二 2010年广东高考文科数学怎么考

、考试大纲以及细化的考试说明，因此命题人员会严格依 据考试大纲对相应内容的层次要求来命制试题。作为2010年的考生依然要关注这些考试大纲的变化，复习时要首先对考试大纲所覆盖的考点的层次要求有一个比较清醒的认识，这样 才能把握好复习方向。这里对一些要求有所变化的知识点做一个统计．便于考生把握好复习 的方向 必修：三角函数中的积与和差互化、已知三角函数值求角、解分式(含无理、超越)不等式、 线段的定比分点、平移公式三垂线定理 选修：极限、连续。 现在很多高考辅导资料依然将上述删减的知识点作为2010年的备考内容，这是不合适的。考生应该避免浪费精力在这些删减了的知识点上，避免做无用功。 知识点：古典概型 复数的概念、复数相等的充要条件 线面关系的性质定理 双曲线、抛物线的参数方程 平面向量数量积的含义和物理意义 备考过程中，一定要知道哪些内容在要求上有所变化。从上可以看到，古典概型、线 面关系性质从了解上升到理解，仅仅是指需要考生借助于生活中的事例，能够抽象出相关的 定理，并能简单应用。参数方程只在选做题目中出现，其余很少涉及。 知识点：集合 调整前：理解 调整后：了解 知识点：任意角、弧度制 调整前：理解 调整后：了解 知识点：双曲线 调整前：掌握 调整后：了解 知识点：反函数、分段函数 调整前：理解 调整后：了解 知识点：三角公式 调整前：掌握 调整后：能用 知识点：导数的几何意义 调整前：掌握 调整后：理解 知识点：逻辑、命题的充要条件 调整前：理解 调整后：了解 知识点：向量的几何表示 调整前：掌握 调整后：理解 知识点：数列的概念 调整前：理解 调整后：了解 由上可知，部分内容已经降低了要求，因此备考时一定要根据知识点要求的调整合理 选择训练素材。 高考重在能力的考查。这是多年来高考的命题方向，也当然是2010年广东高考数学科试题的方向。那么高考是怎么进行能力的考查的?尽管高考的能力要求在考试大纲上有明确 的规定，但是在具体的试题中，这些能力要求是怎样体现的呢?下面举例说明。 新课程标准的教材是按照不同模块来编排的，这样就打破了原来教材的编排顺序，各 个模块之间既相对独立又同属于一个完整的知识体系，模块之间相互交叉渗透。相对于原来 版本的教材，知识的体系显得松散了一些。例如：解析几何分布在两个不同的模块必修2以及选修1一1中，新增的内容概率与统计也是分两个不同的模块来进行学习的。将不同模 块的内容整合在一道题目中，这是近三年广东高考文科数学试题最显著的特点，相信在2010年的试题中依然会延续这种风格。下面通过例题来分析这种整合是怎么进行的：面对这样的 题目又该怎么去寻求解题对策。 [例4] （2008年广东卷文科） 22 20．设b>0，椭圆方程为xy2，,1，抛物线方程为x=8(y-b)．如图5所示，过点222bb F(0，b+2)作x轴的平行线，与抛物线在第一象限的交点为G．已知抛物线在点G的切线经过椭圆的右焦点F． 1 (1)求满足条件的椭圆方程和抛物线方程； (2)设A，B分别是椭圆长轴的左、右端点，试探究在抛物线上是否存在点P，使得?ABP为直角三角形?若存在，请指出共有几个这样的点?并说明理由(不必具体求出这些点的坐标)． 【解析】观察本题目，椭圆属于选修1—1，抛物线(二次函数)则可以说是必修1的内容，导数也出现在选修1—1中。这道题目跨越不同的模块，具有一定的综合性。弄清楚题 意后，应该一个解题程序。我们读文章通常要强调“文眼”，解数学题也应该找出“题 眼”，“题眼”就是解题的突破口。显然，过点F（0,b+2）作x轴的“平行线”就是本“题坐标，最后以方程为工具，问题迎刃而解。 1眼”，按照这条线索，可以求出点G的坐标，接下来利用导数就可以求出切线方程，进而得 这种跨模块的综合问题有着起点低、人手宽、不难深入的特点。其实难度不大，主要到点F是整合的内容比较多，结果就令许多考生胆怯。此外，即使是选择(填空题)也有这种趋势。一个题目涉及若干知识点，将不同模块的内容糅合在一起，难度中等，考生应该将命题人员 整合后的素材再进行分解，找准“题眼”，就能够顺利解决问题。 