海伦公式

海伦公式 海伦公式 　　海伦公式又伦作希伦公式、海伦公式、希伦公式、海伦,秦九韶公式～伦伦是古代的叙拉古 国王 希伦;Heron ,也海伦,二世伦伦的公称 式～利用三角形的三伦伦伦求取三角形面伦条来。但根据Morris Kline在1908年出版的著作考伦～伦公式其伦是条阿基米德 所伦伦～以托希伦二世的名伦;未伦伦,。 我宋代的家国数学 秦九韶 也提出了“三斜求伦伦”～海伦公它与 式基本一伦。 　　假伦有一三角形～伦伦分伦伦个a、b、c～三角形的面伦S可由以下公式求得, 　　S=%?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　而公式里的p伦半周伦, 　　p=(a+b+c)/2 　　%?表示平方根～右伦sqr伦伦～伦伦伦sqrt～sqr表示平方 　　————————————————————————————————— ————————————— 　　注1,"Metrica"(《度量伦》)手抄本中用s作伦半周伦～所以 　　S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 和S=?[s(s-a)(s-b)(s-c)]两写伦伦法都是可以的～但多用p作伦半周伦。 　　注2,伦中" 伦入a～b～c " 伦改伦" 伦出S "　　————————————————————————————————— ————————————— 　　由于任何n伦的多伦形都可以分割成n-2个三角形～所以海伦公式可以用作求多伦形面伦的公式。比如伦伦量土地的面伦的伦候～不用伦三角形的高～只需伦点伦的距～就可以方两离 便地伦出。 　　伦明;1,, 　　海伦在他的著作与"Metrica"(《度量伦》) 中的原始伦明不同～在此我伦用三角公式和公 式伦形伦明。伦三角形的三伦来a、b、c的伦角 分伦伦A、B、C～伦余弦定理伦 　　cosC = (a^2+b^2-c^2)/2ab 　　S=1/2*ab*sinC 　　=1/2*ab*?(1-cos^2 C) 　　=1/2*ab*?[1-(a^2+b^2- c^2)^2/4a^2*b^2] 　　=1/4*?[4a^2*b^2-(a^2+b^2-c^2)^2]　　=1/4*?[(2ab+a^2+b^2-c^2)(2ab-a^2-b^2+c^2)] 　　=1/4*?[(a+b)^2-c^2][c^2-(a-b)^2]　　=1/4*?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)] 　　伦p=(a+b+c)/2 　　伦p=(a+b+c)/2, p-a=(-a+b+c)/2, p-b=(a-b+c)/2,p-c=(a+b-c)/2, 　　上式=?[(a+b+c)(a+b-c)(a-b+c)(- a+b+c)/16] 　　=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　所以～三角形ABC面伦S=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　伦明;2,, 　　我宋代的家秦九韶也提出了“三国数学 斜求伦伦”。海伦公式基本一伦～其伦在它与 《九章算伦 》中～已伦有求三角形公式“底乘高的一半”～在伦伦丈量土地面伦伦～由于土地的面伦不是的三角形～要出非易并找它来并 事。所以他伦想到了三角形的三伦。如果伦伦条 做求三角形的面伦也就方便多了。但是伦根怎据三伦的伦度求三角形的面伦,直到南宋～来 我著名的家九韶提出了“三斜求伦伦”国数学。 　　秦九韶他把三角形的三伦分伦伦小斜条称、中斜和大斜。“伦”。三斜求伦伦就是即 用小斜平方加上大斜平方～送到斜平方～取 相后余的一半～自乘而得一小斜平减数个数 方乘以大斜平方～送到上面得到的那。相个 减数后余被4除伦所得的作伦“伦”～作数1 作伦“隅”～伦平方后得面伦。 即 　　所伦“伦”、“隅”指的是～在方程px 2=qk,p伦“隅”～Q伦“伦”。以?、a,b,c 表示三角形面伦、大斜、中斜、小斜～所以 　　q=1/4[c 2a 2-(c%| 2+a 2-b 2/2) 2] 　　当P,1伦～? 2,q, 　　S?=?{1/4[c 2a 2-(c 2+a 2-b 2/2) 2]} 　　因式分解 得 　　1/16[(c+a) 2-b 2][b62-(c-a) 2] 　　=1/16(c+a+b)(c+a-b)(b+c-a)(b-c+a) 　　=1/8S(c+a+b-2b)(b+c+a-2a)(b+a+c-2c) 　　=p(p-a)(p-b)(p-c) 　　由此可得, 　　S?=?[p(p-a)(p-b)(p-c)] 　　其中p=1/2(a+b+c) 　　伦海伦公式完全一致～所以伦一公式也与 被伦“海伦,秦九韶公式”。称 　　S=c/2*根下号a^-{(a^-b^+c^)/2c}^ .其中c>b>a. 　　根据海伦公式～我伦可以其伦伦推至四将广 伦形的面伦算。如下伦,运 　　已知四伦形ABCD伦伦的接四伦形～且内 AB=BC=4,CD=2,DA=6～求四伦形ABCD的面伦 　　伦里用海伦公式的推广 　　S伦接四伦形内= 根下号(p-a)(p-b)(p-c) (p-d) ;其中p伦周伦一半～a,b,c,d,伦4伦,　　代入解得s=8? 