不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+zx)的全部非负整数解
不定方程x2,y2,z2=2(xy,yz,zx)的全
部非负整数解
第28卷第1期
2012年1月
齐齐哈尔大学
JournalofQiqiharUniversity
Vo1.28.No.1
JaII.,2012
不定方程+y2+z2=2
的全部非负整数解
管训贵
(泰州师范高等专科学校数理信息学院,江苏泰州225300) 摘要:利用解序列的递归性,得到了不定方程+I2()+zx)的全部非负整数解. 关键词:不定方程;解序列的递归性;非负整数解
中图分类号:O156文献标志码:A文章编号:1007—984X(2012)01-0089—03 1问题提出
文献[1,5]在研究了不定方程
+Y+2=3xyz(1)
后指出:若(0,Yo,ZO)为式(1)的正整数解,则(XO,Yo,3xoYo-Xo)也为式(1)的正整数解,并且式
(1)的任一正整数解可由x=y=z=1通过上述
逐步求出.例如,满足条件gcd(,Y)=gcd(J,,z)
=gcd(z,):1,x??z<1000的全部正整数解为(x,Y,z):(1,1,1),(1,1,2),(1,2,5),(1,
5,13),(2,5,29),(1,13,34),(1,34,89),(2,29,169),(5,13,194),(1,89,233),(25,
295,433),(1,233,610),(2,169,985o实际上,式(1)满足条件x?Y?z的全部正整数解也可
由下述递推式给出,即
=:zl=1
与
x+l=Xn,+l=,Z?l3xy. 一
X
n
或
X
n+l
Xn,
YH+l,z+13xu一
式中
U=max(y.,3xy.一Xn) 或
Xn+l,+l=Un, Z
n+I
3V
n
U
n
—
v
式中
V
n=min(y,3xy.一),U=max(y.,3xy一)
文献【6]研究了不定方程 +Y+z=2(xy+yz+zx)(2)
并从方程自身的特点出发,引人了方程的同组解,邻解,奇解,非奇解与互质解的概
念,得出方程最简单
的解和互质解谱树图,导出一系列解的性质.本文在文献【2]的基础上给出方程(2)的递归解,即
定理方程+Y+z=2(xy+十)满足gcd(,Y,z)=l的全部非负整数解可表为 收稿日期:201l—lO—l5
基金项目:泰州师范高等专科学校重点课题资助项目(2010一ASL-09)' 作者简介:管训贵(1963一).男,江苏省兴化市人,副教授,主要从事基础数论方而的研究,tzszgxg@126.COin.
90?齐齐哈尔大学2012
1=1,Yl=1,z1=4或=1,=4,zI=1或【:4,Y【=1,zI=l
与
xH+l=x",Y"+1:Y",z+1:2(x+Y)一zH
或
x+l=x,YH+l:2(x"+zn)一Y",z"+1=z
或
Xn+1=2(+z)一Xn,+1=,z川=z
(3)
(4)
(5)
(6)
式中为正整数.
2关键性引理
引理1若(日,b,C)是式(2)的非负整数解,则(2(b+C)一口,b,c),(口,2(a+c)一6,C),(臼,b,2(a+b)一c)
也是式(2)的非负整数解.
证明令f(x)=一2(b+c)x+(6一).,则f(a):a.一2(b++(6一c):0,说明a是方程f(x)=0的 一
(2(b+C)一日,6,C)是方个根,设另一根为g,则由g+a=2(b+C)可得g:2(b+C)一口,因此
程(2)的非
负整数解.同理可证(a,2(a+c)一6,C)与(口,b,2(a+6)一C)也是方程(2)的非负整数解.证毕.
引理2+Y.+=2(++)的正整数解(2(6+c)一臼,b,C),(臼,2(a+c)一6,c)与(,b,2(a+6)一c) 中,只有1个解的分量比原来的小,另2个则具有较大的最大分量. 证明不妨设C<b<口,而f(x):一2(b+c)x+(b—c)=0的2个根分别为a和2(b+C)一a.由
(6一口)[6一(2(6+C)一口】=C一4bc=-c(4b—C)<0
知2(b+C)一a<b<a,故(2(b+C)一口,b,C)的最大分量小于(口,b,C)的最大分量.由
(口一6)[口一(2(口+c)一6)】:C一4ac=-c(4a—c)<0
知b<a<2(a+c)一b.同理b<a<2(a+6)一c.证毕.
