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不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+zx)的全部非负整数解

2017-09-25 8页 doc 23KB 51阅读

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不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+zx)的全部非负整数解不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+zx)的全部非负整数解 不定方程x2,y2,z2=2(xy,yz,zx)的全 部非负整数解 第28卷第1期 2012年1月 齐齐哈尔大学 JournalofQiqiharUniversity Vo1.28.No.1 JaII.,2012 不定方程+y2+z2=2 的全部非负整数解 管训贵 (泰州师范高等专科学校数理信息学院,江苏泰州225300) 摘要:利用解序列的递归性,得到了不定方程+I2()+zx)的全部非负整数解. 关键词:不定方程;解序列的递归性;非负整...
不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+zx)的全部非负整数解
不定方程x2+y2+z2=2(xy+yz+zx)的全部非负整数解 不定方程x2,y2,z2=2(xy,yz,zx)的全 部非负整数解 第28卷第1期 2012年1月 齐齐哈尔大学 JournalofQiqiharUniversity Vo1.28.No.1 JaII.,2012 不定方程+y2+z2=2 的全部非负整数解 管训贵 (泰州师范高等专科学校数理信息学院,江苏泰州225300) 摘要:利用解序列的递归性,得到了不定方程+I2()+zx)的全部非负整数解. 关键词:不定方程;解序列的递归性;非负整数解 中图分类号:O156文献标志码:A文章编号:1007—984X(2012)01-0089—03 1问题提出 文献[1,5]在研究了不定方程 +Y+2=3xyz(1) 后指出:若(0,Yo,ZO)为式(1)的正整数解,则(XO,Yo,3xoYo-Xo)也为式(1)的正整数解,并且式 (1)的任一正整数解可由x=y=z=1通过上述逐步求出.例如,满足条件gcd(,Y)=gcd(J,,z) =gcd(z,):1,x??z<1000的全部正整数解为(x,Y,z):(1,1,1),(1,1,2),(1,2,5),(1, 5,13),(2,5,29),(1,13,34),(1,34,89),(2,29,169),(5,13,194),(1,89,233),(25, 295,433),(1,233,610),(2,169,985o实际上,式(1)满足条件x?Y?z的全部正整数解也可 由下述递推式给出,即 =:zl=1 与 x+l=Xn,+l=,Z?l3xy. 一 X n 或 X n+l Xn, YH+l,z+13xu一 式中 U=max(y.,3xy.一Xn) 或 Xn+l,+l=Un, Z n+I 3V n U n — v 式中 V n=min(y,3xy.一),U=max(y.,3xy一) 文献【6]研究了不定方程 +Y+z=2(xy+yz+zx)(2) 并从方程自身的特点出发,引人了方程的同组解,邻解,奇解,非奇解与互质解的概 念,得出方程最简单 的解和互质解谱树图,导出一系列解的性质.本文在文献【2]的基础上给出方程(2)的递归解,即 定理方程+Y+z=2(xy+十)满足gcd(,Y,z)=l的全部非负整数解可表为 收稿日期:201l—lO—l5 基金项目:泰州师范高等专科学校重点课题资助项目(2010一ASL-09)' 作者简介:管训贵(1963一).男,江苏省兴化市人,副教授,主要从事基础数论方而的研究,tzszgxg@126.COin. 90?齐齐哈尔大学2012 1=1,Yl=1,z1=4或=1,=4,zI=1或【:4,Y【=1,zI=l 与 xH+l=x",Y"+1:Y",z+1:2(x+Y)一zH 或 x+l=x,YH+l:2(x"+zn)一Y",z"+1=z 或 Xn+1=2(+z)一Xn,+1=,z川=z (3) (4) (5) (6) 式中为正整数. 2关键性引理 引理1若(日,b,C)是式(2)的非负整数解,则(2(b+C)一口,b,c),(口,2(a+c)一6,C),(臼,b,2(a+b)一c) 也是式(2)的非负整数解. 证明令f(x)=一2(b+c)x+(6一).,则f(a):a.一2(b++(6一c):0,说明a是方程f(x)=0的 一 (2(b+C)一日,6,C)是方个根,设另一根为g,则由g+a=2(b+C)可得g:2(b+C)一口,因此 程(2)的非 负整数解.同理可证(a,2(a+c)一6,C)与(口,b,2(a+6)一C)也是方程(2)的非负整数解.证毕. 引理2+Y.+=2(++)的正整数解(2(6+c)一臼,b,C),(臼,2(a+c)一6,c)与(,b,2(a+6)一c) 中,只有1个解的分量比原来的小,另2个则具有较大的最大分量. 证明不妨设C<b<口,而f(x):一2(b+c)x+(b—c)=0的2个根分别为a和2(b+C)一a.由 (6一口)[6一(2(6+C)一口】=C一4bc=-c(4b—C)<0 知2(b+C)一a<b<a,故(2(b+C)一口,b,C)的最大分量小于(口,b,C)的最大分量.由 (口一6)[口一(2(口+c)一6)】:C一4ac=-c(4a—c)<0 知b<a<2(a+c)一b.同理b<a<2(a+6)一c.证毕. 引理3若方程(2)满足gcd(x,Y,z)=1的正整数解(口,b,C)中有2个分量相等,则必得非负整数解(1, 1,4)或(1,4,1)或(4,1,1),且导出另一组正整数解(2(b+C)一,b,C)或(口,2(a+c)一6,C)或(a,b,2(a+b)一C). 证明假定a=b可得(,Y,z)=(6,b,4b),但gcd(x,Y,z)=l,故b=l,从而(,Y,):(1,l,4).再F}{ 1.+Y+4=2(y+4+4)可得另外,组正整数解(,,z):(1,9,4),此即 (x,Y,z)=(口,2(a+c)一6,c) b=C及C=a的情况与之类似.证毕. 3定理的证明 显然式(3)是方程(2)满足gcd(x,,z):l的非负整数解.