浅析圆柱形波导

浅析圆柱形波导 ()2011 年 自然科学版 2011 青海师范大学学报 ( )J o ur nal of Qi nghai No r mal U nive r sit y Nat ural Scie nce 第 2 期 No . 2 浅析圆柱形波导 袁海良 ( )青海师范大学 物理系 ,青海 西宁 810008 摘 要 :尽管矩形波导是最常见的 、被人们所广泛研究的波导 ,但其它形状的波导也是可能存在的 1 本文以共轴电缆为例 ,研究了 圆柱形波导中的 T EM 简谐电磁波. 关键词 :矩形波导 ;共轴电缆 ;简谐电磁波 ; T EM 方式 ( ) 文章编号 :1001 - 7542 201102 - 0021 - 03 中图分类号 : O441 . 4 文献标识码 : A 1 引言 () 我们知道 ,共轴电缆是由如图 1所示的两个共轴的导体柱面构成 ,柱面之间的空间或是真空或充满电 介质 ,信号就在两个导体柱面上传输 1 这就是圆柱形波导 ———沿着 z 轴为无限长 ,横截面不随 z 坐标改变 ,其内区被平行于 xy 平面的闭合 曲线 C 包围 ,外边界为平行于 z 轴的柱面 1 由于分析矩形波导所需的 基本方程可用于分析任意形状的波导 ,因此 ,我们就以这些基本方程 为基础来分析圆柱形波导 1 2 电磁波的模式简介 ( )图 1 2 . 1 T E 模式 沿着 z 轴传播的 T E 简谐电磁波的电场和磁场可写成 : ? ? ( ω) ( ω)i kz - ti kz - t(ψ)ψ) ()( )( E r , t 1 = - ×e z= - ×z e^ ^ ? ? 2 γk iω ω( )( )i kz - ti kz - t (ψ)( ψ ψ) ()= -+ ( )2 = - B r , t ×e zze^ ^ ω k ψ ψ( ) ψ其中 ,= x , y,如果是二维 Hel mholtz 方程的解的话 ,即 : 22()3 ψ γψ= - ? ? ? ? 2 2 2 2 γ( ) ( ) ω 且/ c= k+,则 E r , t和 B r , t均满足麦克斯韦方程组 1 对在横截面边界闭合曲线 C 上任一 点来说 ,有 : ()ψ 4 n ? = 0^ 2 . 2 TM 模式 沿着 z 轴传播的 TM 简谐电磁波的电场和磁场可写成 : 2 2 ? ? γi ( ω)c k i kz - t ψ ) ()( )- ψ(5 E r , t z e= ^ ω k ? ? ( ω ) i kz - t(ψ())( ) 6 B r , t= - ×e z^ ψ ψ( ) 其中 ,= x , y,是二维 Hel mholtz 方程的解 ,即满足 : 22ψ γψ()= - 7 且对在闭合曲线 C 所在平面的任一点来说 ,有 : 收稿日期 :2010 - 09 - 12 ( ) ( ) 作者简介 : 袁海良 1963 - ,男 汉族,山东省巨野人 ,教授 ,硕士 ,主要研究方向为统计物理与量子光学. ()ψ 8 = 0 2 . 3 T EM 模式 ? ? ? ? () () () γ ( )( ) 从 2式和 5式看出 ,只有在 7式中的= 0 时 , E r , t 、B r , t才均是横波场 ,所以 T EM 模式下的 [ 1 ] 偏微分方程为: 2()ψ 9 = 0 () () () 显然 , 9式就是我们熟悉的 L ap lace 方程 1 由于在 4式或 8式所给的边界条件下 ,L ap lace 方程有唯 [ 1 ] 一的解为: ψ( ) x , y= 0 ? ? ? ? ( ) ( ) 也就是说 , E r , t= 0 、B r , t= 0 1 所以我们可得出 :对于中空的 ,横截面的边界仅是一条闭合曲线 的波导来说 , T EM 模式是不存在的 1 如果波导是由两个或两个以上的导体构成 , T EM 模式是有可能存在的 ,因为在相应的边界条件下 , L a2 [ 1 ] p lace 方程的解为: [ 1 ]ψ( ) x , y ?0 3 共轴电缆中的 T EM 模式 () 图 2为一由两个共轴的柱面导体构成的电缆 ,内 、外柱面的半径 ε分别为 a 、b ,两个柱面间充满了介电常数为的电介质 1 由柱对称性 可知 ,沿 Z 轴传播的 T EM 简谐电磁波的磁矢量或电矢量可达为沿 ( ω) kz - t υr 和方向矢量函数与 i 的乘积 ,即为 : ? ? ( ω )t i kz -( ) ( ) ( ) 10 E r , t= r E re( )r 图 2 ^ ? ? ( ω ) i kz -t ()( ) υ(υ) 11 B r , t= Bυ e^ ? ? ? ? ( ) ( ) () () 要求出 E r , t和 B r , t,有许多方法 ,最直接的办法就是把 10式和 11式代入 Ma xwell 方程组 ,从 而得出 : ? d 1 ( )()?E = r E 12 r = 0 r d r ()13 ?B = 0 ^ ? ( ω t) i kz -υ( ) ( ) 14 × E = i k E rer ^ ? i ( kz - ωt)()( ) 15 ×B = - ri k Bυ re^ () 由 12式得 : C ( )( )() 16 Er r= C 为常数r ? ? 