【问题提出】A1—1__自然数在现代数学中的定义与在小学

【问题提出】A1—1__自然数在现代数学中的定义与在小学 【问题提出】A1—1 自然数在现代数学中的定义与在小学数学课本中的说明有什么不同, 【释问参考】 最先给出自然数纯逻辑定义的是德国数学家、逻辑学家弗雷格和英国数学家、逻辑学家和哲学家罗素，他们将每个自然数定义为“可以建立一一对应的所有的有限集组成的集”这一定义被成为“弗雷格—罗素的自然数定义”。为了建立自然数公理化体系，意大利数学家和逻辑学家G.皮亚诺在1891年给出了关于自然数的五条公理:1(0是一个自然数;2(0不是任何其他自然数和后续;3(每一个自然数a都有一个后续;4(如果自然数a与b的后续相等，则a、b也相等。5(如果一个由自然数组成的集合s包含0，并且当s包含某一个自然数a时，它一定也包含a的后续，那么就包含全体自然数。 为了使自然数这个定义通俗易懂，《小学数学基础理论》教科书将每一个自然数定义为“可以建立一一对应的一类有限集的共同性质”，如在教学5的认识时，通过引导学生观察画面上的五位解放军、五匹马、五支枪等等不同物体的集合，然后引导学生寻求这些物体集合的共同点:“它们都是五个”，“五”就是这些物体集合的共同性质，从而初步形成自然数“五”的概念。 小学数学课本中对自然数的说明是在这样的:用来表示物体个数的数1，2，3，„就叫自然数。“0”表示没有东西可数，“0”也是一个自然数，“1”是自然数的单位。任何一个自然数都是有若干个“1”组成的。 【思考练习】 小学数学课本中关于对自然数的教学的理论依据是( B )。 A(“弗雷格—罗素的自然数定义”。 B(《小学数学基础理论》教科书。 C(G.皮亚诺的关于自然数的五条公理。 【问题提出】A1—2 自然数的“基数意义”和“序数意义”有什么不同, 【释问参考】 当自然数0，1，2，„用来表示有限集合中元素的个数时，这样的数叫做“基数”。如“这幢住宅楼是5层楼”，这里的“5”就是基数。当自然数被用来表示事物的排列次序时，这样的数就叫做“序数”。如“我住在这幢住宅楼的5楼”，这里的“5”就是序数，表示“第5”的意思。 在一个句子里出现的自然数究竟是基数、还是序数，要根据语言环境来判定(如上文)。 【思考练习】 体育课上，同学们排成一列横队“报数”，排头从“1”开始，报到排尾是“35”，这个“35”( C )。 A(表示这一队学生共有35人。 B(表示排尾的学生是第35个。 C(既表示这一队学生共有35人，也表示排尾的学生是第35个。 【问题提出】A1—3 自然数、正整数和整数之间的区别和联系是什么, 【释问参考】 正整数:一个一个地数东西而产生的、用来表示物体个数的数1，2，3，„也叫正整数。当我们数每一棵苹果树上有多少个苹果时，可能遇到一个苹果也没有的情形。要数的东西一个也没有，就用“0”表示。0与正整数统称为自然数。 负整数:为了表示现实世界中具有相反意义的量，人们引入了正数与负数。如“盈利5元”用“，5元”表示，“亏损5元”就用“5元”表示。 这种在一个数前添加的用来表示它的“正”、“负”的符号叫做性质符号。添加了性质符号“，”或“,”的数分别称为正数和负数。“0”既不是正数，也不是负数。正数中的正号可以省略不写。添加了负号“,”的正整数叫做负整数。 整数:正整数、零、负整数统称整数。 正整数 自然数 整数 零 负整数 【思考练习】 自然数、正整数和整数这三个数概念中，( C )的范围最大。 A、自然数 B、正整数 C、整数 【问题提出】A1—4 为什么以前规定“0不是自然数”，现在又规定“0是自然数”, 【释问参考】 1891年，意大利数学家G.皮亚诺在建立自然数的公理化体系时，给出的一个公理就是“0是一个自然数”。而在我国流传甚广的《范氏大代数》的第一编中，则明确提出:所谓自然数，就是用符号1,2,3，„分别表示并称为一，二，三„„的数。可见，在各国的学术界，“0是自然数”与“0不是自然数”的观点并存。现在看来，“0不是自然数”在应用中有其方便之处，而“0是自然数”就数的产生历史而言更为“自然”。作为数学列强的俄罗斯数学界一直坚持“0不是自然数”。 1949年，中华人民共和国成立后，我国许多学科的教学大纲和教科书都是参照苏联的版本翻译的。M.K.格列本卡所著的高等学校教学用书算术(第6页)中明确指出:数(shǔ)树上的苹果时，可能某一棵树一只苹果也没有，这时我们就说这棵树上的苹果数目为0。0就是没有东西可数。0作为一个数，不属于自然数。于是，“0不是自然数”的判断在我国中小学数学课程中广为传播。 20世纪80年代以来，我国实行对外开放，为了便于国际交流，在科技与教育上和国际接轨，1993年颁布的《中华人民共和国归家》(GB3100-3102-93)“量和单位”(11-29)第311页规定:自然数包括0。随后，中小学数学在进行修订时，根据上述国家标准进行了修改。数物体时如果一个物体也没有，就用0表示。0也是自然数。 1994年11月国家技术监督局发布的《中华人民共和国国家标准物理科学和技术中使用的数学符号》中，将自然数集记为N=,0,1,2,3，„,，而将原自然数集称为非零自然数集N+(或N*)=,1,2,3，„,。 我国国家标准局的专家们是从世界各国的两种不同的规定中取其一，希望更有利于国家交流。 规定“0是自然数”后，自然数按约数个数的分类也发生了变化，分为这样四部分: (1)质数(有且只有2个约数) (2)合数(有3个或3个以上的约数) (3)1(只有1个约数) (4)0(0以外的任何数都是它的约数) 【思考练习】 下面说法中，( A )是最恰当的。 A、以前规定“0不是自然数”，现在规定“0是自然数”” B、0是自然数 C、0不是自然数 【问题提出】A1—5 “自然数集”、“自然数列”、“扩大的自然数列”和“非零自然数集”有哪些区别和联系,自然数列有哪些基本性质, 【释问参考】 自然数集:所有的自然数组成的集合叫做“自然数集”。“自然数”和“自然数集”是两个不同的概念。我们可以说“3是自然数”，但不能说“3是自然数集”。因为“自然数集”是一个集合概念，即从整体上反映一个集合体的概念。“自然数”则是非集合概念。 自然数列:将所有的自然数按照从小到大的顺序排成一列 0，1，2，3„„ 这样的一列数叫做自然数列。“自然数列”的项和“自然数集”中的元素是一样的，都必须包括所有的自然数，它们的区别就在于自然数集不讲究所含元素的顺序，而自然数列中所有的自然数都必须按照从小到大的顺序排列。只要有一处违反了这样的排列顺序，如0，2，1，3„，它就不是自然数列。当然，少了一个自然数的数集或数列也不再是自然数集或自然数列。 扩大的自然数列:这是一个应该消亡的数学名词。当我们认为“0不是自然数”时，把1，2，3„叫做“自然数列”;而将0，1，2，3„称为“扩大的自然数列”。现在，国家标准重新规定“0是自然数”，因此，后者顺理成章地应该称之为“自然数列”。“扩大的自然数列”作为一个数学名词已经不再需要。 非零自然数列:认为0是自然数后，0除外的自然数组成的数列叫做非零自然数列。 自然数列有以下的性质: (1)有始。自然数列是从0开始的。0不是任何其他自然数的后继; (2)有序。每一个自然数都有且只有一个后继;除了0，每个自然数都有且只有一个先行数(即紧挨在其前面的一个数); (3)无限。自然数列是一个无限数列。没有最后的或者说最大的自然数。 【思考练习】 下面的这一列数( B )自然数列。 0，1，2，4，5，„ A、是 B、不是 【问题提出】A1—6 “计数”、“记数”、“数数”、“写数”各指什么,什么是计数的基本原理,为什么我们的计数制和记数制都是十进制的, 【释问参考】 “计数”“数数”: “计数”就是“数数”。指的是把一些事物与非零自然数列里的数1，2，3„，建立一一对应的过程。 计数的基本原理是:只要不遗漏、不重复，计数的结果与计数的顺序无关。 十进制计数法:计数时，可以一个一个地数，也可以几个几个地数。如两个两个地数，五个五个地数，十个十个地数，等等。用一(个)、十、百、千、万„„作为计数单位的计数方法，叫做十进制计数法。这时，每十个较低的计数单位等于一个较高的计数单位。 “记数”“写数”:“记数”就是“写数”。指的是如何用数字符号将一个数N(或者计数的结果)记录下来。 十进制记数法:当我们用十进制计数法弄清了一个数的组成后，就可以按照十进制记数法用数字符号0,1,2,„，9把这个数记录下来。 由于自然数有无限多个，要对每一个自然数都给一个独立的名称和记号是不可能的。现在国际上通用的记数方法是用0，1，2„，9分别表示自然数列里的前十个数。其他自然数则用这些数字按“位值原则”表示。即每个数字占有一个位置，叫做“数位”。每个数位表示一种计数单位。同一个数字(0除外)在所记的数里位置不同，所表示的数值也不同。 在所记的数里，从右往左，第一位是个位，第二位是十位，第三位是百位„„个位的计数单位是一，十位的计数单位是十，百位的计数单位是百„„因为每两个相邻数位的计数单位的进率都是十，所以这种记数的方法叫做十进制计数法。 【思考练习】 自然数5023中的数字“2”根据“位值原则”表示2个( B )。 A、一 B、十 C、百 D、千 【问题提出】A1—7 “数”和“数字”的区别和联系是什么, 【释问参考】 用来记数的符号叫做“数字”。数和数字是两个不同的概念。数或为单数，或为双数;或为质数，或为合数。数字或为罗马数字，或为阿拉伯数字;或为手写的数字，或为印刷的数字。事实上，数字并不是数，而是表示数的记号。数是数字所表达的内容而不是数字本身。 我国是世界上的文明古国之一。在我国，用文字记数已有悠久的历史。早在三千多年前的商代的甲骨文里，就已经记有数字。其中记载的最大的数是“三万”，最小的数是“一”。一、十、百、千、万各有专名。特别是当时已经采用了十进制的记数方法，这和现在世界通用的“十进制计数法”是一致的。 【思考练习】 用来记数的符号叫做( C )。 A、数 B、数位 C、数字 【问题提出】A1—8 说“43”是数而不是数字对吗, 【释问参考】 表示数的符号叫做数字。因为“43”是一个数学符号，在十进制记数法中，用来表示由四个十与三个一组成的自然数，所以它是数字，而且是由数字“4”与“3”排成一列组成的“复合数字”。同时，“43”也表示一个数，由四个十与三个一组成的数。 另一方面，在一定的语言环境中出现的数字“43”，也可以用来表示一个k进制的自然数，即四个k与三个一组成的数。在这里，因为出现了数字“4”，所以k?5。 总之，“43”既是一个数，也是一个数字。同样，对于任一个用符号表示的自然数来说，它既是一个数，也是一个数字。当它在一个语句中出现时，究竟何所指，要看特定的语言环境。 【思考练习】 从上文的分析看来，“43”是( C )。 A、一个数 B、一个数字 C、既是一个数，也是一个数字 【问题提出】A1—9 “数的组成”、“数的名称”和“数的读写”有什么联系, 【释问参考】 数的组成:在认识某个范围内的自然数时，首先要认识这些数的组成。如认识一个千以内的数，要弄清它是由几个百、几个十与几个一组成的。为此，可以先用计数单位“百”，一百一百地数;剩下的不足一百时，再用计数单位“十”，十个十个地数;最后，如果剩下的不足十个，再一个一个地数。即用十进制计数法弄清数的组成。 每一个自然数的名称都是根据它的十进制组成规定的。