椭圆方程本征值问题差分近似的o（h6）和o（h8）校正方法

椭圆方程本征值问差分近似的o（h6）和o（h8）校正方法 ,。,,,,,, 椭圆方程本征值问题差分近似的,(,,)和,(,,)校正方法 计算数学专业 研究生王前东 指导教授吕涛 摘要:本文详细讨论了椭圆型差分方程的一般校正过程与方法，同时给出了 变系数,,,,,,,,,方程的,(,,)高精度校正方法。校正过程几乎不增加工作量， 但校正后精度比未校正提高了四阶，并能提供后验误差估计。最后，对于常系 数,;,,,,,,,,方程，本文给出了,(,,)校正格式。 关键词:变系数,,,,,,,,方程:本征值问题;校正法。 ,(,,),,, ,(,,),,,,,;,,,, ,,,,,, ,, ,,,,,,,,,, , ,,,,,,,, ,, ,,,,,,,; ,？,,,,,,, ,,,,,:,,,,,,,,,,,,, ,,,,,,,,,;, ,,,,,,,(,,,,,(,, ,,, ,,,,,,,,:,,,,—,,,, ,,,, ,,,,,,;,:，,,, ,,,, ,,,,,，,,,, ;,,,,;,,,, ,,,,,,, ,,, ,,,,,,,; ,,,, , ,,,, ,, ,,,,,,,;,,(,,,,，, ,,,,, ,,,,, ;,,,,;,,,, ,,,,,, ,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ,,,,,,,,, ;,,,,,;,,,,, ,, ;,,,,,,;,,,(,,, ;,,,,;,,,, , ,？,,,,,,, ,,, ,,,,,,, ,, ,,,;,,,,, ,,,, ,,;,,,,,, ,,,,,, ,,,,，,,, ,,, ,,,;,,,,, ,, ,,;, ,,, ,,, ,,, ,,,, ,,;,,,,;,,,,(,,,,,,,,, , ,, ,,,,,,,, ,, ,,,, ,,,,,,(，, ,,, ,,,，,,,,,,,,,, ,,, ;,, , ,,,,,, ,,,,, ;,,,,;,,,, ,,,,,, ,,, ,,,,,,,,,, ,,,,,,,, ,, ,,,,,,,,, ,？,,,,,,, ,,,, ;,,,,,;,,,,, ,, ,,,,,,,,,,,( ;,,,, ,,, ,,,,,:,,,,,,,,, ,？,,,,,,, ,,,, ,,,,,,,, ;,,,,,;,,,,,; ,, , ,,,,,,,;;,,,,;,,,, ,,,,,,,,,,,,,,, , 引言 诸如定常热传导和扩散问题，导体中电流分布问题，静电学和静磁学问 题，弹性理论和渗流理论问题等都归结为椭圆型偏微分方程，二阶二维椭圆方 程的一般形式为: (工，,)?,， ,,,,,,,，,,,，,，;,，,虬，,,,，， ,,, 这里的爿，曰，;，,，,，,是,，,的可测有界实函数，,,,,,,,，(,，,)?,，, 是,，,的实函数 椭圆型偏微分方程中比较简单但很有代表性的一大类是,,,,,,,,,,,方程: ,,,,,,，,(,，,),,,(,，,)，(,，,)?,， 这里,(,，,)?,，(,，,)?,( ,,,,,,,,,方程在工程实际和科学技术中也有很重要的应用(例如周期力 作用下的动力学系统，拉紧薄膜的振动和电磁波的衍射等各类物理问题都可归 结为,,,,,,,,,方程的定解问题( 这些方程的边值问题的精确解只有在特殊情况下才能得到(因此必须善 于近似地求解这些问题( 随着现代电子计算机技术的飞速发展以及计算方法的不断进步，对一些特 