13隐函数求导公式

13隐函数求导公式 多元函数微分学 第五节 隐函数的求导公式 一、 一个方程的情形 在一元函数微分学中我们提出了隐函数的概念～并给出了一元隐函数的求导方法～下面我们继续这个问～讨论在什么条件下～方程 可以唯一地确定函数～并且是可导的。 F(x,y),0y,y(x)y,y(x) (1)D隐函数存在定理,情形,, 设二元函数在区域内是F(x,y)C F(x,y),0类函数～点且满足:～～则方(x,y),DF(x,y),0y000000 (1)程在点的某一邻域内唯一确定了一个类一元函(x,y)F(x,y),0C00 数～它满足条件～且有 y,y(x)y,y(x)00 Fdyx,,。 dxFy 该定理中函数的存在性由于基础知识所限～无法证明我们y,y(x) 只能给出后面公式的证明。 由定理的前半部分的结论～在(x,y)的某邻域内确定了一个具有连00 续导数的函数y,y(x)～将y,y(x)代入F(x,y),0～得 F[x,y(x)],0 两边对求导～由链式求导法～有 x dyF，F,0 xydx 1 多元函数微分学 F(x,y),0F由于连续～且～所以存在的某邻域～在该邻域(x,y)yy0000F,0F内～两边除以即得。 yy xsiny，e,xy,1,0 例1 验证方程在的某邻域能唯一确定(0,0) (1)一个类的隐函数～并求与。 y,y(x)y'(0)y"(0)C x(1)F(x,y),siny，e,xy,1解 是类函数～且～F(0,0),0C (1)F(0,0),1,0～所以在点的某邻域内能唯一确定一个单值类(0,0)Cy 隐函数～且 y,y(x) xFe,yxy'(x),,,, Fcosy,xy y'(0),,1 xx(e,y')(cosy,x),(e,y)(,siny,y',x)y"(x),, 2(cosy,x) xx(,')(cos,),(,)(,sin,',)eyyxeyyyx"(0),,y2x,0(cos,)yx y,0y'(0),,1 ,,3 33x，y,3xy,0x～yx、y例2 设为方程的任一解且不全0000 (1)为零。验证在点(x,y)的某邻域内～都能唯一确定类的隐函数C00 (1)或唯一确定类的隐函数。 y,y(x)x,x(y)C 2 多元函数微分学 33(1)F(x,y),x，y,3xy证 设。是类函数～根据隐函F(x,y)C F(x,y),0数存在定理～只要考察适合方程的那些使得或F(x,y),0y 。为此先解方程组 F(x,y),0x 33,(,),，,3,0Fxyxyxy, ,2Fxyyx(,),3,3,0 ,y, 32(4,2)得解和除了这两点以外～在方程的其余任何(0,0)F(x,y),0解的某邻域内～方程都能唯一地确定函数并满足(x,y)y,y(x)00 。再解方程组 y,y(x)00 33,(,),，,3,0Fxyxyxy ,2F(x,y),3x,3y,0 x, 32(2,4)得解和除了这两点以外～在方程的其余任何(0,0)F(x,y),0解(x,y)的某邻域内～方程都能唯一地确定函数并满足x,x(y)00 x,x(y)。 00 综上可知～除了点以外～在方程的其余任何解(0,0)F(x,y),0 F,F(x,y)处～至少有一个不等于零～因此至少可以确定y,y(x)或xy 中的一个。 证毕 x,x(y) (1),定理,情形2, 设三元函数在区域内是类函数～F(x,y,z)C 3 多元函数微分学 ,0点且满足～且～,(x,y,z),,F(x,y,z),0F(x,y,z)000000z000 (1)则方程在点的某邻域内能唯一确定一个类(x,y,z)F(x,y,z),0C000的二元函数～它满足～且有 z,z(x,y)z,z(x,y)000 FF,z,zyx,,～ ,,～ ,xF,yFzz 同样我们只给出最后公式的证明。 