数学是思维的科学，运算技能是数学思维技能的一部分，但不是最核心的部分。解数 学题固然离不开运算，但是倘若运算量过大，那么繁杂的运算势必冲淡思维过程。有的题目 一看就知道怎么做，接下来就是大量的计算，广东高考文科数学就很少考这样的题目，而是 尽量减少运算的复杂程度，腾出空间来让学生思考，以考查学生的思维水平。举例如下： [例5] （2007年广东卷文科） 19.在平面直角坐标系xOy中，已知圆心在第二象限，半径为的圆与直线相切于22 22xy坐标原点O，椭圆，,1与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10． 29a (1)求圆C的方程： (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q，使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长．若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 【解析】显然本题也具备不同模块内容整合的特点，这方面的特点就不赘述。我们 从另外的角度来分析，研究广东高考文科数学试题是怎么进行思维水平的考查。 第(1)问难度不大，类型很常见，只要按部就班就可以得满分。 由已知可得 2a=10 a=5 22 椭圆的方程为yx，右焦点为F（4,0）； ，,1259 设圆C的圆心为（m,n）,m<0,n>0. m,,n,m,,2,, 则 解得 ,,n,2,n2,22,, 22所求的圆的方程为(x+2)+(y-2)=8 第(2)问就要动动脑筋了，可以判断点F在圆C外，借助图形(这点相当重要)连结CF，设线段CF与圆C交点为M，计算出CF,210,那么MF,210,22,显然圆C上的所有点 中M到点F的距离最小，下面只要说明MF,210,22,4即可。 这里，第(2)问的解答是一个典型的“多想少算”的过程。如果直接去解决方程组 (不等式组)简直是办不到的，通过绘图，提出解决问题的，进行实践，不断修正，直至 问题解答。把有限的时间更多地投入到思考中，避免大量计算。 寥寥数语加上缜密思维，就避免了复杂的运算，可以说是广东高考也是新课程高考 的特色。重点在考查学生的思维，通过鼓励多想少算，来达到考试的目的，备考时要有意识 这样训练。 重点知识，是那些在整个高中数学知识体系中的主干知识，包括函数、导数、不等式、 三角函数、数列、平面向量、立体几何、解析几何、概率统计等。 重要方法．就是在学生数学思维发展过程中起到“推波助澜”作用的思想与方法，包 括函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类讨论思想等。将这些知识点与思 想方法以各种不同的层次融入试题中，设计成新颖的数学试题，通过考生对数学思想方法的 直觉运用来对考生的数学能力进行区分，使整个试卷显得“骨骼强大”、“肌肉丰满”。 不刻意追求知识点的覆盖率，不回避重点知识的考查，关注重要的数学思想方法，在 这里命制的题目一般都是所谓的压轴题。对于我们考生来说，关心的是怎么解决这些问题； 有没有一些合理的“套路”；或者是“久试不衰”的办法。我们把广东高考文科数学这三年 的“压轴”题目做一些归类，再针对性的介绍一些策略。 (1)含参数的压轴题。 方程、函数解析式、曲线的方程等一旦含参数，处理起来就比较棘手了。示例如下： 2+2x-3-a，如果函数y=f(x)在区间[-1．1]上有零[例6] （2007年广东卷文科） 点。求a的取值范围． 21．已知a是实数，函数f(x)=2ax 【解析】函数的零点是新课程教材增加的概念，这个题目入手比较容易。命题组提供的 标准答案与考生的解答大同小异：首先讨论a，其次讨论对称轴，分类很复杂，运算量惊人。 如何才能找到一条捷径?函数解析式含有参数，这就是一个变化的问题了，哪里有变化，哪 2里就有不变。可以猜测：函数f(x)=2ax+2x-3-a图象是否经过定点? 