定的模型方程的直接数值模拟技术得到了巨大的发展，并且在一定程度上获得 了满意的结果，这无疑是数值方法在微分方程领域的巨大成功(而有限差分法 (,,,)则是其中有代表性，应用广泛的一个分支( 虽然近些年来计算机速度的提高和内存容量的增大，为解决微分方程提 供了强有力的手段，但是由于面临的实际工程问题日趋复杂，仍然需要提高数 值算法的效率和精度，这就需要采用计算量小但精度较高的格式， 为此，人们在有限差分方法领域逐渐引入高精度计算方法，并在格式研究 和算法研究领域取得了巨大的进步，例如偏差校正方法(椭圆型方程的差分格 式一般是单调性格式，而且很多是正型格式(这种格式稳定性好，收敛陛很容 易保证(而偏差校正法一般仍能保持这种单调性格式，且校正过程几乎不增加 工作量，但精度却有显著的提高(由于这些优点，偏差校正方法已成为构造高 精度格式的重要方法( 目前，偏差校正方法的研究已经取得了巨大进展，尤其是椭圆性方程及其 特征值方程的,(,,)精度的偏差校正(一维方程问题及特征值问题的,(,,)精 度的校正可以参考文献,,,(对于三维，四维问题的,(,,)精度的校正方法可以 参考文献陇(对于二维问题，一般可以采用„,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，?或叫 „,,,，,,,, ,,,,,,?方法，并联合,,,，,?方法使问题得到很好的解决，也 对于一维椭圆型方程我们还有结论:只要选择足够 可以直接校正得到,„“” 多的点到差分模式中，一维椭圆型方程可以校正到任意阶精度拍,,,(但是对于 高维椭圆方程就没有这么好的结论，一般的,(,,)精度的偏差校正还不令人满 意，文献,,】证明,,维常系数的,,,,,,,,,方程至多能校正到,(,,)精度， 采 用。,,,,,,,,, ,,,,,,,方法和,,,，,方法只能构造二维交系数,,,,,,,,,方程 的,(,,)精度格式(而我们在同时使用近似本征函数下对二维变系数的 ,,,,,,,,,方程本正值问题校正得到,(,,)精度的近似本征值，对二维常系数 ,,,,,,,,,方程本正值问题，借助九点与正五点差分解，我们校正得,,(, ,)精 度的近似本征值( , 本文讨论了二维椭圆型方程差分法偏差校正的详细过程与方法(本文共 分为六部分(第一部分介绍了差分方程中的基础知识(第二部分介绍了,,,,,” 算子?的差分近似(第三部分介绍了椭圆型方程,,,厂的校正方法(第四部分 介绍了一般椭圆型方程本征值问题的,(,,)精度的校正方法(第五部分详细讨 论了变系数,,，,,,,,,方程本征值问题的,(,,)精度校正过程与方法，常系数 ,,,,,,,,,方程本正值问题的,(,,)精度校正过程与方法”,(第六部分为第五 部分的数值实验( , ?,基础知识 ?,(,差分方程与单调矩阵 一般椭圆型方程有如下形式: ;,，， ;，， 卜“,善,畎,,?,,,，喜姒,，署，,;,,,八, ,“,),,(,)，(,,,)， 这里,是,“的有界开区域，口，，,，，,，,?,(嘞，,?;(,,)，并且假定 ,,,, „ 为了构造差分格式，我们定义,“上的网线,，(，与网格,如下:首先取步长 ,,(,,。(，吃)，然后令: „，,,,?,”:工』,,，,,,,，,，，，:,，?,，,,,，…，一，,?，)， ,,,,?,”:,，,玎，，，,,,，…，,,， 这里,表示全体整数集合，用,(表示第,个坐标方向的单位向量，令: 瓯:,,, ,,:,?,,,。?孬，,,,?