次项系数、一次项系数和常数项: 3232222x,x,3,0x,2x，x,0?ax+bx+c=0 ? ? ? a，,5a 22，，，，，，，，y,1,y,1x,3x，1,x,8x,22x,1,0 ? ? ? - 1 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 22修改与批注 ，，a,1x，x，a,1,02、若关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值为 2m，1，，m,1x，3mx,2,03、m为何值时，关于x的方程是一元二次方程, 22a,b24、已知a?0，a?b，且x=1是方程ax+bx-10=0的一个解，则的值是____________。 2a,2b【作业设计】 1、把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项。 2 2 22 (1)(3x+2) =4(x-3) (2) 3x=5x-1 (3) (x+2)(x-1)=6 (4) 4-7x=0 22，，，，m,4x,6m,2x，3m,4,02、已知:方程，当m____时，它是一元二次方程，当m____时，它是一元一次方程。 m，，m,2x，2x,3,0 3、若关于x的方程是一元二次方程，则m=_______________。 【板书设计】 花边有多宽 一元二次方程: 例题演示(略) 巩固练习(略) (1)是整式方程; (2)只含有一个未知数; (3)未知数的最高次数是2。 【教学后记】 第二教时 【教学内容】 2.2 配方法(一) 【教学目标】 1、会用开平方法解形如(x+m)2=n (n?0)的方程; 2、理解配方法，会用配方法解二次项系数为1的的一元二次方程; 3、体会转化的数学思想，用配方法解一元二次方程的过程。 【教学重点】 用配方法解二次项系数为1的的一元二次方程 【教学难点】 配方的过程 【教学方法】 讲练结合法 【教学过程】 一、复习: 221、解下列方程:(1)x=9 (2)(x+2)=16 1222、什么是完全平方式,利用公式计算: (1)(x+6) (2)(x, ) 2 注意:它们的常数项等于一次项系数一半的平方。 23、尝试解方程:(梯子滑动问题)x+12x,15=0 二、探究学习: - 2 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 1、引入:像上面第3题，我们解方程会有困难，是否将方程转化为第1题的方程的形式呢, 修改与批注 2、解方程的基本思路(配方法) 22 如:x+12x,15=0 转化为 (x+6)=51 两边开平方，得 x+6=?51 ?x=51 ―6 x2=―51 ―6(不合实际) 12因此，解一元二次方程的基本思路是将方程转化为(x+m)=n 的形式，它的一边是一个完全平方式，另一边是一个常数，当n?0 时，两边开平方便可求出它的根。 3、配方:填上适当的数，使下列等式成立: 22 22 (1)x+12x+ =(x+6)(2)x―12x+ =(x― ) 22(3)x+8x+ =(x+ ) 从上可知:常数项配上一次项系数的一半的平方。 4、讲解例题: 2例1:解方程:x+8x―9=0 2分析:先把它变成(x+m)=n (n?0)的形式再用直接开平方法求解。 2解:移项，得:x+8x=9 222配方，得:x+8x+4=9+4 (两边同时加上一次项系数一半的平方) 2即: (x+4)=25 开平方，得:x+4=?5 即:x+4=5 ，或x+4=―5 所以:x=1，x=―9 12 5、配方法: 通过配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，这种解一元二次方程的方法称为配方法 三、巩固练习: 2x,25,0 1、 方程的解是______________________ 22、方程x-6x-5=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是 223、方程x+x-6=0左边配成一个完全平方式后,所得的方程是 22x,10x，18,0x，6x,14、用配方法解方程:(1) (2) 22x,14x,8x，2x，2,8x，4(3) (4) 2x,4x，3,05、三角形的两边长分别为2和4，第三边长是方程的解，求这个三角形的 周长。 四、课堂小结: (1)什么叫配方法, (2)配方法的基本思路是什么, (3)怎样配方, 【作业设计】 1、用配方法解下列方程: 2222(x,1),4x,6x,2,0(1) (2) (3)x+4x-3=0 (4)x+3x-2=0; 2x，7x,14x，1x 2、当为何值时，与的值相等, 3、在高尔夫球比赛中,某运动员打出的球在空中飞行高度h(m) 与打出后飞行的时间t(s)之 - 3 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 2间的关系是h=7t-t.(1)经过多少秒钟,球飞出的高度为10m; (2)经过多少秒钟,球又落到地面. 修改与批注 【板书设计】 配方法(二) 配方法步骤: 例题演示(略) 巩固练习(略) (1)移项; (2)配方; (3)求根。 【教学后记】 第三教时 【教学内容】 2.2 配方法(二) 【教学目标】 1、利用配方法解二次项系数不为1的一般一元二次方程。 