导函数证明复习
(汇编)
1. (2014福建20)已知函数
(
为常数)的图像与
轴交于点
,曲线
在点
处的切线斜率为-1.
(I)求
的值及函数
的极值;
(II)证明:当
时,
;
(III)证明:对任意给定的正数
,总存在
,使得当
,恒有
.
本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用,考查抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等。 满分14分。
解法一:(I)由
,得
.又
,得
.所以
.令
,得
.当
时,
单调递减;当
时,
单调递增.所以当
时,
取得极小值,且极小值为
无极大值.
(II)令
,则
.由(I)得
,故
在R上单调递增,又
,因此,当
时,
,即
.
(III)①若
,则
.又由(II)知,当
时,
.所以当
时,
.取
,当
时,恒有
.
②若
,令
,要使不等式
成立,只要
成立.而要使
成立,则只要
,只要
成立.令
,则
.所以当
时,
在
内单调递增.取
,所以
在
内单调递增.又
.易知
.所以
.即存在
,当
时,恒有
.
综上,对任意给定的正数c,总存在
,当
时,恒有
.
解法二:(I)同解法一
(II)同解法一
(III)对任意给定的正数c,取
由(II)知,当x>0时,
,所以
当
时,
因此,对任意给定的正数c,总存在
,当
时,恒有
.
2.(2014湖北22)π为圆周率,e=2.71828…,为自然对数的底
(1) 求f(x)=的单调区间;
(2) 求e3、3e、π3、3π、eπ、πe这六个数中的最大值与最小值;
(1) e3、3e、π3、3π、eπ、πe这六个数从小到大的顺序排列,并证明你的结论.
解:(I)函数
的定义域为
,因为
,所以
,
当
,即
时,函数
单调递增;
当
,即
时,函数
单调递减;
故函数
的单调增区间为
,单调减区间为
.
(II)因为
,所以
,
,即
,
,
于是根据函数
、
、
在定义域上单调递增,
所以
,
,
故这6个数的最大数在
与
之中,最小数在
与
之中,
由
及(I)的结论得
,即
,
由
得
,所以
,
由
得
,所以
,
综上,6个数中的最大数为
,最小数为
.
(III)由(II)知,
,
,又由(II)知,
,
故只需比较
与
和
与
的大小,
由(I)知,当
时,
,即
,
在上式中,令
,又
,则
,即得
①
由①得,
,
即
,亦即
,所以
,
又由①得,
,即
,所以
,
综上所述,
,即6个数从小到大的顺序为
,
,
,
,
,
.
3.(2014陕西21)设函数
,其中
是
的导函数.
(1)
,求
的
达式;
(2)若
恒成立,求实数
的取值范围;
(3)设
,比较
与
的大小,并加以证明.
解:
,
,
(1)
,
,
,
,即
,当且仅当
时取等号。当
时,
当
时
,
,即
数列
是以
为首项,以1为公差的等差数列
,当
时,
,
(2)在
范围内
恒成立,等价于
成立
令
,即
恒成立,
令
,即
,得
当
即
时,
在
上单调递增
所以当
时,
在
上
恒成立;
当
即
时,
在
上单调递增,在
上单调递减,
所以
设
因为
,所以
,即
,所以函数
在
上单调递减
所以
,即
所以
不恒成立
综上所述,实数
的取值范围为
(3)由题设知:
,
比较结果为:
证明如下:
上述不等式等价于
在(2)中取
,可得
令
,则
,即
故有
上述各式相加可得:
结论得证.
4.(2013湖北)设
是正整数,
为正有理数.
(I)求函数
的最小值;
(II)证明:
;
(III)设
,记
为不小于
的最小整数,例如
,
,
.令
,求
的值.
(参考数据:
,
,
,
)
【
】证明:(I)
在
上单减,在
上单增.
(II)由(I)知:当
时,
(就是伯努利不等式了)
所证不等式即为:
若
,则
①
,
,故①式成立.
若
,
显然成立.
②
,
,故②式成立.
综上可得原不等式成立.
(III)由(II)可知:当
时,
5.(2013年大纲)已知函数
(I)若
时,
,求
的最小值;
(II)设数列
6. (2012年湖北22) (I)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且0
0,g(x)是增函数,所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.故当x
故当x≧1时,f(x)
lnx.综上所述,所求a的取值范围是
+∞)。
3.当a
时,有f(x)
lnx(x
),令a=
,有f(x)=
(x-
)
lnx,令x=
,有ln
<
即
ln(k+1)-lnk<
上述n个不等式依次相加得到结果,即得到
……
>
注:函数导数的联合考查,第一问两个方程联立即可得出结果,第二问需要求导转化函数方程,考查一元二次方程的相关知识,容易得到范围,第三问需要把对数函数进行变形,把一个对数函数转化成n个对数函数的相加减,然后裂开进行求和即可得到结果。
11.(2015武昌元调22)已知函数
(a为常数),曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为-1.