为此，制定了根据自然数的十进制组成来为它命名的规则。一个数由几个百、几个十和几个亿组成，就称之为“几百几十几”(中间有0时如何命名另有规定)。同时，也制定了按十进制位值原则用数字符号0，1,2，„，9来表示一个自然数的规则——“写数规则”，这就是“十进制记数法”。 所谓“读数”，就是根据一个数的符号，说出它的名称;所谓“写数”，就是根据一个数的名称写出表示这个数的数字符号。“自然数的读写”就是一个数的自然语言和符号语言两种表述之间的相互改写。 总之，数的十进制组成是用十进制计数法计数的结果，是给这个数命名的依据，是用数字符号表示这个数的依据，因而也是数的读写的基础。可见，数的组成是认数教学的核心问题。 【思考练习】 我们的日常生活中所用的自然数的名称通常是根据它的( A )进制组成规定的。 A、十 B、八 C、二 【问题提出】A1—10 “十进制”和“二进制”的相同点和不同点有哪些, 【释问参考】 如果在所用的一系列计数单位中，每十个某单位都组成一个和它相邻的较高的单位，即所谓“满十进一”，那么这种计数制就是“十进制”。如果是“满二进一”，就是“二进制”。十进制和二进制都是“进位制”。十和二分别叫做这两种进位制的基数。进位制的基数可以是大于1的任何自然数。 在十进制记数法中，我们用十种不同的数字0，1，2，„，9按照位值记数法来表示不同的自然数。在二进制记数法中，只用两个同的数字0，1就能表示任何自然数。十进制数与二进制数的对应关系如下表: 十进制数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 „„ 二进制数 0 1 10 11 100 101 110 111 1000 1001 „„ 可见，作为记数法，十进制与二进制运用的不同数字的个数不同;表示同一个自然数(0，1除外)时，所需数位的个数不同。 【思考练习】 把十进制数8改写成二进制数是( C )。 A、111 B、1001 C、1000 【问题提出】A1—11“准确数”和“近似数”、“绝对误差”和“相对误差”以及“有效数字”和“可靠数字”有什么区别,什么是科学技术法, 【释问参考】在计数和计算过程中，有时能得到与实际完全相符的数，这样的数叫准确数，如某校的数学教师有15人，6×1.2,7.2等等。但在生产生活和计算中得到的某些数，常常只是接近于准确数，这种数叫近似数。如“某市约有人口75万”，75万就是近似数，因为在统计一个城市的人口时，由于居民的迁入和迁出，出生和死亡，人口数随时都在变化，很难得出准确的人口数。可见，准确数与近似数的主要区别，就在于是否与实际情况完全相符。其中，小于准确数的近似值，叫不足近似值;大于准确数的近似值叫做过剩近似值。 准确数A与它的近似值a之差A,a，叫做这个近似数的误差;误差的绝对值?A,a?，叫做这个近似数的绝对误差。近似数的绝对误差除以准确数所得的商，叫做这个近似数的相对误差(常用百分率表示)。实际计算时，由于准确数往往不得而知，所以只能用近似数代替准确数来计算误差。 一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的半个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字为止，所有的数字都叫做这个近似数的有效数字。一个近似数，如果绝对误差不超过它末位的一个单位，则从左端第一个非零数字起到末位数字止，所有数字都叫做这个近似数的可靠数字。因此，用“四舍五入”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有数字都是有效数字，也都是可靠数字。用“进一法”或“去尾法”取得的近似数，从左端第一个不是零的数字起到末位数字止，所有的数字都是可靠数字;在这些可靠数字中，除末位外，都是有效数字。例如，取?,3.14，因为??,3.14?,0.01?2，所以圆周率的近似数3.14有三个有效数字;如果取?,3.1416，则??,3.1416?,0.0001?2，所以近似数有5个有效数字。 任何一个近似数都可以写成a,a′×10k的形式，其中a′是由近似数a的有效数字组成的数，且满足1?a′?10,k是整数，这种记数 法叫做科学技术法。 【思考练习】 1(小于准确数的近似数叫做( B )。 A、过剩近似数 B、不足近似数 2(把5698“四舍五入”到十位是5700，其中有效数字有( B )个。 A、2 B、3 C、4 【问题提出】A1—12截取近似数时，“去尾法”、“进一法”与“四舍五入法”的主要区别是什么,为什么常用“四舍五入法”, 【释问参考】 去尾法:截取近似数时，不论去掉的尾数的最高位是否小于5，留下的数都不变，这样截取近似数的方法，叫做“去尾法”。 进一法:截取近似数时，不论去掉的尾数的最高位是否小于5，留下的数的末位都加1，这样截取近似数的方法，叫做“进一法”。 四舍五入法:在截取近似数时，通常这样规定:(1)如果去掉的尾数中，最高位是5或比5大，那么就在留下的数的末位加1;(2)如果去掉的尾数中，最高位数小于5(即是4或比4小)，那么留下的数不变。像这样的截取近似数的方法，叫做“四舍五入法”。 三者区别:用“四舍五入法”截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的半个单位;而用“去尾法”或“进一法”截取近似数时，误差不超过保留部分的末位的一个单位。 【思考练习】 用“四舍五入法”截取的近似数是3.14，那么准确数的范围应该是( B )。 A、3.130„„,3.139„„ B、3.135„„,3.144„„ C、3.140„„,3.149„„ 【问题提出】A1—13在截取一个数的近似数时，为什么不能连续两次运用“四舍五入法”, 【释问参考】例如，要把724600“四舍五入”到万位，下面两种做法的得数为什么不同, 方法一:724600?720000 方法二:724600?725000?730000 方法一符合“四舍五入法”的操作规范，所得近似数的误差不会超过保留部分的末位的半个单位(即0.5万);方法二连续两次运用了“四舍五入法”，不符合操作规范，所得近似数的误差已超过保留部分的末位的半个单位。事实上，730000并不是724600“四舍五入”到万位的近似数，而是725000“四舍五入”到万位的近似数。 因此，在截取一个数的近似数时，不能连续两次运用“四舍五入法”。 【思考练习】 把724600“四舍五入”到万位，下面两种做法正确的是( A )。 方法一:724600?720000 方法二:724600?725000?730000 A、方法一 B、方法二 C、两种方法都对 【问题提出】A1—14小数概念如何定义和分类, 【释问参考】把单位“1”平均分成10份，100份，1000份，这样的1份或几份，可以用分母是10，100，1000，„„的分数来表示，我们把这种分母是10的正整数幂的分数叫做十进分数。因为这些分数每相邻两个分数单位之间的进率都是10，所以可以仿照整数的写法，写在整数个位的右边，并用小圆点“.”隔开，用这种形式把分母是10、100、1000，„„的十进分数，改写成的不带分母的数，叫做小数。 分类一:根据一个小数的整数部分是不是0，可以把小数分为纯小数和带小数; 分类二:根据小数部分的位数是不是有限，分为有限小数和无限小数，其中，无限小数又可分为无限循环小数和无限不循环小数。 【思考练习】 小数可以分成( C ) A、纯小数和带小数 B、无限小数和有限小数 C、都可以 【问题提出】A1—15整数、小数的计数单位有哪些,其中有没有最小和最大的,为什么“整数的数位顺序表”与“小数的小数部分的数位顺序表”可以统一起来, 【释问参考】在十进制中，整数的数位有个位、十位、百位、千位、万位„„它们的计数单位分别是一、十、百、千、万„„10个一是十，10个十是百，10个百是千，10个千是万„„最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。 在十进制小数中，小数点右边的数位依次是十分位、百分位、千分位„„它们的计数单位分别是十分之一、百分之一、千分之一„„其中，最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。 因为10个十分之一是一，所以小数点右边的十分位的计数单位与小数点左边的计数单位之间也是“满十进一”的关系。因此，整数的数位顺序表和小数的小数部分的数位顺序表可以统一起来。 【思考练习】 下列说法错误的是( A )。 A、整数部分、小数部分都有最大的计数单位和最小的计数单位; B、整数最小的计数单位是一，没有最大的计数单位; C、小数部分最大的计数单位是十分之一，没有最小的计数单位。 【问题提出】A1—16“一位数”、“两位数”、“三位数”„„与“一位小数”、“两位小数”、“三位小数”„„各是怎样定义的,为什么0不是一位数, 【释问参考】在非零自然数集N，中，用一个十进制数字表示的叫一位数，如1，2，3，4„9;用两个十进制数字表示的叫两位数10,11,12„99;„„依此类推。 小数部分只有一个数字的小数叫一位小数，小数部分有两个数字的小数叫两位小数，小数部分有三个数字的小数叫三位小数„„依此类推。 实际上，一位数、两位数等自然数都可以用更多的数字来表示。如两位数48可以表示为048;一位数6可以表示为006。为了分化出一位数、两位数等概念，我们约定:在一个自然数中，从计数单位最大的、不是零的数字起到个位为止的数字有几个，这个自然数就称之为几位数。数0不论用多少个0来表示都行，但其中没有0以外的数字，所以0不是一位数。当然也不是两位数、三位数„„ 由于0不是一位数，一位数只有1,2,3，„，9共9个，所以最大的一位数是9;最小的一位数是1，而不是0 【思考练习】 1.最小的一位数是( A )。 A、1 B、0 C、没有 2. 048是( B )位数。 A、三 B、两 C、048不是一个数 【问题提出】A1—17怎样认识“小数”和“分数”的关系, 【释问参考】小学生最初认识的“小数”仅仅是有限小数。有限小数相当于十进分数，即分母中不含有2、5以外的质因数的最简分数。这时，可以说“小数”是“分数”的种概念，“分数”是“小数”的属概念。“分数”与“小数”是属种关系。当人们试图用分子除以分母的方法将分母中含有2、5以外的质因数的最简分数化为小数时，发现会出现相同的余数，致使商中有一个或几个数字依次不断地重复出现。这时，商的小数部分的位数是无限的，于是“小数”概念从“有限小数”发展为包括“有限小数”和“无限小数”。分数化小数，要么化为有限小数，要么化为(无限)循环小数;而无限不循环小数则不可能由分数转化而来，它们是分数以外的另一类数。 对于扩充以后的“小数”概念，其中包括的有限小数与(无限)循环小数的部分相当于“分数”，此外，还有一种不可能由分数转化而来的无限不循环小数。因此，我们可以说这时“分数”是“小数”的种概念。 【思考练习】 下面说法错误的是( C )。 A、有限小数相当于十进分数 B、“分数”是“小数”的种概念，“小数”是“分数”的属概念 C、所有的小数都可以由分数转化而来 【问题提出】A1—18分数在现代数学和小学数学中的定义有什么不同, 【释问参考】分数在现代数学中的定义: 在整数的有序对(p，q)(q?0)的集合上定义如下等价关系: 设p1，p2?Z,，q1,q2?Z,,0,。