矩阵在实际中的应用

矩阵在实际中的应用 班级, 小组成员, 指导老师, 目录 摘要……………………………………………………………… 3 问题提出………………………………………………………… 4 实际应用举例…………………………………………………… 4 论文总结………………………………………………………… 10 参考文献………………………………………………………… 10 2 【摘要】 随着科学技术的发展,也越来越贴近我们的生活,可以说是息息相关。我们 在学习数学知识的同时,也不能忘记将数学知识应用于生活。在学习高等代数的 过程中,我们发现代数在生活和实践中都有不可缺少的的位置。本篇论文中,我 们就对代数中的矩阵在人口流动,电阻电路,加密解密,文献管理方面的应用进 行了探究。 【关键词】 高等代数,矩阵,实际,应用 【Abstract】 With the development of science and technology, mathematics is more and more close to our life. While we are learning mathematics knowledge,we cannot forget the application of mathematical knowledge in life. In learning the 3 advanced algebra course, we found the algebra in the life and practices have an indispensable position. In this thesis, we do research on the matrix about the population flow, resistance and circuit, encryption and decryption and document management 。 【Key words】 Advanced Algebra, matrix, practical, application 4 【问题提出】 接触高等代数一个学期以来,并未感觉其与实际生活有多大联系。但我们从李思泽老师讲的《高等代数在信息安全中的应用》一课中了解到,其实高等代数与我们的生活密切相关,可以为我们解决实际中的许多问题。我们小组成员积极搜集资料,认真翻阅课件,发现了高等代数与实际问题的诸多联系,而矩阵在高等代数中又占据着极其重要的地位。近几年来,随着互联网和计算机技术的迅速发展,科学计算在实践中的基础地位日益突出,用矩阵方法解决实际问题已渗透到众多领域。现在我们小组成员仅凭我们浅显的知识对现实中的几个问题进行分析解决。 【实际应用举例】 一、 人口流动问题,矩阵高次幂的应用, 设某中小城市及郊区乡镇共有30万人从事农、工、商工作,假定这个总人 数在若干年内保持不变,而社会调查表明, ,1, 在这30万就业人员中,目前约有15万人从事农业,9万人从事工业, 6万人经商, ,2, 在务农人员中,每年约有20%改为务工,10%改为经商, ,3, 在务工人员中,每年约有20%改为务农,10%改为经商, ,4, 在经商人员中,每年约有10%改为务农,10%改为务工。 现欲预测一、二年后从事各业人员的人数,以及经过多年之后,从事各业人 员总数之发展趋势。 5 现做如下解答, T解 若用三维向量(x,yz) 表示第i年后从事这三种职业的人员总数,则已ii,i TTTT知(x,y,z)=(15,9,6)。而欲求(x,y,z),(x,y,z) 并考察在n??时000111222 T(x,y,z)的发展趋势。 nnn 依题意,一年后,从事农、工、商的人员总数应为 X=0.7x+0.2y+0.1z1000 Y=0.2x+0.7y+0.1z 1000 Z=0.1x+0.1y+0.8z 1000 即 X0.7 0.2 0.1 xx1 0 0 Y= 0.2 0.7 0.1 y= A y1 0 0 Z0.1 0.1 0.8 zz1 0 0 TT 以(x,y,z)=(15,9,6)代入上式,即得 000 X12.9 1 Y= 9.9 1 Z7.2 1 即一年后从事各业人员的人数分别为12.9万、9.9万、7.2万人。 