圆的切线的证明

圆的切线的证明 一、“见切点，连半径”――证明半径与直线垂直 例1(AB是?O的直径，AB?AC，BC交?O于P,Q是AC的中点(求证:QP是?O的切线( QPOO:本例中，要证明“是的切线”，因为P在上，如果结论成立，则点P肯 OPPQ,定是切点，所以只要连接，证明即可( OP B证明:连接，PA， OP OAB是的直径，( ?，,:APB90P O Q在中，是的中点， Rt?APCAC ?PQAQ,?，,，QAPQPA，( QC A ?，,，OAPQPA?，,，OAQQPO又，，( OPOA, ?OPPQ,?QPO，(是的切线( ABAC, 二、“过圆心，作垂线”――证明垂线段等于半径 ABAB例2(直角梯形中，以腰为直径的恰与另一腰相切，求证:以腰为ABCDCDO1 直径的也与腰CD相切( O2 ABAB分析:要证明以腰为直径的与腰CD相切，因为的半径是的一半，由切OO22 1线的定义可知，CD如果与相切，则到CD的距离应等于半径，所以过作OOOAB2222 1，证明即可( OECD,OEAB,22AD 2 证明:过作，则， OOAB,OAOB,O11222E O O1FE作于，作于， OECD,DFOO,2 212FAB与相切，( ?OOOD,O1121 C B ， ，,，OOEDOFOOEDOF，????RtRt211211 ( ?OEDF,2 1?ABCDDFOA,，，以腰为直径的也与腰相切( O?OEAB,2222 证明直线与圆相切是一类常见题目，解决这类问题常用的方法有两种。 一、 ?连半径，证垂直 若图形中已给出直线与圆的公共点，但未给出过点的半径，则可先连结过此点的半径，再证其与直线垂直。 例1 如图(1)所示，在?ABC中，AB=AC，以AB为直径作圆交于BC于D，作DE?AC于E。求证:DE为?O的切 线。 证明:连结OD ?OB=OD ??B=?ODB ?AB=AC ??B=?C ??ODB=?C ? DE?AC ??C+?CDE=90? ??ODB+?CDE=90? ??ODE=90?，即DE?OD ?DE是?O的切线。 例2 如图(2)所示，AB是?O的直径，过A点作?O的切线，在切线上任取一点C，连结OC交?O于D，连 结BD并延长交AC于E，求证:CD是?ADE外接圆的切线。 证明:取AE的中点F，连结FD。 ?AB为直径， ?AD?BD ?FD=FE(=FA) ??FED=?FDE ??CDE=?BDO=?B ?FEB+?B=90? ??FDE+?CDE=90? 即FD?CD ?CD是?ADE的外接圆的切线。 OO如图，线段AB经过圆心O，交于点AC，，点D在上，连接ADBD，， ，,，,AB30O(BD是的切线吗,请说明理由( 如图，已知CD是?ABC中AB边上的高，以CD为直径的?O分别交CA、CB于点E、F，点G是AD 的中点。求证:GE是?O的切线。 ABBDAB,B如图，?O是Rt?ABC的外接圆，点在上，，点是垂足，ODAC?，连O 接CD( 求证:CD是?O的切线( D C A B O AP如图，?O是?ABC的外接圆，ABAC,，过点作APBC?，交BO的延长线于点( AP?O(1)求证:是的切线; (2)若的半径，求线段AP的长( ?ORBC,,58， A P O C B 二、 作垂线，证半径 若图形中未给出直线与圆的公共点，则需先过圆心作该直线的垂线，再证垂足到圆心的距离等于半径。 1如图2，AB是?O的直径，点P在BA的延长线上，且AP=AB，作?BPC=30?(求证:2 PC是?O的切线( CD BPAO 圆的切线的判定常见方法有两种类型:一当已知条件中已明确给出直线与圆的公共点时，常采用连接这点和圆心这条辅助线，去证明这个半径垂直于已知直线(这种方法简称“连半径，证垂直”(二当已知条件中没有明确给出直线与圆的公共点时，常采用过圆心作直线的垂线段这条辅助线，去证明垂线段的长度等于圆的半径长(这种方法简称“作垂直，证半径”(本例属于第二种类型( 例3 如图(3)所示，已知AB是?O的直径，AC?L于C，BD?L于D，且AC+BD=AB。求证:直线L与?O相切。 证明:过O作OE?L于E。 ?AC?L，BD?L， ?AC?OE?BD。 又AO=OB， ?CE=CD 从而OE为梯形ACDB的中位线。 ?OE=(AC+BD)=AB 即垂足E到圆心O的距离等于半径。 故直线L与?O相切。 ABAB(直角梯形ABCD中，以腰CD为直径的恰与另一腰相切，求证:以腰为直径O1 的也与腰相切 CDO2