抛物线的定义：　

抛物线的定义：　 拋物線的定義 ◎拋物線的定義, LLFL 平面上給予一直線及外一定點,則平面上所有到直線的距離恰等於到 FPLF定點的距離之所有動點所形成的圖形就稱為拋物線,其中稱為準線,稱為焦點, PF,d(P,L) ◎拋物線圖形相關名稱, FLM (1)對稱軸,通過焦點且與準線垂直之直線,又簡稱為軸, (2)頂點,拋物線與對稱軸的交點, V F(3)焦距,焦點與頂點的距離, VFV AB(4)弦,拋物線上任取相異兩點,的連線段, F(5)焦弦,過焦點的弦AC, (6)正焦弦,垂直於對稱軸的焦弦MN, 註,?為SF之中點,即SVVF,,, cV ,,,2()4dFLVF, ?正焦弦長MN4, c 【例1】 | x,y,3 | 22設P ( x , y )是動點,並且滿足, ( x,1 ), ( y,1 ) ,。 2 (1)請由上面等式所描述的幾何意義,說明P點描出何種錐線。 (2)試寫出焦點的坐標及準線的方程式。 解 (1) 設F (,1 , 2 ),直線L:x,y,3,0,因F不在L上,故滿足,,,PF,d ( F , L ) 的P點 所 成的圖形是拋物線 (2)焦點坐標是F (,1 , 2 ),準線方程式是L:x,y,3,0, 拋物線的方程式 拋物線的方程式之求法有下列, ◎定義, PF,d(P,L)已知焦點、準線 , 利用定義 解之。 ◎標準式, 22 x,4cy 平移後 , (x,h)= 4c(y,k) 22 y,4cx 平移後 , (y,k)= 4c(x,h) ◎一般式, 2y,ax，bx，c 當已知對稱軸,x軸時 , 設拋物線為。 2x,ay，by，c當已知對稱軸,y軸時 , 設拋物線為。 公式及圖形整理如下, 標準式焦點 準線 圖形 2F (,0)cycx,4L: xc,, c,0c,0 2L:yc,, F (0,)cxcy,4 c,0c,0 標準式 圖形 2()4()ykcxh,,, c,0c,0 2()4()xhcyk,,, c,0c,0 【例2】 試求以F ( 5 , 2 )為焦點,以L:x,1為準線的拋物線Γ之方程式。 解 設P ( x , y )是拋物線上任一點,則 由定義,,,PF,d ( P , L )得 22 ( x,5 ), ( y,2 ), | x,1 | 222?( x,5 ), ( y,2 ),( x,1 ) 2?( y,2 ),8x,24 2?( y,2 ),8 ( x,3 ), 【例3】 2 設拋物線方程式為x,,16y,求頂點、對稱軸、焦點、準線及正焦弦長。 解 4c,,16 ? c,,4,開口向下 頂點 ( 0 , 0 ),對稱軸,x,0 ( y軸 ) =焦點 ( 0 ,,4 ),準線,y,4 正焦弦長4 | c |,16 【例4】 2xxy，,,,4840 已知拋物線方程式為,試求(1)頂點坐標 (2)焦點坐標 (3)準線方程式 (4)對稱軸方程式 (5)正焦弦長. 解 2xxy，,,,4840 拋物線方程式 2xy，,，281整理後得,即?圖形開口向上 ,,48cc,2，，，， (1)頂點坐標,(2)焦點坐標,(3)準線方程式y,,3, V,,21,F,21,，，，， (4)對稱軸方程式,(5)正焦弦長, 48c,x,,2 【例5】 拋物線之軸平行x軸,且過(1, 1) , (3, 2)及(3, ,1)三點,求此拋物線之方程式, 解 2?軸平行x軸 ?設拋物線為x , ay ， by ， c,又過(1, 1) , (3, 2) , (3, ,1)三點, 1,a，b，ca,1,, ,,23,4a，b，cb,,1? , ?方程式為x , y – y ， 1。 ,, ,,3,a,b，cc,1,, 拋物線的參數式 ◎對稱軸平行於軸的拋物線參數式, x 2,x,ct2? y,4cx 參數式 , , t,R,y,2ct, 2,x,h，ct2 ? (y,k)= 4c(x,h) 參數式 , , t,R,y,k，2ct, ◎對稱軸平行於y軸的拋物線參數式, ,x2ct,2 ? x,4cy 參數式 , , t,R,2,yct, ,，xh2ct,2 ? (x,h)= 4c(y,k) 參數式 , , t,R,2,，ykct, 【例6】 2(y,1),16(x，2) 求拋物線上動點到直線的最短距離 P(x,y)4x,3y，35,0 P 為 ,此時動點坐標為 解 2Ptt,，，214,設拋物線上的動點 t為實數, ，， 24231435,，,，，tt，，，，P則到直線的距離為 43350xy,，,2243，,，， 243151,,2,,，t ,,，41224tt,,5245,, 3,?當時 到直線43350xy,，,有最短距離為3 此時坐標為2 1,,,7, ,,4,,