如果p1 q2,p2 q1, 则称(p1，q1),(p2，q2)，Z×(Z,,0,)关于这个等价类称为有理数。 (p，q)所属的有理数记为。在有理数集中，整数以外的数称为分数。 分数在小学数学中的定义: 把单位“1”平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数叫做分数。分数的一半形式是。 两者区别: “分数”在现代数学中的定义和在小学数学中的定义基本上是一致的。在小学数学中给出的“分数”的定义实质上是正有理数的定义，其中，q?2。整数p可以表示为，不能说明“整数也是分数”，仅仅表示“整数是有理数”。因为并不是分数所特有的表示形式。 【思考练习】在小学数学中“分数”的定义实质上是( B )范围内的定义。 A、有理数 B、正有理数 【问题提出】A1—19“因为3,，所以3也是分数”对吗,整数是不是分数,整数和分数是什么关系,分数与带分数、百分数、繁分数的关系是不是属种关系, 【释问参考】根据 3,,,,„ 只能得出“3是有理数”，不能得出“3是分数”的结论。 事实上，有理数当p能被q整除时，是整数;当p不能被q整除时，才是分数。 可见，整数不是分数。由于“整数”与“分数”的外延是互相排斥的，并且它们的并集就是邻近的属概念“有理数”的外延，所以“整数”与“分数”这两个概念间的关系是矛盾关系。 【思考练习】 下面说法( B )是正确的。 A、因为3,，所以3也是分数 B、整数不是分数 C、整数分为正整数和负整数 【问题提出】A1—20说“自然数1不同于单位1对吗,自然数“1”和分数定义中的单位“1”的现实原型有什么不同, 【释问参考】自然数“1”是非零自然数中最小的一个，是自然数的最基本的单位。作为自然数“1”的现实原型，可以是一个苹果，也可以是一堆苹果。这个苹果或这堆苹果都可以平均分为若干份，而用分数表示其中的一份或几份。它们也是分数定义中所说的平均分的对象，分数定义中所说的单位“1”，实质上就是自然数“1”。所以，说自然数“1”不同于单位“1”的理由是不充分的。 任何一个物体都可以作为自然数“1”的现实原型，但作为分数定义中的单位“1”的现实原型，受到更多的条件限制。如一块蛋糕可以平均分给两位小朋友，每人分得这块这块蛋糕的二分之一，但一只小白兔无法平均分给两位小朋友。但现实原型的差异不能作为自然数“1”不同于单位“1”的理由。 【思考练习】 自然数1不同于单位“1”，对吗,( B ) A、对 B、不对 【问题提出】A1,21 分数可以分为“真分数”“假分数”与“带分数”吗, 【释问参考】 ,可约分数,,最简分数,,既约分数,:分数可以按照不同的标准来分类。如:按照分子与分母有没有1以外的公约数，可以把分数分为可约分数和最简分数。分子与分母有1以外的公约数的分数叫做可约分数;分子分母没有1以外的公约数的分数叫做最简分数。 ,真分数,,假分数,:分数还可以按照分子是否小于分母，分为真分数和假分数，分子小于分母的分数叫真分数;分子不小于分母的分数叫做假分数。 ,带分数,根据定义，“带分数”是一个整数和一个真分数合成的数。实际上是一个整数与一个真分数的和。它是一个和式，而不是一个分数。 【思考练习】 分数可以分为( A ) A(真分数和假分数 B(真分数和带分数 C(真分数、假分数和带分数 【问题提出】A1,22 说“假分数的分子大于分母”错在哪里, 【释问参考】 根据小学数学对假分数所下的定义，分子等于或大于分母的分数叫做假分数。可见，假分数有两类:分子大于分母的假分数和分子等于分母的假分数。如果一个分数是假分数，那么它的分子大于分母或分子等于分母。这时，我们可以根据“一个分数是假分数”推出“它的分子大于分母或分子等于分母”，但我们推不出“分子大于分母”，也推不出“分子等于分母”。 【思考练习】 下面说法错误的是( A ) A(假分数的分子大于分母 B(真分数的分子小于分母 C(分子大于分母的分数是假分数 【问题提出】A1,23 “分数单位”和“单位分数”“最简分数”和“既约分数”有没有区别, 【释问参考】 分数的分母不同，分数单位也就不同。如七分之四的分数单位是七分之一，分母越大，分数单位就越小。 最简分数、既约分数:分子与分母互质的分数叫最简分数，也叫既约分数。“最简”是从化简的角度提出的要求，“既约”是从约分的角度给出的标准。分数要化简。分子、分母就得约分，分子分母约分的目的是分数。两者最终统一到“分子分母互质”这一点上。 【思考练习】 十分之七的分数单位是( A ) A(十分之一 B(七分之一 C(十七分之一 【问题提出】A1,24 “百分数”是不是一种数,“百分数就是分母是100的分数”吗,“百分数”“百分比”和“百分率”有什么不同,“成数”“千分数”“ppm”“bpm”各指什么, 【释问参考】 “百分数”“百分比”“百分率”表示一个数是另一个数(或一个量是另一个同类量)的百分之几的数叫做百分数。百分数通常用来表示两个数(或两个同类量)的比，所以又叫“百分比”或“百分率”。 百分数与分数的区别区别在于:分数既可以表示两个数或两个同类量的倍比关系，也可以表示具体的数量;而百分数只用于表示两个量的倍比关系。当需要用百分数表示数量时，往往称之为“a个百分点”。 “成数”“几成”就是十分之几。 “ppm”“bpm”在科学技术研究和运用上，为了表示微量元素的含量，还用到更小的单位“百万分之一”(即ppm)，和“十亿分之一”(即bpm)。 【思考练习】 下面说法正确的是( B ) A(今天班级人数出勤率为101%。 B(今年农产品比去年增长了八成。 C(有一篮子鸡蛋200%千克 。 【问题提出】A1,25 自然数大小的“基数意义”和“序数意义”有什么区别和联系,怎样证明自然数没有最大的, 【释问参考】 “自然数大小的基数意义”:每个自然数都是所有可以建立一一对应的有限集组成的集，或者说是一类可以建立一一对应的有限集的共同性质。 “自然数大小的序数意义”?自然数的序数理论中，自然数大小是根据自然数列中的前后位置来定义的。 自然数没有最大的，自然数列是无限的。 【思考练习】 上体育课，20个人排成一排，那么20指( B ) A(只表示“一共有20个人”; B(一共有20个人，也可以表示，最后一个是第20个; C(只表示“最后一个是第20个人”。 【问题提出】A1,26怎样构造最小的(或最大的)一位数、两位数、三位数„„n位数, 【释问参考】 在一位数1、2、3„„9中，显然，最小的是1，最大的是9。 两位数中，最小的是10，最大的是99。 ,n1n一般地，在n位数中，最小的是10，最大的是10,1。 【思考练习】 最大的五位数是( A )，最小的六位数是( B ) A(99999 B(100000 C(100001 【问题提出】A1,27 为什么多位数大小的比较法则推广到小数大小的比较，只适用于有限小数，不适用于无限小数,“0.59(9循环) ,0.6”对吗, 【释问参考】 )如果两个多位数的位数不同，则位数多的数较大;(2)如果两个多位数的位数“多位大小的比较”多位数大小的比较法则如下:(1 相同，则最高位上的数较大的数较大;(3)如果最高位上的数又相同，则比下一位数。下一位数较大的数较大，依次类推;(4)如果 两个多位数的位数相同，并且各个相同数位上的数也分别相等，那么这两个多位数相等。 “有限小数大小的比较”:(1)如果两个有限小数的整数部分相等，则比十分位上的数，十分位上的数大则大;(2)如果两个有限小 数的十分位上也相等，就比较百分位上数，„„依次类推。 “无限小数大小的比较”:多位数大小的比较不能推广到无限小数大小的比较。应该把无限小数改写成分数来比较。而0.59(9循环), 0.6。 【思考练习】 下列比较错误的是( C ) A(0.9(9循环),1 B(0.69(9循环),0.7 C(0.9(9循环),1 【问题提出】A,28 分数的大小如何定义和判定, 【释问参考】 “两个分数大小的定义及判定”:两个正分数q分之p与s分之r,当ps=rq时，就说这两个分数相等;如果ps?rq，说明两个分数不相 等;如果ps,rq，有q分之p,s分之r;如果ps,rq，有q分之p,s分之r。 【思考练习】 下面比较正确的是( B ) A(六十六分之六十五,七十七分之七十六 B(六十六分之六十五,七十七分之七十六 C(六十六分之六十五,七十七分之七十六 【问题提出】A1,29 最小的计数单位是什么,最大的计数单位是什么,真分数有没有最小的,有没有最大的, 【释问参考】 “自然数的单位和计数单位”:“1”是自然数的单位，任何一个自然数都是由若干个“1”组成的。“1”也是自然数的最小的计数单 位，因为一、十、百、千、万等等都是自然数的计数单位，其中最小的计数单位是一，没有最大的计数单位。 “真分数”:分子小于分母的分数叫做真分数。因为自然数没有最大的，所以分数单位没有最小的，而最小的真分数就是最小的分数单位，所以真分数既没有最小的，也没有最大的。 【思考练习】 下列分数中，分数单位最大的是( A ) A(七分之八 B(七十七分之八十八 C(一千分之九百九十九 【问题提出】A2,1 怎样定义四则运算,怎样得出四则运算中各部分间的关系, 【释问参考】 “自然数的基数理论中加法的定义”:设A、B分别表示以a、b为基数，且无公共元素的集合，C是A、B并集，则C的基数c称为a、b的和，记为c,a，b。 小数数学中讲“把两个数合并成一个数的运算叫做加法”是不妥的。实际上，合并的是两个集合，而不是两个数。 “在自然数的基数理论中减法的定义”:设a、b两个自然数。如果有一个这样的自然数c，能使b+c=a，就说c是a与b的差，记作a-b=c。 “在自然数基数理论中乘法的定义”:b个相同加数a的和叫做a与b的积。 “在自然数基数理论中除法的定义”:设a、b是两个自然数，b?0。如果有一个这样的自然数c，能使b×c=a，就说c是a与b的商。 【思考练习】 下面表示加法、乘法、减法、除法中各部分关系错误的是( C ) A(加数，加数,和 B(被减数,减数，差 C(积,加数×加数 【问题提出】A2-2 “运算”、“计算”、“演算”有什么不同, 【释问参考】 运算:定义在集合A上的运算是指从直积集合A×A到集合A的一种对应。如果对于集合A中的任何两个元素的序偶，即A×A的一个元素(a,b)，集合A中都有唯一确定的元素c和它对应，就说在集合A上定义了一种运算。 例如，对于自然数集N中的任何两个自然数a,b，都有这样一个唯一确定的自然数c，使a，b=c。所以加法是定义在自然数集N上的一种运算。然后，加法被推广到整数集、有理数集、实数集和复数集。 四则运算和算术运算:加、减、乘、除四种运算统称为四则运算或算术运算。小学数学中所说的“运算”通常就是指四则运算或算术运算，计算机中的运算器就是进行四则运算的装置。 计算:根据算式中所给的数据和运算，按照一定的程序操作，以求出运算结果的过程叫做“计算”。 演算:在小学数学中，人们常常用“演算”表示求一个算式的运算结果的操作过程。除了四则运算，“演算”还包括约分、通分之类的等值变换，以及求最大公约数或最小公倍数、辗转相除法等操作。 在数学科学中，“演算”还用以表示某种理论体系。如命题演算、类演算等。