222 将函数解析式变形为a(2x-1)+2x-3=y，令2x-1=0则y=2x-3，即曲线f(x)=2ax+2x-3-a 22不论a取任何实数均经过定点M(,2,3),N(,,,2,3),那么当a=0时，显然不符合要22 求： 由于找到了函数中不变的因素，这个问题就变得相对简单了许多： 1 当a>0时，曲线恒有两个零点，由于此时对称轴所以要使得在区间[-1，x,,,0,2a1]有零点，当且仅当f(1)?0，即a?1； ,3，7,3，7 当a<0时，首先应有V?0，解之有或 ,a,0,a,22 ,3，7112 如果，那么有所以在区间[-1，1]上有两0,,,,,a,222a,3，7个不同的零点； ,3，7 如果，由于此时f(1)=a-1<0，所以在区间[-1，1]上无零点。 ,a,02 ,3，7 综上，实数的取值范围为a?1或 a,。2 2007年高考，全省考生中采取上述办法解决这个题目的．基本上没有。说明我们的 备考太注重模式化的解题训练了，缺乏一些创新精神。动直线(曲线、函数图象)过定点，是 比较常见的。怎么把这些常规方法运用自如，恐怕只靠纯粹的练习是不够的，要不断思考， 才会有效果。 一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式是每年的重点考查内容，集重点、难 点于一身。涉及到的数学思想方法有：分类讨论、数形结合等。 题目只要含有了参数，往往就具备了一定的难度。上面的解答应该能够给考生一些 启发：运动和静止是相对的，从不变中探求变化的量，从变化中寻找不变的因素，就是解此 类问题的一个有效的出发点。 (2)拼盘式的压轴题。 有些压轴试题综合了若干不同模块的知识，给学生眼花缭乱的感觉。这方面的代表 题目是2009年广东文科第21题。 [例7] （2009年广东卷文科） g(x)。 f(x),21. 已知二次函数y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处取得x 最小值m-1(m?O)，设函数(1)若曲线y=f(x)上的点P到点Q(0，2)的距离的最小值为，求m的值． 2 (2)k(k?R)如何取值时，函数y=f(x)-kx存在零点，并求出零点。 【解析】本题属于难题，综合了不同模块的知识与方法。解答这类压轴题目时，首先要 仔细阅读条件，阅读过程中会有一些初步想法，或者可以直接计算出一些结果，这对解决整 个问题可能会有作用。然后可以想，有没有见过类似的问题?或者题目中的部分问题有没有见过?能不能画个图? (这点很关键)阅读完题目后，能不能用自己的话再叙述一遍?这些就是解决问题的思维过程。 例如上述例题，就可以将其分解成三个小问题： 问题1：已知二次函数y=g(x)的导函数的图象与直线y=2x平行，且y=g(x)在x=-1处 取得最小值m-1(m?0),求二次函数解析式； 问题2：2m22x，，2m的最小值为，求实数m 202x0 问题3： 讨论方程的零点。 这三个问题。对大多数高三学生来说，都不陌生。综合问题大多数也具有“拼盘” 的特征．如果在阅读的时候能够把它“拆分”成若干小问题，再寻找突破口，就会显得容易 了。解答的时候可以采取“各个击破”的策略，为全方面解决问题做些铺垫： 2 设g(x)=ax+bx+c，则g'(x)=2ax+b， 又g’(x)的图象与直线y=2x平行 ?2a=2 a=1 b 又g(x)在x=-1取极小值，,,,1，b=2 2 ?g(-1)=a-b+c=1-2+c=m-1，c=m； 设P(x,y) 00 2mm22222 再利用两点间的距离得到2x，，2m, |PQ|,x2，(y,2),x，(x，),0000020xx0 22 自然想到基本不等式：22m，2m,2,，那么 |PQ|,22m，2m 2,22，2 可以求得。 m,或m,,22 m 由 y,f(x),kx,(1,k)x，，2,0(*),x m*m 当k=1时，方程(x,,;)有一解，函数有一零点 x,,22 *)有二解， 1 若m>0， k,1,,m 当k?1时，方程( ,2,4,4m(1,k)1,1,m(1,k) 函数有两个零点 x,,;2(1,k)k,1 ,2,4,4m(1,k)1,1,m(1,k)1 若m<0,k<1-x,,;,函数有两个零点 2(1,k)k,1m 1 当k?1时，方程（*）有一解，k<1-, m 1 函数有一零点 x,k,1 （3）深入型的问题。 