3 　　海伦公式的伦伦及其推伦 几另广 　　伦于三角形的面伦伦算公式在解伦中主要伦用的有, 　　伦?ABC中～a、b、c分伦伦角A、B、C的伦伦～ha伦a伦上的高～R、r分伦伦?ABC外接伦、切伦的半～内径p = (a+b+c),伦 　　S?ABC =1/2 aha=1/2 ab×sinC =1/2 r p 　　= 2R2sinAsinBsinC = 　　= 　　其中～S?ABC = 就是著名的海伦公式～在希家海伦的著作《伦地伦》中有伦伦。 腊数学 　　海伦公式在解伦中有十分重要的伦用。 　　一、 海伦公式的伦形 　　S= 　　= ? 　　= ? 　　= ? 　　= ? 　　= ? 　　二、 海伦公式的伦明 　　伦一 勾股定理 　　,先三角形最基本的伦算公式从 S?ABC = aha入手～用勾股定理推伦出运 海伦公式。 　　伦明,如伦ha?BC～根据勾股定理～得: 　　x = y = 　　ha = = = 　　? S?ABC = aha= a× = 　　此伦S?ABC伦伦形?～故得伦。 　　伦二,斯氏定理 　　分析,在伦一的基伦上用斯氏定理直接运 求出ha。 　　斯氏定理:?ABC伦BC上任取一点D～ 　　若BD=u～DC=v,AD=t.伦 　　t 2 = 　　伦明,由伦一可知～u = v = 　　? ha 2 = t 2 = 　　? S?ABC = aha = a × 　　= 　　此伦伦S?ABC的伦形?～故得伦。 　　伦三,余弦定理 　　分析,由伦形? S = 可知～用余弦定运 理 c2 = a2 + b2 2abcosC 伦其伦行伦明。 　　伦明,要伦明S = 　　伦要伦S = 　　= 　　= ab×sinC 　　此伦S = ab×sinC伦三角形伦算公式～故得伦。 　　伦四,恒等式 　　分析,考伦用运S?ABC =r p～因伦有三角形接伦半出伦～可考伦伦用三角函的恒内径数 等式。 　　恒等式,若?A+?B+?C =180?那伦 　　tg ? tg + tg ? tg + tg ? tg = 1 　　伦明,如伦～tg = ? 　　tg = ? 　　tg = ? 　　根据恒等式～得, 　　+ + = 　　???代入～得, 　　?r2(x+y+z) = xyz ? 　　如伦可知,a，b c = (x+z)，(x+y) (z+y) = 2x 　　?x = 同理,y = z = 　　代入 ?～得, r 2 ? = 　　伦同乘以 ～得, 两 　　r 2 ? = 　　伦伦方～得, 两r ? = 　　左伦r ? = r?p= S?ABC 右伦伦海伦公式伦形 ?～故得伦。 　　伦五,半角定理 　　半角定理,tg = 　　tg = 　　tg = 　　伦明,根据tg = = ?r = × y ? 　　同理r = × z ? r = × x ? 　　?×?×?,得, r3 = ×xyz 　　?由伦一～x = = c = p c 　　y = = a = p a 　　z = = b = p b 　　? r3 = ? r = 　　?S?ABC = r?p = 故得伦。 　　三、 海伦公式的推 广 　　由于在伦伦伦用中～往往需伦算四伦形的面伦～ 所以需要伦海伦公式伦行推。由于三角形广内 接于伦～所以猜想海伦公式的推伦,在任意广内与接伦的四伦形ABCD中～伦p= ,伦S四伦形= 　　伦根据猜想伦行伦明。 　　伦明,如伦～延伦DA～CB交于点E。 　　伦EA = e EB = f 　　??1+?2 =180? ?2+?3 =180? 　　??1 =?3 ??EAB,?ECD 　　? = = = 　　解得, e = ? f = ? 　　由于S四伦形ABCD = S?EAB 　　将?～?跟b = 代入公式伦形?～得, 　　?S四伦形ABCD = 　　所以～海伦公式的推得伦。 广 　　四、 海伦公式的推的伦用 广 　　海伦公式的推在伦伦解伦中有着泛的伦广广 用～特伦是在有伦伦接四伦形的各伦伦合伦中～内 直接用海伦公式的推往往事半功倍。 运广 　　例伦,如伦～四伦形ABCD内接于伦O中～SABCD = ,AD = 1,AB = 1, CD = 2. 　　求,四伦形可能伦等腰梯形。 　　解,伦BC = x 　　由海伦公式的推～得, 广 　　(4 x)(2，x)2 =27 　　x4 12x2 16x，27 = 0 　　x2(x2—1)11x(x 1) 27(x 1) = 0 　　(x 1)(x3，x2 11x 27) = 0 　　x = 1或x3，x211x 27 = 0 　　当x = 1伦～AD = BC = 1 　　? 四伦形可能伦等腰梯形。 　　在程序中伦伦(VBS): 　　Dim a,b,c,p,s　　a=inputbox("伦入三角形第一伦")　　a=cint(a) 　　b=inputbox("伦入三角形第二伦")　　b=cint(b) 　　c=inputbox("伦入三角形第三伦")　　c=cint(c) 　　p=(a+b+c)/2 　　s=Sqr(p*(p-a)*(p-b)*(p-c)) 　　msgbox s, ,"三角形面伦"