第一积分中值定理_中值点_的
性质
Vo .l 23 No. 6 Jou rna l of J ingm en Techn ica l Co llege J un. 2008
ξ第一积分中值定理“中值点 ”的分析性质
刘华
() 荆楚理工学院 数理学院 ,湖北 荆门 448000
ξξ [摘 要 ] 研究了第一积分中值定理“中值点 ”和推广的第一积分中值定理“中值点 ”的分析性质 ,证
ξ明了 具有连续性和可导性 。
[关键词 ] 第一积分中值定理 ;中值点 ;连续性 ;可导性
( ) [中图分类号 ] O172. 2 [文献标识码 ] A [文章编号 ] 1008 - 4657 200806 - 0075 - 02
0 引言
第一积分中值定理是积分学最重要的基本定理之一 ,是证明一些结论的重要工具 ,但是第一积分中
值定理只是肯定了“中值点 ”的存在性 ,没有论述“中值点 ”的其他性质。近几年 ,一些文章开始讨论 [ 1 ] ξ“中值点 ”的渐进性 ,得到了一些有意义的结论 。本文试图利用文献 [ 2 ]的研究方法讨论中值点 的
分析性质 ,包括连续性和可导性。
1 第一积分中值定理
[ 3 ] () ( ( ) ξ) 定理 1第一积分中值定理 若
f x 在 [ a, x ] 上连续 , 则至少存在一点 ? a, x , 使得
x ( ) ( ) ( )ξ( )f x d x = f x - a 1 a?
[ 3 ] () ( ) ( ) ( ) 定理 2推广的第一积分中值定理 若函数f x , g x 在闭区间 [ a, x ] 上都连续 , 且g x 在
( ) ξ [ a, x ] 上不变号 , 则至少存在一点 ? a, x , 使得
x x ( )ξ( ) ( ) ) ( ) 2 ( f tg td x= f g td t a?a ?
ξ2 “中值点 ”的连续性 、可导性
( ) ( ) ( ) ξξ 设 f x , g x 满足定理 2的条件 , f′x 存在且不变号 , 当固定 a 时 ,的取值与 x 有关 , 记为 :=
ξ( ) x 。
( ) ( ) ( ) ( )结论 1 设函数 f x , g x 在 [ a, x ]上连续 , f x 在 [ a, x ]上存在一阶导 , 且其一阶导不变号 , g x
( ) ξ在 [ a, x ] 上不变号 , 则推广的积分中值定理中的“中值点 ”x 有如下性质
)ξ( ( ) ) 1 x 在 a, x 上是连续函数;
)ξ( ) ( ) 2 x 在 a, x 上是 x 的可导函数 , 且其导函数为
( ) ( ) (ξ( ) ) ( ) f x g x - f x g x ξ( ) ′x = x (ξ( ) ) ( ) f′x g td t ?a
) ( ) ( ) ( ) ( ) ξ( ) 证明1 由 f′x 在 a, b上不变号 , 知 f x 是 a, b上的单值函数 ,x 也是单值函数。由条件
知
[收稿日期 ] 2008 - 02 - 24
( ) [作者简介 ] 刘 华 1979 - ,女 , 湖北十堰人 ,荆楚理工学院助教 。研究方向 : 应用数学 。E - m a il: ro se stinglh @
163. com。
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x x ( ) ( ) ( ( ) )( ) ξf tg td t = f x g td t, a?a?
x +& x x +& x ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) ξf tg td t= f x + & x g td t a??a
两式相减得
& x x +& x x +x +& x ( ) ξξξg td t, a x?
由拉格朗日中值定理知
ξ( (η) (ξ( () ) )ξ( ) ) ξ( x ,() )- x = f′x + & x - f f x + & x
( ) ( ) ηξξ 其中 位于 x 和 x + & x 之间 , 则有
x +& x x +& x ( ( ) )) ξ( ) ( ( ) f x f tg td t -g td t x?x? ξ( ξ( ) ) ( ) 3 x + & x - x =x +& x
(η) ( ) f′g td t x ?
ξ( ξ( ( ) ) ξ) 当 & x ? 0,x + & x - x ? 0, 从而 x 是连续的。
) ( ) 2 由式 3 可得x +& x x +& x ( ( ) )ξ ( ) ( ) ( ) f x f tg td t -g td t ξ( ) ξ( )x x?? x + & x - x lim = lim& x x +& x?0 & x?0 & x (η)( ) g td t& x f′ x ?
x +& x x +& x
( ) ( ) ( ) f tg td t g td t ?1 xx? ( ξ( ( ) )) = limf x - x +& x & x?0 & x & x (η) ( ) f′g td t ?a
( ) ( ) (ξ( ) ) ( ) f x g x - f x g x = ,x
(ξ( ) ) ( ) f′x g td t a ?
结论得证。
( ) ξ由结论 1可知 , 当 g x = 1时 , 即为第一积分中值定理的形式 , 此时的不仅连续而且可导 , 且其导
数为
( ) (ξ( ) ) f x - f x ξ( ) = ′x (ξ( ) ) f′x
3 小结
( ) ( ) 在第一积分中值定理中 , 当 f x 存在一阶导 , 且一阶导在 a, x 上不变号 , 其他的条件保持不变时 ,
ξ( ) ξ 其“中值点 ”= x 是连续的和可导的 。
[参考文献 ]
() ( ) ξ[ 1 ] 严 平 ,储茂权. 关于积分第一中值定理中 的变化趋势 [ J ]. 安徽师范大学学报 自然科学版 , 2001 , 24 3 :63 - 65.
ξ( ) [ 2 ] 刘龙章 ,戴立辉 ,杨志辉. 再论微分中值定理“中间点 ”的性质 [ J ]. 大学数学 , 2007, 23 4: 163 - 165.
() [ 3 ] 华东师范大学数学系. 数学分析 上册 [M ]. 北京 :高等教育出版社 , 1998: 294 - 295.
Ana lyz in g Proper ty on the“M idd le Po in t”of the F ir st M ean Va lue Theorem for In tegra ls
L IU H ua
( )J ingchu U n ive rsity of Techno logy, J ingm en, H ube i, 448000 , Ch ina A b stra c t: The au tho r d iscu ssed ana lyzing p rop e rty on the“m idd le po in t”of the first m ean va lue theo rem fo r in tegra ls and
the p romo ted first m ean va lue theo rem fo r in tegra ls by add ing cond ition s, and p roved the“m idd le po in t”is con tinuou s and d iffe r2
en tia l .
Key word s: the first m ean va lue theo rem fo r in tegra ls; m idd le po in t; con tinuum; d iffe ren tia l
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