(，”),,, ,，，:,(, ,,),,， 铀，(,锄,,』，,，，。,,，,,，，，,鼬， ,。称为正则网点集，,?称为非正则网点集，,哦称为边界网点集，,?是三 类网点的和集(对于规则区域,。,庐，利用中心差商容易构造近似差分方程: ,,“甜,,厂(工)， (,，)， ,“,(,),,(,)， (,,，)， 这里 厅,,,,,?月,,,,口，,),,，方程(,)有唯一解存在( ,““„,,,?,,(,)【?„(,，，(,，),“,(』)，“。(』，(,，)，,,，, ,(,，,，,，)一“,(,一，,,『)】, ,，，)，,(,)“,(,) ，?,，(,?, 对于非规则区域，我们在下一节有专门讨论(总之，我们总可以把差分方程表 达为: ,,“，,“, ?,(,，,)““(,),,,(,)，:？,?,，,,?( 用,表示以,(,，,)为元素的矩阵，‰表示以,(,)为元素的矩阵，兀表示 ,,,,(,)为元素的矩阵(若所有的‰(,)?,，记为‰?,，有下面的定义: 定义,:若,‰?,蕴含了‰?,，则称一是单调矩阵 单调矩阵有下面的一些常用定理邮】: 定理,:矩阵,为单调阵的充要条件是存在逆矩阵,。?, 定理,:假设爿是单调阵，并且对一切,，,(,,。)，,?(,,。)。，则对一切，，有 定义,:称矩阵,是正型算子，如果 ,)非负性，即对一切,， ,?,，当,?，时，(,,?, ,,对角线占优，即对一切,， 一艺， 并且集合”(爿),,“奶,,,是非空的 ;)不可约性，即对任意„芒”(爿)，一定存在，:?,(爿)，使得 ,,,，,，，,…爿仙?, , 正型矩阵有下面的定理呻】: 定理,:正型矩阵是单调阵(,是单调阵的充要条件是存在非负阵鼻，最，使 得鼻一只是正型矩阵( ,,,,,,,，,,,,,,,在文献【,,】证明了下列分解定理( 定理,:假设矩阵,的对角线元素为,，?，?,，珂(爿)非空，, ,,, 并满足下列条件: ,)，一日，是正型矩阵，(,，)。,,， ,)(』一,，)。,,?,， ;)对任意的，,疗(爿)，一定存在正整数,和,，?,(彳)，使得 (,，)，“,，),:…(？)。,,， 那么,是单调阵( 利用这些定义与定理很容易判定本文中的差分方程都是单调的，多数还是 正型的(由单调矩阵的性质及极大值原理很容易得到差分格式的稳定性，收敛 性和误差精度( ?,(,差分方程边界处理 , ,, ,;,,,,边界值问题 , ,,,,;,,,,边界有形式: 法,:用线性内插技术( 考虑上图的非正则内点,，设离,最近的边界点为,，点,到点,的距离 为,,，,,口,,，则有 ,,?竺～ ,,，,), ,，口 也可选择区域外的点，作为界点，则,为内点，点,处的值由点,，点,处的值 外插得到(即 吼:—,,—,—(，—(,,,—,—)一,,,:侧，，(,一口)“。 由此容易求得 玑:约二～～二竺独( 法,:用不等距差分格式( 考虑上图的边界建立非正则内点,处的?算子的差分逼近，有: )， , ,,” ,两蒜(她一她)，丢(,,，,,,,,,, ,, , , , 也可以用: 五驴去(半一警)，,,，,,,,,,) ,,,,,,,边界 , , , ,,—,,,，,,,, ,一 , , ,,,,,,,,边界有形式: 锄 ,,。 —,—, 这种边界的处理一般要复杂些，我们可用文献,,,,,拘方法处理(如上图的 非正则内点,，只要求得点,，点,,处的值，点,就可以当作正则内点处理(下 面我们按这种方式来求点,处的值，点,类似处理( 过点,作边界曲线的法线交边界午点,，交网线于点,，则点,的值可由点,， 点,的值线性插值求得， 驴囡生蛔,竺，, 这里,亏，表示点，与点,间的,;;巨离，其它类似( 似求得，即 混合边界有形式: ,“，,,，，,,，,, , 考虑如上图的边界点,，我们可以用点,，点,，点,的二次插值求的“。