有些难题只涉及一个方面的知识点．但是在对知识掌握程度以及解决问题的熟练 和灵活程度方面的要求比较高，可称为“深入”型的试题。例如2008年广东高考文科第21题，通篇只涉及数列。需要考生比较熟练数列中的常见方法，如待定系数法、错位相减法以 及化归的一些策略。解决这类压轴问题要求考生对某一知识必须有深入的理解，作为此类压 轴题目的素材常常是数列、圆锥曲线与直线等。 很多考生会关心广东2010年高考文科数学的压轴题目会怎么考，我们以上的分析 可以给你提供一个思路。这是一个方向，要以不变应不万变，盲目的猜题压题是错误的，分 析了解一些命题规律以及解题策略还是应该提倡的。 与语文一样，数学学科也有阅读，只不过数学阅读一般是通过语言转换来实现的。 数学语言主要有三种：自然语言(文字语言)、符号语言、图形语言。这是一种简约的语言， 学生的数学语言能力与数学学习的成绩存在着一定的相关性。此外，数学语言也是人类进行 交流的工具，因此能否应用这种语言进行沟通就是检测具备数学基本素养的手段之一。 首先我们对比2009年文、理科的一道数学题，看看能从中发现什么。 [例8] (2009年广东卷文科） 2．下列n的取值中，使in=1(i是虚数单位)的是( )． A．n=2 B．n=3 C．n=4 D．n=5 4【解析】因为i=1，故选C． (2009年广东高考理科) n 2．设z是复数，a(z)表示满足z=1的最小正整数n，则对虚数单位i．a(i)= A．8 B．6 C．4 D．2 234【解析】C．因为i=-1，i=-i，i=1，故a(i)=4，故选C． 仔细观察，不难发现两道题实质上完全相同，可是为什么命题者却如此设计这道文 科试题?显然是为了测试考生的数学语言转换能力。题目中使用了符号“a(i)”，这就需要 学生能够准确翻译它。事实上确实有些考生感觉到此题解答起来不舒服，这说明我们的语言 转换能力真的很薄弱。要注意这种倾向，毕竟数学与其他学科最大的区别在于有自己的语言。 [例9] （2009年广东卷文科) 6．给定下列四个命题： ?若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行： ?若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直： ?垂直于同一直线的两条直线相互平行； ?若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不 垂直． 其中，为真命题的是( ) A．?和? B．?和? C．?和? D．?和? 【解析】答案为D。此题目在考查空间直线与平面的位置关系的同时，也在考查考生的 语言应用能力。题目中给出的都是自然语言，我们只要绘出相应的图，即把自然语言转换成 图形语言，再配合适当的反例即可。有的同学反映立体几何很难学，其实主要的原因是没有 针对性的训练语言的转换能力。相对于理科试题，广东近三年的文科数学对这方面的考查明 显弱了一些，这是一个信号，预测2010年的文科数学试题将增加此类题的考试力度，同学们应该做一些针对性的训练。 广东文科数学的选考内容分两个模块：参数方程与极坐标、几何证明选讲。近三年 的题目比较稳定，没有大起大落的现象发生。解答参数方程、极坐标系题目的基本思路应该 是“转化”，即转化成普通方程(直角坐标系方程)再行解决。 在2010年的高考中，选考内容可能会有一些变化。考生在继续关注前三年考点的 基础上，还应适当重视高考试题中未曾出现过的知识点，例如椭圆、双曲线、抛物线的参数 方程。根据统计，每年的考生大多选做几何证明选讲，其实这是很明智的选择，毕竟这个考 点所涉及的内容很贴近考生的实际。但是不能打无准备之仗，建议平时多解答一些关于几何 证明选讲的习题，重点放在平行线成比例以及圆中的比例线段上。准备的充分一些．选择的 余地就更大一些。