求函数解析式的七种方法

函 数 解 析 式 的 七 种 求 法 一、 待定系数法：在已知函数的解析式结构时，用待定系数法。 例1  已知 是一次函数，且 ，求 解：设   ，则 二、 配凑法：已知复合函数 的达式，求 的解析式， 的表达式容易配成 的运算形式时，常用配凑法。但要注意所求函数 的定义域不是原复合函数的定义域，而是 的值域。  例2  已知 ，求 的解析式 解： ， 三、换元法：已知复合函数 的表达式时，还可以用换元法求 的解析式。与配凑法一样，要注意所换元的定义域的变化。 例3  已知 ，求 解：令 ，则 ， 四、代入法：求已知函数关于某点或者某条直线的对称函数时，一般用代入法。 例4已知：函数 的图象关于点 对称，求 的解析式 解：设 为 上任一点，且 为 关于点 的对称点 则 ，解得： ， 点 在 上  把 代入得： 整理得     五、构造方程组法：若已知的函数关系较为抽象简约，则可以对变量进行置换，设法构造方程组，通过解方程组求得函数解析式。 例5  设 求 解   显然 将 换成 ，得： 解 联立的方程组，得： 例6  设 为偶函数， 为奇函数，又 试求 的解析式 解 为偶函数， 为奇函数， 又 ， 用 替换 得： 即   解 联立的方程组，得 ，    六、赋值法：当题中所给变量较多，且含有“任意”等条件时，往往可以对具有“任意性”的变量进行赋值，使问题具体化、简单化，从而求得解析式。 例7  已知： ，对于任意实数x、y，等式 恒成立，求 解 对于任意实数x、y，等式 恒成立， 不妨令 ，则有   再令 得函数解析式为： 七、递推法：若题中所给条件含有某种递进关系，则可以递推得出系列关系式，然后通过迭加、迭乘或者迭代等运算求得函数解析式。 例8  设 是定义在 上的函数，满足 ，对任意的自然数 都有 ，求 解 ， 不妨令 ，得： ， 又   分别令 式中的   得： 将上述各式相加得： ，