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导数压轴题之导函数证明题

2018-11-26 50页 doc 2MB 26阅读

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导数压轴题之导函数证明题导函数证明复习题(汇编) 1. (2014福建20)已知函数 ( 为常数)的图像与 轴交于点 ,曲线 在点 处的切线斜率为-1. (I)求 的值及函数 的极值; (II)证明:当 时, ; (III)证明:对任意给定的正数 ,总存在 ,使得当 ,恒有 . 本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用,考查抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等。 满分14分。 解法一:(I)由 ,得 .又 ,得 ...
导数压轴题之导函数证明题
导函数证明复习(汇编) 1. (2014福建20)已知函数 ( 为常数)的图像与 轴交于点 ,曲线 在点 处的切线斜率为-1. (I)求 的值及函数 的极值; (II)证明:当 时, ; (III)证明:对任意给定的正数 ,总存在 ,使得当 ,恒有 . 本小题主要考查导数的运算及导数的应用、全称量词等基础知识的考查运用,考查抽象概括能力、推理论证能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、化归与转化思想、分类与整合思想、函数与方程思想等。 满分14分。 解法一:(I)由 ,得 .又 ,得 .所以 .令 ,得 .当 时, 单调递减;当 时, 单调递增.所以当 时, 取得极小值,且极小值为 无极大值. (II)令 ,则 .由(I)得 ,故 在R上单调递增,又 ,因此,当 时, ,即 . (III)①若 ,则 .又由(II)知,当 时, .所以当 时, .取 ,当 时,恒有 . ②若 ,令 ,要使不等式 成立,只要 成立.而要使 成立,则只要 ,只要 成立.令 ,则 .所以当 时, 在 内单调递增.取 ,所以 在 内单调递增.又 .易知 .所以 .即存在 ,当 时,恒有 . 综上,对任意给定的正数c,总存在 ,当 时,恒有 . 解法二:(I)同解法一 (II)同解法一 (III)对任意给定的正数c,取 由(II)知,当x>0时, ,所以 当 时, 因此,对任意给定的正数c,总存在 ,当 时,恒有 . 2.(2014湖北22)π为圆周率,e=2.71828…,为自然对数的底 (1) 求f(x)=的单调区间; (2) 求e3、3e、π3、3π、eπ、πe这六个数中的最大值与最小值; (1) e3、3e、π3、3π、eπ、πe这六个数从小到大的顺序排列,并证明你的结论. 解:(I)函数 的定义域为 ,因为 ,所以 , 当 ,即 时,函数 单调递增; 当 ,即 时,函数 单调递减; 故函数 的单调增区间为 ,单调减区间为 . (II)因为 ,所以 , ,即 , , 于是根据函数 、 、 在定义域上单调递增, 所以 , , 故这6个数的最大数在 与 之中,最小数在 与 之中, 由 及(I)的结论得 ,即 , 由 得 ,所以 , 由 得 ,所以 , 综上,6个数中的最大数为 ,最小数为 . (III)由(II)知, , ,又由(II)知, , 故只需比较 与 和 与 的大小, 由(I)知,当 时, ,即 , 在上式中,令 ,又 ,则 ,即得 ① 由①得, , 即 ,亦即 ,所以 , 又由①得, ,即 ,所以 , 综上所述, ,即6个数从小到大的顺序为 , , , , , . 3.(2014陕西21)设函数 ,其中 是 的导函数. (1) ,求 的达式; (2)若 恒成立,求实数 的取值范围; (3)设 ,比较 与 的大小,并加以证明. 解: , , (1) , , , ,即 ,当且仅当 时取等号。当 时, 当 时 , ,即 数列 是以 为首项,以1为公差的等差数列 ,当 时, , (2)在 范围内 恒成立,等价于 成立 令 ,即 恒成立, 令 ,即 ,得 当 即 时, 在 上单调递增 所以当 时, 在 上 恒成立; 当 即 时, 在 上单调递增,在 上单调递减, 所以 设 因为 ,所以 ,即 ,所以函数 在 上单调递减 所以 ,即 所以 不恒成立 综上所述,实数 的取值范围为 (3)由题设知: , 比较结果为: 证明如下: 上述不等式等价于 在(2)中取 ,可得 令 ,则 ,即 故有 上述各式相加可得: 结论得证. 4.(2013湖北)设 是正整数, 为正有理数. (I)求函数 的最小值; (II)证明: ; (III)设 ,记 为不小于 的最小整数,例如 , , .令 ,求 的值. (参考数据: , , , ) 【】证明:(I) 在 上单减,在 上单增. (II)由(I)知:当 时, (就是伯努利不等式了) 所证不等式即为: 若 ,则 ① , ,故①式成立. 若 , 显然成立. ② , ,故②式成立. 综上可得原不等式成立. (III)由(II)可知:当 时, 5.(2013年大纲)已知函数 (I)若 时, ,求 的最小值; (II)设数列 6. (2012年湖北22) (I)已知函数f(x)=rx-xr+(1-r)(x>0),其中r为有理数,且00,g(x)是增函数,所以g(x)>g(1)=0,即f(x)>lnx.故当x 故当x≧1时,f(x) lnx.综上所述,所求a的取值范围是 +∞)。 3.当a 时,有f(x) lnx(x ),令a= ,有f(x)= (x- ) lnx,令x= ,有ln < 即 ln(k+1)-lnk< 上述n个不等式依次相加得到结果,即得到 …… > 注:函数导数的联合考查,第一问两个方程联立即可得出结果,第二问需要求导转化函数方程,考查一元二次方程的相关知识,容易得到范围,第三问需要把对数函数进行变形,把一个对数函数转化成n个对数函数的相加减,然后裂开进行求和即可得到结果。 