(,)， 设点,与点,间的长度为砌，我们有: 姒,),一两,,丽，,”等旷南吣 为了求“。(,)，首先用点,，点,和点,，点,线性插值得多,,(,，,)和“(,，,,)， 即 ， ,(,，,),,,,，(,一,),,，“(,，,,),伽,，(,一,),,( 让后用“。，“(,，,)，“(,，,,)二次插值得到: 吣,),去【,,‰，,呷，妒邶，,纠 ,去【,,,,，,(,,,,,,,,)，(,一口)(,,,,,,)】 利用这些技术，我们可以处理非规则光滑曲线的边值问题，也能使用高精 度校正格式,】(为了使问题更简单，本文只讨论矩形区域问题，且均假定未知 函数充分光滑( , ?, ,,,,,;,算子?的差分近似 引言:,,,,,;,算子?在椭圆型方程中占有重要的地位，为此必须构造?的各 然要问用哪种格式来逼近,,,,;,算子,进行校正好呢,或则能否构造更好的 ?,(, ,,,,,;,算子,的五点逼近 ,,,,;,算子,常见的五点格式为正五点与斜五点格式?,,(正五点格式模 咖斗计 牡嘉?卜 易知他们都只有,(,,)精度(自然要问是否存在更高精度的五点格式呢,假设 却(‰),嘉套叱??， „ 矗，,(,,),风,(,,)，属“，(,,)，屈?,(,,)，?,“圳(,,) ，卢,“盯(‰)，卢,“删(‰)，,(,,)， 其中?，,?？,(薯)，，,,，…，,(要使矗。,(,,),,,,,,(,,)精度，则要求 ,, 这样共有六个方程，五个待定系数日(,)，一般是得不到这样的,(,，)的( ?,(, ,,,,,;,算子,的多点逼近与组合逼近 咖,嘉,?斗 岫,?“，鲁?,“，嘉(岔“，,。?, ,删，,(幽， ,了 格式往往可以校正得到高精度格式，假如,,,,,，上式暗示?。”,,(,,)( 如果选用距离差分点,,步长的大范围内的点，我们期望得到更高精度的 差分近似(其中的九点十字差分格式…,: 一, ,, —, ,, —,, ,, 一,,“， 比。:,。 ,,,。 ,, —, 这种格式可以直接获得,十“,,,，,(,,)精度的近似，且能使用分解定理,证 明为单调型格式…】，但这种格式不满足收敛性赖以保证的离散极大值原理， 且差分方程不是正型的，格式不是盒式的( 组合方法构成的格式中最明显的是用正五点格式和斜五点格式组合得 到九点格式，即 岫,知,缸 还有一个类似的组合格式,,,(, ,,为: ,,“,圭(,?,,(,,,?,,“),,(胪) 其中 墨“。上,， — , , ,,，,，„ ，,如, ?“” 这种格式对于,,,,,;,方程,,具确,,(,)精度，但这种格式也用到了,，处 的值，且差分方程不是正型的，格式不是盒式的( 由此看出，用到距离差分点,，处的值时可以构造出精度比较高的格式(可 以期望通过这种格式校正出很高的精度，但这种格式应用起来非常复杂，因为 这种方程一般不是正型的，必须细致的考虑它的单调性，其次，在边界附近， 不能使用,，处的值，差分格式逼近精度,般较差，因此必须巧妙的估计误差， 从而证明:即使靠近边界附近的逼近精度稍差一些，但差分格式解的精度仍然 不变…,( 为此我们一般考虑由,(,，,)，,(,?厅，,?,)，,(,?自，,)，,(,，,，,,)共九 个点构成的九点格式?