动脉管壁切应力的确定

动脉管壁切应力的确定 ()中 国 科 学 A 辑 ( )SCIENCE IN CHINA Series A 第 31 卷 第 7 期2001 年 7 月 3 动脉管壁切应力的确定 3 3何烽徐刚陈泳柳兆荣 ( )复旦大学生物力学实验室 ,上海 200433 摘要 血管为了适应所处力学环境的变化会产生结构和功能的变化 ,血液流动作 用于血管壁上的切应力在这种血管重建中起着重要的作用 . 目前直接测量活体血管 壁切应力存在着许多技术上的困难 . 通过动脉中血液脉动流的特性 ,提出一种 利用测量管轴上的血流速度 ,计算血管壁切应力的方法 ,为定量确定血管壁切应力 , 进而讨论血管壁切应力对血管重建的影响提供必要的手段 . 关键词 切应力 血管重建 脉动流 高血压 为了将血液从心脏运送到全身各部位 ,动脉管必须具备适应所处力学环境并在力学环境 改变时作出适应性变化的能力 ,使得其结构尽可能与功能相适应. 血管的这种适应性反应实 质上是组成动脉管壁的细胞和细胞外基质感受作用力并对其作出反应的结果. 通常称之为在 1 一定力学环境中的血管重建. 2 ,5 研究明,在引起血管重建的诸因素中 ,黏性血液流动作用于血管壁的切应力具有重要的作用 . 在血管壁中 ,动脉内皮细胞与血液接触 ,直接感受到作用在管壁的切应力 ,并将所 感受的切应力信息传递到毗邻的细胞 ,进而释放和激活某些物质以影响细胞和细胞外基质 ,促 使血管壁结构发生变化 ,以使其最终与所处力学环境相适应 . 因此 ,研究流体切应力对血管重 1 ,2 ,4 ,6 建的影响已成为当前研究的热点. 为此 ,人们需要定量确定血管壁切应力的方法和手 段 . 但是 ,至今直接测量活体血管壁切应力仍存在许多技术上的困难 ,因为这不仅要求血管壁 邻近速度梯度的检测具有相当高的空间分辨率 ,而且还必须是无损伤和实时连续测量. 特别 是在血液脉动流情况下 ,要求检测管壁切应力在心动周期内随时间的变化情况尤为困难. 本文通过分析动脉中血液脉动流的特性 ,提出一种通过测量管轴上的血流速度计算血管 αα壁切应力的方法 ,给出血管壁切应力的分析表达式 ,并讨论当 Womersley 数 ?0 和 ??时切 应力的渐近表达式. 所得结果为定量确定血管壁切应力 ,进而讨论血管壁切应力对血管重建 ( 的影响提供必要的手段 . 作为例子 ,文章最后对 50 岁年龄组正常人和高血压患者 病程 ?15 ) a的颈动脉切应力进行计算和比较 ,发现高血压患者的颈动脉切应力的平均值明显比正常人 的相应值低 . 所得结果与颈动脉切应力低易引起颈动脉粥样斑块形成的病理现象和实验事 7实 相一致. 2000207203 收稿 ,2001202226 收修改稿 ( ) 3 国家自然科学基金重点资助项目 批准号 :19732003 33 E2mail : gungxu @yahoo . com 1 血液流速表达式 心脏泵出的血液在动脉中产生周期性的脉动流 ,这种血液脉动流动是以弹性动脉管壁作 为其边界的 ,血液的流动与血管壁的运动是耦合在一起并相互制约的 . 对于这样一类流2固耦 合问 ,下面以 x 和 r 表示血管的轴向和径向坐标 , u 和 v 表示血液流动的轴向和径向速度分 ξζηρρ量 ,和表示动脉管壁径向和轴向位移 , p 为压力 ,为血液黏度 ,和分别表示血液和血 w () σ(σ) 管壁密度 二者近似相等,为血管的 Poisson 比 = 0. 5, t 为时间 , H 是考虑血管壁结缔组 2 ρωω 织后的等效厚度 ,以及 K = H, 其中 表示血管微元在结缔组织轴向弹性约束下的固有 0 0 w 8频率. 这样 ,根据动脉中血液脉动流的特征 ,利用线性化 Navier2Stokes 方程 2 5uη 5 u 5 u 1 5 p 1 + = - + , 2r ρ 5 r ρ 5 t 5 x 5 r 2 5v 5 v v η 5 v 1 5 p 1 ()1 + - = - + , 22 r 5 r ρ ρ 5 t 5 r 5 r r ( )5 u 5 rv 1 + = 0 r 5 x 5 r 和小变形薄壁管运动方程 2 ζξ ξ 55 p Eh σ ? +ρ= - , w2 22R 5 x 5 t H ( σ) R1 - H 22 ξζ σ5 5 ζη 5 5 u K Eh + ?