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隐函数求导

2017-09-01 25页 doc 50KB 115阅读

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隐函数求导隐函数求导 第 五 节 隐函数的求导公式 教学目的:掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式,熟练计算隐函数的 导函数。 教学重点:由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点:隐函数的高阶导函数的计算。 教学内容: 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程 =0 (1) f(x,y) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数,P(x,y)...
隐函数求导
隐函数求导 第 五 节 隐函数的求导公式 教学目的:掌握由一个方程和方程组确定的隐函数求导公式,熟练计算隐函数的 导函数。 教学重点:由一个方程确定的隐函数求导方法。 教学难点:隐函数的高阶导函数的计算。 教学内容: 一、一个方程的情形 在第二章第六节中我们已经提出了隐函数的概念,并且指出了不经过显化直接由方程 =0 (1) f(x,y) 求它所确定的隐函数的方法。现在介绍隐函数存在定理,并根据多元复合函数的求导法来导出隐函数的导数公式. 隐函数存在定理1 设函数在点的某一邻域内具有连续的偏导数,P(x,y)F(x,y)00 且,, F(x,y),0,则方程=0在点的某一邻域内恒能唯F(x,y),0(x,y)F(x,y)y000000 一确定一个单值连续且具有连续导数的函数,它满足条件,并有 y,f(x)y,f(x)00 Fdyx,, (2) dxFy 公式(2)就是隐函数的求导公式 这个定理我们不证。现仅就公式(2)作如下推导。 将方程(1)所确定的函数代入,得恒等式 y,f(x) , F(x,f(x)),0 其左端可以看作是x的一个复合函数,求这个函数的全导数,由于恒等式两端求导后仍然恒等,即得 ,F,Fdy,,0, ,x,ydx F(x,y),0F,0F由于连续,且,所以存在(x,y)的一个邻域,在这个邻域内,于00y00yy 是得 1 Fdyx ,,.dxFy 如果的二阶偏导数也都连续,我们可以把等式(2)的两端看作的复合函数而再xF(x,y) 一次求导,即得 2,,,,FFdydy,,xx,,,,,,,,2,,,, xFyFdx,,dxyy,,,, ,,FF,FFFF,FFFxxyyzxxyyyyxx,,,,,,22,,FFFyyy,, 22FF,FFF,FF2xxyxyxyyyx,,.3Fy 22例1 验证方程在点(0,1)的某一邻域内能唯一确定一个单值且有连续导x,y,1,0 =0时,的隐函数,并求这函数的一阶和二阶导数在=0的值。 数、当xxy,1y,f(x) 22解 设,则,F(0,1),0,F(0,1),2,0.因此F,2x,F,2yF(x,y),x,y,1yxy 22由定理1可知,方程在点(0,1)的某邻域内能唯一确定一个单值且有连续导x,y,1,0 数、当=0时,的隐函数。 xy,1y,f(x) 下面求这函数的一阶和二阶导数 Fdydyxx,,,0 =, ; , dxFdxyyx,0 xy,x,()222,y,xyy,xy1dy,,,,,,,, = 22233dxyyyy 2dy,,1 。 2dxx,0 隐函数存在定理还可以推广到多元函数.既然一个二元方程(1)可以确定一个一元隐函 数,那末一个三元方程 Fx,y,z ()=0 (3) 就有可能确定一个二元隐函数。 2 与定理1一样,我们同样可以由三元函数()的性质来断定由方程()=0FFx,y,zx,y,z所确定的二元函数=的存在,以及这个函数的性质。这就是下面的定理。 (x,y)z 隐函数存在定理2 设函数()在点的某一邻域内具有连续的偏Fx,y,zP(x,y,z)000 导数,且,,则方程()=0在点的Fx,y,zF(x,y,z),0F(x,y,z),0(x,y,z)000z000000某一邻域内恒能唯一确定一个单值连续且具有连续偏导数的函数,它满足条件z,f(x,y) ,并有 z,f(x,y)000 FF,z,zyx =,=. (4) ,,,xF,yFzz 这个定理我们不证.与定理1类似,仅就公式(4)作如下推导. 由于 F(, )?0, x,y(x,y)f 将上式两端分别对和求导,应用复合函数求导法则得 yx ,z,z +=0, +=0。 FFFFyxzz,x,y 因为连续,且,所以存在点的一个邻域,在这个邻域内F(x,y,z),0(x,y,z)FFz000000zz?0,于是得 FF,z,zyx, =,=。 ,,xF,yFzz 2,z222.例2 设,求 x,y,z,4z,02,x 222F2z,4x,y,zF解 设 () =,则=2, =.应用公式(4),得 xFx,y,z,4zxz ,zx =。 2,z,x 再一次x对求偏导数,得 ,z(2,z),x2,z,x, 22(2,z),x 3 x,,,z,x(2),,22,z,x(2),z2,, ,,.23,z,z(2)(2) 二、方程组的情形 下面我们将隐函数存在定理作另一方面的推广。我们不仅增加方程中变量的个数。而且增加方程的个数,例如,考虑方程组 F(x,y,u,v),0,, (5) ,G(x,y,u,z),0., 这时,在四个变量中,一般只能有两个变量独立变化,因此方程组(5)就有可能确定两个二 G元函数。在这种情形下,我们可以由函数F、的性质来断定由方程组(5)所确定的两个二元函数的存在,以及它们的性质。我们有下面的定理。 隐函数存在定理3 设函数、在点的某一邻P(x,y,u,v)F(x,y,u,v)G(x,y,u,v)00000域内具有对各个变量的连续偏导数,又,,且偏导F(x,y,u,v),0G(x,y,u,v),000000000数所组成的函数行列式(或称雅可比(Jacobi)式): ,F,F ,(F,G),u,vJ, = ,G,G,(u,v) ,u,v 在点不等于零,则方程组,在点P(x,y,u,v)F(x,y,u,v),0G(x,y,u,v),000000 (x,y,u,v)的某一邻域内恒能唯一确定一组单值连续且具有连续偏导数的函数0000 u,u(x,y),v,v(x,u),它满足条件,并有 u,u(x,y),v,v(x,y)000000 FFxv GG,u1,(F,G)xv,,,,, FF,xJ,(x,v)uv GGuv FFux GG,v1,(F,G)ux,,,,, (6) FF,xJ,(u,x)uv GGuv 4 FFyv GGyv1,(F,G),u,,,,, FF,yJ,(y,v)uv GGvv FFuy GG1,(F,G)uy,v,,,,. FFJ,y,(u,y)uv GGuv 这个定理我们不证. ,u,v,u,v例3 设,求,,和. xu,yv,0,yu,xv,1,x,x,y,y解 此题可直接利用公式(6),但也可依照推导公式(6)的方法来求解。下面我们利用后 一种方法来做。 将所给方程的两边对求导并移项,得 x ,u,v,x,y,,u,,,x,x ,,u,v,y,x,,v.,x,x, x,y22在的条件下, J,,x,y,0yx ,u,y ,vx,uxu,yv,,,,22x,y,xx,y yx x,u y,v,vyu,xv.,,22x,y,xx,y yx 22y 将所给方程的两边对求导,用同样方法在的条件下可得 J,x,y,0 ,uxv,yu,vxu,yv,,,,. 2222,y,yx,yx,y: 本节在前面已提出隐函数概念的基础上,根据多元复合函数的求导法导出隐 5 函数的求导公式,给出了隐函数存在定理1、2、3,使我们能够计算有一 个方程或方程组确定的隐函数的导数。 作业: 作业卡p14-15 第 六 节 微分法在几何上的应用 教学目的:根据导函数的几何性质,学习并掌握空间曲线的切线与法平面、曲面 的切平面与法线方程的形成过程和确定方法。 