而(,,,)=(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1) 也是式(2)满足gcd(x,Y,z)=1的非负整数解.以下讨论时不妨假定x>0,Y>0,z>0. 设(口,b,C)是式(2)满足gcd(x,,z)=1的正整数解,则由引理1知 (2(6+C)一a,b,c),(口,2(a+c)一b,C),(日,b,2(a+6)一c)(7) 也是式(2)的正整数解,且gcd(2(b+C)一口,b,C):gcd(a,2(a+C)一6,C)=gcd(a,b,2(a+b) 一C)=l.由引理 2知,式(7)中必有正整数解(a,bIc)具有较小的最大分量.它又能导出互素的正整数解(,b2,C,)具有 更小的最大分量.将这个过程持续下去,必在某个互素的正整数解具有相同分量时停止,此时该正整数解 为(1,1,4)或(1,4,1)或(4,1,1),从而由这些最简单的正整数解出发,就能逐步并且毫无遗漏地得出方程 (2)的满足gcd(x,Y,z)=1的全部非负整数解来.再由引理3知,方程(2)的全部非负整数解可南式(3) , 式(6)表出.证毕. 值得一提的是:方程(2)的互素正整数解(口,b,C)中,,b,C均为平方数且遍布所有平方数.事实上, 由a2—2(b+c)a+(6一c)2=0知,关于a的一元二次方程根的判别式A=bc应为完全平方数.假定 gcd(b,c)=d>l,则d总有素因数P,使得PIb,PlC,从而Pla,这与gcd(a,b,c)=l矛盾,故 第1期不定方程x2+y~=2(xy+yz+zx)的全部非负整数解?91? gcd(b,C)=1,这时b,C必然都是平方数.同理可得a'dZ是平方数. 参考文献 『1】华罗庚.数沦导引【M1.北京:科学出版社,1979. f2]柯召,孙琦.谈谈不定方程【M】.上海:上海教育出版社,1980. f3】潘承洞,潘承彪.哥德巴赫猜想【M1.北京:北京大学出版社,1992. [4]4曹珍富.丢番图方程引论fM】_哈尔滨:哈尔滨工业大学出版社,1989. 【51管训贵.初等数论【M].安徽:中国科学技术大学出版社,2011. 【6】李高,常秀芳.不定方程x+z2=2(xy+yz+zx)的解及其性质山西大同大学:自然科学版,2011,27(3):6-10 Allnon—negativeintegersolutionsofindefiniteequation=2(xy+yz+zx) GUANXun-gui (TaizhouTeachersCollege,SchoolofMathematicsPhysics&InformationScience,Jia ngsuTaizhou225300,China) Abstract:Allnon—negativeintegersolutionstotheindefiniteequationx2+y2+z2=2(xy+yz+zx)isproposedint his issuebyusingtherecursivepropertyofsolutionsequence. Keywords:indefiniteequation;recursivepropertyofsolutionsequence;non— negativeintegersolution _?_?-_-?-?-.-?一?-_-?-?-?_?-…_?-?-?_?-'?'一…-?_?-???一 ?-'-???-?-t-一'-?-?-_?一.-'一??…_?-'?'_?-'-?一…_?- (上接第88页) Computation.PortlandOregon:2004:325—331. f7]HaralambosSarimveis,AthanassiosNikolakopoulos.Alineupevolutionaryalgorithmforsolvingnonlinearconstrainedoptimization problems[J].ComputerandOperaitionsResearch.2005,32(6):1499—1514. f8]PowellD,skolnickM.UsingGeneticAlgorithmsinEngineeringDesignOptimizationwithNonlinearconstraints[C]//Fcrest S,ed.Proceedingofthe5thInternationalconferenceonGeneticAlgorithmssanmateo.CA:MorganKaufmannpublishers,1993: 424—430. 『919美愿斌,陈德钊,胡上序.求非线性方程组的计算纯粒子群算法及应用[J】.计 算力学,2007,24(4):I-7. Anewmethodforsolvingsystemsofnonlinearequationsandapplication ZHUTie-feng (DepartmentofComputerScience.YouthCollegeofPoliticalScienceofInnerMongoliaNormalUniversity,Hohhot010051,China) Abstract:Thispaperpresentsamutationquantumbehavedparticleswarmoptimizationforsolvingthenonlinear equati0nsproblems,whichisfirsttransformedtoconstrainedoptimization,andisbasedonc0nstr-aint—handing mechanism.constrainedvoilationfunction,andmutationoperator,andcancontinuouslyfindbetterfeasiblesolutions, graduallvleadingthesearchnearthetrueoptimumsolution.NumericalresultshowthatmutationQPSOisfeasible andefficient.andiSasuccessfulapproachinsolvingsystemsofnonlinearequations. Keywords:systemsofnonlinearequations;QPSOalgorithm;constrainedoptimization;feas ibility
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