删，这种格式在后面的校正中取得了巨大成功( ,, ?,椭圆型方程,,,,的校正 引言: 文献【, ,】采用九点十字格式来逼近,,,,,;,算子?，并给出了这种格式 的单调性的证明(文献【,】用这种格式构造了,,,,,,方程的,(,,)精度，矩形域 上,,,,,;,方程的,(,,)精度(但是，如上所叙，这种格式选用了距离差分点,, 为此，我们一般用距离差分点,步长以内的九个点:,(,，,)， ,(,土，，,?，)，“,?,，,)，,(,，,，,,)来构造差分格式(这九个点构成一个正 (,;,斗 注意到?,,:“,,,,,,,,,,,,—,,,)满足,,,,,;,方程?”,,，,,,(,，,),一,,,， 出,,,,,;,方程的,(厅,)精度旧?(自然对于更一般的椭圆型方程也不可能得到 ,(,,)精度(就目前而言，只有极少数特殊情形可以校正得到,(，,)精度(下面 ?,(, ,,,,,,方程的,(矿)精度校正 (,,) 却,??箬?,“，羔(岔卅,,,彤,删， ,, „由此容易构造,(，,)精度 (,(,) 却,,，毫埘 这里用了,的五个值来逼近?”( 类似地文献【,】中构造了下面的,(，,)精度格式 ,, (,(,) 峰,，，毫弩十熹啦，，,,一, 这种包含厂的导数值的格式叫„,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,，方法,,,,,或叫 „,,,,,,,, ,,,,,,?方法(为了避免计算，的导数值，还要用差商近似代替(于 是这种差分校正格式一般形式为: ,，”,，,,， (,(,) 这里,“是(,(,)左边?“的差分近似，,，是(,(,)右边，厂及其导数的差分 近似(为了保证(,(,)具有,(，,)精度，还必须构造，的四阶导数值的()(，,)精 度，，的二阶导数值的,(矗,)精度，这种近似的构造可使用,,,，,方法,”( ,,,，,方法的基本思想:在“盒子”上增加足够多的点到差分模式中， 构造足够精度的差商来近似，各阶导数值(理论上选的点越多近似精度越高， 但计算量也增大了，而且上面也证明了不可能有,(，,)精度(一般选择原来九 “，”加上四个小正方形上的形心“。”来构造的，这些点分布如下: 点 ,, 文,,】构造的』。,有下面两种形式: ,,， 栌牡,， , (牛 ,, ,, ，，一一, ( , , ) , , , ,,斗 厂 , , ,, , ,』叶 , ,,，,,,?,,„，, 当选用,,,,,,“，,厂选择(,(,)有,(，,)精度，,厂选择(,(,)有,,(,,) 精度 ?,(,一般型椭圆方程的校正结果 对于一般椭圆方程: , , ,,兰,,州，,,,印，,州，,,，，勘,，,, 在由九点构成的“盒子”内进行偏差校正有如下结论?: (,?,) 当,?,且爿，,，,都不等于零，能得到,(，,)精度; 当,;,，或,,,，能得到,,,,)精度; 当一,,?,，,,,且(,似)，,(,,爿)，，可能得到,(旷)精度( 对于后者可化为更简单的形式: 三,;,,,(土,,,,,)一？“:，， (,(,) , “,一丽 这里参数在定义域内有,?,，？,,,，这里;为正常数，这种散度型算子的 ,(,,)精度的校正可在文献同中找到( ,, 方程(, ,)的特殊情形为,,,,玎,,,,,方程: (,,,) ,,十口“,,(,(,、， 这里,?,(文献【,,证明了在常系数,情形下只能构造,(,,)精度，在变系数日 情形下只能构造,(,,,精度( ,, ?,一般椭圆方程特征值的,(,。)校正 引言:这些方法是否可以直接用到下面的特征值问题上，效果怎么样, ,,,，(,,—,)“,,，(,) ，“,,，(,,)，(“，?),,， 这里,“;,,,(土?