教学重点:空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线的方程。 教学难点:曲线切线、曲面切平面的切向量。 教学内容: 一、空间曲线的切线与法平面 设空间曲线Г的参数方程为 (1) xtytztt,,,,,,,,,,(),(),(),() 这里假定式(1)的三个函数都可导。 在曲线上取对应于的一点及对应于的邻近一点t,tM(x,y,z)t,t,,t00000 ,MMM'(x,,x,y,,y,z,,z)。根据解析几何,曲线的割线的方程是 000 x,xy,yz,z000 ,,.,x,y,z ,MMMMTM当,沿着Г趋于M时,割线的极限位置就是曲线Г在点处的切线(图 ,t8―7).用除上式的各分母,得 x,xy,yz,z000,,, ,x,y,z ,t,t,t MMM令,?这时 (,t,0),通过对上式取极限,即得曲线在点处的切线方程为 y,yz,zx,x000,. = (2) ,,,,(t),t,t()()000 ,'(t),,'(t),,'(t)这里当然要假定不能都为零.如果个别为零,则应按空间解析几何000 6 有关直线的对称式方程的说明来理解。 切线的方向向量称为曲线的切向量。向量 T,{,'(t),,'(t),,'(t)}000就是曲线Г在点处的一个切向量。 M 通过点而与切线垂直的平面称为曲线在点处的法平面,它是通过点MM 而以T为法向量的平面,因此这法平面的方程为 M(x,y,z)000 (3) ,'( t)(x,x),,'(t)(y,y),,'(t)(z,z),0000000 23例1 求曲线在点 (1,1,1)处的切线及法平面方程。 x,t,y,t,z,t 2t,1解 因为而点 (1,1,1),所对应的参数,所以 x',1,y',2t,z',3t,ttt T,(1,2,3)于是,切线方程为 x,1y,1z,1,,, 123 法平面方程为 (x,1),2(y,1),3(z,1),0,即 x,2y,3z,6. 如果空间曲线Г的方程以 ,y,(x),, ,,z,(x), 的形式给出,取x为参数,它就可以为参数方程的形式 x,x,, ,,y,(x), , ,z,,(x)., 若,(x),,(x)都在x=x处可导,那末根据上面的讨论可知,T,{1,,'(x),,'(x)},因此曲线0 M(x,y,z)在点处的切线方程为 000 xxyyzz,,,000,,, (4) ,,,x,x1()()00 7 在点处的法平面方程为 M(x,y,z)000 (5) (x,x),,'(x)(y,y),,'(x)(z,z),0000 设空间曲线Г的方程以 F(x,y,z),0,, (6) ,G(x,y,z),0, 的形式给出,是曲线Г上的一个点,又设有对各个变量的连续偏导数,M(x,y,z)FG,000 且 FG,(,),0. yz,(,)(x,y,z)000 这时方程组(6)在点的某一邻域内确定了一组函数要求曲M(x,y,z)y,,(x),z,,(x).000 线Г在点M处的切线方程和法平面方程,只要求出然后代入(4)、(5)两式就行,'(x),,'(x),了.为此,我们在恒等式 F[x,,(x),,(x)],0, G[x,,(x),,(x)],0 两边分别对x求全导数,得 ,F,Fdy,Fdz,,,,0,,,,x,ydx,zdx ,,G,Gdy,Gdz,,,,0.,,x,ydx,zdx, 由假设可知,在点M的某个邻域内 ,(F,G) J,,0, ,(y,z) FFFFxyzx GGGGdzdyxyzx,,,x,,x,,(),故可解得 ,(),FFFFdxdxyzyz GGGGyzyz M于是T,{1,,'(x),,'(x)}是曲线在点处的一个切向量,这里 8 FFFFxyzx GGGGxyzx00,, x,,(x),,,(),00FFFFyzyz GGGGyzyz00分子分母中带下标0的行列式表示行列式在点的值.