欧拉公式

欧拉公式 欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式之一。其中最著名的有，复变函数中的欧拉幅角公式——将复数、指数函数与三角函数联系起来; 拓扑学中的欧拉多面体公式;初等数论中的欧拉函数公式。 此外还包括其他一些欧拉公式，比如分式公式等等 分式编辑 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c[1] 复变函数编辑 ，e是自然对数的底，i是虚数单位。它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“中的天桥”。 的推导: 因为 在 的展开式中把x换成?ix. 所以 将公式里的x换成-x，得到: ，然后采用两式相加减的方法得到: ， .这两个也叫做欧拉公式。将 中的x取作π就得到: .这个恒等式也叫做欧拉公式，它是数学里最令人着迷的一个公式，它将数学里最重要的几个数字联系到了一起:两个超越数:自然对数的底e[2] ，圆周率π，两个单位:虚数单位i和自然数的单位1，以及被称为人类伟大发现之一的0。数学家们评价它是“上帝创造的公式”。 [1] 平面几何编辑 设?ABC的外心为O，内心为I，外接圆半径为R，内切圆半径为r，又记外心、内心的距离OI为d，则有 (1)式称为欧拉公式. 为了证明(1)式，我们现将它改成 (2)式左边是点I对于?O的幂:过圆内任一点P的弦被P分成两个部分，这两个部分的乘积是一个定值，称为P关于?O的幂。事实上，如图3.21，如果将OI延长交圆于E、F，那么 因此，设AI交?O于M，则 因此，只需证明 或写成比例式 为了证明(5)式，应当寻找两个相似的三角形。一个以长IA、r为边;另一个以长2R、MI为边。前一个不难找，图3.21中的?IDA就是，D是内切圆与AC的切点。后一个也必须是直角三角形，所以一边是直径ML，另一个顶点也应当在圆上。?MBL就满足要求。 容易证明 因此(5)式成立，从而(1)式成立。 因为 ，所以由欧拉公式得出一个副产品，即 拓扑学编辑 事实上，欧拉公式有平面与空间两个部分: 空间中的欧拉公式 V+F-E=X(P)，V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多面体P的棱的条数，X(P)是多面体P的欧拉示性数。 如果P可以同胚于一个球面(可以通俗地理解为能吹胀而绷在一个球面上)，那么X(P)=2，如果P同胚于一个接有h个环柄的球面，那么X(P)=2-2h。 X(P)叫做P的欧拉示性数，是拓扑不变量，就是无论再怎么经过拓扑变形也不会改变的量，是拓扑学研究的范围。 在多面体中的运用: 简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。 平面上的欧拉公式 其中V是图形P的顶点个数，F是图形P内的区域数，E是图形的边数。 在非简单多面体中，欧位公式的形式为: 其中H指的是平面上不完整的个数，而C指的是独立的多面体的个数，G指的是多面体被贯穿的个数。 证明 (1) 把多面体(图中?)看成表面是薄橡皮的中空立体。 (2) 去掉多面体的一个面，就可以完全拉开铺在平面上而得到一个平面中的直线形，像图中?的样子。假设F′，E′和V′分别表示这个平面图形的(简单)多边形、边和顶点的个数，我们只须证明F′-E′+V′=1。 (3) 对于这个平面图形，进行三角形分割，也就是说，对于还不是三角形的多边形陆续引进对角线，一直到成为一些三角形为止，像图中?的样子。每引进一条对角线，F′和E′各增加1，而V′却不变，所以F′-E′+V′不变。因此当完全分割成三角形的时候，F′-E′+V′ 的值仍然没有变。有些三角形有一边或两边在平面图形的边界上。 (4) 如果某一个三角形有一边在边界上，例如图?中的?ABC，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即AC，这样也就去掉了?ABC。这样F′和E′各减去1而V′不变，所以F′-E′+V′也没有变。 (5) 如果某一个三角形有二边在边界上，例如图?中的?DEF，去掉这个三角形的不属于其他三角形的边，即DF和EF，这样就去掉?DEF。这样F′减去1，E′减去2，V′减去1，因此F′-E′+V′仍没有变。 (6) 这样继续进行，直到只剩下一个三角形为止，像图中?的样子。这时F′=1，E′=3，V′=3，因此F′-E′+V′=1-3+3=1。 (7) 因为原来图形是连在一起的，中间引进的各种变化也不破坏这事实，因此最后图形还是连在一起的，所以最后不会是分散在向外的几个三角形，像图中?那样。 (8) 如果最后是像图中?的样子，我们可以去掉其中的一个三角形，也就是去掉1个三角形，3个边和2个顶点。因此F′-E′+V′仍然没有变。 即 成立，于是欧拉公式: 得证。[1] 初等数论编辑 欧拉φ函数:φ(n)是所有小于n的正整数里，和n互素的整数的个数。n是一个正整数。欧拉证明了下面这个式子: 如果n的标准素因子分解式是 ，其中众 都是素数，而且两两不等。则有 利用容斥原理可以证明它。[2] 物理学编辑 众所周知，生活中处处存在着摩擦力，欧拉测算出了摩擦力与绳索缠绕在桩上圈数之间的关系。现将欧拉这个颇有价值的公式列在这里: 其中，f表示我们施加的力，F表示与其对抗的力，e为自然对数的底，k表示绳与桩之间的摩擦系数，a表示缠绕转角，即绳索缠绕形成的弧长与弧半径之比。[2]