2、进一步理解配方法的解题思路。 【教学重点】 利用配方法解二次项系数不为1的一般一元二次方程。 【教学难点】 利用配方法解二次项系数不为1的一般一元二次方程的步骤。 【教学方法】讲练结合法 【教学过程】 一、复习: 1、什么叫配方法, 2、怎样配方,(方程两边同加上一次项系数一半的平方。) 223、解方程: (1)x+4x+3=0 (2)x―4x+2=0 二、新授: 21、例题讲析: 例3:解方程:3x+8x―3=0 分析:将二次项系数化为1后，用配方法解此方程。 82解:两边都除以3，得: x+ x―1=0 3 82移项，得: x+ x = 1 3 844222配方，得:x+ x+( )= 1+( ) (方程两边都加上一次项系数一半的平方) 333 4522 (x+ )=( ) 33 451即:x+ =? 所以x= ，x=―3 12333 2、用配方法解一元二次方程的步骤: (1)把二次项系数化为1; (2)移项，方程的一边为二次项和一次项，另一边为常数项。 (3)方程两边同时加上一次项系数一半的平方。 - 4 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 (4)用直接开平方法求出方程的根。 修改与批注 3、做一做: 一小球以15m/s的初速度竖直向上弹出，它在空中的高度h(m)与时间t(s)满足关系: 2 h=15 t―5t小球何时能达到10m高, 三、巩固练习: 222223x,6x，_______,3(x,1)1、填空:(1) (2) 3213(______)x,x，,，322.若9x -ax +4是一个完全平方式，则a等于( ); A. 12 B. -12 C. 12或-12 D. 6或-6 3.用配方法解下列方程: 22(1)4x -4x -1 = 0; (2)7x -23x +6 = 0. 222(3)x -3x +1 = 0 (4) 2x+6 =7x (5) 3x -9x +2 = 0 224.当x为何值时，代数式5x +7x +1和代数式x -9x +15的值相等, 四、课堂小结: 用配方法解一元二次方程的步骤。 (1)化二次项系数为1; (2)移项; (3)配方; (4)求根。 【作业设计】 2a,4a,5,01、用配方法将方程变形得( ) 2222，，，，，，，，a,2,,9a，2,,9a，2,9a,2,9A. B. C. D. 2、用配方法解下列方程: 222(1)6x -7x +1 = 0; (2)5x-18 =9x (3)4x -3x = 52 222(4)5x =4-2x (5)x -3x +1 = 0 (6)2x+61 = 7x 【板书设计】 配方法(二) 配方法步骤: 例题演示(略) 巩固练习(略)(1)化二次项系数为1; (2)移项; (3)配方; (4)求根。 【教学后记】 第四教时 【教学内容】2.3公式法(一) 【教学目标】 1、用配方法推导一元二次方程的求根公式。 2、会用根的判别式判断一元二次方程根的情况。 3、熟练掌握一元二次方程的求根公式，并能用公式准确快速的求一元二次方程的根。 【教学重点】 1、用根的判别式判断一元二次方程根的情况。 - 5 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 2、用一元二次方程的求根公式准确快速的求一元二次方程的根。 修改与批注 【教学难点】 用配方法推导一元二次方程的求根公式。 【教学用具】小黑板 【教学方法】讲练结合法 【教学过程】 一、复习 1、用配方法解一元二次方程的步骤有哪些, 22、用配方法解方程:x,7x,18=0 二、新授: 21、推导求根公式:ax+bx+c=0 (a?0) bc2解:方程两边都作以a，得 x+ x+ =0 aa bc2移项，得: x+ x=, aa bbcb222配方，得: x+ x+( )=, +( ) a2aa2a 2b,4acb2即:(x+ )= 22a4a 2?a?0，所以4a>0 2当b,4ac?0时，得 22b,4ac,4acbb x+ =? =?22a4a2a 2,b?b,4ac?x= 2a 22一般地，对于一元二次方程ax+bx+c=0 (a?0)当b,4ac?0时，它的根是 2,b?b,4acx= 2a 22注意:当b,4ac<0时，一元二次方程无实数根，我们把b,4ac叫做一元二次方程根 的判别式。 >0 方程有两个不相等的实数根 2b,4ac =0 方程有两个相等的实数根 <0 方程无实数根 2、公式法: 利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法。 3、例题讲析: 2例:解方程:x―7x―18=0 解:这里a=1，b=―7，c=―18 22?b,4ac=(―7)―4?1?(―18)=121>0 7?121?x= 即:x=9, x=―2 12 2?1 2例:解方程:2x+7x=4 2解:移项，得2x+7x―4=0 这里，a=1 , b=7 , c=―4 22?b,4ac=7―4?1?