ρζ() 2 , = - - - w222R 5 x 5 r H H 5 x (σ) 5 t 1 - H r = R ( ) 并考虑到血管壁 r = R上的耦合条件 ζξ5 5 ()3 = u , = v r = R r = R 5 t t 5 ( ) 和血管轴 r = 0上流动的对称性 5 u 0 , = 0 , ()= v 4 r = 0 r = 0 5 r 可求得动脉中血液流动速度的谐波解为 3 αJ j 2y x 0 A t - ωj 1 + N 3 ()e5 u = , 3 c 3ρc αJ j 2 0 3 2α 2 J j y x 1 ωAR j t - ω j 3 y + N ( )e6 v = , c 3 2 ρ222c ααJ j 0 3 3 jρω αω 式中 = R为 Womersley 数 ,j =- 1 , J , J 分别表示零阶和一阶 Bessel ,为谐波 0 1 η r 3此外 , A 为复数 ,其模和幅角分别表示压力 p 在 x = 0 处的振幅和初相位 , c 圆频率 , y = . R 8为复波速 ,满足 653 第 7 期柳兆荣等 : 动脉管壁切应力的确定 2 c 0 2 2σ) ( )(= G ? G- 1 - J , 7 3 2 c 其中 1 3 σ () - 2F+ 2 + 1 - FK 10 102 ( )8 G = , ()4 1 - F 10 3 2 K + F 10 )(9 J = . )(4 1 - F 10 3 2(α) 2 J j Ω 1 K Eh 3 ()Ω ρK F10 = H - ,= ,c= , = , 10 w 0 2 33 ρρ2R ωR 22α( α)J j j 0 R 为定常状态所对应的血管半径 , E 和 h 分别表示血管 Young 弹性模量和厚度.同时 3 2 2 σ σ c 2- 1 1 - ()? .11 N = + 2 σ σF- 2F- 2 c10 10 0 考虑到实际动脉管沿轴向几何特性和弹性特性的变化 ,脉搏波在传播过程中将产生反射 , 当同时计及正向传播波和负向反射波影响时 ,血管某轴向位臵的压力和压力梯度可分别表为 x x t - t + ωωjj 33() 12 , p = Ae + Ae12c c 5 p ωjt ) (- = De,13 5 x 相应的血流速度将表示为 3 2 α J j 2y 0 R5 p 1 + N ()u = - , 14 3 2 5 x αηj2αJ j 0 3 2α 2 J j y 1 ωjR y + N ()15 v = p . 33 3 2 ρ2c j 22ααJ j 0 注意到在动 脉 中 的 血 液 流 动 , 径 向 速 度 分 量v 远 小 于 轴 向 速 度 分 量 u , 以 及 在 管 壁 上 5 v 5 u - 3() ν 在通常生理条件下二者比值小于 10 ,使得在考虑血管壁上切应力 y = 1 y = 1 5 x R5 y 5 u 5 v η()τ= 16 + wR5 y 5 x y = 1 5 v 5 u () 项 ,只需考虑时 ,往往可略去项 . 因此 ,下面只对 14式所表示的轴向速度分 y = 1 y = 1 5 x R5 y 量 u 进行讨论 . () (α) (α) ε为了便于分析 ,首先将 14式方括号中的复数用相应的模 M 表示为和幅角 3 2αJ j y 0 jε(α) )((α) 1 + N 17 = M e, 3 2αJ j 0 () 并考虑到压力梯度的谐波表达式 13式 ,可得第 n 次谐波所对应的轴向流速为 2DR n j( ωε(α ) ) nt +n (α) ()M e 18 u= n, n 2ηαj n 式中 ωρn α()= R 19 n η 表示第 n 次谐波所对应的 Womersley 数 . 当进一步取压力梯度的实部 ,即 5 p ( ωυ) ()- = Dco s nt - , 20 nn5 x 所对应的流速可表示为 2DR n α) ( ωυε(α) ) ()(u=M sin nt - + . 21 nn nn 2αη n 5 p 为了描述整个心动周期中的脉搏波波形 ,现将血管中的实际压力梯度 - 表示为具有不 5 x 同圆频率谐波分量的线性叠加 ,即 ? 5 p ( ωυ) ()22 = D+ Dco s nt - ,- 0 nn? 5 x n = 1 () 由关系式 21式 ,可得相应的瞬时流速表达式为 22? DR DR 0 n2()(α) ( ωυε(α) ) ()1 - y M sin nt - + .23 u = + nn n? 2ηn = 1 4 αη n 2 血管壁切应力表达式 () 利用流速表达式 23式 ,不难得到相应的管壁切应力表达式 ,但这并不宜直接用来确定活 υ体血管的管壁切应力 ,因为要在血管内某一点确定包含在压力梯度中的 D, D和是不容 0 n n 易的 ,至今还很难直接无创伤检测活体血管的压力梯度. 然而 ,在实际应用中 ,人们可方便地 ( ) 利用超声 Doppler 技术测得血管轴 y = 0上的血流速度 u , 因此 ,下面介绍一种通过检测 y = 0 ( ) 管轴 y = 0上流速 u 确定管壁切应力的方法 . y = 0 ( ) 首先 ,假设在某血管处已测得血管轴 y = 0上的流速波形 ,并将其 Fourier 分解为许多具 有不同频率的谐波分量之和 ,即? ( ω)()24 u = U+ Uco s nt -