菱形的性质和判定

菱形的性质和判定 1.3 菱形的性质和判定 1.3 菱形的性质和判定 【学习目标】 1、会识别菱形; 2、掌握菱形的概念、性质和判定，会用菱形的星盒子和判定解决简单问题; 3、会用菱形的知识解决有关问题 重点:菱形的性质和判定定理 难点:菱形性质的灵活运用 【知识梳理】 1(菱形的定义:有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形( 2(菱形的性质 菱形是特殊的平行四边形～它具有平行四边形的所有性质～•还具有自己独特的性质: ? 边的性质:对边平行且四边相等( ? 角的性质:邻角互补～对角相等( ? 对角线性质:对角线互相垂直平分且每条对角线平分一组对角( ? 对称性:菱形是中心对称图形～也是轴对称图形( 菱形的面积等于底乘以高～等于对角线乘积的一半( 点评:其实只要四边形的对角线互相垂直～其面积就等于对角线乘积的一半( 3(菱形的判定 判定?:一组邻边相等的平行四边形是菱形( 判定?:对角线互相垂直的平行四边形是菱形( 判定?:四边相等的四边形是菱形( 4(三角形的中位线 中位线:连结三角形两边的中点所得的线段叫做三角形的中位线( 也可以过三角形一边的中点作平行于三角形另外一边交于第三边所得的线段也是中位线( 以上是中位线的两种作法～第一种可以直接用中位线的性质～第二种需要说明理由为什么是中位线～再用中位线的性质( 定理:三角形的中位线平行第三边且长度等于第三边的一半( 【菱形的性质】 【例1】 如图，一活动菱形衣架中，菱形的边长均为若墙上钉子间的距离，则，,1 16cmABBC,,16cm度( EFABADEF,2【例2】 如图，在菱形中，，、分别是、的中点，若，则菱形ABCD，,:A60ABCD的边长是______________( A E F B D 第1页 C 1.3 菱形的性质和判定 【例3】如图，是菱形的边的中点，于，交的延长线于，交于， EADHFABPABCDEFAC,CB 证明:与互相平分( ABEF 【例4】?如图1所示，菱形中，对角线、相交于点，为边中点，菱形的BDHADABCDACOABCD周长为，则的长等于 ( 24OH ?、菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ( 52cm10cm ?、如图2，在菱形中，，，则菱形的边长为( ) ABCDAC,6BD,8 A( B( C( D( 51068 ?、如图3，在菱形中，，、分别是边和的中点，于点，则EFABPABCD，,:A110BCEPCD,，,FPC( ) A( 35: B( 45: C( 50: D( 55: 【例5】如图4，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个锐角为的菱形，剪口60:与折痕所成的角的度数应为( ) , A(或 B(或 C(或 D(或 15:30:30:45:45:60:30:60: 【例6】?、 菱形中，E、F分别是、的中点，且，，那么，EAF等 ABCDBCCDAEBC,AFCD,于 ( 23?、已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为 ( 60: ?、如图1，将一个长为，宽为的矩形纸片对折两次后，沿所得矩形两邻边中点的连线(虚线)10cm8cm 剪下，再打开，得到的菱形的面积为( ) 222210cm20cm40cm80cm A( B( C( D( ? 