(―4)=81>0 - 6 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 ―7?81―7?9修改与批注 ?x= = 42?2 1即:x= , x=―4 122 三、巩固练习: 1用公式法解下列各方程 222(1).5x+2x,1=0 (2)16x+8x=3 (3).x+6x+9=7 222224).2x-9x+8=0 (5).9y+6y+1=0 (6). y-y+2=0 ( 2xx,,,2102、一元二次方程的根的情况为( ) ,(有两个相等的实数根 ,(有两个不相等的实数根 ,(只有一个实数根 ,(没有实数根 23、已知关于x的方程ax,3x，1=0有实数根，求a的取值范围。 24、、已知一元二次方程x,4x，k=0有两个不相等的实数根，求k的取值范围; 5、下列关于x的一元二次方程中，有两个不相等的实数根的方程是( ) 2222(A)x，4,0 (B)4x,4x，1,0 (C)x，x，3,0 (D)x，2x,1,0 2xxk,，,306、已知方程有两个相等的实数根，则k . 四、课堂小结: 2,b?b,4ac2(1)求根公式:x= (b,4ac?0) 2a (2)利用求根公式解一元二次方程的步骤 【作业设计】 1、用公式法解下列各方程 22(1).2x-4x,1=0 (2).5x+2=3x (3)(x-2)(3x-5)=1 2.x,2x，m,02、若关于x的一元二次方程没有实数根，则实数m的取值范围是( ) A(m-1 C(m>l D(m<-1 23、一元二次方程x，x，2,0的根的情况是( ) A(有两个不相等的正根 B(有两个不相等的负根 C(没有实数根 D(有两个相等的实数根 4、下列方程中有实数根的是( ) x1222(A)x，2x，3,0 (B)x，1,0 (C)x，3x，1,0 (D) ,xx,,11【板书设计】略 【教学后记】 - 7 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 第五教时 修改与批注 【教学内容】2.3公式法(二) 【教学目标】 1(通过观察、归纳，猜想根与系数的关系，并证明此关系成立，使学生理解其理论根据。 2(使学生会运用根与系数关系解决有关问题。 【教学重点】 理解一元二次方程根与系数的关系，并能运用根与系数关系解决有关问题。 【教学难点】 让学生从具体方程的根发现一元二次方程根与系数之间的关系。 【教学方法】讲练结合法 【教学过程】 一、引入新课 我们知道，方程的根的值是由一元二次方程ax2+bx+c=0(a?0)的各项系数a,b,c决定的.我们还知道根的性质(有、无实数根及实数根的个数)由b2-4ac决定.今天我们来研究方程的两根之和及两根之积与a,b,c有什么关系? 二、探究新知 1、填写下表，从表格中找出两根之和x 、x 与两根之积 x •x 和a,b,c的关系: 22、猜想ax+bx+c=0 (a?0)的x+x，xx与a,b,c的关系; 1212 bc(引导学生猜想为x+x= ，xx= .) ,1212aa 3、证明上面的结论。(利用求根公式证明) 2证明:设ax+bx+c=0 (a?0)的两根为x,x, 12 24、归纳结论:对于一元二次方程ax+bx+c=0 (a?0)的两个根x和x与a,b,c有这样的关系: 12 bcx+x= ，xx= ，这个定理也称为“韦达定理”。 ,1212aa - 8 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 三、巩固应用 1、说出下列方程的两根和、两根积各是多少, 修改与批注 2222(1)x-3x+1=0 (2) 3x-2x=2 (3) 2x+3x=0 (4) 3x=1 22、已知方程5x+kx-6=0的一个根是2，求它的另一个根及k的值.(用两种方法解) 23、设x、x是方程2x-6x，3=0两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值: 12 11 222xx2212(1)xx+ xx (2)( x-x) (3) (x-2)(x-2) (4) + (5),x-x, 121+2121212 24、已知方程x,mx+2=0的两根互为相反数，则m= 。 四、课堂小结 不解方程，根据一元二次方程根与系数的关系和已知条件结合，可求得一些代数式的值;求得方程的另一根和方程中的参数的值。 【作业设计】 21、如果-5是方程5x+bx-10=0的一个根，求方程的另一个根及b的值。 23、已知关于x的一元二次方程x—mx+2m—1=0的两个实数根的平方和为23，求m的值。 224、已知关于x的一元二次方程(a,1)x,(a+1)x+1=0两根互为倒数，则a= 。 【板书设计】略 【教学后记】 第六教时 【教学内容】2.4 分解因式法 【教学目标】 1(能根据具体一元二次方程的特征，灵活选择方程的解法。体会解决问题方法的多样性。 2(会用分解因式(提公因式法、公式法)解某些简单的数字系数的一元二次方程。 【教学重点】 掌握分解因式法解一元二次方程。 【教学难点】 灵活运用分解因式法解一元二次方程。 【教学方法】讲练结合法 【教学过程】 一、引入新课 1、用两种不同的方法解下列一元二次方程。 22(1). 5x-2x-1=0 (2). 10(x+1) -25(x+1)+10=0 2、情境引入 (1)观察比较:一个数的平方与这个数的3倍有可能相等吗, - 9 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 如果相等，这个数是几,你是怎样求出来的, (2)阅读课本P67页小颖、小明、小亮的解法并讨论其正确性。 (3)分析小颖、小明、小亮的解法: 小颖:用公式法解正确; 修改与批注 小明:两边约去x，是非同解变形，结果丢掉一根，错误。 小亮:利用“如果ab=0，那么a=0或b=0”来求解，正确。 二、探究新知 1、分解因式法:当一元二次方程的一边为0，而另一边易于分解成两个一次因式的乘积时，我们就可以用小亮的方法方法求解，即:“如果ab=0，那么a=0或b=0”，这种解一元二次方程的方法叫分解因式法。 2、分解因式的方法: (1)提取公因式法 (2)运用公式法:平方差公式、完全平方公式 3、例题讲析: 2例 解下列方程:(1) 5x=4x (2). x-2=x(x-2) 解:(1)原方程可变形为: (2)原方程可变形为 2 5x,4x=0 x,2,x(x,2)=0 x(5x,4)=0 (x,2)(1,x)=0 x=0或5x=4=0 x,2=0或1,x=0 4?x=0或x= ?x=2，x=1 12125 224、想一想: 你能用几种方法解方程x-4=0, (x+1)-25=0 ? 请尝试一下。 5、归纳用因式分解法解一元二次方程的步骤及关键: (1)通过移项，将方程右边化为零; (2)将方程左边分解成两个1次因式之积; (3)分别令每个因式等于零，得到两个一元一次方程; (4)分别解这两个一元一次方程，求得方程的解。 三、巩固练习 1、用分解因式法解下列方程: 222(1)(x+2)(x-4)=0 (2) 4x(2x+1)=3(2x+1) (3) 5(x-x)=3(x-x ) (4) 2x+4x=x+2 2、一个数的平方的 2倍等于这个数的7倍，求这个数。 四、课堂小结 利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是关键，因此，要熟练掌握因式分解的知识，通过提高因式分解的能力，来提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法时，先考虑有无公因式，如果没有再考虑公式法。 【作业设计】 用分解因式法解下列方程: 2(1) (4x-1)(5x+7)=0 (2) 3x(x-1)=2-2x (3) (2x+3)=4(2x+3) 2222 (4) 2(x-3)=x-9 (5) (x-2)=(2x+3)(6) (x-2)(x-3)=12 【板书设计】略 【教学后记】 - 10 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 第七教时 【教学内容】2.5为什么是0.618,(一) 修改与批注 【教学目标】 1、掌握黄金分割中黄金比的来历; 2、经历分析具体问题中的数量关系，建立方程模型并解决问题的过程，认识方程模型的重要性。 【教学重点】 列一元二次方程解决实际问题。 【教学难点】 找出实际问题中的等量关系式，并依题意列出方程。 【教学用具】三角板 小黑板 【教学方法】讲练结合法 【教学过程】 一、复习 221、解方程:(1)x+2x+1=0 (2)x+x,1=0 、什么叫黄金分割,黄金比是多少,(0.618) 2 3、哪些一元二次方程可用分解因式法来求解, (方程一边为零，另一边可分解为两个一次因式) 二、新授 1、黄金比的来历 ACCB 如图，如果 = ，那么点C叫做线段AB的黄金分割点。 ABAC ACCB2由 = ，得AC=AB?CB 设AB=1， AC=x ，则CB=1,x ABAC 22?x=1?(1,x) 即:x+x,1=0 ―1+5―1―5解这个方程，得 x= , x= (不合题意，舍去) 1222 ―1+5AC所以:黄金比 = ?0.618 AB2 5 ―1注意:黄金比的准确数为 ，近似数为0.618. 2 上面我们应用一元二次方程解决了求黄金比的问题，其实，很多实际问题都可以应用一 元二次方程来解决。 2、例题讲析:例1:某海军基地位于A处，在其正南方200海里处有一目标B，在B的正东 方向200海里处有一重要目标C。小岛D位于AC的中点，岛上有一补给码头;小岛F位于 BC上且恰好处于小岛D的正南方向。一艘军舰从A出发，经B到C匀速巡航，一般补给船 同时从D出发，沿南偏西方向匀速直线航行，欲将一批物品送达军舰。 (1)小岛D和小岛F相距多少海里, (2)已知军舰的速度是补给船的2倍，军舰在由B到C的途中与补给船相遇于E处， 那么相遇时补给船航行了多少海里,(结果精确到0.1海里) 解:(1)连接DF，则DF?BC， ?AB?BC，AB=BC=200海里 ?AC=2 AB=2002 海里，?C=45? - 11 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 1?CD= AC=1002 海里 DF=CF，2 DF=CD 2 22修改与批注 ?DF=CF= CD= ?1002 =100海里 22 所以，小岛D和小岛F相距100海里。 (2)设相遇时补给船航行了x海里，那么DE=x海里，AB+BE=2x海里 EF=AB+BC―(AB+BE)―CF=(300―2x)海里 222在Rt?DEF中，根据勾股定理可得方程:x=100+(300,2x) 2整理得，3x,1200x+100000=0 10061006解这个方程，得:x=200, ?118.4 x=200+ (不合题意，舍去) 1233 所以，相遇时，补给船大约航行了118.4 海里。 3、列一元二次方程解决实际问题的步骤及关键是什么, ? 审清题意。