数列公式大全

数列公式大全 一、 等差数列 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差常用字母d示。 等差数列的通项公式为: an=a1+(n-1)d (1) 前n项和公式为: Sn=na1+n(n-1)d/2或Sn=n(a1+an)/2(2) 从(1)式可以看出，an是n的一次数函(d?0)或常数函数(d=0)，(n，an)排在一条直线上，由(2)式知，Sn是n的二次函数(d?0)或一次函数(d=0，a1?0)，且常数项为0。 在等差数列中，等差中项:一般设为Ar，Am+An=2Ar,所以Ar为Am，An的等差中项。 ， 且任意两项am，an的关系为: an=am+(n-m)d 它可以看作等差数列广义的通项公式。 从等差数列的定义、通项公式，前n项和公式还可推出: a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=ak+an-k+1，k?{1,2,…,n} 若m，n，p，q?N*，且m+n=p+q，则有 am+an=ap+aq Sm-1=(2n-1)an，S2n+1=(2n+1)an+1 Sk，S2k-Sk，S3k-S2k，…，Snk-S(n-1)k…或等差数列，等等。 和,(首项，末项)*项数?2 项数,(末项-首项)?公差，1 首项=2和?项数-末项 末项=2和?项数-首项 项数=(末项,首项)/公差，1 等差数列的应用: 日常生活中，人们常常用到等差数列如:在给各种产品的尺寸划分级别 时，当其中的最大尺寸与最小尺寸相差不大时，长安等差数列进行分级。 若为等差数列，且有ap=q,aq=p.则a(p+q),,(p+q)。 若为等差数列，且有an=m,am=n.则a(m+n),0。 等比数列: 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，这个数列就叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示。 (1)等比数列的通项公式是:An=A1*q^(n,1) (2)前n项和公式是:Sn=[A1(1-q^n)]/(1-q) 且任意两项am，an的关系为an=am?q^(n-m) (3)从等比数列的定义、通项公式、前n项和公式可以推出: a1?an=a2?an-1=a3?an-2=…=ak?an-k+1，k?{1,2,…,n} (4)若m，n，p，q?N*，则有:ap?aq=am?an， 等比中项:aq?ap=2ar ar则为ap，aq等比中项。 π2n+1=(an+1)2n+1 记πn=a1?a2…an，则有π2n-1=(an)2n-1， 另外，一个各项均为正数的等比数列各项取同底数数后构成一个等差数列;反之，以任一个正数C为底，用一个等差数列的各项做指数构造幂Can，则是等比数列。在这个意义下，我们说:一个正项等比数列与等差数列是“同构”的。 性质: ?若 m、n、p、q?N，且m，n=p，q，则am?an=ap*aq; ?在等比数列中，依次每 k项之和仍成等比数列. “G是a、b的等比中项”“G^2=ab(G?0)”. 在等比数列中，首项A1与公比q都不为零. 注意:上述公式中A^n表示A的n次方。 等比数列在生活中也是常常运用的。 如:银行有一种支付利息的方式---复利。 即把前一期的利息赫本金价在一起算作本金， 在计算下一期的利息，也就是人们通常说的利滚利。 按照复利计算本利和的公式:本利和=本金*(1+利率)存期 一、高中数列基本公式: 1、一般数列的通项a与前n项和S的关系:a= nnn 2、等差数列的通项公式:a=a+(n-1)d a=a+(n-k)d (其中a为首项、a为n1nk1k已知的第k项) 当d?0时，a是关于n的一次式;当d=0时，a是一个常数。 nn3、等差数列的前n项和公式:S= S= S= nnn 当d?0时，S是关于n的二次式且常数项为0;当d=0时(a?0)，S=na是关于nn1n1的正比例式。 n-1n-k 4、等比数列的通项公式: a= aq a= aq n1 nk (其中a为首项、a为已知的第k项，a?0) 1kn 5、等比数列的前n项和公式:当q=1时，S=n a(是关于n的正比例式); n1 当q?1时，S= S= nn 三、中有关等差、等比数列的结论 1、等差数列{a}的任意连续m项的和构成的数列S、S-S、S-S、S - S、……nm2mm3m2m4m3m仍为等差数列。 2、等差数列{a}中，若m+n=p+q，则 n 3、等比数列{a}中，若m+n=p+q，则 n 4、等比数列{a}的任意连续m项的和构成的数列S、S-S、S-S、S - S、……nm2mm3m2m4m3m仍为等比数列。 5、两个等差数列{a}与{b}的和差的数列{ab}、{a-b}仍为等差数列。 nnn+nnn6、两个等比数列{a}与{b}的积、商、倒数组成的数列 nn {ab}、 、 仍为等比数列。 n n 7、等差数列{a}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列。 n 8、等比数列{a}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列。 n 9、三个数成等差数列的设法:a-d,a,a+d;四个数成等差的设法:a-3d,a-d,,a+d,a+3d 10、三个数成等比数列的设法:a/q,a,aq; 33四个数成等比的错误设法:a/q,a/q,aq,aq (为什么,) 11、{a}为等差数列，则 (c>0)是等比数列。 n 12、{b}(b>0)是等比数列，则{logb} (c>0且c 1) 是等差数列。 nncn 13. 在等差数列 中: (1)若项数为 ，则 (2)若数为 则， ， 14. 在等比数列 中: (1) 若项数为 ，则 (2)若数为 则，