海伦公式的推导

海伦的推导 海伦公式的推导 已知三角形的三边可以计算出三角形的面积，这个公式叫海伦公式。海伦公式的内容 a，b，c是：设三角形的三边分别为a，b，c，并设，则三角形的面积为,p2 S=。海伦公式在一定条件下用起来很方便，但它是怎样得来的呢？p(p,a)(p,b)(p,c) 下面举出一个推导过程。 设?ABC的顶点A,B,C所对的边分别是a，b，c，我们知道它的面积可以用公式 222a，b,c1,cosC来求出。根据余弦定理c?=a?+b?-2abcosC可知，于是S,absinC2ab2 222222，,，,abcabc2sinC====，,(1)(1)(1，cosC)(1,cosC)1,cosC2ab2ab 22222222，,,,，,,,[(ab)c][c(ab)][(ab)c][c(ab)]。把sinC=代入上式得2ab2ab 2222，,,,[(ab)c][c(ab)]11=× S,absinCS,ab222ab112222,[(a，b),c][c,(a,b)],(a，b，c)(a，b,c)(c，a,b)(c，b,a)44 a，b，ca，b,ca，c,bb，c,a,()()()()2222 a，b，ca，b，ca，b，ca，b，ca，b，c,()(,c)(,b)(,a)。令，则得,p22222S=。 p(p,a)(p,b)(p,c) 11当然，利用S,acsinB或S,bcsinA也可以推出海伦公式，请读者朋友自己试试22 吧，相信你一定会成功的。