明确题目中有哪些量，哪些是已知量，哪些是未知量，要整体、系统地审清题意。 ? 设未知数。有直接设未知数和间接未知数两种方法。一般选用直接设法。 ? 列出方程。 ? 解所列方程 ? 检验。检验所列方程的解不仅要满足所列的方程，还应符合实际问题的具体意义。 ? 作答。 列方程解应用题的关键是审清题意，辨明问题中的已知量和未知量，找出它们之间的数量关系，恰当的设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的数量关系。 三、问题解决——面积问题 1、一个面积为120平方米的矩形苗圃，它的长比宽多2米，苗圃的长和宽各是多少, 2、有一个长为16m的绳子，你能否用它围出一个面积为15?的矩形,如果能，这个矩形的长和宽各是多少, 3、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形的四个角上截去四个全等的正方形，使得留下的图形(图中阴影部分)面积是原矩形面积的80,，所截去的小正方形的边长是 。 4、如图某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙(墙长 2218m)，另三边用木栏围成，木栏长35m。?鸡场的面积能达到150m吗,?鸡场的面积能达到180m a吗,如果能，请你给出设计

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;如果不能，请说明理由。(3)若墙长为m,另三边用竹篱笆围 a成，题中的墙长度m对题目的解起着怎样的作用? 【作业设计】 1、如图，在宽为20m ，长为30m ，的矩形地面上修建两条同样 宽且互相垂直的道路，余分作为耕地为551?。则道路的宽为 是 。 - 12 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 2、一个两位数的十位数字与个位数字之和是7，如果把这个两位数加上45，•那么恰好成为修改与批注 把个位数字和十位数字对调后组成的数，那么这两位数是多少, 【板书设计】 为什么是0.618(一) 列方程解应用题的步骤: 方位角问题(略) 面积问题(略) (1)审清题意。; (2)设未知数; (3)列出方程; (4)解所列方程; (5)检验; (6)作答。 【教学后记】 第八教时 【教学内容】2.5为什么是0.618,(二)——销售问题 【教学目标】 1、分析具体问题中的数量关系，列出一元二次方程; 2、通过列方程解应用题，进一步提高逻辑思维能力和分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 列一元二次方程解决实际问题。 【教学难点】 找出实际问题中的等量关系式，并依题意列出方程。 【教学用具】小黑板 【教学过程】 一、复习: 5 ―11、黄金分割中的黄金比是多少, [ 准确数为 ，近似数为0.618 ] 2 2、列方程解应用题的三个重要环节是什么, 3、列方程的关键是什么,(找等量关系) 4、售价—进价=利润 单价?销售量=销售额 单件利润?销售量=总利润 二、新授 在日常生活生产中，我们常遇到一些实际问题，这些问题可用列一元二次方程的方法来 解答。 1、讲解例题: 例2、新华商场销售某种冰箱，每台进货价为2500元，市场调研表明，为销售价为2900 元时，平均每天能售出8台，而当销售价每降低50元时，平均每天就能多售出4台，商场要 想使这种冰箱的销售利润平均每天达到5000元，每台冰箱的定价为多少元, 分析: - 13 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 总利润(元) 每天的销售量(台) 每台的利润(元) 降价前 8 400 3200 降价后 400,x x4x 8+4? (8+ )?(400,x) 5050每台 冰箱的销售利润?平均每天销售冰箱的数量=5000元 如果设每台冰箱降价为x 元，那么每台冰箱的定价就是(2900,x)元，每台冰箱的销售利润 为(2900,x,2500)元。这样就可以列出一个方程，进而解决问题了。 x解:设每台冰箱降价x元，根据题意，得:(2900,x,2500)(8+4? )=5000 50 2900,150=2750 元 所以，每台冰箱应定价为2750元。 关键:找等量关系列方程。 2、销售问题中的等量关系为:售价—进价=利润 单价?销售量=销售额 单件利润?销售量=总利润 三、巩固练习 1、某商场将进货价为30元的台灯以40元售出，平均每月能售出600个，调查表明这种 台灯的售价每上涨一元，某销售量就减少10个，为了实现平均每月20000的销售利润，这种 台灯的售价应定为多少,这时应进台灯多少个, 分析:每个台灯的销售利润?平均每天台灯的销售量=10000元 可设每个台灯涨价x元。 (40+x,30) ?(600,10x)=10000 答案为:x=10, x=40 12 10+40=50, 40+40=80 600,10?10=500 600,10?40=200 2、某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加利润，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施(经调查发现，•如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件;若商场平均每天要赢利1 200元，•每件衬衫应降价多少元, 【作业设计】 1、某水果批发商场经销一种高档水果，如果每千克盈利10元，每天可售出500千克，经市场调查发现，在进货价不变的情况下，若每千克涨价1元，日销售量将减少20千克。