5 E 由 A mp ere - Ma xwell 定律 με ×B = 得 :0 5 t ( ω ) t i ( kz - ωt) i kz -μωε( ) ( ) - ri k Bυ re= ri0E r re^ ^ μωεC 0 ()( )17 即 : = Bυ r k r με ω 考虑到 = vk 和 v = 1/ 0 B 1 则 ()18 = E v 第 2 期 袁海良 :浅析圆柱形波导 23 b ? ( ω)b ( ω)i kz - ti kz - t()( ) ( ) 19 V z , t= E ?r d r = [ Cl n ] e= V e 0^a ?a 柱面间振荡电压的振幅为 : b ()( )20 V = Cl n 0 a () () 把 20式代入 16式得 : V 0 ( ) () 21 Er r=( )rl n a/ b () () 把 21式代入 18式得 : V 0 ()( ) 22 Bυ r= ( )v rl n a/ b () () ( ) ( ) 把 21、22式代入 10 、11 式 便 得到 共轴 电缆 中 的 T EM 简 谐电 磁波 的 电场 强度 和磁 感 应强 度 [ 2 ] 为: ? ? ? ? υrV V 00i ( kz - ωt) i ( kz - ωt) ^ ^ ( ) ( ) E r , t= eB r , t= e ( ) ( ) rl n a/ bv rl n a/ b () () τ τ 因为内 、外柱面为导体 ,所以在边界上 : 1B n = 0, E= 0 ; 2B和 E n 均不连续 1 则面电荷密度和面 电流密度分别为 ε+V 0 ( ω)i kz - tr = a e( )al n a/ b σ ε = E n= ε- V 0 ( ω)i kz - t er = b ( )bl n a/ b ε + z vV 0 i ( kz - ωt)r = a ^ e ? ? ( )al n a/ b 1 τ J = n ×B= ^μ 0ε - z vV 0 ( ω)i kz - t^ er = b ( )bl n a/ b 内 、外柱面的面电流大小相等 ,方向相反 ,其值为 : π2? πε 2vV 0 ω( ) i kz - t( ) υ I z , t= J ?z a d= e^0 ( ) ?l n b/ a 该共轴电缆的阻抗为 : μ ( ) V0l n b/ a = Z = πε I 2 共轴电缆也有 T E 模式和 TM 模式 ,在实际应用当中 ,共轴电缆常常被设计成仅传输 T EM 模式电磁 波 ,由于共轴电缆的尺度很小 ,所以 T EM 模式就是电磁波的传播模式 1 参考文献 : [ 1 ] Geral d L . Pollack . Elect ro magneti sm [ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,117 - 119 .[ 2 ] Geral d L . Pollack . Elect ro magneti sm [ M ] . 北京 :高等教育出版社 ,550 - 557 . Brief research on t he cyl in drical wave guide Y U A N H ai2l i a n g ( )P h y s i c a l D e p a rt m e nt o f Q i n g h ai N o r m al U ni v e rs i t y , X i ni n g 810008 , C hi n a Abstract : The rect a ngula r wa ve guai de i s mo st co mmo n a nd ha s bee n widely st udie d , b ut o t he r shap e s a re po ssi ble . Thi s p ap er , t a ki ng a coa xial ca ble a s a n e xa mp le , a nal yze s t he T EM ha r mo nic elect ro ma gnet2 ic wa ve s i n t he cyli ndrical wave gui de Key words :rect a ngula r wave guai de ;cyli ndrical wave gui de ;coa xial ca ble ; T EM mo de