此外，“演算”的英文单词”calculus”还用来表示“微积分学” 【思考练习】 32(3的平方)这是一种( A ) A.运算 B.计算 C.演算 【问题提出】A2-3 “口算”、“心算”、“简算“、”速算“、”验算“有什么不同, 【释问参考】 口算:不借助计算工具，直接通过思考算出得数的一种计算方法。口算是笔算、估算和简算的基础，也是计算能力的重要组成部分。 心算:口算也称心算。 简算:即“简便计算”，又称“速算”，指的是一类快速、巧妙的计算。 简算有多种不同的方法和不同的理论依据。它与各种计算法则所包含的“程序性操作“不同，没有常规的思维模式可套，也没有现成的 操作程序可循。它需要具有对数据、运算以及运算顺序的敏感和对算式整体上的洞察力和敏锐的直觉，要求人们探索和发现，以找出简算的途径。如:6154×11=67694 速算:“简算”又称“速算”。 验算:式题计算或解答问题后，为了确保结果正确，采用一定的方法核对。这种核对的过程叫做“验算”。 【思考练习】 先算一算，再根据规律口算出下面几题的答案。 15×15= 25×25= 35×35= 根据你发现的规律口算:65×65= 75×75= 95×95= 【问题提出】A2-4 为什么口算都是从高位算起，而竖式笔算只有除法是从高位算起，加、减、乘的竖式笔算都是从低位算起, 【释问参考】 多位数的四则计算总是被归结为各个数位上的一位数的计算。 口算既可以从高位算起，也可以从低位算起。只不过从高位算起更有利于抓住数的主要部分，使计算结果不至于过分偏离正确的得数。 加、减、乘的竖式笔算既可以从低位算起，也可以从高位算起。但从高位算起会增加处理进位的麻烦。 用除法竖式求商必须从高位算起。以便从高位到低位，一次求出商的每一位上的数。 【思考练习】 用竖式计算时，从高位算起的运算是( D ) A.加法 B.减法 C.乘法 D.除法 【问题提出】A2-5 在数的计算中，“横式”、“竖式”、“递等式”各指什么, 【释问参考】 横式:用运算符号把参与运算的数连接起来，从左往右排列的式子叫做横式。横式可以笔算，也可以口算，并把算出的得数写在等号的 53，24=77. 后面。如 竖式:把需要计算的数和运算符号按规定的格式写出，再按运算法则进行计算，并把计算的中间过程与最后结果记录下来。这样的算式叫做竖式。竖式通常运用笔算进行。 竖式计算的实质，是将当前对于两个数的计算归结为它们各个数位上数的计算，以求出得数的各个数位上的数。 递等式:在进行四则混合运算时，要按所要求的运算顺序逐步计算，并用计算结果代替原式中的部分算式，用等号与原式相联，直至求出最后结果。这样的书写形式叫做递等式。 一般情况下，竖式用于数目较大、数位较多的四则计算的笔算，用于口算比较困难的场合。递等式则用于四则混合运算。 【思考练习】 四则混合运算所采用的计算方式是( C ) A.横式 B.竖式 C.递等式 【问题提出】A2-6 “精确计算”、“近似计算”和“估算”的主要区别是什么, 【释问参考】 精确计算:为解决实际问题而进行数值计算时，有时需要得到与实际情况完全符合的准确数，有时只需要或只能得到与准确数相差不多的近似数。如:购物时该付多少钱，就是需要精确计算才能回答的问题。而根据购物，大致要准备多少钱，只需通过估算求得。 为了通过计算得到准确数，首先要求计算的原始数据准确无误。其次，所用的计算公式要能准确表达有关的几个数量间的关系(而不是“近似公式”)，并且，计算过程中的每一步都必须按相关的计算法则正确进行。 近似计算:在工程技术的相关计算中，所用的原始数据大多不是准确数。许多数据也不要求完全准确，允许有一定的误差，只要误差不超出规定的范围就可以了。为了使计算结果的误差不超过允许的范围，计算过程必须遵守相应的规则。这就是近似计算。 估算:估算是根据具体条件和有关知识，对事物的数量或计算的结果作出估计或大概的推断。如:参加一次旅游，大概需要多少费用,就是一个需要通过估算来解决的问题。 总之，精确计算得到的是准确数;近似计算得到的是误差不超出指定范围的近似数;如果对计算结果的误差范围也没用提出要求，那就 可以用估算来解决。 估算与近似计算的比较:“估算”是粗略的口算;“近似计算”则是不完全精确的笔算或机算。 估算和近似计算的计算结果可以是接近准确得数的某一个数;也可以使包含准确得数的某个区间的两个端点。 估算与近似计算的主要差异有两点: ?“近似计算”对计算结果的精确程度有一定 要求，计算结果的绝对误差或相对误差不允许超出某个界限;但对“估算”结果的精确程度一般没有提出明确的要求。 ?估算一般用口算进行;而近似计算往往用笔算或机算完成。 科学技术领域的复杂计算，大多数是要求达到一定精确度的近似计算。计算结果一般不可能完全准确，主要原因是在计算的原始数据有许多是实验或测量所得的近似数。而且，计算所依据的公式或所用的方法，有些也只是近似公式或近似的方法。 【思考练习】 要求做一个长方体铁皮盒子所需要的材料，我们一般采用( B ) A.精确计算 B.近似计算 C.估算 【问题提出】A2-7 怎样处理好“算法多样化”与“算法系列化”之间的关系, 【释问参考】 2001年颁布的数学课程标准提倡“算法多样化”和“解题策略多样化”。这对于拓展学生的解题思路，培养思维的灵活性、发散性和创造性都是有益的。不过，多种不同的算法往往反映了不同的思维水平。尽管在训练学生掌握一种算法的初期，应该允许学生达到不同的思维水平，允许学生运用其自身理解得最快的某种算法，但从不断提高学生的理性思维水平的根本目标来看，一个个引导学生逐步掌握思维水平更高的算法，而不应该以学生主观上的“喜欢”作为选择算法的主要依据。 此外，多样化的算法或解决问题的方法往往是以学生已经掌握的某种算法或解题方法为基础的。例如，20以内退位减的“平十法”和“破十法”都是以10以内的减法及20以内数的组成为基础的。 而“算减想加”则是对一年级小学生进行的一次典型的推理训练。它是根据加、减法的关系(或者说根据减法的意义)进行的推理，把20以内退位减的计算归结为20以内的进位加。 许多数学法则的实质都是将当前有待解决的问题转化和归结为以前已经能解决的问题。认识算法的前后联系，弄清它们根据化归思想组成的体系，比单纯的“算法多样化”更重要。 【思考练习】 判断题: 学生在计算时喜欢用什么方法计算就可以用什么方法计算，教师不应作出干涉。( × ) 【问题提出】A2-8“36，88，64=36，64，88”根据什么来证明, 【释问参考】 根据加法交换律推理:常见的误解是:36，88，64=36，64，88成立的根据是加法交换律。似乎在“36，88，64”中，将88与64交换位置，就可以得到“36，64，88”。这样的理解是错误的。 加法交换律告诉我们:“两个数相加，交换加数的位置，和不变。”四则混合运算的顺序规定:“没有括号并且只含有同一级运算的算式，从左到右依次计算。” 这就是说，(36，88)，64中的括号可以省去，即对于“36，88，64”应该理解为“(36，88)，64”。因此，在算式“36，88，64”中，与64相加的并不是88，而是36，88的和。因为88与64并不是相加的两个数。所以，不能根据加法交换律交换它们的位置。这个等式可以证明如下: (36，88)，64 =36，(88，64) „„加法结合律 =36，(64，88) „„加法交换律 =(36，64)，88 „„加法结合律 或者，这样证明: (36，88)，64 =64，(36，88) „„加法交换律 =(64，36)，88 „„加法结合律 =(36，64)，88 „„加法交换律 【思考练习】 36，88，64=36，64，88成立的根据是( A ) A. 加法交换律 B.加法结合律 C. 加法交换律和加法结合律 【问题提出】A2-9 “整数加减法”、“小数加减法”以及“分数加减法”有什么相同点和不同点, 【释问参考】 整数加减法、小数加减法以及分数加减法的意义相同，但计算法则不同。不过，它们的计算法则的理论依据又是相同的:计数单位或分数单位相同的数才能直接相加(减)，所以整数或小数加减法用竖式演算时，先要将数位对齐或小数点对齐;分母不同的分数加减时要先通分，使分数单位相同。 【思考练习】 关于“整数加减法”、“小数加减法”以及“分数加减法”，下列说法错误的是 ( C )。 A . 它们意义相同。 B. 计算时都要遵循相同的单位才能直接相加减的原则。 C. 它们的计算法则也相同。 【问题提出】A2—10 “ 乘法”在小学数学课本中的意义和现代数学中的定义有什么不同, 【释问参考】 小学数学课本中乘法的意义，把“乘法”描述为“求几个相同加数的和的简便计算”，与基数理论中乘法的定义相同。 对比现行小学课本中乘法的意义与基数理论中乘法的定义，可以看到以下几点差异: (1)“几个几”的求和问题与连加算式的一一对应，在基数理论与小学数学中是一致的。 (2)要基数理论的乘法定义中，“被乘数”与“乘数”既有各自的不同名称，又有它们共同的名称“积的因数”。而在现行的小学数学教科书中，为了便于小学生理解，不再区分被乘数与乘数，统称为因数。也就是说不区分“相同的加数”和“相同加数的个数”，一律表示为ab或ba。但这样一来，加法算式与乘法算式的一一对应就不存在了，ab与ba的差异也消失了。 【思考练习】 “3×2”表示( C ) A、3个2的和 B、2个3的和 C、既表示3个2的和 ，也可以表示2个3的和 【问题提出】A2—11 “4×7×250=4×250×7”是根据乘法交换律推出的吗, 【释问参考】 在乘法交换律中，可以交换位置而不改变积的大小的，只能是“相乘的两个数”。根据乘法交换律推理时，首先要确认交换位置的两个数是相乘的两个数。 “几个数相乘，可以将其中的任何两个因数交换，或者将任何几个因数结合起来先乘”，这是根据乘法交换律与乘法结合律得出的推论，而不是乘法交换律或乘法结合律本身。 【思考练习】 “4×7×250=4×250×7”是根据( A )推出的。 A、乘法交换律 B、乘法结合律 C、乘法交换律与乘法结合律 【问题提出】A2—12 做分数乘法时，“先约分、后相乘”的根据是什么, 【释问参考】 做分数乘法时，常常“先约分、后相乘”。约分的理论依据是“分数的基本性质”。并不是同一个分数的分子与分母，为什么它们可以同除以一个数呢,关于这种演算的合理性可以理解为:演算时省略了根据分数乘法法则写出两个分数的积。根据这个法则，两个分数相乘的积是一个分数，约分的公约数就是这个积的分母与分子的公约数，当然可以“约去”。 两个分数相乘时，一个分数的分母与另一个分数的分子约分，通常称之为“对角约分”。对角约分的合理性还可以根据积的变化规律来认识:两个数相乘时，一个因数扩大到原来的多少倍，另一个因数缩小相同的倍数，积不变。 【思考练习】 约分的理论依据是( A ) A、分数的基本性质 B、分数的计算法则 C、分数的意义 【问题提出】A2—13 在分数乘法运算中，为什么要先把带分数化成假分数, 【释问参考】 两个分数相乘，以分子的积作为积的分子，以分母的积作为积的分母。这个法则适用于任何两个分数相乘，但不能直接用于带分数相乘。“带分数实质上是一个自然数与一个真分数的和”。严格说是一个式，而不是一个数。因此，分数乘法法则不能直接适用于带分数，如果有带分数要化为假分数再进行演算。 在分数加减法中，带分数不必化为假分数。 