础,)，,,,,，,?,，,?,，;为正常数( 文献问直接用特征函数校正的方法构造了一般情形下这种方程的,(,,) 精度。以下我们来介绍,,,,,,,,,方程的,(,,)精度校正…( ?,(, ,,,,,,,,,方程本征值的,(,,)精度校正 在资料,,,中给出了如下,,,,,,,,,方程本征值问题 的 ,,一?“，,,,,勉,,，(,)， (;“,,(?,,)，(材，“),,( , ,)精度校正方法(其算法如下; (,(,) 首先构造差分算子，以，定义为: ,, (,,,) ,,,,,,,, ,,,(,小壶脚,“， ,,瓦, , ,, ,, 然后计算近似本征值问题: ,,，“，，(九一,),，,,，(,，)， ,，,,(勰，)，(‰，‰)，,,, 求出以后，再作如下校正: 无,以，壶砌一, ? 则有如下引理„:: ,, 引埋,:右“允付尤捕，则税止,垃似召,(,?)精厦，即 五,五，,(,,)， (,(,) “，,“，,(，,)( 证明:注意到方程(,(,)， (,(,)，我们有: (,，，磊一,)?,,,,，以，(矗,,),—,, ,?，“一?:，击，,(,,,,,,,,(脚，幽)，(气叫“ ,西,,(?，一,),”，(以一丑)“，。(，,) ,篙(?一?“，(，卅“，。(? ， ， ,篙?州，叫”，,(, , , 令砭,如,(“,,)。，用瓦在(,(,)两端取((，()。内积，获 , ， ,,,,,(，,) (,(,) ，这就证得(,,,)式中第一个等式(其次由(,(,)得 (,，，，一,)(“一删，),,(，,)， (,。) ? 这里常数占:，,(,，，玩)。，满足 ,一翻，，瓦)，,, “一删，,,，(讹，) 由文献,,】的技巧可获 ,一删，,,(，,) 但,,,,(‰瓦)。,(“，‰)。,,一当,,—,(“，‰)。】 ,, ,,一三(“一“(，“一“。)。，,(,,) ,,，,(,,、 即证得“一巩,,(,,)( ?,(,更一般的本征值问题的,(,,)精度校正 对于更一般的本征值问题 』一“，,?“一细,,，,,,，(,)， (,(,) ,,,，(西,)，(“，“),, 也可以构造简化校正过程，解近似问题 , ,，(,，)， 』,，‰一,,,，,,？“, ?) ,,,，(艘，)，(,,,，,)，,, 以下证明，此问题本征值校正是简单的，对本征元的校正也仅要求求解一个 线性差分方程(即有: 引理,【,,:，，鲁焉(,,‰?。“,,，“)，,五，,(, (,(,) “一心一笔以(,,，‰)。,，篙，,,一篙蔫,,。秽) (。脚 其中,是如下差分方程的解 ,，以一,，，,),。,？,(？,,，？,,),(？,,，,)一,？,,，(？)， ,:,,,,，(,哦)，(,，,,)。,, (,(,) 证明:由于在,(上有 (,。一,，，,姐,，““，(幻一,，(，一,)？, ,,，“一,,，(九一,)？, ,, ,去，,?,“，笔吣一?,。谚，,,,,，(,,一，),“，。(，,) ,,(二一,),“，(矗一丑),“，,(?) ,,,,, ， 旯(,,,)？,，(九一，),“，,(,,) ，一坦 (,(,。) ,,，(,一,),,，(矗一五),”，。(矗,) ,一,,, 用‰在(,(,,)两端作内积，获 ,,击厅,，,(？,,，？,,)。，(，一旯)(？,,，,,),，,(，,) 即(,(,)式获证(由此带,,(,(,,)应用,,,，(,。)得 (,,—,，,,？)“,一击，,九(眠一,，，？)