(Ⅰ)求a的值及函数f(x)的单调区间;
(Ⅱ)证明:当
时,
;
(Ⅲ)证明:当
时,
.
解:(Ⅰ)由
,得
.
又
,所以
.所以
,
.
由
,得
.
所以函数
在区间
上单调递减,在
上单调递增.……………(4分)
(Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知
.
所以
,即
,
.
令
,则
.
所以
在
上单调递增,所以
,即
.…………(8分)
(Ⅲ)首先证明:当
时,恒有
.
证明如下:令
,则
.
由(Ⅱ)知,当
时,
,所以
,所以
在
上单调递增,
所以
,所以
.
所以
,即
.
依次取
,代入上式,则
,
,
.
以上各式相加,有
所以
,
所以
,即
.………(14分)
12.(2015黄冈元调21)已知函数
,
,其中
(Ⅰ)若函数
有极值1,求实数a的值;
(Ⅱ)若函数
在区间
上是增函数,求实数a的取值范围;
(Ⅲ)证明:
解:(Ⅰ)
①当
时,
,
递减,
无极值;
②当
时,令
,得
,
递增,
……………………………………4分
(Ⅱ)
上是增函数,
恒成立,
,
时,
恒成立,
当
时,
等价于
,
设
递增,
,
故
的取值范围是
……………………………………………………………9分
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当
时,
上是增函数,
,
令
,则
,
,
故
………………………………………………………………14分
13.(2015湖北部分重点高中第二次联考21)已知函数
.
(Ⅰ)若
,讨论
的单调性;
(Ⅱ)当
时,若
恒成立,求满足条件的正整数
的值;
(Ⅲ)求证:
.
解析:(Ⅰ)
,
,
时
为常函数,不具有单调性。
时
,
在
上单调递增;
(Ⅱ)
时
,
,
,设
,则
。因为此时
在
上单调递增可知当
时,
;当
时,
,
当
时,
;当
时,
,
当
时,
,
,
,即
,所以
,
,
,
,故正整数
的值为1、2或3。
(Ⅲ)由(Ⅱ)知,当
时,
恒成立,即
,
,
,令
,得
则
(
暂时不放缩)
,
..........,
.
以上
个式子相加得:
所以
,即
。
14.(2015湖北省六校元调22)已知函数f(x)=ax+
+(1-2a)(a>0)
(1)若f(x)≥㏑x在[1,∞)上恒成立,求a的取值范围;
(2)证明:1+
+
+…+
>㏑(n+1)+
(n≥1);
(3)已知S=
,求S的整数部分.(
,
)
解: (Ⅰ)令
则
(i)当
若
是减函数,所以
即
上不恒成立.
(ii)当
若
是增函数,所以
即
时,
综上所述,所求a的取值范围为
…………(4分)
(II)由(I)可知:当
时,有
令
有
且当
令
,
即
将上述n个不等式依次相加得
整理得
……………(9分)
(Ⅲ)由重要不等式
,令
,得
,
通过累加可得
1+
+
+…+
,
所以
>1+
+
+…+
>㏑(n+1)+
令n=2014,得8.6079
ln2014+1>S>ln2015+
8.1
所以S的整数部分为8 …… …… (14分)
15.(2015武汉九调21)已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3.
(Ⅰ)求实数a的值;
(Ⅱ)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:>.
解:(Ⅰ)求导数,得f ′(x)=a+lnx+1. …………………1分
由已知,得f ′(e)=3,即a+lne+1=3
∴a=1.……………………………………………………………………………2分
(Ⅱ)由(Ⅰ),知f(x)=x+xlnx,
∴f(x)≤kx2对任意x>0成立?k≥对任意x>0成立,……………4分
令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值.
求导数,得g′(x)=-,令g′(x)=0,解得x=1.…………………5分
当0<x<1时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函数;
当x>1时,g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是减函数.…………………6分
故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1.
∴k≥1即为所求.…………………………………………………………………8分
(Ⅲ)令h(x)=,则h′(x)=.…………………9分
由(Ⅱ),知x≥1+lnx(x>0),∴h′(x)≥0,…………………10分
∴h(x)是(1,+∞)上的增函数.
∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即>,…………………11分
∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,…………………12分
即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn,
即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn,
即ln(mnn)m>ln(nmm)n, …………………13分
∴(mnn)m>(nmm)n,
∴>.…………………………………………………………………………14分
16.(2014五调22)已知函数
(Ⅰ)求函数
的单调区间;
(Ⅱ)当
时,函数
恒成立,求实数k的取值范围;
(Ⅲ)设正实数
满足
,
求证:
17.(2014武汉四调22) 已知函数
.
(I)求
的最大值;
(II)设
,
是曲线
的一条切线,证明:曲线
上的任意一点都不可能在直线
的上方;
(III)求证:
(其中
为自然
对数的底数,
).
18.(2014武汉二调22)(Ⅰ)已知函数f(x)=ex-1-tx,?x0∈R,使f(x0)≤0,求实数t的取值范围;