把上面的切向量乘以TM(x,y,z)000FFyz得 ,GGyz0 ,,FFFFFF,,yzxyzx, T ,,,,,1GGGGGG,,yzxyzx000,,这也是曲线在点M处的一个切向量,由此可写出曲线Г在点处的切线方程M(x,y,z),000为 x,xy,yz,z000,,, (7) FFFFFFyzzxxy GGGGGGyzzxxy000 曲线Г在点处的法平面方程为 M(x,y,z)000 FFFFFFxyyzzx(x,x),(y,y),(z,z),0. (8) 000GGGGGGyzxyzx000 ,(F,G),(F,G),(F,G),如果,0而中至少有一个不等于零,我们可得同样的结果. ,(z,x),(x,y),(y,z)000 222例2 求曲线,在点 (1,-2,1)处的切线及法平面方程。 x,y,z,0x,y,z,6 解 将所给方程的两边对x求导并移项,得 dydz,y,z,,x,,dxdx ,dydz,,,,1.dxdx, 由此得 ,xzy,x ,111,1dyz,xdzx,y ,,,,,.yzyzdxy,zdxy,z 1111 9 dydz ,0,,,1.dxdx(1,,2,1)(1,,2,1) 从而 T,{1,0,,1}, 故所求切线方程为 x,1y,2z,1 ,,,10,1 法平面方程为 , (x,1),0,(y,2),(z,1),0 x,z,0.即 二、 曲线的切平面与法线 我们先讨论由隐式给出曲面方程 F() = 0 (9) x,y,z 作为它的特殊情形. 的情形,然后把由显式给出的曲面方程zfxy,(,) F设曲面?由方程(9)给出,是曲面?上的一点,并设函数()的偏x,y,zM(x,y,z)000 M导数在该点连续且不同时为零.在曲面?上,通过点任意引一条曲线(图8―8),假定曲线的参数方程为 (10) x,,(t),y,,(t),z,,(t), t,t对应于点M(x,y,z)且,'(t),,'(t),,'(t)不全为零,则由(2)式可得这曲线的切0000000 线方程为 y,yz,zx,x000,, = ,,,,(t),t,t()()000 MM上通过点我们现在要证明,在曲面?且在点处具有切线的任何曲线,它们在点M处的切线都在同一个平面上.事实上,因为曲线Г完全在曲面?上,所以有恒等式 F [,(t),,(t),,(t)],0, Fx,y,z(x,y,z),'(t),,'(t),'(t又因()在点处有连续偏导数,且和)存在,所以这000000 t,t恒等式左边的复合函数在时有全导数,且这全导数等于零: 0 10 d ,,F,(t),,(t),,(t),0,dtt,t0 即有 (11) Fx(x,y,z),'(t),F(x,y,z),'(t),F(x,y,z),'(t),00000y0000z0000 引入向量 n,{F(x,y,z),F(x,y,z),Fz(x,y,z)},x000y000000则(11)式表示曲线(10)在点M处的切向量 T,{,'(t),,'(t),,'(t)}000 与向量垂直.因为曲线(10)是曲面上通过点M的任意一条曲线,它们在点M的切线都与同一 个向量垂直,所以曲面上通过点M的一切曲线在点M的切线都在同一个平面上(图8―8).n 这个平面称为曲面?M在点的切平面.这切平面的方程是 (12) F(x,y,z)(x,x),F(x,y,z)(y,y),F(x,y,z)(z,z)x0000y0000z0000 而垂直于切平面(12)的直线称为曲面在该点的法线。法线方程是 通过点M(x,y,z)000 xxyyzz,,,000. (13) ,,FxyzFxyzFxyz(,,)(,,)(,,)x000y000z000 垂直于曲面上切平面的向量称为曲面的法向量,向量 Mn,{F(x,y,z),F(x,y,z),Fz(x,y,z)}, 就是曲面?在点处的一个x000y000000 法向量。 