证 设方程隐式地确定了一个二元可微函数F(x,y,z),0 ～即有 z,z(x,y) F(x,y,z(x,y)),0 y上式两端对和求偏导～由链式法则有 x ,z,z～ F，F,,0F，F,,0xyyz,y,x 由于F连续～且F(x,y,z),0～所以存在点(x,y,z)的某邻域～zz000000 在该邻域内F,0～于是有 z FF,z,zyx,,,,～ ,yF,xFzz (1)例3 设z,f(xy,x，y)～为类函数～y,y(t)为由fC ,z,z确定的隐函数～求～ ,(t,y),0 ,x,t 4 多元函数微分学 ,z解 ～ ,f'y，f'12,x ,z,(xy),(x，y)dydy,f'，f',xf'，f' 1212,t,t,t,t,t 由两边对求导～得 t,(t,y),0 ,'dydy1,,''0，,,,, 12,'dtdt2 所以 ,,zdydy'1,xf'，f',,(xf'，，f') 1212,,t,t',t2 2,z32z,2xy，y,0例4 设～求。 2,x 32F(x,y,z),z,2xy，y解 令 F,z2y2xF,3z,,,,F,,2y～,所以。 zx2,xF3zy ,z2,z48y,x,,, 23539,xzz tx例5 设～其中为由方程F(x,y,t),0确定的隐u,f(x,y,)t y ,u(1)函数～和～求。 fF,C ,x 5 多元函数微分学 tx由～ u,f(x,y,) y ,u,txt ,f，f，()12,x,xyy ～根据隐函数求导公式～有 再由z,z(x,y) F,tx,,～ ,xFt FF,uxtxtxx,f，f(,，),f,(,)f所以。 1212,xFyyFyytt 二、 方组程的情形 刚才对于由方程组所确定的隐函数可以推出类似的结论～隐函数还可以由方程组产生。例如设有方程组 x，y，z,0, ,x，2y，3z,0, y～z将其视为的方程组可以解得～若将看成自变量～y,,2x～z,xx可见有上面方程组可以决定两个函数。在一般情况下～由方程组决定的隐 F(x,y,z),0,函数很难显化～所以我们要研究直接由方程组可以唯一确,G(x,y,z),0, y,y(x),定一对隐函数及具有导数的条件以及导数的计算方法。 ,z,z(x), 隐函数存在定理,情形3, 设三元函数F(x,y,z)～G(x,y,z)是 6 多元函数微分学 (1),区域内的函数～点且满足: (x,y,z),,C000 (,,),0Fxyz,000～ ,G(x,y,z),0,000 FF,(F,G)yz,,0 GGyz,(,)yz(x,y,z)(x,y,z)000000 F(x,y,z),0,则方程组在点的某邻域内唯一确定了一对(x,y,z),000G(x,y,z),0, (1)类函数,～它们满足条件～～y,y(x)z,z(x)y,y(x)z,z(x)C0000 且有 ,(F,G),(F,G) dydz,(x,z),(y,x),,～,,。 ,(F,G),(F,G)dxdx ,(y,z),(y,z) 证 该定理我们同样仅证后面公式。设由该方程组确定了一对可导 函数～即有如下恒等式 y,y(x)，z,z(x) F[x,y(x),z(x)],0, ,G[x,y(x),z(x)],0, 上面两个等式分别对求导～得 x dydz,F，F，F,0xyz,dxdx ,dydz,G，G，G,0xyzdxdx, 7 多元函数微分学 dydz这是一个关于和的线性方程组。由线性代数的知识可知如果该方 dxdx y，zF，G程组的系数行列式不为零,也称为关于的雅可比(Jacobi) ,(F,G)行列式～记为。利用克莱默(Gramer)法则解上面方程组即得。 J, ,(y,z) FF,(F,G)xz GGdy,(x,z)xz,,,,～ ,(F,G)FFdxyz ,(y,z)GGyz FFyx,(F,G) GGdz,(y,x)yx ,,,,,(F,G)FFdxyz ,(y,z)GGyz 与上面讨论类似～有如下结论。 隐函数,情形4, 设四元函数在包含点F(x,y,u,v)，G(x,y,u,v) (1)(x,y,u,v)的某邻域内都是类函数～它们满足: C0000 FG,(,)F(x,y,u,v),0，G(x,y,u,v),0～,0 00000000uv,(,)(x,y,u,v)0000 则由方程组 F(x,y,u,v),0, ,G(x,y,u,v),0, 8 多元函数微分学 u,u(x,y),可以确定两个具有连续偏导数的二元函数～它们满足,v,v(x,y), ～且有 u,u(x,y)，v,v(x,y)000000 FF,u,1,(F,G),1xv ,, GG,xJ,(x,v)Jxv FF,u,1,(F,G),1yv,, GG,yJ,(y,v)Jyv FF,v,1,(F,G),1ux ,, GG,xJ,(u,x)Jux FF,v,1,(F,G),1uy,, GG,yJ,(u,y)Juy FF,(F,G)uv其中J,,。 