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王倩060306048

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王倩060306048王倩060306048 泉 州 师 范 学 院 题 目 一类一阶非线性微分方程的封闭可积性研究 数学与计算机科学学 院 信息与计算科学 专 业 06 级 学生姓名 王 倩 学 号 060306048 指导教师 陈明玉 职 称 教授 完成日期 2010年4月28日 教务处 制 一类一阶非线性微分方程的封闭可积性研究 王 倩 (泉州师范学院 2006级信息与计算科学 060306048) 指导老师:陈明玉(教授) 摘 要:本文研究一类一阶微分方程的封闭可积性问题,通过变量变换等技巧,在所给条件下将 该类方程...
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王倩060306048 泉 州 师 范 学 院 目 一类一阶非线性微分方程的封闭可积性研究 数学与计算机科学学 院 信息与计算科学 专 业 06 级 学生姓名 王 倩 学 号 060306048 指导教师 陈明玉 职 称 教授 完成日期 2010年4月28日 教务处 制 一类一阶非线性微分方程的封闭可积性研究 王 倩 (泉州师范学院 2006级信息与计算科学 060306048) 指导老师:陈明玉(教授) 摘 要:本文研究一类一阶微分方程的封闭可积性问题,通过变量变换等技巧,在所给条件下将 该类方程等价地转化为变量分离方程,得到该方程可积的某些充分性判据,同时给出其 通解的参数表达式,从而扩大了一阶微分方程的封闭性可解范围。 关键词:Riccati方程; 封闭可积性条件; 可微函数 一、引言 方程的可积性历来是微分方程理论的核心问题之一,在常微分方程研究的早期历史中,非线性的Riccati方程 2, (1) y,P(x)y,Q(x)y,R(x) 的求解问题曾经受到众多数学家的关注。威尼斯的Jacopo Franceseo Riccati伯爵(1676—1754)在研究声学时首先引入了Riccati方程(1),之后数学家D.Bernoulli 和 J.liouville等人先后推进了研究。自从1841年liouville在严格的数学理论上了这类方程一般 [1]不能用初等积分法求其通解,便引起了人们对常微分方程研究方向的,比如更加重视Cauchy问题解的局部理论。但是,用初等积分法研究微分方程的可积性一直不失其重要性,这是因为,能用初等积分法求解的方程虽属特殊类型,然而在实际应用中却显得常见和重要。特别是Riccati方程不仅在流体力学和弹性振动理论等领域有着广泛 [2,,3]的应用,而且在现代控制论和向量场分支理论中也经常地出现,在微分方程理论的发展中具有重要的地位和作用。同时由于技术中希望尽可能地出现精确解,因此对Riccati方程可积条件的研究仍有它的积极意义,并吸引了许多数学工作者对其可积性作 [4,,9]了大量的研究。本文研究一类一阶微分方程的封闭可积性问题,通过变量变换、不变量思想等技巧,在所给条件下将该类方程等价地转化为变量分离方程,从而得到该方程可积的某些充分性判据,同时给出其通解的参数表达式,从而扩大了一阶微分方程的封闭性可解范围。 P,Q,R为方便起见,我们约定:本文中出现的所有不定积分常数均为零;分别表示P(x),Q(x),R(x)n,0,1,,,,它们都是的非零连续可微函数。及是实常数。 x 二、Riccati方程(1)的封闭可积性条件 1 ,,,定理1:若存在常数,使Riccati型方程(1)满足条件: ,11,,22RR,,,,,,, (2) ,Q,,,R,0,,,,,,PP,,,,,, 则方程(1)可积,且其参数形式的通积分为: 1,21R,,,y,u,,,,P,,, ,1du,2,,,PRdxC,,,22,,,u,u,1,,, u,u(x)其中为参数,为任意常数。 C ,111,,2221RRR11,,,,,,,,,,,yu证明:令,则, y,u,u,,,,,,,,P,,,PP,,,,,,,,代入方程(1)得: ,111,,222RRRR1111,,,,,,,,2,,,, u,u,P,u,Q,u,R,,,,,,,,2,,,,,PPPP,,,,,,,,,,, 整理得: ,,,111,,,,2221R1RR,,,,,,,22,,,, u,,u,Q,(,u,1)R,,,,,,,,,,PPP,,,,,,,,,,,,,,把条件(3)代入上式得: 1 21R,,,22,u,(,u,,u,1)R, ,,P,,, 分离变量得: 1du2,,,,PRdx , ,221u,u,,, 两边积分得: 1du2,,,,PRdx,C , ,22,,1u,u,,, 故方程(1)参数形式的通积分为 2 1,21R,,,y,u,,,,P,,。 ,1du,2,,,PRdxC,,,22,,,u,u,1,,, 推论1:若Riccati方程(1)满足条件: ,2Qdx,PmRe, (3) , 其中为常数,则方程(1)可积,且其参数形式的通积分为 m Qdx,,,y,,e ,, ,,,Qdxd,dxC,Re, .,2,,,m,1, ,,,(x)其中为参数,C为任意常数。 1,2Qdx,2,,1 , ,,0m,PmRe,并用替换,由条件(4),, 证明: 在定理1中取u 11,2Qdx2QdxRR,,,1,,2,me可知,于是,,因此: me,,,PP,, ,11,,11,,22QdxQdxRR,,,,,,22,,, ,Q,,,R,mQe,Qme,0,0,,,,,,PP,,,,,, 由定理1知方程(1)可积,且其参数形式的通积分为: 1,12R,,,2,,ym ,,,,P,,,,1,, ,2,,,dm,,,1,,,2,,,,,1PRdxC .1,,,22,,,,,,,1m0m1, 注意到 112QdxR,,,2me, , ,,P,, 上式即为: Qdx,,,y,,e ,, ,,,Qdxd,dxC,Re, .,2,,,m,1, 3 注1:推论1为文[4]中的可积条件?。 推论2:若Riccati方程(1)满足条件: ,11,,22RR,,,,,,, (4) ,Q,KR,0,,,,,,PP,,,,,, 其中K为常数,则方程(1)可积,且其参数形式的通积分为 1,2R,,,y,u,,,P,,, ,1,du2,,,PRdx,C,2,,,,1uKu, u,u(x)其中为参数,为任意常数。 C ,,1 , ,,K证明:在定理1中取,整理立得。 :推论2为文[4]中的可积条件?。 注2 推论3:若Riccati方程(1)满足条件: ,,,bPR,,, (5) Q,PR,,,RPac,, a,b,c其中为常数,ac,0,则方程(1)可积,且其参数形式的通积分为 1,2R,,,y,acu,,,P,,, ,11du,2,,PRdxC,,2,,,acu,bu,1ac, u,u(x)其中为参数,C为任意常数。 1, , ,b,,证明:在定理1中取,整理即得。 ac 注3:推论3为文[4]中的可积条件?。 三、应用举例 2,k22k,例1:解方程 xy,xy,y,x,02 解:将该方程化为: 4 2,k2k,1, y,,xy,y,x2x 2,kk,1这是方程(1)的情形,其中 , P,,x,Q,,,R,,x2x取,则 m,1 2,k,2,dx,2Qdx,k,1k,12,k,2x mRe,,xe,,xx,,x,P由推论1知该方程可积,且其参数形式的通解为: k,2,2,yxu ,,,, 2,k,du22,,,x,C .2,,,k2,u1, u,u(x)其中为参数,为任意常数。 C 322''2121mm,,xyxyxxymxymyxxyxx,,,,,,,,,,,113110例2:解方程 ,,,,,,,,解:将该方程化为: m12,,22mmyxyxxyx'131,,,,,,, ,,,,,,xx,1,, m12mm2这是方程(1)的情形,其中, PxQxxRx,,,,,,,1,31,,,,,xx,1取K,3,则 ',1111,,,,2m2m2222,,,,RRxm1x,,,,,,,,m2m,,,,,, ,Q,KR,,,,3x,1x,3x,,,,,,22,,,,,,,,PPxx,1,,,,x,1x,1,,,,,,,,,,,,,,,, 'mmm,,,,xmxxmm22 33,,,,,xx,,,,211xxx,,,,1x,,,,,,,,, mmmm,1mxxmxx22mm,,,,,,,330 xx 22,,11xxx,,,,11xx,,,,由推论2知该方程可积,且其参数形式的通解为: m,xyu,,,1x,, ,,,21mmduxx,C,,,2,,3121uumm,,,,, u,u(x)C其中为参数,为任意常数。 '22342,,nnxyxyxynyx,,,,,,10例3:解方程 ,, 5 解:将该方程化为: 1,n,,'2232,,nnyxyxyx,,,,, ,,x,, 1,n232,,nn这是方程(1)的情形,其中, PxQxRx,,,,,,,,xabc,,,1,2,4取,则 ',32,n,,,,,,2xx,,bPR,,32,n,,,,xx,,,, PR,,,,,,,,,32,n,,xx,,RP14,,,ac,,,,,,,, '1,,nn21 ,,xx,,,n1x 1,n2,n ,,xx ,Q 由推论3知该方程可积,且其参数形式的通解为: 1,n,yxu,2 ,3,n dux,,,C2,,42123uun,,,,,, u,u(x)其中为参数,C为任意常数。 '323,m3,2m例4:解方程 xy,xy,my,2xy,x,0解:将该方程化为: m,,'222,m2,2my,xy,,,2xy,x, ,,x,, m2222,,mm这是方程(1)的情形,其中, ,,,,,,2,PxQxRxx取,则 ,,,,2 ',1111,,,,2,2m2,2m2222,,,,RRxmx,,,,,,2,m2,2m,,,,,,,,,Q,,,R,,,,2x,2x ,,,,,,22,,,,,,,,PPxxx,,,,,,,,,,,,,,,, ',,,,,,mmmkm12222 ,,,,,xmxxxx22 ,,,, ,,,,,,mmmm112222,,,,,,mxmxxx220 由定理1知该方程可积,且其参数形式的通解为: 6 1,,m,yxu,2,, ,du23,mxC,,,,13,m2,u,2u,12, u,u(x)其中为参数,为任意常数。 C 四、 本文我们研究了Riccati方程(1)的封闭可积性问题。通过适当的函数变换,在所给条件下,将方程等价地化为变量分离方程,即可得到Riccati方程(1)封闭可积的一个相当一般的可积性准则以及其三个推论,并得到所给条件下方程通解的参数表达形式。我们的结果推广了有关文献的结论,并将方程(1)已有的一些可积性判据统一起来。我们充分利用所构建的可积性准则中参数的可变性,揭示了所得结果与方程(1)现有的可积性判据间的内在关系,同时包含了有关方程(1)可积性研究的一批近现代结果,从而扩大了Riccati方程的可解性范围。 参考文献: [1] Waston GN. Atreatise on the Bessel function[J]. Canmbridge, 1952,110—123. [2] Murphy GM.Ordinary differential equations and their solutions[M]. Dvan Nostrand Company.INC. New York,1960. [3] 丁同仁,李承治.常微分方程教程[M].北京:高等教育出版社,1999. ,87—92. [4] 郑隆祈,高等师范数学教育研究[M].华东科技大学出版社,2001 [5] 张学元.关于常微分方程解法的一点评论[J].数学的实践与认识,1992(3):19-26. [6] 冯录祥.一类特殊类型Riccuti方程的通积分[J].石河子大学学报(自然科学 版),1997(4):316-318. [7] 张学元.Riccati方程的一个新的可积定理[J].上海第二工业大学学报,2002(2):27-34. [8] 张衡.Riccati方程化为变量分离方程的几个条件及响应的通积分[J].石河子大学学报(自然科 学版),2002(6):160-162. [9] 冯录祥.Riccati方程可积的一个充分条件[J].渭南师院学报,2003(2):7-9. [10] 赵临龙.Riccati方程与Bernoulli方程的解关联[J].河南师范大学学报(自然科学 版),2000(1):84-86. [11] 冯录祥.一类Riccati方程的推广[J].咸阳师范学院学报.2003(4):52-53. [12] 冯录祥.一类Riccati方程的推广[J].数学的实践与认识.2003.(5):115-119. [13] 卡姆克 E(,常微分方程手册[M],张鸿林 译,北京:科学出版社,1986( The Closed Integrability Investigate of a Class of First Order Nonlinear Differential Equations 7 Wang Qian (Quanzhou Normal University, Information and Computing Science, 060306048) Instructor:Chen Ming-yu(Professor) Abstract:This paper first studies a class of closed first-order differential equations integrable problems, and then through the variable transformation, invariant thinking skills, the class of equations is equivalent transformed into variable detached equations in the given conditions. Consequently,we will get some of the equations integrable sufficient criteria, while the parameters of its general solution is given expression to the expansion of a closed-order differential equations solvable range. Keywords: Riccati differential equation; Closed integral conditions; Differentiable function 8
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