？‰ 十击,,砰咖( 去，,，,(？,,，？,,)脚(,(？,,，,,)。，唧,) 移项后，有 (,。，，,—,),，击，,以,,，删。) (,(,,) 击矿张,一,辫)？,一，,?) 其中待定系数占选择满足 令?,“，吉厅,五,‰一击，,九,,，捌。， (,(,,) (,，,)，,,， 留意,满足(,(,)，注意(,(,,)有: ,(,，，，,—,),,,,(,,)，(,，)， (,(,,) ，,,,,，(,,，)， 联立(,(,,)，(,(,,)知,,,,(,,)，(,，)， 其次,满足(,(,,)，推出 (删,，壶“,,,(？‰?，怕瑚 但(“，,),,,，,(,,) 舭一,。壶矿，(,,,，,,),，,?,) 由,,的定义及?,,(，,)有: “一‰一,,,,,矗(,‰，‰)。巩，击，,，？,一击，,以,,,。(厅,)， 即(,,)薪讦 ,, ?, ,,,,,,,,,方程特征值问题的,(,,)和,(后,) 校正 由上砸的思路，对于特征值问题是否可以获得,(,,)或,(,,)精度的校正 算法,文献,,,已证明对变系数,,,,,,,,,方程得不到,(,,)精度的校正格式， 但本文证明同时使用近似本征函数可以得到,(,,)精度的近似本征值的校正 格式(特别地，对常系数情形，我们巧妙地借助九点与正五点差分解，得到了 ,(,,)精度的近似本征值的校正格式( ?,(,变系数,,,,,,,,,方程的,(,,)校正 算法,(,(,,)校正算法)实旌如下; 步,:求解近似问题 步 , ‰，纹寥划，、? : 计 算 五,以，壶“,九,， (,,) ,,,(,,?，一瓦,,，，?，,，,,，一毛“，“，)， 一,, ,矗,, ,, ,，,掣,,嗄,，,一,,, (,? , ,, 一杖,, ,七,一?,,，,泓,, , ? 一,(岛‰,，,，,,,,，,,，屯‰)， 一,(‰‰毛,，吒‰‰,，毛地)一， 占,,(“，?，,，,,“，一,,，,，，，,,，,，,，,，,,,,，,,,，,,,甜，，,,，)?， 岛,(,,，，,,，)，一,九(,,，，,)，，，,， 、, ,【“,,,(,,，)，(”，，“，)，,,(, ,,,(, ,?‰，,,，,,,，)， 步,:求校正值 乞,:，十去，,五,一丽,，,？一击如: (,,) 一击以,,,,，熹,,如。 以上，如席为盒式四阶算符，其模式如下: , 一 , 如哆 甜,, 一矿 ? , 斗 , ( 。 ( ( 。 ( , ,。为上文的正五点格式二阶算符，哦为一阶中心差分，瓯为一阶前差，疋为 一阶后差，,为二阶中心差分，它们精度都为,(,,)(如下定理保证不有 ,(,,)精度( 定理,:若“充分光滑，成立 毛,五，,(,,)( 为证明本定理先证明如下几个引理: 弓，理,:(,,(,,)，“，)，,每，,,,,)( 证明:(,,(,,)，,，)，，,(,,),(,,(,,)，“)， ,(,(,,,，,,,，,(,??,只,)，甜)， ,(,,,一，,,,，,,,，,,)，，,,,(,,?,,)，“)， ,(,,“一印“，“?妒，,,一勉)，,,(,(,,,,,)，,,)， ,(,,“,印“，,,,，,,一肋)，,,(噬,,;,，,“谚,，？“)， 一,(,,,,,,,，,,,,,,,,，,“)， 一,(破,,,,，,，,,,,,,,,，,,“)， (,(,) 一,(谚,,,,，,,“珥,，,,,)，， 由(,(,)式五,,，,(，,)，‰,“，,(，,)，及各差分算子有近似: 瓯“,,,,，,(, ,)， 占府“,,;“，,(向,)，嗲珂“,,;“，,(向,)， 氐“,？”