【思考练习】 下面说法错误的是( A ) A、“两个分数相乘，以分子的积作为积的分子，以分母的积作为积的分母。”这个法则适用于任何两个分数相乘，同样用于带分数相乘。 B、带分数实质上是一个自然数与一个真分数的和 C、严格说带分数是一个式，而不是一个数。 【问题提出】A2—14 “等分除”、“包含除”与“除法”是什么关系,“除法”与“带余除法”有什么不同, 【释问参考】 除法定义:已知两个因数的积与其中的一个因数，求另一个因数的运算叫除法。 用除法来解决、把一个数量平均分成几份求一份是多少的问题，叫做等分除问题。 用除法来解决、求一个数量里包含几个另一个数量的问题，叫做包含除问题。 等分除与包含除都是运用除法来解决的问题，是除法的两种不同的实际模型，而不是两种不同的除法。认为“除法有等分除与包含除两种”的观点是错误的。 一个整数除以另一个不为零的整数，得到整数商后还有余数，这样的除法叫做“带余除法”。 带余除法与除法的比较:(1)“带余除法”是定义在自然数集上的一种运算。而除法整数、分数、小数和无理数。(2)两种除法的定义具体条件不同。(3)不能说“带余除法是除法的特例”，也不能说“除法是带余除法的特例”。 【思考练习】 下列说法正确的是( C ) A、“除法有等分除与包含除两种” B、“带余除法是除法的特例” C、等分除与包含除都是运用除法来解决的问题，是除法的两种不同的实际模型，而不是两种不同的除法。 【问题提出】A2—15 为什么由“a=b和 b=c”可以推出“ a=c”，而根据“300?70=30?7和30?7=4„„2”推不出“300?70=4„„2”, 【释问参考】 五条“等量公理”:(1)等于同量的量相等;(2)等量加等量，和相等;(3)等量减等量，差相等;(4)等量的同倍量相等;(5)等量的一半相等。 “商4余2”不表示确定的数。实质上，它只给出了商的整数部分与分数部分的分子，分数部分的分母则是等号中一边的除数。 【思考练习】 下面的推理正确的是( A ) A、由“a=b和 b=c”可以推出“ a=c” B、 “300?70=30?7和30?7=4„„2”可以推出“300?70=4„„2” C、“399?199=2„„1和3999?1999=2„„1”可以推出“399?199=3999?1999” 正确答案: 【问题提出】A2—16 为什么“0可以作乘数”，但“0不能作除数”, 【释问参考】 根据乘法的意义，B个A相加可写成A×B，当B是0时，根据积的补充定义，积也是唯一存在的。 但当0是除数时，商可以是任何数或不存在了，这样研究除法是没有意义的。 【思考练习】 “0可以作乘数，也可以作除数”，这句话是( B ) A、对的 B、错的 C、不确定 【问题提出】A2—17 小数四则运算的笔算法则与整数四则运算的笔算法则有什么区别与联系, 【释问参考】 “多位数笔算”指的是“多位数的竖式演算”。 多位数和小数加减法的法则实质上都是“相同数位对齐”，是把相同数位上的数直接分别加减。 多位数乘多位数的运算法则实质上归结为一位数乘多位数，一位数乘多位数归结为表内乘法，表内乘法是根据乘法口诀计算的。小数乘法的法则归结为两个整数的乘法。 多位数除法的商是一位一位地求出来的;小数除法实质上都可以归结为整数除法。 小数四则运算与整数四则运算的竖式演算法则构成了一个体现化归思想的完整体系。这个体系中的每一个法则都是力求将当前面临的新算题归结为早先已经解决的算题。 【思考练习】 进行小数加减法计算时，要“相同数位对齐”就是指( B ) A、小数的末位对齐 B、计数单位相同对齐 C、数位写整齐 【问题提出】A2—18 什么是“结合符号”与“分隔符号”, 【释问参考】 “结合符号”是用来表示运算顺序(即算式结构)的符号。括号就是常用的结合符号。常用的括号有以下几种:“{}”叫做大括号(也叫花括号或括带);“[]”叫做中括号(也叫方括号或括号);“()”叫做小括号(也叫圆括号或括弧)。引用几种形状不同的括号，目的仅仅是为了更加易于辨认。当然，只用一种括号“()”，同样能确切地表明运算的顺序和算式的结构。有几层括号时，从内到外依次计算。 “分隔符号”起分隔作用、显示不同区域内符号的不同意义的数学符号叫做分隔符号。如:多位数分级的“分节号”;区分一个小数的整数部分与小数部分的“小数点”;区分无限循环小数的小数部分中的循环节和不循环部分的“循环点”;区分四则运算的竖式演算中参与运算的数和运算所得的数的“线条”等都是分隔符号。 有些符号兼有分隔符号或结合符号的作用。如分数线上面(或前面)的数或式是分子;分数线下面(或后面)的数或式是分母。而分数线本身不但有除法运算的意义，还有分隔符号与结合符号的作用。 【思考练习】 0.3124中的“.”是什么符号,( B ) A、结合符号 B、分隔符号 C、都不是 【问题提出】A2—19 书写除法竖式的顺序怎样较为合适, 【释问参考】 以216?24为例，书写除法竖式的正确顺序是:先写被除数216，再在216的左边画“ノ”，然后再在“ノ”的左边写上除数24，即216——ノ216——24ノ216，表示216除以24，最后在216的上面画上“??”，表示“=”。 先写什么，后写什么，不单是一个书写顺序问题，因为书写顺序和意义内容是联系在一起的。书写顺序混乱，说明对“除法竖式”的含义认识不深刻，对每一个符号所表示的内容还不清楚。因此要能按正确顺序书写，首先要深刻理解符号的含义。 演算除法的竖式有两种:“短除式”与“长除式”。前者只写出被除数、除数与商，计算过程基本上用“口算”，如24?216 。 9 后者除三个数外，还需写出按除法笔算法则进行的计算过程。有人把? 解释为“分隔符号”，用以将纸面分为几个 区域:右上区、左上区和右下区，分别用来书写被除数、除数和商。而不是把? 肢解为两部分，分别表示“除以”和“等于”。 【思考练习】 在笔算300?15时，最先写的是( A )。 A、300 B、ノ C、15 【问题提出】A2—20 四则混合运算为什么要规定“从左到右”、“先乘除、后加减”, 【释问参考】 加、减、乘、除四种运算统称“四则运算”。如果一个算式中包含两种或两种以上的这些运算，则统称为四则混合运算算式。一般地，有了结合符号(如各种括号)，我们就可以根据需要，表达出四则混合运算算式所要求的任何一种运算顺序。 在表达四则混合运算的算式中各个运算应用的顺序时，为了尽可能少用一些括号，人们对运算顺序作出了以下几点规定: (1)“从左往右”:在一个没有括号的算式中，如果只有加减法，或者只有乘除法，则从左往右依次计算。 (2)“先乘除，后加减”:如果没有括号的算式中既有加减法，又有乘除法，则先做乘除法，再做加减法。 (3)在一个有括号的算式中，先按上述规定计算括号里面的式子。 (4)有几层括号时，从里到外依次计算。 至于为什么要规定“从左往右”，而不是“从右往左”，可能是为了使这种没有括号并且只有加减法或者只有乘除法的算式的运算顺序与算式的书写顺序相同。“从左往右”和“先乘除后加减”都不是以客观规律为基础的定理或定律，而是一种人为的关于数学符号语言的规定，目的在于尽可能减少算式中为说明各个运算的顺序所用的括号。 【思考练习】 在四则运算[15×(4+16)]?4中，运算顺序是 ( B ) 。 A、先乘后加再除 B、先加后乘再除 C、先乘后除再加 【问题提出】A2—21 两个数相除，商如果不是整数和有限小数，为什么就一定是循环小数, 【释问参考】 做整数除法时，如果除到个位还除不尽，可以在余数后面添0再除，得商的小数部分各位上的数。这些数中每个数的大小都取决于前次除得的余数。因为每次除得的余数(不看计数单位)，都必须是小于除数的正整数，而小于除数的正整数只有有限个。所以，除法做了若干次之后，就会出现相同的余数。余数出现了相同的，那就表明:商的小数部分的下一个循环节即将开始。可见，两个数相除，如果商不是整数和有限小数，那么就一定是循环小数。 【思考练习】 22?7的结果是( C )。 A、整数 B、有限小数 C、循环小数 【问题提出】A2—22 怎样化分数为小数,为什么有些分数能化为有限小数，有引起分数不能化为有限小数, 【释问参考】 如果一个分数的分母只含有质因数2或5，那就可以根据分数的基本性质把它的分母化为10的正整数次幂，从而先把它化为十进分数，再化为有限小数。也可以用分子除以分母的方法，把这个分数化为小数。事实上，对于任何分数，都可以用分子除以分母的办法把它化为小数。分子除以分母时，如果能除尽，则分数被化为有限小数，如果除不尽，则分数被化为(无限)循环小数。为了辨别这两种情况，可以先把分数化为最简分数，如果最简分数的分母只含有质因数2或5，那么这个分数就能转化成分母是10、100、1000„„的分数，就能化成有限小数。如果最简分数的分母含有2、5以外的质因数，则此分数不能化为十进分数，也就不能化为有限小数。这时，如果用分子除以分母，结果必然除不尽，得不到整数或有限小数的商，只能得到无限循环小数。 【思考练习】 什么样最简分数不能化成有限小数,( A ) A、含有2、5以外的质因数 B、只含有质因数2和5 【问题提出】A2—23 怎样化小数为分数, 【释问参考】 84化有限小数为分数，可以先把它改成十进分数，然后化为最简分数。如4.8=4=4 105 化纯循环小数的小数部分为分数，分子是一个循环节的数字所组成的数;分母是由数字9组成的数，9的个数等于一个循环节的位数。 62如16.6(6循环)=16=16 93 化混循环小数的小数部分为分数，分子是从十分位到第一个循环节末位的数字按原来顺序组成的数，减去小数部分中不循环部分的数字组成的数所得的差，分母是由数字9后面带数字0组成的数，其中9的个数等于循环节的位数，0的个数等于小数部分不循环部分的位 264,26238119数。如16.264(4循环)=16=16=16 900900450 【思考练习】 0.309(09循环)化成分数结果是( A ) 17A、 55 17B、 50 【问题提出】A2—24 把0.45(45循环)写成0.454(54循环)对吗? 【释问参考】 给出一个无限循环节小数“0.4545454„„”，它的循环节是“45”，还是“54”,我们根据循环小数化分数的法则可知这两个小数化成分数两者结果相等。可见，把“0.4545454„„”看成0.45(45循环)和0.4(54循环)都是对的。也就是说，纯循环小数也可能写成混循环小数的形式。但显然在这里写成0.45(45循环)更为简便，更为完美。 【思考练习】 0.34(34循环)和0.343(43循环)结果相等吗,( A ) A、相等 B、不相等 A2-25-31 【问题提出】A2-25 “整除”、“约数”(“因数”)和“倍数”在小学数学中的解释和在现代数学中的定义有什么不同, 【释问参考】 整除在现代数学中的定义:“整除”是数论中的一个基本概念。任给两个整数a、b，其中b?0，如果有一个整数c，使a=bc，就称b整除a，记作b|a。这时，b叫做a的约数(或因数)，a叫做b的倍数。 整除在小学数学中的解释:以住的版本:整数a除以整数b(b?0)，商是整数而没有余数，就说“a能被b整除”，也可以说“b整除a”。如果a能被b整除，a就叫做b的倍数，b叫做a的约数(或因数)。 当前的版本:根据4×3,12，得出4是12的因数，3也是12的因数。12是4的倍数，12也是3的倍数。 