现该商品要保证每天盈利6000元，同时又要使顾客得到实惠，那么每千克应涨价多少元, 2、某种服装，平均每天可销售20件，每件盈利44元。在每件降价幅度不超过10元的情况下，若每件降价1元，则每天可多销售5件，如果每天要盈利1600元，每件应降价多少元, 3、某果园有100棵桃树，一棵桃树平均结1000个桃子，现准备多种一些桃树以提高产量。试验发现，每个一棵桃树，每科桃树的产量就会减少2个，但多种的桃树不能超过100棵。如果要是产量增加15.2%，那么应该多种多少棵桃树, 【板书设计】 为什么是0.618(二) 销售问题: 例题讲析:略 巩固练习(小黑板出示) 售价—进价=利润 单价×销售量=销售额 单件利润×销售量=总利润 【教学后记】 - 14 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 第九教时 【教学内容】2.5为什么是0.618,(三) 【教学目标】 、熟练掌握一元二次方程的解法，能灵活选择方法解一元二次方程。 1 2、能利用方程解决有关实际问题，提高学生的应用能力。 【教学重点】准确找出题目中的数量关系式，并依据数量关系式列方程解决实际问题。 【教学难点】 一元二次方程的几种解法;列一元二次方程解应用题。 【教学用具】小黑板 【教学过程】 一、复习引入 221) 2(x+3)=x(x+3) (2) x,25 x+2=0 解下列方程: ( 二、解决问题:平均增长率问题 例1 恒利商厦十月份的销售额为160万元，商厦从十一月份起加强管理，改善经营，使销售额稳步上升，十二月份的销售额达到了193.6万元，求这两个月的平均增长率. 2解 设这两个月的平均增长率是x.，则根据题意，得160(1+x),193.6， 2即(1+x),1.21，解这个方程，得x,0.1，x,,2.1(舍去). 12 答: 这两个月的平均增长率是10%. 讲析:这是一道正增长率问题，对于正的增长率问题，在弄清楚增长的次数和问题中每一个 2数据的意义，即可利用公式m(1+x),n求解，其中m,n.对于负的增长率问题，若经过两次相等 2下降后，则有公式m(1,x),n即可求解，其中m,n. n,2、归纳数量关系式:变化前数量?(1x),变化后数量 3、巩固应用: (1)青山村种的水稻2001年平均每公顷产7200公斤，2003年平均每公顷产8450公斤， 这种水稻每公顷产量的年平均增长率是多少, (2)某种商品经过两次连续降价，每件售价由原来的90元降到了40元，求平均每次降价 率。 (3)市政府为了解决市民看病难的问题，决定下调药品的价格。某种药品经过连续两次降 价后由每盒200元下调至128元，求这种药品平均每次降价的百分率。 【作业设计】 1、某种商品，原价50元，受金融危机影响，1月份降价10,，从2月份开始涨价，3月份 的售价为64.8元，求2、3月份价格的平均增长率。 2、某药品经两次降价，零售价降为原来的一半，已知两次降价的百分率相同，求每次降价 的百分率。 3、某电视机厂

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用两年的时间把某种型号的电视机的成本降低36%, 若每年下降的百分数相同,求这个百分数. 【板书设计】略 【教学后记】 - 15 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 第十教时 【教学内容】回顾与反思 【教学目标】 1、熟练掌握一元二次方程的解法，能灵活选择方法解一元二次方程。 2、能利用方程解决有关实际问题，提高学生的应用能力。 【教学重点】 熟练掌握一元二次方程的几种解法，能灵活选择方法解一元二次方程。 【教学难点】 利用方程解决有关实际问题，提高学生的应用能力。 【教学用具】幻灯片 【教学过程】 一、知识点梳理 1、一元二次方程的概念:只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2次，并且都可以 2化成ax+bx+c=0(a,b,c为常数，a?0)的形式，这样的方程叫做一元二次方程。 2、解一元二次方程的方法:直接开平方法、配方法、公式法、分解因式法。 3、一元二次方程的应用:面积问题、销售问题、增长率问题等。 以上知识点由小组合作归纳整理。 二、巩固理解 (一)填空题 1.方程x(2x,1)=5(x+3)的一般形式是___________，其中一次项系数是_________，二次项系数是_________，常数项是_________. 222.关于x的方程(k+1)x+3(k,2)x+k,42=0的一次项系数是,3，则k=_________. 23.3x,10=0的一次项系数是_________. 24.一元二次方程+axbx+c=0的两根为_________. 322 225.x+10x+_________=(x+_________)6.x,x+_________=(x+_________) 227.