11.(2015武昌元调22)已知函数 (a为常数),曲线y=f(x)在与y轴的交点A处的切线斜率为-1. (Ⅰ)求a的值及函数f(x)的单调区间; (Ⅱ)证明:当 时, ; (Ⅲ)证明:当 时, . 解:(Ⅰ)由 ,得 . 又 ,所以 .所以 , . 由 ,得 . 所以函数 在区间 上单调递减,在 上单调递增.……………(4分) (Ⅱ)证明:由(Ⅰ)知 . 所以 ,即 , . 令 ,则 . 所以 在 上单调递增,所以 ,即 .…………(8分) (Ⅲ)首先证明:当 时,恒有 . 证明如下:令 ,则 . 由(Ⅱ)知,当 时, ,所以 ,所以 在 上单调递增, 所以 ,所以 . 所以 ,即 . 依次取 ,代入上式,则 , , . 以上各式相加,有 所以 , 所以 ,即 .………(14分) 12.(2015黄冈元调21)已知函数 , ,其中 (Ⅰ)若函数 有极值1,求实数a的值; (Ⅱ)若函数 在区间 上是增函数,求实数a的取值范围; (Ⅲ)证明: 解:(Ⅰ) ①当 时, , 递减, 无极值; ②当 时,令 ,得 , 递增, ……………………………………4分 (Ⅱ) 上是增函数, 恒成立, , 时, 恒成立, 当 时, 等价于 , 设 递增, , 故 的取值范围是 ……………………………………………………………9分 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 时, 上是增函数, , 令 ,则 , , 故 ………………………………………………………………14分 13.(2015湖北部分重点高中第二次联考21)已知函数 . (Ⅰ)若 ,讨论 的单调性; (Ⅱ)当 时,若 恒成立,求满足条件的正整数 的值; (Ⅲ)求证: . 解析:(Ⅰ) , , 时 为常函数,不具有单调性。 时 , 在 上单调递增; (Ⅱ) 时 , , ,设 ,则 。因为此时 在 上单调递增可知当 时, ;当 时, , 当 时, ;当 时, , 当 时, , , ,即 ,所以 , , , ,故正整数 的值为1、2或3。 (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 时, 恒成立,即 , , ,令 ,得 则 ( 暂时不放缩) , .........., . 以上 个式子相加得: 所以 ,即 。 14.(2015湖北省六校元调22)已知函数f(x)=ax+ +(1-2a)(a>0) (1)若f(x)≥㏑x在[1,∞)上恒成立,求a的取值范围; (2)证明:1+ + +…+ >㏑(n+1)+ (n≥1); (3)已知S= ,求S的整数部分.( , ) 解: (Ⅰ)令 则 (i)当 若 是减函数,所以 即 上不恒成立. (ii)当 若 是增函数,所以 即 时, 综上所述,所求a的取值范围为           …………(4分) (II)由(I)可知:当 时,有 令 有 且当 令 , 即 将上述n个不等式依次相加得 整理得 ……………(9分) (Ⅲ)由重要不等式 ,令 ,得 , 通过累加可得 1+ + +…+ , 所以 >1+ + +…+ >㏑(n+1)+       令n=2014,得8.6079 ln2014+1>S>ln2015+ 8.1 所以S的整数部分为8 ……  ……    (14分) 15.(2015武汉九调21)已知函数f(x)=ax+xlnx的图象在点x=e(e为自然对数的底数)处的切线的斜率为3. (Ⅰ)求实数a的值; (Ⅱ)若f(x)≤kx2对任意x>0成立,求实数k的取值范围; (Ⅲ)当n>m>1(m,n∈N*)时,证明:>. 解:(Ⅰ)求导数,得f ′(x)=a+lnx+1.          …………………1分 由已知,得f ′(e)=3,即a+lne+1=3 ∴a=1.……………………………………………………………………………2分 (Ⅱ)由(Ⅰ),知f(x)=x+xlnx, ∴f(x)≤kx2对任意x>0成立?k≥对任意x>0成立,……………4分 令g(x)=,则问题转化为求g(x)的最大值. 求导数,得g′(x)=-,令g′(x)=0,解得x=1.…………………5分 当0<x<1时,g′(x)>0,∴g(x)在(0,1)上是增函数; 当x>1时,g′(x)<0,∴g(x)在(1,+∞)上是减函数.…………………6分 故g(x)在x=1处取得最大值g(1)=1. ∴k≥1即为所求.…………………………………………………………………8分 (Ⅲ)令h(x)=,则h′(x)=.…………………9分 由(Ⅱ),知x≥1+lnx(x>0),∴h′(x)≥0,…………………10分 ∴h(x)是(1,+∞)上的增函数. ∵n>m>1,∴h(n)>h(m),即>,…………………11分 ∴mnlnn-nlnn>mnlnm-mlnm,…………………12分 即mnlnn+mlnm>mnlnm+nlnn, 即lnnmn+lnmm>lnmmn+lnnn, 即ln(mnn)m>ln(nmm)n,      …………………13分 ∴(mnn)m>(nmm)n, ∴>.…………………………………………………………………………14分 16.(2014五调22)已知函数 (Ⅰ)求函数 的单调区间; (Ⅱ)当 时,函数 恒成立,求实数k的取值范围; (Ⅲ)设正实数 满足 , 求证: 17.(2014武汉四调22) 已知函数 . (I)求 的最大值; (II)设 , 是曲线 的一条切线,证明:曲线 上的任意一点都不可能在直线 的上方; (III)求证: (其中 为自然 对数的底数, ). 18.(2014武汉二调22)(Ⅰ)已知函数f(x)=ex-1-tx,?x0∈R,使f(x0)≤0,求实数t的取值范围;
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