【思考练习】 下面说法正确的是( C ) A( 12是倍数，3是因数。 B( 12是1.2倍数，1.2是12的因数。 C(12是3的倍数，3是12的因数。 【问题提出】A2,26 怎样判断一个正整数能不能被2、3、5、7、9、11、13整除, 【释问参考】 能被2或5整除的数的特征,能被2或5整除的正整数的特征，是它的个位数能被2或5整除。 能被4或25整除的数的特征，是它的末两位数能被4或25整除; 能被8或125整除的数的特征，是它的末三位数能被8或125整除; 能被3或9整除的数的特征，是它的各位上的数的和能被3或9整除。 11、13整除的数特征，是它的末三位数与末三位以前的数字所组成的数相减之差能被7、11、13整除。 能被7、 【思考练习】 下面哪个数能同时被2、3、25整除,( C ) A( 111211314 B( 12121275 C(34343400 【问题提出】A2,27 “整除”与“除尽”有什么区别和联系, 【释问参考】 整除:在小学阶段，“整除”是在自然数范围内讨论的。如果自然数a除以正整数b所得的商为自然数，而余数为零，则称a能被b整 除，或b整除a，记作b|a，否则，就称a不能被b整除，或b不能整除a。 除尽:“除尽”是在讨论整数或小数的除法时出现的一个概念。如果数a除以数b(b?0)所得的商是整数或有限小数，则称a能被b除 尽。 “除尽”包含了“整除”。 【思考练习】 下面的算式是整除的是(A ) A( 12?3,4 B(1.2?3,0.4 C(12?5,2„„2 【问题提出】A2-28 怎样求一个数的所有的倍数和因数, 【释问参考】 因为现行小学数学教材是用整数的简洁算式来解释因数和倍数的，所以我们应该从乘法算式出发，去寻求一个数的所有倍数和因数。 如:为了求7的所有倍数，应考虑含有因数7的乘法算式: 7×( ),( ) 当等号左边的括号里分别填入1、2、3„„时，等号右边括号里的积都是7的倍数。 又如，为了求24的所有因数，则需要考虑积是24的乘法算式: ( )×( ),24 这时，不仅要考虑积是24的乘法口诀，而且要找出积是24的其他的整数乘法算式。因此，在第一组括号里应该试填1、2、3、„„直 至该数自乘超过24为止。两个括号里的可以填入的所有整数都是24的因数。 【思考练习】 91的因数有哪些，下面正确的是( C ) A( 1和91 B( 91、13、7 C(1、7、13、91 【问题提出】A2,29 “倍”和“倍数”有什么不同,说“5是4的1.25倍”或者“5是4的倍数”对吗, 【释问参考】 倍的意义:如果a=kb(k是一个数)就说“a是b的k倍”。这里的“k”可以是整数，也可以是小数、分数或无理数。a、b可以是两 个数，也可以是两个同类的连贯量或离散量。并且习惯上，上述说法用于k?1的场合。 倍数的意义:如果a、b、q是整数，并且有a=bq，则称“a是b的倍数”、“b是a的因数”。当然，也可以说“a是q的倍数”“q是a的因数”。 “倍”和“倍数”虽然都是乘法算式引伸出来的概念，但前者是有集或实数集上的乘法，后者是整数集上的乘法。 【思考练习】 下面哪句话是正确的,( A ) A( 5是4的1.25倍。 B( 5是4的倍数。 C(5是1.25的倍数。 【问题提出】A2,30 “约数”和“因数”有什么区别和联系, 【释问参考】 倍数和约数是两个整数有整除关系时引伸出来的概念;若b整除a，则称b是a的约数，a是b的倍数。“()能被()整除”“()整除()”与“()是()的约数”“()是()的倍数”指的是两个整数之间的同一种关系。 因数是与实数乘法有关的一个概念:设a、b、c都是实数，若a,b×c,则a叫做b与c的积， b、c叫做积的因数。 把因数的概念用于整数乘法，则称为约数。 由于整数除法与整数乘法可以相互转化，所以在讨论整除问题时，有人不再区约数和因数。 【思考练习】 根据“24?4,6” 下列说法正确的是(A、B、C ) A( 24是4的倍数。 B( 4和6都是24的约数。 C(4是24的因数。 【问题提出】A2—31 “单数”、“双数”与“奇数”、“偶数”有什么区别和联系, 【释问参考】 偶数、双数:能被2整除的整数叫做偶数。偶数有正偶数、负偶数和零。正偶数也叫双数。双数就是能被2整除的正整数。0不是双数;0是偶数，但不是最小的偶数。 奇数、单数:不能被2整除的整数叫做奇数。正奇数也叫单数。单数就是不能被2整除的正整数。 【思考练习】 A(奇数 B.偶数 ?两个奇数的和或差都是( B )。 ?两个偶数的和或差都是( B )。 ?一个奇数与一个偶数的和或差都是( A )。 ?两个奇数的积是( A )。 ?一个奇数与一个偶数的积或者两个偶数的积都是( B )。 【问题提出】A2—32 “最小的质数”、“最小的偶数”与“最小的倍数”各指什么,为什么“0是任何一个整数的倍数”，但不是几个整数的最小公倍数, 【释问参考】 最小的质数(偶质数或偶素数):质数中最小的一个叫“最小的质数”。最小的质数是2。它是唯一能被2整除的质数，所以又叫“偶质数”。 小学数学中定义倍数时，还没有引入负数的概念。所以，在a的倍数中最小的是0。但0不能作为几个分数的公分母，所以这样的“最小公倍数”在异分母分数的加减法中毫无用处。因此，在“倍数”、“公倍数”与“最小公倍数”的定义中，应该在适当的地方把0排除。 一:在定义“倍数”时，就将0排除:在a的倍数中，最小的一个是a。 方案二:在定义“公倍数”时将0排除。“自然数a与任何一个自然数的乘积都叫做a的倍数。”因此，在a的倍数中最小的0。“几个数 除0以外的公共的倍数叫做这几个数的公倍数。”“几个数的公倍数中，最小的一个叫做这几个数的最小公倍数。” 方案三:定义“最小公倍数”时才排除0。 以上三个方案中，似乎方案二更便于小学生理解。 经过这样的规定，就使得0虽然是任何一个整数的倍数，但不是几个整数的最小公倍数。 【思考练习】 最小的质数是( B )。 A(1 B(2 C(3 【问题提出】A2—33 为什么说“偶数都是合数、“质数都是奇数”是错误的, 【释问参考】 在整数中，奇、偶数是以它能否被2整除来定义的。质数、合数是以一个自然数因数的个数来区分的。可见，这两个概念的定义不同。奇数不一定是质数，如9、21、33都不是质数;质数也不一定是奇数。偶数不一定是合数，如2是偶数但不是合数，而是质数;合数也不一定是偶数。 【思考练习】 下面哪一个数是质数,( B )。 A(1 B(2 C(51 【问题提出】A2—34 为什么“1既不是质数，也不是合数”, 【释问参考】 人们在研究正整数的分类时，按它的正约数个数的多少分成以下三类:(1)1:它只有一个正约数;(2)质数:除了1和它自身两个正约数外，没有其他的正约数;(3)合数:除了1和它自身外，还有其他的正约数。 如果将1视为质数，那么在把合数分解为质因数的积时会带来混乱。如将18分解质因数，结果可以是下面的任一种:18=2×3×3, 18=1×2×3×3,18=1×1×2×3×3„„ 如将1视为合数，那么在把这个合数分解质因数时，可以一直“分解”下去，永远“把这个数表示为更小的正因数相乘的积”的目的。 因此，规定:1既不是质数，也不是合数。 【思考练习】 正整数按因数的个数的多少可以分成( B )。 A(两类:质数和合数 B(三类:1、质数和合数 C(四类:0、1、质数和合数 【问题提出】A2—35 怎样判定一个数是不是质数,怎样把一个合数分解质因数, 【释问参考】 质数:一个大于1的整数，如果除了1和本身外，不能被其他正整数整除，这个数就称为“质数(素数)”。 质数的判定: (1)试除法。如47是不是质数,可根据质数的定义，看它是不是除了1和47外，不再有其他的约数。为此，可分别用质数2、3、5、7，„„去试除47。 (2)查质数表。 质因数(质约数或素因数):每个合数都可写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的“质因数”。 分解质因数的方法:短除法。 【思考练习】 ( C )用“筛法”制定了最早的质数表。 A(莱茉 B(查基尔 C(爱拉托斯散 【问题提出】A2—36 怎样证明“质数没有最大的”, 【释问参考】 证明“质数没有最大的”(即“质数的序列是无限的”)可依据“对于任意给定的一个质数，总还有比它更大的质数”的思路。 设p是任意给定的一个质数。用不大于p的所有质数2,3,„„，p构造另一个数:2×3ׄ„×p，1，则此数必大于p。如果它是质数， ，，则表明存在大于p的质数;如果它是合数，则必有质因数p。由于p不可能是2,3,„„，p，因此只能是大于p的质数，所以也证明了大于p的质数的存在。 这就是说，如果p是一个质数，那么总还有比它更大的质数。 【思考练习】 关于质数，下面哪一种说法是正确的,( B ) A(质数的序列是有限的 。 B(没有最大的质数。 C(无法证明“质数没有最大的”。 【问题提出】A2—37 “质数”、“质因数”与“互质数”、“互质”有什么不同,说“8和9是互质数”或者“8和9都是质数”对吗, 【释问参考】 质数:是大于1的自然数，它只有1和它本身两个约数。 质因数:是针对某个合数而言。如果合数的某个因数是质数，则称之为这个合数的质因数。 互质数:是针对两个自然数而言。如果两个自然数的公约数只有1,则称这两个数“互质”，或称它们是“互质数”。 例如:“8和9互质”或“8和9是互质数”。但不能说“8和9都是质数”。 【思考练习】 下面哪一种说法完全正确,( C ) A(5和9是互质数，5和9都是质数 。 B(因为43=1×43，所以1和43都是43的质因数。 C(2和5是互质数，2和5都是质数。 【问题提出】A2—38 质数有没有质因数,质数能不能分解质因数, 【释问参考】 小学数学教材中对“质因数”这个概念没有下定义，是通过例子描述的:6=2×3,28=2×2×7,60=2×2×3×5„„从这些例子可以看出，每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。其中每个质数都是这个合数的因数，叫做这个合数的质因数。 学了这段教材，学生易断定“合数有质因数”。但质数有没有质因数呢,根据质因数的定义:“如果一个整数的约数是质数，就称这个约数为该整数的一个质因数”。如3有约数3，因此可以说3是“3”的一个质因数。可见，每个质数都有它自身的质因数。 但“把一个质数写成质数乘积的形式”，就是这个质数本身。因此，小学阶段不必讨论“质数能不能分解质因数”的问题。教学这部分知识时，要防止产生“质数没有质因数”的误解。 【思考练习】 下面哪一种说法是错误的,( B ) A(合数有质因数 。 B(质数是没有质因数的。 C(每个合数都可以写成几个质数相乘的形式。 【问题提出】A2—39 怎样求两个数的最大公约数和最小公倍数, 【释问参考】 最大公约数:在几个自然数所有的公约数中，最大的一个叫做这几个数的最大公约数。a和b的最大公约数记作(a，b)。 求最大公约数的方法:(1)分解质因数法。把每个数分别分解质因数，它们的所有公有的质因数相乘的积，就是这几个数的最大公约数。比如，求72和84的最大公约数:72=2×2×2×3×3,84=2×2×3×7，它们公有的质因数有2、2、3，所以(72,84)=12。 (2)短除法。 (3)辗转相除法(又叫“欧几里得算法”)。