、如图2，菱形花坛的周长为，，•沿着菱形的对角线修建了两条小路和BD，ABCD20m，,:ABC60AC求两条小路的长和花坛的面积( A EF【例7】已知，菱形中，、分别是、上的点，若ABCDBCCD AEAFEFAB,,,，求的度数( ，C B D EF C 第2页 1.3 菱形的性质和判定 AD 【例8】已知，菱形中，、分别是、上的点，且EFABCDBCCD ，(求:的度数( ，,，,:BEAF60，,:BAE18，CEFF BEC 【菱形的判定】 AD【例9】如图，如果要使平行四边形成为一个菱形，需要添加一个条ABCD 件，那么你添加的条件是 ( BC 【例10】如图，在中，，是的中点，连结，在的延长线上取一点，连结，DADADEBE,ABCABAC,BC (当AE与AD满足什么数量关系时，四边形是菱形,并说明理由( CEABEC B DAE C EA D【例11】已知:如图，平行四边形的对角线的垂直平分线ABCDAC O与边AD、分别相交于E 、F.求证:四边形是菱形. BCAFCE BC F C'DA【例12】如图，在梯形纸片中，，，将纸片沿ABCDADBC//ADCD, DADDE过点 的直线折叠，使点落在上的点处，折痕交于点CCBC ,E，连结.。 CE ,求证:四边形是菱形( CDCE C BE 第3页 1.3 菱形的性质和判定 【例13】已知:如图，在平行四边形中，是边上的高，将沿方向平移，使点与AE,ABEEABCDBCBC点重合，得(若，当与满足什么数量关系时，四边形是菱形,证明你的ABC,GFC，,:B60BCABFG结论( AGD BEFC 【例14】如图，在中，，是的中点(分别作于，于，MMDAB,DE,ABCABAC,BCMEAC,DFAC,于，于(相交于点(求证:四边形是菱形( FPDMEPEGAB,GDFEG、 A GFP DE MCB 【例15】如图，中，，AD是的平分线，交于D，是AB边上的高，交,ABC，,:ACB90，BACBCCH 于，于，求证:四边形是菱形( ADFDEAB,ECDEF C D F ABHE ，,:,BACADBC90，DF【例16】已知，如图中，于，，,，12，于，BE、AD交?ABCEFBC,于M(求证:四边形AEFM是菱形( A E M21BDFC F ,ABE【例17】如图，、、均为直线同侧的等边三角形(已,ACD,BCFBCE知( ABAC,DADFE?、顺次连结、、、四点所构成的图形有哪几类,直接写出构 成图形的类型和相应的条件( AADFE?、当为 度时，四边形为正方形( ，BAC BC 第4页 1.3 菱形的性质和判定 【例18】如图，是矩形内的任意一点，将沿方向平移，使与重合，点移动M,MABADABMABCDDC到点的位置 M' ?、画出平移后的三角形; MDMCMM，，'ABAD，?、连结，试说明四边形的对角线互相垂直，且长度分别等于的长; MDMC' ?、当在矩形内的什么位置时，在上述变换下，四边形是菱形,为什么, MMDMC' DA M'MC BC D 【例19】已知等腰中，，平分交于点，ADD?ABCABAC,，BACBCPEF在线段上任取一点(点除外)，过点作，分别交、ADPAPEFAB?AC 于、点，作，交于点，连结. EFABMMEBCPMAC?BA?、求证四边形为菱形 AEPMM?、当点在何处时，菱形的面积为四边形面积的一半, PAEPMEFBM 【课后练习】 1、菱形周长为，一条对角线长为，则其面积为 ( 52cm10cm ABaE,4，BEaBADP,，,:2120，，2、如图，在菱形中，在上，点在上，则的最BDABCDBCPEPC，小值为 DA P BCE 233、已知菱形的一个内角为，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为________( 60: 4、已知，菱形中，E、F分别是、上的点，且，(求:ABCDBCCD，,，,:BEAF60，,:BAE18，CEF的度数( AD AF EBECF NM BE，BAMBE,5、如图，已知、分别为中、的平分线，CF,ABC，CCBM于，于N，求证:( ANCF,MNBC? 第5页 1.3 菱形的性质和判定 【挑战极限】 双基训练 **1.在菱形ABCD中，AE?BC于点E，AF?CD于点F，且E、F分别为BC、CD的中点，则?EAF= **2.若菱形ABCD的周长为12cm，相邻两角的比为5:1，那么菱形对边间的距离为 0**3.已知菱形有一个锐角为60,一条对角线长为6cm,则它的面积为 . 