椭圆的离心率

椭圆的离心率 专题:椭圆的离心率(学生版) 2cb,,2一，利用定义求椭圆的离心率( 或 ) e,e,1,,,aa,,1， 已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率 e, 22xy12，椭圆的离心率为，则 ，,1m,24m 22xy3，已知m,n,m+n成等差数列，m，n，mn成等比数列，则椭圆的离心率为 ，,1mn二，运用几何图形中线段的几何意义结合椭圆的定义求离心率 e ,Rt,AB,AC,11，在ABC中，，，如果一个椭圆过A、B两点，它的一个焦，A,90 点为C，另一个焦点在AB上，求这个椭圆的离心率 ,2， 如图所示,椭圆中心在原点,F是左焦点,直线与BF交于D,且,则椭AB，BDB,9011 圆的离心率为( ) 2 2x y椭圆 、F ，以FF为边作正三角形，若椭圆恰好平分正三角形的两边，则3, +=1(a>b >0)的两焦点为F121222ab 椭圆的离心率e的值 2 2x y变式(1):椭圆 、F ，点P在椭圆上，使?OPF 为正三角形，求椭圆离心率, +=1(a>b >0)的两焦点为F12122ab 2 2x y变式(2) 椭圆 、F ，AB为椭圆的顶点，P是椭圆上一点，且PF ?X轴， +=1(a>b >0)的两焦点为F12122a b PF?AB,求椭圆离心率, 2 POOAB变式(3):将上题中的条件“PF?AB”变换为“?(为坐标原点)” 2 2 2x y 相似题:椭圆 +=1(a>b >0)，A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，?ABF=90?，求椭圆的离22a b 心率e的值 2 2 xy-1+5 变式(1):椭圆 +=1(a>b >0)，e=, A是左顶点，F是右焦点，B是短轴的一个顶点，求?ABF, 22ab 2 22xy，,(1a,b,0)4，设椭圆的左、右焦点分别为，如果椭圆上存在点P，使，求离心率eF、F，FPF,90:121222ab 的取值范围。 2 2x y 变式(1):圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F (-c，0)、F (c,0)，P是以,FF,为直径的圆与椭圆的一个交121222a b 点，且?PFF =5?PFF ,求椭圆的离心率e 12212 2x y 变式(2):椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F (-c，0)、F (c,0)，P是椭圆上一点，且?FPF =60?，求121222a b 椭圆离心率e的取值范围, 1 22xy变式(3):过椭圆(ab,,0)的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若P，,1FFx1222ab ,则椭圆的离心率e的值 ，,FPF6012 22xy0变式(4):若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆，,1(a,b,0)A,BQ，AQB,12022ab 6离心率的最小值。{} ,e,13 22xy5，如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其右xoyFAABB,,,，,,,1(0)ab121222ab 焦点，直线OTOT与直线相交于点T，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭圆的离心率MABBF121y T 为 . B2 M x AO A1 2 2 2x y??MFMF6，椭圆 (-c，0)、F (c,0)，满足? =0的点M总在椭圆内部，则 +=1(a>b >0)的两焦点为F121222ab e的取值范围, M F O F 12 2 22x y a7，椭圆 +=1(a>b >0)的两焦点为F (-c，0)、F (c,0)，P为右准线L:x=上一点，FP的垂直平分线12122a b c 恰过F 点，求e的取值范围, 2 P M 2 2x y F F 12O 8，椭圆 且倾斜角为60?的直线交椭圆与AB两点，若, +=1(a>b >0)，过左焦点F122a b FA,=2,BF,,求椭圆的离心率e的值 11 练习题: 22xy2，,,,1(0)abMFMFb,,2FF,1、在椭圆上有一点M，是椭圆的两个焦点，若，求椭圆的离心122221ab 率. 3,C?ABCAB，tanB,，,A902，在中，，(若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率4 e, ( F,F，PFF:，PFF:，FPF,1:2:3,3，已知为椭圆的两个焦点,P为椭圆上一点,若, 则此椭圆的离心12122112 率为 _________. 222,,axyab,,，,,0a,4，在平面直角坐标系中，椭圆1( 0)的焦距为2，以O为圆心，为半径的圆，过点,,22abc,, e作圆的两切线互相垂直，则离心率= 2 板块二.椭圆的离心率 典例分析 2222xyxy【例1】 椭圆和一定具有( ) (0)k,，,1，,k2222abab A(相同的离心率 B(相同的焦点 C(相同的顶点 D(相同的长轴长 【例2】 已知、是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于、两点，若是正三FFF,ABFAB1212 角形，则这个椭圆的离心率是( ) 3322A( B( C( D( 2323 ,,,,,,,,,,【例3】 已知、是椭圆的两个焦点，满足的点总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围FFMFMF,,0M1212 是( ) 221(0)，[1)，A( B( C( D( (01)，(0]，222 22xy【例4】 过椭圆的左焦点作轴的垂线交椭圆于点，为右焦点，若，xFF，,FPF60?