，,(,,)，岛?,？？“，,(,,)，,，,,?“，,(, ,)，带入(,(,) ?式，引理,得证( 弓,理,:(,,,,，“，),,,,，,(,,)( 证明:由(,)式及引理,中相应差分算子具有,(,,)精度，成立 (,,,,，“，)，，,(,,),(,,,,，村)，,(,,,，,,)， ,(?(,“)一,,,，,,)， ,(“?,，,,“一,,,,，,,，,,,,，,,,“,,，,，,,，,“)， ,(,,,,，,,,,,一,五,,，,《‰皖,，,每,岛,，夏,,,，,,)，，,(向,) ,,,，,(, ,)( 引理,:(?,“，,,)，,岛，,(,,)( 证明:由元,，，,(，,)，‰,”，,(，,)，有 (,,,，,,)，，,(,,),(?,“，“)，,(?”，,,)，,(,,一触，,,—,,)， ,(,“，，,,，)，一,,(,,，，“，)，，无,,毛，,(，,)( 引理,(,,,。,，,,,，‰)，,氏，,(，,) 证明:由(,)式及蛾,？,,‰“，,(，,)，有 , , (, ,?，‰)一，,(,,),(,厦巧?甜，“)。,(,联,,,?，??)。 ,(…,,,“,,“，,“一勉),,(,艿田，,，,,,，,“，一无”，)，，,(，,) ,毛，,(,,)( 借助以上引理，以下证明定理,( 证明:由泰勒展示，容易求得 , ??。血，壶铲?,“，葡,，,(?,“，,。,一，,船)，。(矗,) ? 由此及考虑到方程(,,)，求得 。 (,，，厶一,)“ 卜 吉 矿?，“,壶,,?，(,“)，西,厅,,,“，(，一,如 (,„,) ,?“，击坂岔“一,,,,,(圳，幽)，(毛,咖 ，丽,，,(,,,，,,。,,，,一,,,、一西,，,(砭，，,?“，迈,，,?,??)，,(乃,) ,(，？)?西,旷(?,,),?去,?,(剐一搿““,…,,,,? 一击,,(?,(圳，,,“)，,(，,) ,((,,,,姐，壶矿如,赤?嘶旷,击,,,岔“一熹舳,?,“ ，盎,, ,,？,？,?“)，,(,,) 上式两边用‰作离散内积，由于方程(,,)对称，“。满足方程 (, (,，,，)，,,，,(,,)，容易得 ,) ,,(，一，)，击，,岔一丢万“,(?,(,“)，?)。,击，,(,?,址蚝)。 一击劢,(譬地‰)。，嘉磊,(,谚巧?甜，,)。，,(,,)( 移项，得 ,,，，丧，,卯一,,，,(舒(,“)，‰)。一击自,(,岔“，‰)。 一磊,,,,,(?,虬啪一，去?(,谚巧,:，啪一，,(,,) 把引理,至弓,理,柱应的近似顼带入上式右边，得 丑,矗，,,,五,一去,,,,,,上,,,～,，,,岛，熹，,毛，耐) ,毛，,(,,)， 这便褥到定理,的证甥( 由定理,可以求得有关近似解的后验误差估计: ,一夏,?,一毛,，限一乏,?陲,夏,，,(,,)( ?,。,常系数,,,,,,,,,方程的,(,,)校正 对于常系数本征值问题 ,,,，,,,,，,， (,(,) 【“,,勰，(“，“),,， 我们可以构造,(,,)精度的校正算法: 算法,(,(,,)校正算法)实施如下: 步,:求解两个近似问题 ,?,“，，,，,，,,，,，， (,(,) ，,,, ,,，，(,，‰)，,,( 和 (,。 ,( ，五“一，， ( 令: (,(,) 乏钢，吉砌: 步,:计算 耻署(屯一,小砒, 毛,九，—壶，,五,一志，,(五,，元瓯)， 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