一个正方体的表面积是384 cm，则这个正方体的棱长为_________. 2228.m_________时，关于x的方程m(x+x)= x,(x+2)是一元二次方程, 229.方程x,8=0的解是_________，3x,36=0的解是_________. 2a,2a,110.关于x的方程(a+1)x+x,5=0是一元二次方程，则a=_________. 211.一矩形的长比宽多4 cm，矩形面积是96 cm，则矩形的长与宽分别为_________. (二)选择题 1.下列方程中，关于x的一元二次方程有( ) m2222225?x=0 ?ax+bx+c=0 ?x,3=x ?a+a,x=0 ?(m,1)x+4x+=0 2 111222x,1 ?+= ?=2 ?(x+1)=x,9 2x3x A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 2.方程2x(x,3)=5(x,3)的解是( ) - 16 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 55修改与批注 A.=3 B.= C.=3，= D.=,3 xxxxx122223.若n是方程x+mx+n=0的根，n?0，则m+n等于( ) 11A., B. C.1 D.,1 22 1124.方程 (x+)+(x+)(2x,1)=0的较大根为( ) 33 1121A., B. C. D. 393225.关于x的方程 x+mx+n=0的两根中只有一个等于0，则下列条件中正确的是( ) A.m=0，n=0 B.m=0，n?0 C.m?0，n=0 D.m?0，n?0 6.某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为( ) A.15% B.20% C.5% D.25% 327.2是关于的方程,2=0的一个根，则2,1的值是( ) xxaa2 A.3 B.4 C.5 D.6 8.下列方程适合用因式方程解法解的是( ) 2222A.,3+2=0 B.2=+4 C.(,1)(+2)=70 D.,11,10=0 xxxxxxxx 2229.已知x=1是二次方程(m,1)x,mx+m=0的一个根，那么m的值是( ) 1111A.或,1 B.,或 1 C.或 1 D. 2222 236210.方程x,(+)x+=0的根是( ) 363322A.x=，x= B.x=1，x= C.x=,，x=, D.x=? 121212 211.方程x+m(2x+m),x,m=0的解为( ) A.x=1,m，x=,m B.x=1,m，x=m C.x=m,1，x=,m D.x=m,1，x=m 12121212 12.一台电视机成本价为a元，销售价比成本价增加25%，因库存积压，所以就按销售价的70%出售，那么每台实际售价为( ) A.(1+25%)(1+70%)a元 .70%(1+25%)a元 C.(1+25%)(1,70%)a元 D.(1+25%+70%)a元 三、问题解决 1. 为响应国家“退耕还林”的号召，改变我省水土流失严重的现状，2000年我省某地退耕还林1600亩，到2002年已退耕还林1936亩，问这两年平均每年退耕还林的增长率是多少, 2.以大约与水平成45?角的方向，向斜上方抛出标枪，抛出的距离s(单位:m)与标枪出手 2v的速度(单位:m/s)之间大致有如下关系:=+2，如果抛出40米，求标枪出手速度(精确vs9.8 到0.1 m/s). 3、某商场销售一批衬衫，平均每天售出20件，每件盈利40元. 为减少库存，尽快回收成本，商场决定降价销售. 经调查发现，售价每降低1元，每天平均可多售出2件. 若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元. 4、生物兴趣小组的同学，将自己采集到的标本向本组其他成员各赠送一件，全组共互赠了182件，全组共有多少名同学, 5、一个商店把货物按标价的九折出售，仍可获利20%，若该货物的进价为21元，求该货物每件的标价为多少元, - 17 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 6、如图，在长为32 m，宽为20 m的矩形地面上修建同样宽度的道路(图中阴影部分)，余下的修改与批注 2部分种植草坪，要使草坪的面积为540m,求道路的宽, 【板书设计】略 【教学后记】 - 18 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 19 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 20 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 21 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 22 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 23 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 24 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 25 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 26 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 27 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 28 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 29 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 30 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 31 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 32 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 33 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 34 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 35 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 36 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 37 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 38 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 39 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 40 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 41 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 42 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 43 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 44 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 45 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 46 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 47 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 48 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 49 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 50 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 51 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 52 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 53 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 54 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 55 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 56 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 57 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 58 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 59 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 60 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 61 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 62 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 63 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 64 - 北师大版九年级数学上册 甘浚镇中心学校九年级数学组编 修改与批注 - 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