先用较小的数去除较大的数，写出所得的商和余数(第一个余数);再用第一个余数去除除数，写出商和余数(第二个余数);用第二个余数去除第一个余数，写出商和第三个余数;„„这样继续下去，直到余数为0为止。最后一个除数(也就是不等于0的最后一个余数)就是原来两个数的最大公约数。这种方法在求两个较大的自然数的最大公约数时常常用到。 (4)口算法。?如果两个数是互质数，那么它们的最大公约数是1。?在两个数中，如果较小的数是较大数的约数，那么 较小的数就是这两个数的最大公约数。 最小公倍数:在几个自然数所有的公倍数中，0以外最小的一个，叫做它们的最小公倍数。a和b的最小公倍数记作〔a，b〕。 求最小公倍数的方法:(1)分解质因数法。(2)短除法。(3)口算法。(4)翻倍法。把两个数中较大的数扩大到原数的2倍，如果所得的数是另一个数的倍数，那么它就是这两个数的最小公倍数;如果不是，再把它扩大到原数的3倍、4倍„„直到求出最小公倍数为止。 【思考练习】 求最大公约数的方法中，( C )又叫“欧几里得算法”。 A(分解质因数法 。 B(短除法。 C(辗转相除法。 【问题提出】A2—40 为什么两个数的所有公有的质因数的积就是这两个数的最大公约数, 【释问参考】 可以这样理解:如果我们知道了一个数的所有的质因数，那么其中每一个质因数、每两个质因数的积、每三个质因数的积„„都是这个数的约数。最大的约数就是这个数的所有的质因数的积，即这个数本身。同样，我们可以根据两个数公有的质因数推算出“这两个数所有的公约数”:它们的每一个公有的质因数、每两个公有的质因数的积、每三个公有的质因数的积„„都是这两个数的公约数。其中最大的公约数当然是这两个数的所有的公有的质因数的积。 【思考练习】 24=2×2×2×3,60=2×2×3×5,所以可推出(24,60)=( C )。 A(4 B(8 C(12 41 “运算性质”、“运算定律”和“运算法则”有什么区别和联系, 【问题提出】A2— 【释问参考】 运算性质:定义在某个集合上的运算所具有的性质，叫做这种运算的“运算性质”。运算性质是人们对大量的计算实践经验所作的理论概括。如:减法的运算性质。 运算定律:基本的、能推导出其它运算性质的那些运算性质叫做“运算定律”。如:加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、乘法分配律。 运算法则:完成运算、得出结果的方法、程序或途径通常叫做“运算法则”，实质上也就是“运算方法”。如笔算“一位数乘多位数”的法则是:从个位起用一位数依次去乘多位数各位上的数;乘到哪一位，积的末尾就和哪一位对齐;哪一位乘得的积满几十，就向前一位进几。 运算法则的理论依据叫做算理。 第三节 量与计量 【问题提出】A3—1 “量”和“数”有什么区别和联系, 【释问参考】 【量】【计量】“量”也是数学中的一个基本概念。量(liàng)的主要特征就在于它可以量(liǎng)。也就是取一个同类量做标准时，可以比较出大小来。这种把要测定的量和一个作为标准的同类量进行比较的过程叫做“计量”。计量时用来作为标准的同类量叫做“计量单位”。 如长短、轻重、快慢等都是量，这些量就是通常所说的长度、重量和速度。 【量数】作为计量的结果得到的数叫做“量数”。 【计量单位】用来作为计量标准的量叫做“计量单位”。 【主单位】【辅助单位】【倍数单位】【分数单位】在实际计量中，由于计量的需要，每一类量都有大小不同的计量单位，其中一个为主的单位叫做“主单位”(或叫“基本单位”)。其他的单位是主单位的若干倍或若干分之一，叫做“辅助单位”(包括“倍数单位”和“分数单位”)。 例如:计量长度的主单位是“米”。比米大的单位有十米、百米、千米等，它们都是米的倍数单位。比米小的单位有分米、厘米、毫米等，它们都是米的分数单位。 有了计量单位，我们就可以通过某个量的计量，得到一个数，它表示被量的量是计量单位的多少倍。用这个数联同计量单位来表示这个量的大小。用数的运算以及计量单位的变换，进行量的运算。 【思考练习】 以下说法，不正确的是( B )。 A(“量”包括长度、重量、速度等。 B(“厘米”是计量长度的主单位。 C(作为计量的结果得到的数叫做“量数”。 【问题提出】A3—2 什么是“连续量”和“不连续量”, 【释问参考】 【连续量】【不连续量】【离散量】量可以分为连续量和不连续量两种。如苹果的个数、学生的人数等都是“不连续量”，也可称做“离散量”。对于不连续量，我们可以直接用数数的方法来计量。因为它从一种程度过渡到另一种程度是“跳跃地”变化的。我们可以用自然数来表示它的各种程度。 不能直接用数数的方法来计量的量叫做“连续量”。如长度、面积、重量、速度、时间等都是连续量。连续量的特点是:它从一种程度过渡到另一种程度可以是“连续地”变化的。为了表示它的各种程度。用自然数是不够的。 【思考练习】 以下属于“连续量”的是(C )。 A(图书的册数。 B(零件的个数。 C(容积。 【问题提出】A3—3 “量数”与“名数”有什么不同, 【释问参考】 【名数】计量任何一种量都要有相应的计量单位。有了计量单位，我们就可以通过某个量的计量，得到一个数。这个数叫做这个量的“量数”，它表示被量的量是计量单位的多少倍。 因此，用量数和计量单位就可以表示被量的量的大小。量数与计量单位合起来，被称之为“名数”。如用米做长度单位来量一个人的身高，得“1.78米”。这里的“1.78”就是量数;“米”是计量单位。它们合起来“1.78米”就是名数。 【思考练习】 一间教室占地约50平方米。这里的“50平方米”表示(B )。 A(量数。 B(名数。 C(计量单位。 【问题提出】A3—4 “单名数”、“复名数”、“同名数”与“异名数”有什么不同, 【释问参考】 【单名数】【复名数】 只含有一个单位名称的名数叫做“单名数”。例如:5米，20平方米，3小时等都是单名数。 含有两个或两个以上同类单位名称的名数叫做“复名数”。例如:8米3厘米，4分29秒等都是复名数。 单名数和复名数可以互相转化。如马拉松跑全程的长度是42.195千米=42千米195米。 【同名数】【异名数】计量单位相同的名数叫做“同名数”;计量单位不同的名数叫做“异名数”。 同名数加、减时，把量数相加、减，计量单位名称不变。同类的异名数加、减时，先要化为同名数，再加、减。如:42千米+195米=42000米+195米=42195米。 【思考练习】 关于“5平方米”和“5平方分米”，以下说法不正确的是( B )。 A(它们都是单名数。 B(它们是同名数。 C(它们想加的结果是5平方米5平方分米。 【问题提出】A3—5 “直接计量法”与“间接计量法”有什么区别和联系, 【释问参考】 【直接计量法】 把要计量的量直接同计量单位进行比较而得出量数的方法叫做直接计量法。例如:用米尺量布，用数方格的方法计量面积等都是直接计量。 但直接计量并不是任何情况下都能做到的。如计量地球与月球之间的距离，用米尺直接去量是不可能的。但我们可以用激光由地球射向月球，并且从月球表面反射回地球。计量一个来回所用的时间t;再设法量出激光的传播速度v。它们的乘积vt就是地、月之间距离的两倍。直接用面积单位去量圆的面积也同样是做不到的。我们只能用对应的长度单位去量圆的直径或半径，再按一定的公式计算圆面积。也就是说，必须用间接计量法。 【间接计量法】 先计量其它有关的量，然后通过计算得到所需的计量结果，这样的计量方法叫做“间接计量法。”如:先量长方形的长和宽，然后用公式计算长方形的面积，就是面积的间接计算法。 【思考练习】 小强应用公式C=πd求出了直径为5厘米的圆的周长，这种计量的方法是( B )。 A(直接计量法。 B(间接计量法。 C(可以说是直接计量法，也可以说是间接计量法。 【问题提出】A3—6 我国古代所说的“度”、“量”、“衡”各指什么, 【释问参考】 在我国古代，计量长、短称为“度”;计量容积称为“量”;计量轻重称为“衡”。所以，“度量衡”是计量长度、容积和重量的统称。后来，“度量衡”被用来泛指各种量的计量。 【思考练习】 以下关于“度”、“量”、“衡”，说法正确的是( C )。 A(我国古代所说的“度”相当于现在我们所说的计量角度的单位。 B(我国古代所说的“量”表示计量长度。 C(在现在，“度量衡”被用来泛指各种量的计量。 【问题提出】A3—7 什么是“公制”,“米”、“千克”和“升”各是如何定义的, 【释问参考】 【公制】【米制】“公制”是“国际公制”的简称。也叫“米制”。它是法国在18世纪首创的，采用当时认为最稳定而不变的自然物——地球子午线的长度作为标准，以通过巴黎子午线的四千万分之一作为长度单位，定名“米”。1875年17个国家的代表在巴黎开会议定，将这种计量制度定为国际通用的计量制度。 【米】【千克】【升】长度的主单位是米。质量的主单位是千克。容量的主单位是升。1959年6月我国国务院发布命令，确定公制为我国当时基本的计量制度。 【米的定义】1795年法国人提出的“米”的最初的定义是:“通过巴黎的地球子午线的四千万分之一叫做一米。”科学技术的发展，要求 pd进一步提高米的定义的精确度。1960年第十一届国际权度大会作出决议;“米的长度等于氪-86原子在真空中在2和5能级之间105跃迁时所发射的橙色光波波长的1650763.73倍。”1983年第17届国际计量大会正式通过米的定义:一米是光在1/299792458秒的时间间隔内在真空中行程的长度。 【思考练习】 以下说法不正确的是( B )。 A(长度的主单位是米。 B(容量的主单位是毫升。 C(标准千克的砝码是用铂铱合金制成的圆柱体，它在纬度45?的海平面上的重量为1千克。 【问题提出】A3—8 如何理解概念和规则的“规定性”, 【释问参考】 数学上的概念和规则，都被人为的作了规定。如:1厘米=10毫米，半径用字母r表示，整数运算时要“先乘除，后加减”。凡属于人为规定的教学内容，一般不适合让学生讨论或探究。作出某种规定的原因，许多也难以对小学生说清楚。 【思考练习】 为什么“1分米=10厘米”,针对这个问题，以下说法比较合适的是( A )。 A(一般不需要让学生来思考。 B(这个问题不适合作为课堂教学内容。 C(作为数学教师，应该要对这个问题心中有数。若有学生个别向教师提问，教师应给予适当说明。 【问题提出】A3—9 “国际单位制”与“法定计量单位”各指什么, 【释问参考】 【国际单位制】国际单位制(SI)是由公制发展而来的更完善、更科学的计量制度，它选择了七个属于不同学科的量作为基本量。对每个基本量的单位给予严格定义，以之作为国际单位制的基本单位。其它量的单位则通过选定的方程式根据基本单位来定义。国际单位制的倍数单位和分数单位，都由十进制国际制词冠加在国际制单位之前构成。 采用国际单位制，可以使科学、技术、生产、贸易和日常生活等方面所用的一切计量单位统一在唯一的单位制中，实现计量制度在全世界范围的全面统一。联合国教科文组织已通过决议，号召联合国成员国采用国际单位制。我国国务院1984年决定;推行以国际单位制为基础的法定计量单位，1990年完成向法定计量单位的过渡。 【法定计量单位】由国家以法令形式规定允许使用的计量单位叫做“法定计量单位”。我国新的法定计量单位包括:?国际单位制的基本单位;?国际单位制的辅助单位;?国际单位制中具有专门名称的导出单位;?国家选定的非国际单位制单位;?