现在来考虑曲面方程 (14) z,(x,y) Fx,y,z令 () =— z, f(x,y) FFFx,y,zx,y,zx,y,z可见 ()=, ()=, ()=-1. f(x,y)f(x,y)xxyyz (x,y)于是,当函数f(x,y)的偏导数f(x,y)、f(x,y)在点连续时,曲面(14)在xy00M(x,y,z)点处的法向量为 000 nfxyfxy,,((,),(,),1) xy0000 切平面方程为 11 f(x,y)(x,x),f(x,y)(y,y),(z,z),0,x000y0000或 (15) z,z,f(x,y)(x,x),f(x,y)(y,y)0x000y000而法线方程为 x,xy,yz,z000,, .fxyfxy,(,)(,)1xy0000 这里顺便指出,方程(15)右端恰好是函数在点的全微分,而左端是(x,y)z,(x,y)00切平面上点的竖坐标的增量.因此,函数在点的全微分,在几何上表示曲(x,y)z,(x,y)00面在点处的切平面上点的竖坐标的增量. (x,y,z)z,(x,y)000 如果用α、β、γ表示曲面的法向量的方向角,并假定法向量的方向是向上的,即使 得它与轴的正向所成的角γ是一锐角,则法向量的方向余弦为 z ,f,fyx cos,,,,cos,,2222,f,f,f,f11xyxy 1 ,cos,. 22,f,f1xy f(x,y),f(x,y)这里,把分别简记为,f。 fx00y00yx 222例3 求球面在点(1,2,3)处的切平面及法线方程。 x,y,z,14 222Fx,y,z解 () =, x,y,z,14 FFF =(, , )= n(2,2,2),xyzxyz |=(2,4,6). n(1 ,2 ,3) 所以在点(1,2,3)处此球面的切平面方程为 2(x,1),4(y,2),6(z,3),0,即 x,2y,3z,14,0, 法线方程为 x,1y,2z,3,,, 123 12 xyz即 ,,.123 由此可见,法线经过原点(即球心). 小结: 本节在空间曲线的切线与法平面、曲面的切平面与法线两方面研究了微分 法的应用。利用导函数的几何性质,针对空间曲线的一般表现方式,给出 了空间曲线的切向量,从而确定了空间曲线的切线与法平面方程;同时针 对由隐式给出的曲面方程,推导出曲面的切平面与法线方程,并给出了曲 面法向量的方向角。 作业: 作业卡p16-17 第 七 节 方向导数与梯度 教学目的:掌握方向导数的定义和求法;掌握梯度的定义、求法及其与等高线的 关系。 教学重点:方向导数与梯度的求法。 教学难点:方向角的确定。 教学内容: 一、方向导数 P现在我们来讨论函数在一点沿某一方向的变化率问题。 z,f(x,y) lPP设函数在点的某一邻域内有定义.自点引射线。设轴正xz,f(x,y)(x,y)U(p) lP,,,y向到射线的转角为(逆时针方向:0;顺时针方向:0),并设,(+?,+xx,, lPyyy?)为上的另一点且,?。我们考虑函数的增量(+?,+?),xxU(p)ff(x,y) 22l,,(,x),(,y)PPPP与、,两点间的距离的比值.当,沿着趋于时,如果这个比 ,flP的极限存在,则称这极限为函数f(x,y)在点沿方向的方向导数,记作,即 ,l (,)(,),ffx,,xy,,y,fxy. (1) ,lim,,l,,0 ,f关于方向导数的存在及计算,我们有下面的定理。 ,l 13 定理 如果函数在点是可微分的,那末函数在该点沿任一方向的Pz,f(x,y)(x,y)方向导数都存在,且有 ,f,f,f (2) ,,cos,sin,,,l,x,y l其中为轴到方向的转角。 ,x 证 根据函数在点P可微分的假定,函数的增量可以表达为 z,f(x,y)(x,y) ff,, fxxyyfxyxy(,)(,)().,,,,,,,,,,,,xy,,两边各除以,得到 , (,)(,)fx,,xy,,y,fxy , ,(),f,x,f,y,,,,,, ,,,,x,y ,,f,f,(),,cossin.,,,,,x,y fxxyyfxyff(,)(,),,,,,,,所以 ,,limcossin.,,,,0,,xy,这就证明了方向导数存在且其值为 ,f,f,f,,cos,sin,.,l,x,y 2yPPe例1 求函数=在点处沿从点到点,, 方向的方向导数。 x2,,1(1,0)(1,0)Qz ,ll,,.解 这里方向即向量,=,的方向,因此轴到方向的转角, 1,,1x,PQ4 ,z,z2y2y,e,因为 ,2xe, ,x,y ,z,z,1,2在点(1,0) ,,.