以及 Xxx11.73 2 1 0 6 2 Y= A y= A y= 10.23 2 1 0 Zzz8.04 2 1 0 即两年后从事各业人员的人数分别为11.73万、10.23万、8.04万人。 进而推得 xx xn n-1 0 n y=A y= Ayn n-1 0 zzzn n-1 0 n 即n年之后从事各业人员的人数完全由A决定。 在这个问题的求解过程中,我们应用到矩阵的乘法、转置等,将一个实际问题数学化,进而解决了实际生活中的人口流动问题。这个问题看似复杂,但通过对矩阵的正确应用,我们成功的将其解决。不得不说,矩阵是我们解决实际问题的重要工具。 二、 电阻电路的计算 如图所示的电路中,已知R=2Ω,R=4Ω,R=12Ω,R=4Ω,R=12Ω,R=4123456Ω,R=2Ω,设电压源u=10V,求i,u,u. 7s347 7 现求解如下, 解 设各个网孔的回路电流分别为i,i和i,由物理学定律,任何回路中诸元abc 件上电压之和等于0. 据图可列出各回路的电压方程为 (R+R+R)i-Ri=u 123a3bs -Ri+(R+R+R)i-Ri=0 3a345b5c -Ri+(R+R+R)i=0 5b567c 可写成矩阵形式为, R+R+R -R 0 i1 1233a -R R+R+R-Ri= 0 u 3345 5 b s 0 -R R+R+Ri0 5567 c 把参数代入,列方程如下, 18 -12 0 i1 a -12 28 -12 i= 0 u b s 0 -12 18 i 0 c 简写成 AI=bu s T 其中I=( i,i,i)。已知u=10,解矩阵方程得 abcs 1 0 0 0.9259 U= 0 1 0 0.5556 这就是问题的解 8 0 0 1 0.3704 意味着 i 0.9259 a I= i= 0.5556 b i 0.3704 c 任何稳态电路问题都可以用线性代数方程描述。直流电路构成的是实系数方 程,它的解为实数,而交流电路构成的是复系数方程,它的解为负数。所以 用矩阵方程和计算机软件就显得更为重要。由此题我们看出矩阵在表示数方 面有简洁直观、表现力强的特点,是理论与实际结合的一个很好的触点。 三、矩阵在密码学中的应用 在密码学中,原来的消息为明文,经过伪装的明文则变成了密文。有明文变 成密文的过程称为加密。由密文变成明文的过程称为译密。改变明文的方法 称为密码。密码在军事上和商业上是一种保密通信技术。矩阵在保密通信中 发挥了重要作用。 n-1例如,如图所示,当矩阵A可逆时,对R中的所有X,等式AAX=X说明, -1-1A把向量AX变回到X,A确定的线性变换称为由A确定的线性变换的逆 变换。 9 这使一些有心人想到可用可逆矩阵及其逆矩阵对需发送的秘密消息加密和译密。 假设我们要送出的消息“ACCOMPLISH THE TASK.”。首先把每个字母A,B,C,…,Z映射到数1,2,3,…,26.例如,数1表示A,数11表示K,另外,用0表示空格,27表示句号等。于是数集 1,3,3,15,13,16,12,9,19,8,5,0,20,19,11,27 表示消息“ACCOMPLISH THE TASK”,这个消息,按列,写成4×5矩阵 1 13 19 8 1 M = 3 16 8 5 19 3 12 0 0 11 15 9 20 20 27 密码的发送者和接收者都知道的密码矩阵是 10 1 -1 -1 1 A = 3 0 -3 4 3 -2 2 -1 -1 1 2 -2 其逆矩阵,译码矩阵,是 9 1 -1 7 -1 A = 1/2 5 1 -1 5 -19 -1 3 -13 -21 -1 3 -15 11 加密后的消息通过通信渠道,以乘积AM的形式输出,接收者收到的矩阵 1 -1 -1 1 1 13 19 8 1 C = AM = 3 0 -3 4 13 16 8 5 19 3 -2 2 -1 3 12 0 0 11 -1 1 2 -2 15 9 20 20 27 10 -6 31 23 -2 = 54 39 137 104 78 -12 22 21 -6 -40 -22 9 -51 -43 -14 -1之后接收者通过计算乘积AC来译出消息,即相继变换矩阵C的第1列,第2 的元素就会变回到原来的信息。 