0**4.已知菱形的一边与两条对角线的夹角之差是18,则菱形的各个内角分别是 . **5.已知菱形的周长为2p,对角线之和为q,则菱形的面积等于 . 纵向应用 22**1.已知菱形ABCD的边长是5,两条对角线交于点O,且AO、BO的长是方程x+(2m-1)x+m+3=0的根，则m的 值为( )。 (A)-3 (B)5 (C)5或-5 (D)-5或3 **2.如图15-61，在菱形ABCD中，对角线BD、AC交于O点，AE?BC，且AE=0B，则?CAE= 。 **3.如图15-62，等边ΔAEF与菱形ABCD有一公共顶点A，且AB=AE，ΔAEF的顶点E、F分别在菱形的BC、 CD边上，求菱形 ABCD相邻的 两个内角的度 数。 **4.如图15-63，在 ABCD中， AB=2BC，点E在DA的延长线上，AE=AD，点F在AD的延长线上，DF=AD，CE交AB于点G，BF交CD于点 0M，GN BF交于点H，求证:?E+?F=90。 第6页 1.3 菱形的性质和判定 0***5. 如图15-64，在ΔABC中，?C=90，BD平分?ABC交AC于点D，CH?AB交BD于点F，DE?AB于点E， 求证:四边形 CDEF是菱形。 ***6. 如图15-65，在 上边形ABCD中， ?ABC=? 0ADC=90，M是 AC的中点，MN? BD，BN?MD，BN与 MN交于点N，MN交BD于点N，MN交BD于点O，求证:四边形BNDM是菱形。 ***7. 如图15-66，D是等腰Rt?ABC的直角边上的一点，AD的垂直平分线EF分别交AC、AD、AB于E、O、F 三点，且BC=2。(1)当CD=时，求AE的长;(2)当CD=2(-1)时，证明:四边形AEDF是菱形。 22 ***8. 如图15-67，在ABC中，AD?BC于点D，E、F分别是AB、AC边的中点，连结DE、EF、FD，当ΔABC满足条件 时，四边形AEDF是菱形(填写一个你认为恰当的条件即可)。 ***9. 如图15-68，在ABCD中，两对角线AC、BD交于点O，EF过点O且垂直于AC并交AB于点E，交CD于 点F，求证:四边形AECF是菱形。 横向拓展 0***1. 如图15-69，在菱形ABCD的边上依次截取E、F、G、H，使AE=AH=CF=CG，若菱形边长是1，?A=120， 求证:(1)四边形EFGH是矩形;(2)设AE=x，四边形EFGH的面积为y，求出y与x之间的函数关系 式;(3)当x为何值时，四边形EFGH面积最大,此时矩形两邻边长度有何关系,(4)当x为何值时， 四边形EFGH是正方形, ***2. 如图15-70，已知在矩形ABCD中，AB=6cm,AD=4cm,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点。(1) 证明:顺次连结E、F、G、H所成的四边形是菱形;(2)求菱形EFGH的周长;(3)求菱形EFGH的面积。 ****3.(1)如图15-71，以ABC三边向外分别作等边ΔDAC、ΔABE、ΔBCF，判断四边形ADFE的形状; (2)在(1)中，是否存在平行四边形ADFE,若存在，写出ΔABC应满足的条件;若不存在，请说明 理由; 第7页 1.3 菱形的性质和判定 (3)ΔABC满足什么条件时，四边形ADFE是矩形, (4)ΔABC满足什么条件时，四边形ADFE是菱形, (5)ΔABC满足什么条件时，四边形ADFE是正方形, 参考 双基训练 100000221.60 2.1.5cm 3.18或6 4.108,72,108,72 5.(q-p) 334 纵向应用 220001.A. 提示:先确定m的范围，再用AO+BO=25解之 2.30 3.80,100 4.提示:连结MG，证四边形MGBC 13为菱形 5.略 6.提示:由MD=MB=AC，证MDBN 7.(1) (2)略 8.AB=AC. 提示:根据菱形的判22 定定理解之 9.提示:证ΔCOF?ΔAOE 横向拓展 1.(1)略 (2)y=-x2+x(0