故所求方向导数 ,x,y ,z,,2 ,,,,,,,1cos()2sin().,l442 14 ll对于三元函数=来说,它在空间一点沿着方向 (设方向的方Puf(x,y,z)(x,y,z) 向角为的方向导数,同样可以定义为 ,,,、,、, ,,,,,,,,ffxxyyzzfxyz(,,)(,,) (3) ,lim,,,0,,l 222,,(,x),(,y),(,z)其中,?=,?=,?=。 ,y,,cos,cos,xcos,z l同样可以证明,如果函数在所考虑的点处可微分,那末函数在该点沿着方向的方向导数为 (4) ,f,f,f,f,,,cos,cos,cos,.,l,x,y,z 二、 梯度 与方向导数有关联的一个概念是函数的梯度.在二元函数的情形,设函数在z,f(x,y) DD平面区域内具有一阶连续偏导数,则对于每一点,都可定出一个向量 (x,y), ,,,,ff ij,,,,xy P这向量称为函数=在点的梯度,记作,即 (x,y)(x,y)gradf(x,y)z ,,,,ff = ij,,gradf(x,y),,xy ,,l如果设是与方向同方向的单位向量,则由方向导数的计算公式可eij,,cossin,, 知 ,,,,,,,fffffcossin,cos,sin,,,,,,,,,,,,lxyxy,,,,, ,, gradfxye(,),, gradfxygradfxye(,)cos((,)^,)., , gradfxye(,),egradf(x,y)这里,()表示向量与的夹角。由此可以看出,就是梯度在射ll线上的投影,当方向与梯度的方向一致时,有 15 , () ,1, gradfxye(,),cos ,f从而有最大值.所以沿梯度方向的方向导数达到最大值,也就是说,梯度的方向是函数,l 在这点增长最快的方向.因此,我们可以得到如下结论: (x,y)f 函数在某点的梯度是这样一个向量,它的方向与取得最大方向导数的方向一致,而它 的模为方向导数的最大值. 由梯度的定义可知,梯度的模为 22,,,f,f,,,,gradfxy,,(,). ,,,,,x,y,,,,,f当不为零时,那末轴到梯度的转角的正切为 x,x ,f ,ytan,,. ,f ,x我们知道,一般说来二元函数在几何上表示一个曲面,这曲面被平面z=c(cz,f(x,y) l是常数)所截得的曲线的方程为 z,f(x,y),, ,z,c., *lL这条曲线在面上的投影是一条平面曲线,它在平面直角坐标系中的方程为 xOyxOy f(x,y),c. **LL对于曲线上的一切点,已给函数的函数值都是,所以我们称平面曲线为函数c 的等值线. z,f(x,y) 由于等值线上任一点处的法线的斜率为 f(x,y),c(x,y) f11y,,,, , dyf,,fxx,,,dx,,fy,, ,,,,ff所以梯度 ij, ,,xy 16 为等值线上点处的法向量,因此我们可得到梯度与等值线的下述关系:函数在Pz,f(x)点的梯度的方向与过点的等值线在这点的法线的一个方向相同,且PP(x,y)f(x,y),c 从数值较低的等值线指向数值较高的等值线,而梯度的模等于函数在这个法线方向的方向导数。这个法线方向就是方向导数取得最大值的方向。 1例2 求 grad.22x,y 1解 这里 fxy,(,).22x,y ,fx,fy22 因为 ,,,,,,222222,x,yx,yx,y()() ,,122xy所以 gradij,,,.22222222xyxyxy,,,()() 222,求。 例3 设gradf(1,,1,2)f(x,y,z),x,y,z ,,,,解 gradf,f,f,f,2x,2y,2z, xyz 于是 。 ,,,,gradf1,,1,2,2,,2,4 小结: P本节主要研究函数在一点沿某一方向的变化率问题,给出方z,f(x,y) 向导数的定义及其相关的梯度的定义,推导出方向导数和梯度的求法,并 通过梯度的意义介绍了等值线、等量面、数量场与向量场等概念。 