列,… 上述例子是矩阵乘法与逆矩阵的应用,将高等代数与密码学紧密结合起来。运用数学知识破译密码,进而运用到军事等方面。可见矩阵的作用是何其强大。 四、矩阵在文献管理中的应用 假如数据库中包括了n个文件,而搜索所用的关键词有m个,如果关键词按字母顺序排列,我们就可以把数据库表示为m×n的矩阵A。其中每个关键词 12 占矩阵的一行,每个文件用矩阵的列表示。A的第j列的第一个元素是一个数,它表示第一个关键词出现的相对频率,第二个元素表示第二个关键词出现的相对 m频率,…,依次类推。用于搜索的关键词清单用R空间的列向量x表示。如果关键词清单中第i个关键词在搜索列中出现,则x的第i个元素就赋值1,否则 T就赋值0。为了进行搜索,只要把A乘以x。 下面我们来看一个例子: 假如,数据库包含有一下名,B1-应用线性代数,B2-初等线性代数,B3-初等线性代数及其应用,B4-线性代数及其应用,B5-线性代数及应用,B6-矩阵代数及应用,B7-矩阵理论。而搜索的6个关键词组成的集按以下的拼音字母次序排列, 初等,代数,矩阵,理论,线性,应用 因为这些关键词在书名中做多出现1次,所以其相对频率数不是0就是1。当第i个关键词出现在第j本书名上时,元素A,i,j,就等于1,否则就等于0。这样我们的数据库矩阵就可用下表表示, 关键词 书 B1 B2 B3 B4 B5 B6 B7 初等 0 1 1 0 0 0 0 代数 1 1 1 1 1 1 0 矩阵 0 0 0 0 0 1 1 理论 0 0 0 0 0 0 1 13 线性 1 1 1 1 1 0 0 应用 1 0 1 1 1 1 0 假如读者输入的关键词是“应用,线性,代数”,则数据库矩阵和搜索向量为 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 A= 0 0 0 0 0 1 1 ,x= 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 0 1 T搜索结果可以表示为两者的乘积,y=Ax,于是可得 0 1 0 0 1 1 0 3 1 1 0 0 1 0 1 2 1 1 0 0 1 1 0 3 T y=Ax= 0 1 0 0 1 1 0 = 3 0 1 0 0 1 1 1 3 0 1 1 0 0 1 1 2 0 0 1 1 0 0 0 y的各个分量就表示各书与搜索向量匹配程度。因为y=y=y=y=3,说明四本1345 书B1,B3,B4,B5必然包含所有三个关键词。这四本书就被认为具有最高的匹配度,因而在搜索的结果中会把这几本书排在最前面。 本例把线性变换的概念进一步扩展,它不一定是在具体的几何空间内进行的变量变换,在本例中是从“关键词”到“文献目录”的变换。现代搜索中往往包括几百万 14 个文件和成千的关键词,但由于矩阵和向量的稀疏性,节省计算机的存储空间和 搜索时间。 15 【论文总结】 在我们小组成员的共同努力下,一篇小论文终于新鲜出炉。我们一起去图书馆查阅资料,明确分工,仔细观摩,研究参考文献。这次论文的编写不仅加深了我们对高等代数的了解,明确了它的重要性,还使我们在分工与合作中感受到集体力量的强大和成功的喜悦感。 感谢李思泽老师一个学期以来辛勤的工作,您清晰的课件布局,严谨的工作态度,风趣的讲课方式,让我们被高等代数深深吸引。也许这篇论文显得有些浅显,用语也并不专业,但它凝聚着我们小组全体成员的心血。它不仅锻炼了我们的思维方式,开阔了我们的视野,也使得我们对学习有了更新的了解。 总之,感谢李老师的辛勤劳动,我们一定会更加努力,不仅仅是在高代的学习上,也在整个大学生活中努力做到更好,使自己成为一个能肩负祖国重任的人。 16 【参考文献】 《线性代数及其应用》,第二版, 天津大学数学系代数教研组编著 《线性代数及其应用》 中国财政经济出版社 张杰 邹杰涛主编 《线性代数及其应用》,第二版, 华东理工大学出版社 刘剑平主编 《线性代数及其应用》,第二版, 高等教育出版社 河北农业大学理学院 《工程线性代数》 电子工业出版社 陈怀琛 杨威主编 《高等代数》,第三版, 高等教育出版社 北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组编 17