引理3若方程(2)满足gcd(x,Y,z)=1的正整数解(口,b,C)中有2个分量相等,则必得非负整数解(1,
1,4)或(1,4,1)或(4,1,1),且导出另一组正整数解(2(b+C)一,b,C)或(口,2(a+c)一6,C)或(a,b,2(a+b)一C).
证明假定a=b可得(,Y,z)=(6,b,4b),但gcd(x,Y,z)=l,故b=l,从而(,Y,):(1,l,4).再F}{ 1.+Y+4=2(y+4+4)可得另外,组正整数解(,,z):(1,9,4),此即
(x,Y,z)=(口,2(a+c)一6,c)
b=C及C=a的情况与之类似.证毕.
3定理的证明
显然式(3)是方程(2)满足gcd(x,,z):l的非负整数解.而(,,,)=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1)
也是式(2)满足gcd(x,Y,z)=1的非负整数解.以下讨论时不妨假定x>0,Y>0,z>0.
设(口,b,C)是式(2)满足gcd(x,,z)=1的正整数解,则由引理1知
(2(6+C)一a,b,c),(口,2(a+c)一b,C),(日,b,2(a+6)一c)(7)
也是式(2)的正整数解,且gcd(2(b+C)一口,b,C):gcd(a,2(a+C)一6,C)=gcd(a,b,2(a+b)
一C)=l.由引理
2知,式(7)中必有正整数解(a,bIc)具有较小的最大分量.它又能导出互素的正整数解(,b2,C,)具有
更小的最大分量.将这个过程持续下去,必在某个互素的正整数解具有相同分量时停止,此时该正整数解
为(1,1,4)或(1,4,1)或(4,1,1),从而由这些最简单的正整数解出发,就能逐步并且毫无遗漏地得出方程
(2)的满足gcd(x,Y,z)=1的全部非负整数解来.再由引理3知,方程(2)的全部非负整数解可南式(3)
,
式(6)表出.证毕.
值得一提的是:方程(2)的互素正整数解(口,b,C)中,,b,C均为平方数且遍布所有平方数.事实上,
由a2—2(b+c)a+(6一c)2=0知,关于a的一元二次方程根的判别式A=bc应为完全平方数.假定
gcd(b,c)=d>l,则d总有素因数P,使得PIb,PlC,从而Pla,这与gcd(a,b,c)=l矛盾,故 第1期不定方程x2+y~=2(xy+yz+zx)的全部非负整数解?91? gcd(b,C)=1,这时b,C必然都是平方数.同理可得a'dZ是平方数. 参考文献
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Allnon—negativeintegersolutionsofindefiniteequation=2(xy+yz+zx)
GUANXun-gui
(TaizhouTeachersCollege,SchoolofMathematicsPhysics&InformationScience,Jia
ngsuTaizhou225300,China)
Abstract:Allnon—negativeintegersolutionstotheindefiniteequationx2+y2+z2=2(xy+yz+zx)isproposedint
his
issuebyusingtherecursivepropertyofsolutionsequence.
Keywords:indefiniteequation;recursivepropertyofsolutionsequence;non—
negativeintegersolution
_?_?-_-?-?-.-?一?-_-?-?-?_?-…_?-?-?_?-'?'一…-?_?-???一
?-'-???-?-t-一'-?-?-_?一.-'一??…_?-'?'_?-'-?一…_?-
(上接第88页)
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Anewmethodforsolvingsystemsofnonlinearequationsandapplication
ZHUTie-feng
(DepartmentofComputerScience.YouthCollegeofPoliticalScienceofInnerMongoliaNormalUniversity,Hohhot010051,China)
Abstract:Thispaperpresentsamutationquantumbehavedparticleswarmoptimizationforsolvingthenonlinear
equati0nsproblems,whichisfirsttransformedtoconstrainedoptimization,andisbasedonc0nstr-aint—handing
mechanism.constrainedvoilationfunction,andmutationoperator,andcancontinuouslyfindbetterfeasiblesolutions,
graduallvleadingthesearchnearthetrueoptimumsolution.NumericalresultshowthatmutationQPSOisfeasible
andefficient.andiSasuccessfulapproachinsolvingsystemsofnonlinearequations.
Keywords:systemsofnonlinearequations;QPSOalgorithm;constrainedoptimization;feas
ibility