作业: 作业卡p18-19 第 八 节 多元函数的极值及其求法 教学目的:了解多元函数极值的定义,熟练掌握多元函数无条件极值存在的判定 方法、求极值方法,并能够解决实际问题。熟练使用拉格朗日乘数法 求条件极值。 教学重点:多元函数极值的求法。 教学难点:利用拉格朗日乘数法求条件极值。 17 教学内容: 一、 多元函数的极值及最大值、最小值 定义 设函数在点的某个邻域内有定义,对于该邻域内异于(x,y)z,f(x,y)00 的点,如果都适合不等式 (x,y)00 , fxyfxy(,)(,),00 则称函数在点有极大值。如果都适合不等式 (x,y)fxy(,)fxy(,)0000 , f(x,y),f(x,y)00 则称函数在点有极小值(极大值、极小值统称为极值。使函数(x,y)f(x,y)fxy(,)0000 取得极值的点称为极值点。 22例1 函数在点(0,0)处有极小值。因为对于点(0,0)的任一邻域内z,3x,4y 异于(0,0)的点,函数值都为正,而在点(0,0)处的函数值为零。从几何上看这是显然的, 22因为点(0,0,0)是开口朝上的椭圆抛物面的顶点。 z,3x,4y 22z,,x,y例, 函数在点(0,0)处有极大值。因为在点(0,0)处函数值为零,而对于点(0,0)的任一邻域内异于(0,0)的点,函数值都为负,点(0,0,0)是位于xOy 22z,,x,y平面下方的锥面的顶点。 z,xy例, 函数在点(0,0)处既不取得极大值也不取得极小值。因为在点(0,0)处的函数值为零,而在点(0,0)的任一邻域内,总有使函数值为正的点,也有使函数值为负的点。 (x,y)(x,y)定理1(必要条件) 设函数在点具有偏导数,且在点处z,f(x,y)0000有极值,则它在该点的偏导数必然为零: f(x,y),0,f(x,y),0 x00y00 (x,y)(x,y)证 不妨设z,f(x,y)在点处有极大值。依极大值的定义,在点的某0000 (x,y)邻域内异于的点都适合不等式 00 f(x,y),f(x,y) 00 18 特殊地,在该邻域内取,而的点,也应适合不等式 y,yx,x00 fxyfxy(,)(,),000 这表明一元函数在处取得极大值,因此必有 (x,y)x,xf00 f(x,y),0x00 类似地可证 f(x,y),0y00 从几何上看,这时如果曲面在点处有切平面,则切平面 (x,y,z)z,f(x,y)000 z,z,f(x,y)(x,x),f(x,y)(y,y)0x000y000成为平行于坐标面的平面。 z,z,0xOy0 仿照一元函数,凡是能使同时成立的点称为函数f(x,y),0,f(x,y),0(x,y)xy00 的驻点,从定理1可知,具有偏导数的函数的极值点必定是驻点。但是函数的z,f(x,y) 驻点不一定是极值点,例如,点(0,0)是函数的驻点,但是函数在该点并无极值。 z,xy 怎样判定一个驻点是否是极值点呢 ,下面的定理回答了这个问题。 定理2(充分条件) 设函数在点的某邻域内连续且有一阶及二阶(x,y)z,f(x,y)00 f(x,y),0,f(x,y),0连续偏导数,又令 x00y00, f(x,y),A,f(x,y),B,f(x,y),C xx00xy00yy00 则(x,y)在处是否取得极值的条件如下: f(x,y)00 2A,0A,0AC,B,0(1)时具有极值,且当时有极大值,当时有极小值; 2AC,B,0(2)时没有极值; 2AC,B,0(3)时可能有极值,也可能没有极值,还需另作讨论。 这个定理现在不证。利用定理1、2,我们把具有二阶连续偏导数的函数z,f(x,y)的极值的求法叙述如下: 第一步 解方程组 19 f(x,y),0,f(x,y),0xy 求得一切实数解,即可以得到一切驻点。 C第二步 对于每一个驻点,求出二阶偏导数的值,和。 AB(x,y)00 2第三步 定出的符号,按定理2的结论判定是否是极值、是极大值AC,Bfxy(,)00还是极小值。 3322例1 求函数的极值。 f(x,y),x,y,3x,3y,9x 解 先解方程组 2,fxyxx(,)3690,,,,,,x ,2fxyyy(,)360,,,,,,y, 求得驻点为(1,0)、(1,2)、(-3,0)、(-3,2)。 