换元积分法

换元积分法 第二节 换元积分法 是将复合函数能用直接积分法计算的不定积分是十分有限的. 本节介绍的换元积分法,的求导法则反过来用于不定积分,通过适当的变量替换(换元),把某些不定积分化为基本积分公式中所列的形式,再计算出所求的不定积分. 分布图示 ? 第一换元法(凑微分法) ? 例1 ? 例2 ? 例3 ? 例4 ? 例5 ? 例6 ? 例7 ? 例8 ? 例9 ? 例10 ? 例11 ? 例12 ? 例13 ? 例14 ? 例15 ? 例16 ? 例17 ? 例18 ? 例19 ? 例20 ? 例21 ? 例22 ? 第二换元法 三角代换 ? 例23 ? 例24 ? 例25 ? 例26 ? 例27 倒代换 ? 例28 ? 例29 有理代换 ? 例30 ? 例31 ? 基本积分表(续) ? 内容小结 ? 课堂练习 ? 习题4-2 ? 返回 内容要点: 一、第一换元积分法(凑微分法) ,. g,[(x)],(x)dx,g(u)du,F(u)，C,F[,(x)]，C,, 二、常用凑微分公式 积分类型换元公式 11.f(ax，b)dx,f(ax，b)d(ax，b)(a,0)u,ax，b,,a,u,x1,1,,,,,2.f(x)xdx,f(x)d(x)(,0),,, 1u,lnx3.f(lnx),dx,f(lnx)d(lnx),,x xxxxx4..f(e),edx,f(e)deu,e第,, 一1xxxx5.f(a),adx,f(a)dax,,lna换u,a 元6.f(sinx),cosxdx,f(sinx)dsinxu,sinx,,u,cosx积7.f(cosx),sinxdx,,f(cosx)dcosx,,分28.f(tanx)secxdx,f(tanx)dtanxu,tanx法,,u,cotx29.f(cotx)cscxdx,,f(cotx)dcotx,, 1u,arctanx10.f(arctanx)dx,f(arctanx)d(arctanx)2,,1，x 111.f(arcsinx)dx,,f(arcsinx)d(arcsinx)u,arcsinx,,21,x 三、 第二换元法 , , f(x)dx,f[,(t)],(t)dt,F(t)，C,F[,(x)]，C,, 注: 以上几例所使用的均为三角代换, 三角代换的目的是化掉根式, 其一般规律如下: 当被积函数中含有 22a,x,a) 可令 x,asint; 22x，a,b) 可令 x,atant; 22x,a,x,asect.c) 可令 1当有理分式函数中分母的阶较高时, 常采用倒代换. x,t 四、 积分表续 例题选讲: 凑微分法 10例1(讲义例1)求不定积分. (2x，1)dx, 1例2 求不定分 dx.,，32x 2x例3(讲义例2)计算不定积分. xedx, 2x1,xdx.例4 计算不定积分 , 1例5(讲义例3)求不定积分dx. ,x(1，2lnx) 例6 求下列不定积分 3tanxex (1)(讲义例4) (2) dx;dx.,,xx 例7 求下列不定积分: 11 (1)dx; (2)dx.(讲义例5) 222,,，,，axx8x25 例8(讲义例6)求下列不定积分: 1sin1x(1) dx; (2) dx. x2,,1，xe 例9(讲义例7)求不定积分. sin2xdx, 例10 求下列不定积分: 325sinxdxsinx.cosxdx.(1) ; (2) (讲义例8) ,, 例11(讲义例9)求下列不定积分 24cosxdxcosxdx. (1) ; (2) ,, 1例12(讲义例10)求不定积分 . dx22,x,a 1例13 (讲义例11) 求不定积分dx. ,2x，3，2x,1例14 求下列不定积分: (讲义例12) (2) (1) cscxdx;secxdx.,,例15 求下列不定积分: 536 (1) (讲义例13) (2) secxdx;tanx,secxdx.,, 1例16 求不定积分. dx,1，sinx 例17 求. cos3xcos2xdx, ，sinxcosxdx.例18 用换元法求不定积分 ,3sinx,cosx cosxdx.例19 试用换元法求不定积分 ,，2cos2x 11，x例20 试用换元法求不定积分 lndx.2,1,x1,x2x,1例21 (讲义例20) 求不定积分. dx4,x，1 2，，ln(x1x)dx.例22 求不定积分 2,，1x 第二换元法 22例23(讲义例14)求不定积分 a,xdx(a,0)., 1例24(讲义例15)求不定积分 dx(a,0).,22x，a x2x例25 计算 2e1,edx., 32例26 求不定积分 x4,xdx., 1例27(讲义例16)求不定积分 dx(a,0).,22x,a 1dx例28(讲义例17)求不定积分. 7,(，2)xx 1例29 求不定积分 dx.,42，xx1 5xdx例30(讲义例18)求不定积分 ,21，x 1.例31(讲义例19)求不定积分dx ,x1，e 课堂练习 1.求下列不定积分 x1(1)dx;(2)dx;3,,，1cosx，(1x) 1x，11,,x,(3)1edx;(4)dx.,,2,,2x,,,xx1 22,f(sinx),cosx2.设, 求. f(x)