常微分方程试题及答案

常微分方程试题及答案 常微分方程模拟试题 一、填空题(每小题3分，本题共15分) 1(一阶微分方程的通解的图像是 2 维空间上的一族曲线( 2(二阶线性齐次微分方程的两个解y(x),y(x)为方程的基本解组充分必要条件是 12 ( ,,, 3(方程的基本解组是 ( y,2y，y,0 4(一个不可延展解的存在在区间一定是 区间( dy2 5(方程的常数解是 ( ,1,ydx 二、单项选择题(每小题3分，本题共15分) 1,yd3,x，y 6(方程满足初值问题解存在且唯一定理条件的区域是( )( xd (A)上半平面 (B)xoy平面 (C)下半平面 (D)除y轴外的全平面 dy 7. 方程( )奇解( ,y，1dx (A)有一个 (B)有两个 (C)无 (D)有无数个 dy 8(f(y)连续可微是保证方程解存在且唯一的( )条件( ,f(y)dx (A)必要 (B)充分 (C)充分必要 (D)必要非充分 9(二阶线性非齐次微分方程的所有解( )( (A)构成一个2维线性空间 (B)构成一个3维线性空间 (C)不能构成一个线性空间 (D)构成一个无限维线性空间 2dy3,3y 10(方程过点(0, 0)有( B )( dx (A) 无数个解 (B) 只有一个解 (C) 只有两个解 (D) 只有三个解 三、计算题(每小题,分，本题共30分) 求下列方程的通解或通积分: dy 11. ,ylny dx dyyy21(),,， 12. dxxx dy5,y，xy 13. dx 222xydx，(x,y)dy,0 14( 3,,y,xy，2(y) 15( 四、计算题(每小题10分，本题共20分) 2,,,y,5y,,5x 16(求方程的通解( 17(求下列方程组的通解( dx1,,y，,,dtsint ,dy,,,x,dt, 五、证明题(每小题10分，本题共20分) f(x)[0,，,) 18(设在上连续，且，求证:方程 limf(x),0x,，, 1 dy ，y,f(x)dx 的一切解，均有( y(x)limy(x),0x,，, ,,, 19(在方程中，在上连续，求证:若y，p(x)y，q(x)y,0p(x),q(x)(,,,，,)p(x) 恒不为零，则该方程的任一基本解组的朗斯基行列式是上的严格单调函数( W(x)(,,,，,) 常微分方程模拟试题参考答案 一、填空题(每小题3分，本题共15分) 1(2 2(线性无关(或:它们的朗斯基行列式不等于零) xxe,xe3( 4(开 5( y,,1 二、单项选择题(每小题3分，本题共15分) 6(D 7(C 8(B 9(C 10(A 三、计算题(每小题,分，本题共30分) 11(解: 为常数解 (1分) y,1 当，时，分离变量取不定积分，得 y,0y,1 dy,dx，C (3分) ,,ylny 通积分为 xlny,Ce (6分) 注:包含在常数解中，当时就是常数解，因此常数解可以不专门列出。 y,1c,0 ,5y 13(解: 方程两端同乘以，得 dy,5,4 (1分) y,y，xdx dydz,4,5y,z4y 令 ，则，代入上式，得 ,,dxdx 1dz ,,z,x (3分) 4dx 这是一阶线形微分方程，对应一阶线形齐次方程的通解为 ,4x (4分) zce, 利用常数变易法可得到一阶线形微分方程的通解为 1,4xe (5分) z,C,x，4 因此原方程通解为 1,4,4xe y,C,x， (6分) 4 ,M,N,2x, 14(解: 因为，所以原方程是全微分方程( (2分) ,y,x (x,y),(0,0) 取，原方程的通积分为 00 xy2 (4分) 2xydx,ydy,C,,00 计算得 123xy,y,C (6分) 3 15(解: 原方程是克莱洛方程，通解为 2 3y,Cx，2C (6分) 四、计算题(每小题10分，本题共20分) 16(解: 对应齐次方程的特征方程为 2， (1分) ,,5,,0 特征根为 ，， (2分) ,,0,,512 齐次方程的通解为 5xy,C，Ce (4分) 12 因为是特征根。所以，设非齐次方程的特解为 ,,0 2y(x),x(Ax，Bx，C) (6分) 1 代入原方程，比较系数确定出 211 ，， (9分) C,A,B,3525 原方程的通解为 1125x32e (10分) y,C，C，x，x，x123525 17(解: 齐次方程的特征方程为 ,,12 (1分) ,，,10,,,1, 特征根为 (2分) ,,,i 求得特征向量为 1,, (3分) ,,i,, 因此齐次方程的通解为 xcostsint，，，，，， (4分) ,C，C12,,,,,,y-sintcost，，，，，， 令非齐次方程特解为 ~xcostsint，，，，，， (5分) ,C(t)，C(t)12,,,,,,~y-sintcost，，，，，，,,满足 C(t),C(t)12 1,，，，，cossintt，，()Ct1,,, (6分) ,,sint,,,,sincostt,,,,，，()Ct02，，，， 解得 cost,,C(t),,C(t),1 (8分) 12sint 积分，得 C(t),t， (9分) C(t),lnsint21 通解为 ，，costlnsint，tsintxcostsint，，，，，，,C，C， (10分) ,,12,,,,,,-sintlnsint，tcosty-sintcost，，，，，，，， 五、证明题(每小题10分，本题共20分) 3 y(x),y 18(证明: 设是方程任一解，满足，该解的表达式为 y,y(x)00 x,(sx)0()edfss,yx00(),，yx (4分) ,,xxxx00ee 取极限 x,(sx)0()edfss,yx00lim()limlim,，yx ,,xxxx00,，,,，,,，,xxxee ,(s,x),0,,0,若f(s)eds,x,0,，0 = (10分) ,(x,x)0,f(x)e(s,x)0,lim,0,若f(s)eds,,x,x,0,xx,，,0e, 19(证明: 设y(x)，y(x)是方程的基本解组，则对任意，它们朗斯x,(,,,，,)12 基行列式在上有定义，且(又由刘维尔公式 (,,,，,)W(x),0 x,p(s)ds,x0x,(,,,，,) ， (5分) W(x)W(x)e,00x,p(s)ds,x0, W(x)W(x)ep(x),0 W(x),0 由于，p(x),0，于是对一切x,(,,,，,)，有 0 ,, W(x),0 或 W(x),0 故 W(x)是(,,,，,)上的严格单调函数( (10分) 4