再求出二阶偏导数 fxyxfxyfxyy(,)66,(,)0,(,)66,,,,,,xxxyyy 2A,0AC,B,12,6,0在点(1,0) 处,又,所以函数在处有极小值(1,0) ; f(1,0)5,, 2在点(1,2) 处,,所以(1,2)不是极值; fAC,B,12,(,6),0 2AC,B,,12,6,0在点(-3,0) 处,,所以(-3,0)不是极值; f 2A,0在点(-3,2) 处,又所以函数在(-3,2)处有极大值AC,B,,12,(,6),0(-3,2)=31。 f 3例2 某厂要用铁板作成一个体积为2m的有盖长方体水箱。问当长、宽、高各取怎样 的尺寸时,才能使用料最省。 2ymxm解 设水箱的长为,宽为,则其高应为m,此水箱所用材料的面积 xy 22A,2(xy,y,,x,) , xyxy 22x,0A,2(xy,,)y,0即 (,) xy 20 可见材料面积是和的二元函数,这就是目标函数,下面求使这函数取得最小值的点Ayx 。 (x,y) 2令 , A,2(y,),0x2x 2 A,2(x,),0y2y 解这方程组,得: 33 , x,2y,2 从这个例子还可看出,在体积一定的长方体中,以立方体的表面积为最小。 二、条件极值 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法 要找函数在附加条件下的可能极值点,可以z,f(x,y),(x,y),0先构成辅助函数 F(x,y),f(x,y),,,(x,y) ,其中为某一常数求其对与的一阶偏导数,并使之为零,然后与方程(2)联立 yx ,,f(x,y),(x,y),0,,xx,,,,f(x,y),(x,y),0, (1) ,yy , ,,(x,y),0., ,yy由这方程组解出,及,则其中,就是函数在附加条件下的可xxf(x,y),(x,y),0能极值点的坐标。 这方法还可以推广到自变量多于两个而条件多于一个的情形。例如,要求函数 u,f(x,y,z,t) 在附加条件 ,(x,y,z,t),0,,(x,y,z,t),0 (2) 下的极值,可以先构成辅助函数 F(x,y,z,t),f(x,y,z,t),,,(x,y,z,t),,,(x,y,z,t) 12 ,,其中,均为常数,求其一阶偏导数,并使之为零,然后与(2)中的两个方程联立起来求12 21 解,这样得出的就是函数在附加条件(2)下的可能极值点的坐标。 x、y、z、tf(x,y,z,t) 至于如何确定所求得的点是否极值点,在实际问题中往往可根据问题本身的性质来判 定。 2例3 求表面积为而体积为最大的长方体的体积。 a 解 设长方体的三棱长为, 则问题就是在条件 x,y,z 2 (3) ,(x,y,z,t),2xy,2yz,2xz,a,0下,求函数 V,xyz(x,0,y,0,z,0)的最大值。构成辅助函数 2 F(x,y,z),xyz,,(2xy,2yz,2xz,a)求其对、z的偏导数,并使之为零,得到 x、y yz,2(y,z),0, ,,xz,2(x,z),0 (4) , , ,xy,2(y,z),0, 再与(10)联立求解。 因x、y、都不等于零,所以由(11)可得 z x,yx,zyx ,, ,( x,zzyy,z 由以上两式解得 x,y,z 将此代入式(10),便得 6x,y,za = 6 这是唯一可能的极值点。因为由问题本身可知最大值一定存在,所以最大值就在这个可能的 62aa极值点处取得。也就是说,表面积为的长方体中,以棱长为的正方体的体积为最6 63V,a大,最大体积。 36 22 小结: 本节以一元函数极值为基础,研究多元函数的最大值、最小值与极大值、 极小值问题。在介绍多元函数极值的定义后,介绍了二元极值的性质以及 利用偏导数求极值的步骤,讨论了二元函数的最值问题和实际问题的最值 问题。最后介绍了利用拉格朗日乘数法求条件极值的方法及应用。 作业: 作业卡p20-21 23
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