，,,,1(0)abP121222ab 则椭圆的离心率为( ) 2311A( B( C( D( 2323 22,,,,,,,,,,xy【例5】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，且，点在椭圆上，，FF||2FFc,AFFF,,0，,1A121211222ab,,,,,,,,,,2，则椭圆的离心率( ) e,AFAFc,,12 331,51,2A( B( C( D( 3222 22,,,,,,,,,xy1【例6】 已知是以为焦点的椭圆上的一点，若，，则此FF，PFPF,,0，,,,1(0)abPtan，,PFF12121222ab2 椭圆的的离心率为( ) 5121A( B( C( D( 3233 2210xye,m【例7】 已知椭圆的离心率，则的值为( ) ，,155m 25533515A( B(或 C( D(或 1533 0ABA,120AA【例8】 椭圆的长轴为，为短轴的一个端点，若?，则椭圆的离心率为( ) B1212 3 6331A( B( C( D( 3322 22xyCABCD【例9】 椭圆的四个顶点为、、、，若四边形的内切圆恰好过椭圆的焦点，，,,,1(0)abABD22ab 则椭圆的离心率是( ) 35,35,51,51,A( B( C( D( 2424 222axyab,,0【例10】 设分别是椭圆()的左、右焦点，若在直线上存在(其中FF，，,1lx:,P1222abc 22)，使线段的中垂线过点，则椭圆离心率的取值范围是( ) cab,,PFF12 ,，，,，,,，2323A( B( C( D( 0,0,,1,1,,,,,,,,,,,,2332,，，,,，，, 【例11】 椭圆上一点看两焦点的视角为直角，设的延长线交椭圆于，又，则椭圆的离心率AF||||ABAF,e,AB12 ( ) A( B( C( D( ,，22263,21,32, 【例12】 如图所示，“嫦娥一号”探月卫星沿地月转移轨道飞向月球，在月球附近一点轨进入以月球球心PF 为一个焦点的椭圆轨道?绕月飞行，之后卫星在点第二次变轨进入仍以为一个焦点的椭圆轨道PF ?绕月飞行，最终卫星在点第三次变轨进入以为圆心的圆形轨道?绕月飞行，若用和分2c2cPF12 别示椭轨道?和?的焦距，用和分别表示椭圆轨道?和?的长轴的长，给出下列式子: 2a2a12 cc12,?; ?; ?; ?( acac，,，acac,,,caac,112211221212aa12 其中正确式子的序号是( ) A(?? B(?? C(?? D(?? P F III II I 22xy，F211,，【例13】 x椭圆的右焦点，其右准线与轴的交点为，在椭圆上存在点满，,,,10abA，，，22，ab 足线段的垂直平分线过点，则椭圆离心率的取值范围是( ) APF ,，112,，，,0，，10，A( B( C( D( ,,,,,,,222,，，,,， 22xy【例14】 已知椭圆，是椭圆长轴的一个端点，是椭圆短轴的一个端点，为椭圆的，,,,10abABF，，22ab 一个焦点( 若，则该椭圆的离心率为 ( ) ABBF, 4 51，51,51，51,A( B( C( D( 2244 【例15】 已知有公共焦点的椭圆与双曲线中心为原点，焦点在轴上，左右焦点分别为，且它们在第一象xFF,12 限的交点为，是以为底边的等腰三角形(若，双曲线的离心率的取值范围为PF,10?PFFPFP1121 (则该椭圆的离心率的取值范围是 ( 1,2，， 7C?ABCABBC,【例16】 在中，，(若以为焦点的椭圆经过点，则该椭圆的离心率AB，cosB,,18 ( e, 22xyO2c【例17】 在平面直角坐标系中，设椭圆的焦距为，以点为圆心，为半径作圆xOya，,,,1(0)ab22ab2,,a(若过点作圆的两条切线互相垂直，则椭圆的离心率为 ( P，0MM,,c,, 【例18】 直线过椭圆的左焦点和一个顶点，该椭圆的离心率为_________( lxy:220,，,FB1 22xy【例19】 设是椭圆的两个焦点，是以为直径的圆与椭圆的一个FcFc(0)(0),，，，FF，,,,1(0)abP121222ab ，则椭圆的离心率等于________( 交点，若，,，PFFPFF21221 22xy【例20】 椭圆的半焦距为，若直线与椭圆一个交点的横坐标恰为，椭圆的离心率yx,2cc，,,,1(0)ab22ab 为_________ 【例21】 已知，是椭圆的两个焦点，过且与椭圆长轴垂直的直线交椭圆于两点，若是正AB，FFF?ABF1212 三角形，则这个椭圆的离心率是_________( 22xyOFc，0【例22】 已知是椭圆的右焦点，以坐标原点为圆心，为半径作圆，过垂a，,,,10abPF，，，，22ab l直于AB，轴的直线与圆交于两点，过点作圆的切线交轴于点(若直线过点且垂直xxPAPMM l||||OAAM,于轴，则直线的方程为______________;若，则椭圆的离心率等于_________( x 22xyxOy】 【例23如图，在平面直角坐标系中，为椭圆的四个顶点，为其AABB，，，，,,,1(0)abF121222ab OTOT右焦点，直线与直线相交于点，线段与椭圆的交点恰为线段的中点，则该椭ABBFTM121 圆的离心率为 ___ ( 5 y T B2 M AOxFA12 B1 22PFxy1【例24】 已知椭圆的左、右焦点分别为、，是椭圆上一点，，设， ,,FF，,:FPF60，,,,1(0)abP121222PFab2 ,?求椭圆离心率和的关系式; e ?设是离心率最小的椭圆上的动点，若的最大值为，求椭圆的方程( PQ23Q 22xyC【例25】 设椭圆:的左右焦点分别为，若椭圆上存在一点，使，QFF，，,:FQF120，,,,1(0)ab121222ab 试求该椭圆的离心率的取值范围( e 22xyC【例26】 设椭圆:的长轴两端点为、，若椭圆上存在一点，使，试求Q，,:AQB120，,,,1(0)abAB22ab 的取值范围( 该椭圆的离心率e 6