GG,(u,v)uv x，y，u，v,0,,v,u例6 设～求～。 ,2222xyuv，，，,2,x,x, 解 ～为其确定的隐函数。 u,u(x,y)v,v(x,y) ,u,v,1，，,0 ,,x,x方程组两边对求偏导～得～ x,,u,v,2x，2u，2v,0 ,x,x, 解上面方程组～得 9 多元函数微分学 ,111,1 ,2x2v2u,2x,ux,v,vu,x,,～。 ,,1111,xv,u,xv,u 2u2v2u2v 小结 隐函数的偏导数 课堂 22,xyxy,(,),(0,0),3,f(x，y)1、设～证明在fxy(,),222,(x，y), ,0，(x,y),(0,0), 处连续且偏导数存在～但不可微分( (0,0) duy2、设～而～都是可微函数～求 x,,(t).y,,(t)u,x dt 2x1,u,,,x3、设ue～则在点2,处的值为 ( ,sin,,,x,y,y,, y,,4、设z,xyf～可导～则 ( xz'，yz',f(u),,xyx,, 1,5、设～其中、具有二阶连续导数～则z,f(xy)，y,(x，y)f x 2,z等于 ( ,x,y 222xyz，x，y，z,26、由方程所确定的函数z,z(x,y)在点 10 多元函数微分学 dz,处的全微分 ( (1,0,,1) x2f(x,y,z),eyz7、设～其中是由确z,z(x,y)x，y，z，xyz,0定的隐函数～则 ( f'(0,1,,1),x 8、二元函数在点处两个偏导数、(x,y)f'(x,y)f(x,y)00x00f'(x,y)存在～是在点处连续的 ( (x,y)f(x,y)y0000 ,1,充分条件而非必要条件 ,2,必要条件而非充分条件 ,充分必要条件 ,4,既非充分条件～又非必要条件 ,3 9、考虑二元函数的四个性质: z,f(x,y) ?在点处连续, (x,y)f(x,y)00 ?在点处两个偏导数连续 (x,y)f(x,y)00 ?在点处可微, (x,y)f(x,y)00 ?在点(x,y)处两个偏导数存在( f(x,y)00 P若用表示可由性质推出性质～则以下正确的是, , P,QQ (A)?,?,?(B)?,?,? (C)?,?,?(D)?,?,? 11 多元函数微分学 xy,,(x,y),(0,0)22,，xy,10、二元函数f(x,y),在点 , ,xy0,(,),(0,0) ,, ,0～0,处满足下列性质中 ( ,1,连续、偏导数存在 ,2,连续、偏导数不存在 ,3,不连续、偏导数存在 ,4,不连续、偏导数不存在 2yx,f2211、已知f(x,y)xarctanyarctan～求( ,, ,x,yxy 2222xyx,f,fy,f,t,2，12、～求( f(x,y),edt22,0y,x,yx,x,y 2,uuu，e,xy13、已知～求( ,x,y 14、设为连续可微函数～～～求偏u,f(x,xy)v,g(x，xy)f、g ,u,v、导数( ,x,x 15、设z,f(2x,y)，g(x,xy)其中函数二阶可导～g(u,v)二f(t) 2,z阶偏导数都连续～求( ,x,y x,y,zz,y,x，xe,017、设z,f(x,y)是由方程所确定的二元函 dz数～求( 12 多元函数微分学 18、设有连续的偏导数～和分别为u,f(x,y,z)y,y(x)z,z(x) duxyze,y,0由和所确定～求( e,xz,0 dx y,,y19、试证用变量代换～可将方程,, x2222,u,u,uu,22x，2xy，y,0,0变换为～其中具有二阶连续u222,x,y,,,x,y 偏导数( vv,v,u,u,vx,ucosy,usin20、设～～求～～～( uu,x,y,y,x 22,z,x，y,21、求方程组所确定的函数及y,y(x),222,x，2y，2z,20, dydz的导数～( z,z(x) dxdx 13