关于抛物线焦点的公式

北 京 四 中 撰　稿：安东明  编　审：安东明  责　编：辛文升   本周重点：圆锥曲线的定义及应用   本周难点：圆锥曲线的综合应用   本周内容：   一、圆锥曲线的定义   1. 椭圆：到两个定点的距离之和等于定长（定长大于两个定点间的距离）的动点的轨迹叫做椭圆。即：{P| |PF1|+|PF2|=2a, (2a>|F1F2|)}。   2. 双曲线：到两个定点的距离的差的绝对值为定值（定值小于两个定点的距离）的动点轨迹叫做双曲线。即{P|||PF1|-|PF2||=2a, (2a<|F1F2|)}。   3. 圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当01时为双曲线。   二、圆锥曲线的方程。   1.椭圆：+=1（a>b>0）或+=1（a>b>0）（其中，a2=b2+c2）   2.双曲线：-=1（a>0, b>0）或-=1（a>0, b>0）（其中，c2=a2+b2）   3.抛物线：y2=±2px（p>0），x2=±2py（p>0）   三、圆锥曲线的性质   1.椭圆：+=1（a>b>0）   （1）范围：|x|≤a，|y|≤b   （2）顶点：(±a,0)，(0,±b)   （3）焦点：(±c,0)   （4）离心率：e=∈(0,1)   （5）准线：x=±   2.双曲线：-=1（a>0, b>0）   （1）范围：|x|≥a, y∈R   （2）顶点：(±a,0)   （3）焦点：(±c,0)   （4）离心率：e=∈(1,+∞)   （5）准线：x=±   （6）渐近线：y=±x   3.抛物线：y2=2px(p>0)   （1）范围：x≥0, y∈R   （2）顶点：（0,0）   （3）焦点：（,0）   （4）离心率：e=1   （5）准线：x=-   四、例题选讲：   例1.椭圆短轴长为2，长轴是短轴的2倍，则椭圆中心到准线的距离是__________。   解：由题：2b=2，b=1，a=2，c==，则椭圆中心到准线的距离：==。   注意：椭圆本身的性质（如焦距，中心到准线的距离，焦点到准线的距离等等）不受椭圆的位置的影响。   例2.椭圆+=1的离心率e=，则m=___________。   解：（1）椭圆的焦点在x轴上，a2=m，b2=4，c2=m-4，e2===m=8。   （2）椭圆的焦点在y轴上，a2=4，b2=m，c2=4-m，e2===m=2。   注意：椭圆方程的

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形式有两个，在没有确定的情况下，两种情况都要考虑，切不可凭主观丢掉一解。   例3.如图：椭圆+=1（a>b>0），F1为左焦点，A、B是两个顶点，P为椭圆上一点，PF1⊥x轴，且PO//AB，求椭圆的离心率e。   解：设椭圆的右焦点为F2，由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a,   ∵ PF1⊥x轴，∴ |PF1|2+|F1F2|2=|PF2|2，   即(|PF2|+|PF1|)(|PF2|-|PF1|)=4c2,   ∴ |PF1|=。   ∵ PO//AB，∴ ΔPF1O∽ΔBOA,   ∴ = c=ba=c, ∴ e==。   又解，∵ PF1⊥x轴，∴ 设P(-c, y)。   由第二定义：=e|PF1|=e(x0+)=(-c+)=,   由上解中ΔPF1O∽ΔBOA，得到b=ce=。   例4.已知F1，F2为椭圆+=1的焦点，P为椭圆上一点，且∠F1PF2=，求ΔF1PF2的面积。  

分析

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：要求三角形的面积，可以直接利用三角形的面积公式，注意到椭圆中一些量之间的关系，我们选用面积公式S=absinC。   解法一：SΔ=|PF1|·|PF2|·sin   |PF1|+|PF2|=2a=20，   4×36=4c2=|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1||PF2|cos，   即(|PF1|+|PF2|)2-3|PF1||PF2|=4×36，   |PF1|·|PF2|=   ∴ SΔ=××=。   解法二：SΔ=|F1F2|·|yP|=×12×yP=6|yP|，   由第二定义：=e|PF1|=a+exP=10+xP，   由第一定义：|PF2|=2a-|PF1|=10-xP，   4c2=|F1F2|2=(10+xP)2+(10-xP)2-2(10+xP)(10-xP)cos，   144=100+=， =64(1-)=64×，   SΔ=6|yP|=6×=。   注意：两个定义联合运用解决问题。从三角形面积公式均可得到结果。初学时最好两种办法都试试。   例5.椭圆+=1 的焦点为F1和F2，点P在椭圆上，若线段PF1的中点在y轴上，求：|PF1|，|PF2|。   分析：先要根据题意画出图形，然后根据已知量，将关于|PF1|，|PF2|的表达式写出来，再求解。   解：如图，∵O为F1F2中点，PF1中点在y轴上，∴PF2//y轴，∴PF2⊥x轴，   由第一定义：|PF1|+|PF2|=2a=4，   |PF1|2-|PF2|2=|F1F2|2，   (|PF1|-|PF2|)(|PF1|+|PF2|)=4×9=36，   。   例6.椭圆：+=1内一点A（2，2），F1，F2为焦点，P为椭圆上一点，求|PA|+|PF1|的最值。     解：|PA|+|PF1|=|PA|+2a-|PF2|=10+|PA|-|PF2|≤|AF2|+10=2+10，   |PA|+|PF1|=|PA|+10-|PF2|=10-(|PF2|-|PA|)≥10-|AF2|=10-2。   注意：利用几何图形的性质：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边。   例7.已知：P为双曲线-=1（a>0, b>0）上一点，F1，F2为焦点，A1，A2为其顶点。求证：以PF1为直径的圆与以A1，A2为直径的圆相切。     证明：不妨设P在双曲线的右支上，设PF1中点为O＇, A1A2中点为O，   |OO＇|=|PF2|，圆O半径为|A1A2|，圆O＇半径为|PF1|   由双曲线定义：|PF1|-|PF2|=|A1A2|   |PF1|-|A1A2|=|PF2|=|OO'|   ∴ 两个圆相内切。   注意：可以自己证出P在左支时，两圆相外切。   例8.已知：过抛物线y2=2px(p>0)焦点F的直线与抛物线交于P，Q两点。求证：以线段PQ为直径的圆与准线相切。   证明：由定义知，如图：|PP＇|=|PF|, |QQ＇|=|QF|   |PQ|=|PP＇|+|QQ＇|，|PQ|=(|PP＇|+|QQ＇|)，   故圆心到准线的距离等于圆的半径，即圆和准线相切。   五、课后练习   1. 椭圆+=1上一点P与椭圆两焦点连线互相垂直，则ΔPF1F2的面积为（　）   A、20  B、22  C、28  D、24   2. 若点P(a,b)是双曲线x2-y2=1右支上一点，且P到渐近线距离为，则a+b=(　)   A、-  B、  C、-2  D、2   3. 焦点在直线3x-4y-12=0上的抛物线的标准方程是（　）   A、y2=16x或x2=16y  B、y2=16x或x2=-16y   C、x2=-12y或y2=16x  D、x2=16y或y2=-12x   4. 已知：椭圆+=1（a>b>0）上两点P、Q，O为原点，OP⊥OQ，求证：+为定值。   六、练习

答案

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：   1. D 　2. B 　3. C   4. 设P(|OP|cosα, |OP|sinα), Q(|OQ|cos(α+90°), |OQ|sin(α+90°))，利用两点距离公式及三角公式，+=。