由以上单位构成的组合形式的单位;?由词头和以上单位所构成的十进倍数和分数单位。 表1 国际单位制的基本单位 量的名称 单位名称 单位符号 长 度 米 m 质 量 千克，(公斤) kg 时 间 秒 S 电 流 安[培] A 热力学温度 开[尔文] K 物质的量 摩[尔] mol 发光强度 坎[德拉] cd 表2 国际单位制的辅助单位 量的名称 单位名称 单位符号 平面角 弧 度 rad 立体角 球面度 sr 表3 国际单位制中具有专门名称的导出单位 量的名称 单位名称 单位符号 其它表示式例 —1 频率 赫[兹] Hz s 2 力;重力 牛[顿] N kg?m/s 2 压力，压强;应力 帕[斯卡] Pa N/m 能量;功;热 焦[耳] J N?m 功率;辐射通量 瓦[特] W J/s 电荷量 库[仑] C As 电位;电压;电动势 伏[特] V W/A 电 容 法[拉] F C/V 电 阻 Ω 欧[姆] V/A 电 导 西[门子] S A/V 磁通量 韦[伯] Wb V/s 2 磁通量密度，磁感应强度 特[斯拉] T Wb/m电 感 亨[利] H Wb/A 摄氏温度 摄氏度 C 光通量 流[明] Im cd?sr 2 光照度 勒[克斯] Ix Im/m —1 放射性活度 贝可[勒尔] Bq s吸收剂量 戈[瑞] Gy J/kg 剂量当量 希[沃特] Sv J/kg 表4 国家选定的非国际单位制单位 量的名称 单位名称 单位符号 换算关系和说明 分 min 1min=60s 时间 [小]时 h 1h=60min=3600s 天，(日) d 1d=24h=86400s [角]秒 (″) 1″=(π/648000)rad(π为圆周率) 平面角 [角]分 (′) 1′=60″=(π/10800)rad 度 (?) 1?=60′=(π/180)rad —1 旋转速度 转/分 r/min 1r/min=(1/60)s长度 海里 n mile 1n mile=1852m(只用于航程) 1kn=1n mile/h=(1852/3600)m/s 速度 节 kn (只用于航行) 3吨 t 1t=10kg 质量 —27原子质量单位 μ 1μ=1.6605655×10kg —333体积 升 L(1) 1L=1dm=10m -19能 电子伏 eV 1eV?1.6021892×10J 级差 分贝 dB 线密度 特[克斯] tex 1tex=1g/km 表5 用于构成十进倍数和分数单位的词头 所表示的因数 词头名称 词头符号 所表示的因数 词头名称 词头符号 ,18 1 分 10艾[可萨] E 10d ,15 2 厘 10拍[它] P 10c ,123 毫 10 太[拉] T 10m ,96微 μ 10 吉[咖] G 10 ,69兆 10 M 10 纳[诺] n ,312ρ 千 10 k 10 皮[可] ,215百 10 h 10 飞[母托] f ,118十 10 da 10 阿[托] a 【思考练习】以下说法正确的是(B )。 A(“国际单位制”与“法定计量单位”是一回事。 B(“海里”是我国选定的非国际单位制单位之一。 C(“吨”是国际单位制的基本单位之一。 【问题提出】A3—10 “基本单位”与“导出单位”各指什么, 【释问参考】 【基本单位】【导出单位】在一种单位制中，基本量的主单位称为“基本单位”。它是构成单位制中其它单位的基础。在选定了基本单位之后，由基本单位以相乘或相除的形式构成的单位称为“导出单位”。 如18世纪的“国际公制”，是以长度、质量和时间作为基本量，这些基本量的主单位米、千克和秒都是“基本单位”，这种计量制度也 2称“米?千克?秒制”。在这种计量制中，面积的单位是米×米=米;速度的单位是米?秒=米/秒。这些都是导出单位。 【思考练习】 以下属于“导出单位”的是(A)。 A(千米/小时。 B(千米。 C(小时。 【问题提出】A3-11“重量”与“质量”的计量单位有什么区别和联系, 【释疑参考】 物体中所含物质的量(即惯性的大小)叫做物体的质量。通常认为:一个物体的质量是一个常量。 物体所受重力(即地球对它的吸引力)的大小，叫做这个物体的重量。同一个物体在地球上不同纬度和高度，它的重量稍有不同。 但在生活中和贸易中，习惯上将“质量”称为“重量”。 1959年我国国务院发布的《关于统一计量制度的命令》中，确定国际公制为我国当时基本的计量制度，在全国范围推广使用。当时公布的《统一公制计量单位中文名称方案》中，重量的单位名称与质量单位名称相同。 但在国际公制中，长度、质量、时间是基本量，它们的主单位米、千克、秒是基本单位。重量单位则是导出单位。(重量)„„P=mg„„ 2重量(即重力)的单位是kg?m/s,即“牛〔顿〕”。质量为1千克的物体所受到的地球的吸引力(即重力)是9.8牛顿。如果把这个力也叫“1千克”，则会导致混乱。因而，当时的物理学把它称为“1千克重”。因此，“1千克重”作为力的另一种单位，有:1千克重=9.8 2牛顿。而在国际单位制中，明确规定kg?m/s(即牛顿)作为力(重力)的单位，不再用“千克”作为力的单位，回避了力的单位与质量单位名称相同造成的混乱。 【思考练习】 下列说法中，哪个是正确的,(A) A. 质量是基本单位，重量是导出单位。 B(重量是基本单位，质量是导出单位。 C(同一物体在地球上的所有地方，它的重量是一定的。 【问题提出】A3-12“克”、“克拉”与“盎司”怎样换算, 【释疑参考】 克、克拉、盎司都是质量(重量)的计量单位。“克拉”一词来自希腊文，用于珍贵珠宝的计量。1907年，巴黎国际权度大会规定每0.2克为1克拉。即 1克拉=0.2克 1克=5克拉 “盎司”是英美国家用于计量贵重金属的质量(重量)单位。即 1盎司=1/16磅=28.3495克 【思考练习】 下列的换算中，哪些是错误的,(B) A. 15克拉=3克 B(2克=0.4克拉 C(3磅=48盎司 D(2盎司=1/8磅 【问题提出】A3-13 “立方分米”、“升”与“加仑”怎样换算, 【释疑参考】 体积(容积)的单位立方米、立方分米、立方厘米都是以米原器为原始依据来定义的: 棱长是1米的正方体的体积叫做1立方米;„„ 0容积的单位升与毫升的原始依据是1千克原器。1千克的纯水在1个大气压和4C时的体积叫做1升。1升=1000毫升。 精确的计量表明:1立方分米=1.000028升。通常的计算中可以按1立方分米=1升计算。 加仑“gallon”的音译，是英美国家常用的计量液体或干散颗粒物质的容积单位。 1加仑=4夸特=8品脱 在英国，加仑和公制容积单位的关系为1加仑=4.546升。 【思考练习】 下列的单位换算中，哪个是错误的,(D) A. 2加仑=9.092升 B(5立方分米=5升 C(12夸特=13.638升 D. 10升=45.46加仑 【问题提出】A3-14“时间”和“时刻”以及它们的计量单位有什么区别, 【释疑参考】 钟表的表面上显示的某一特定瞬间叫时刻。时刻只有先后，没有长短，不能计量，可以表示，具有序数的意义。 两个不同时刻之间的间隔叫时间。时间没有前后，只有长短，可以计量，具有基数意义。 如果把时间比作数轴上的一条线段，那么时刻就是数轴上的一个点，因此“时刻”与“时间”有如下关系:时间=末时刻-初时刻。 时刻的表示与时间的计量单位通常不加区别。 根据所研究问题精确度的不同要求，“时刻”与“时间”也具有相对性。例如中华人民共和国成立于1949年10月1日，这“一天”在历史长河中也是“时刻”;秒针跳动的一下，在微观物理学的研究中也是一段不短的“时间”。 在国际单位制中，秒是时间的主单位，其定义是“铯——133原子基态的两个超精细能级之间跃迁所对应的辐射的9192631770个周期的持续时间”。其余时间单位则用秒的倍数或分数单位表示。 【思考练习】 下列关于时间的表述哪个是不正确的,(D) A. 时间没有前后 B(时间有长短 C(时间可以计量 D(时间具有序数的意义 【问题提出】A3-15“地方时”、“世界时”、“区时”、“标准时”及“北京时间”各指什么, 【释疑参考】1884年，国际权度会议制定了时区制度，规定将地球表面按经线分为24区时，称为时区。以本初子午线(即格林威治天 00文台所在经线)为基准，东西经度各7.5的范围作为零时区，然后每隔15为一个时区。 在每一时区内一律使用它的中央子午线上的时间为邻近地区的共同时间，称为该区的标准时间。各时区内统一采用的标准时称为该时区的区时。每越过一区的界限，时间便差1小时。 时区界限不严格规定为子午线，而是参考行政区来划分的。 世界时又称格林威治时间，它是以伦敦格林威治天文台本初子午线为标准的时间，即以零时区的区时作为世界时。世界时用于电信及科学记录，1963年起，我国世界时测定的精度已达到世界先进水平。 根据天体经过各地子午线所定的时间叫做地方时。 0我国现在通用的标准时，是以东经120子午线为标准的时间，叫北京时间。 实际上，北京时间不是北京的地方时，而是北京所在的东八区的区时。 【思考练习】 下面关于北京时间的说法，哪句是错误的,(C) A. 北京时间是我国现在通用的标准时。 0B(北京时间是以东经120子午线为标准的时间。 C(北京时间也是北京的地方时。 D(北京时间是北京所在的东八区的区时。 【问题提出】A3-16“下午9时”、“凌晨2时”等说法为什么不恰当? 【释疑参考】 在每一天的24小时里，从日出到日落的时间称为“白天”，而日出之前与日落之后都是“夜晚”。由于一年四季中日出、日落的时刻并不是固定不变的，因此，“白天”在一天24时内的分布情况有着季节性的周期变化。 在白天，以中午12时为界，12时之前的白天时段叫做“上午”(或午前);12时之后的白天时段叫做“下午”(或午后)。 类似地，在夜晚，午夜0时前的夜晚时段叫做“上半夜”(或前半夜);0时后的夜晚时段叫做“下半夜”(或后半夜)。 按1日24时这样的划分，“下午9时”的说法是不恰当的。因为“下午”的时段到日落后为止，以后的时刻属于夜晚，而不是下午。同样“凌晨”指日出之前而又接近日出的时间。下半夜2时离日出的时刻还比较长，不能称之为“凌晨2时”。 【思考练习】 下列说法中，哪些是正确的,(D) A. 上午4时 B(下午8时 C(凌晨1时 D(下午3时 【问题提出】A3-17“阳历”、“阴历”、“公历”、“夏历”和“农历”各指什么, “阳历”是太阳历的简称。阳历是以地球绕太阳运行为依据的一种历法。 【释疑参考】 现行的公历就是一种阳历。公历规定，通常的一年是365日，这样的年叫做“平年”。连续3个下半年之后有一个闰年，闰年有366日(这年的2月有29日)。 农历又叫阴历、夏历，是我国使用较多的一种历法。农历平年十二个月，大月30日，小月29日，全年354日或355日。农历闰年有十三个月，其中有一个月叫闰月。有闰月的年份全年有383日或384日。 【思考练习】 下列关于阳历的说法哪句是错误的,(C) A. 阳历又称“太阳历”。 B(阳历是以地球绕太阳运行为依据的一种历法。 C(阳历是我国使用较多的一种历法。 【问题提出】A3-18为什么公历每4年有一个闰年，每400年又要减少3年闰年,为什么农历有闰月, 【释疑参考】“年”是按地球绕太阳公转一周的时间规定的。地球绕太阳公转一周的时间，在天文学上叫做一个“回归年”。 1回归年=365日5时48分45.6秒 公历规定:通常的一年有365日，这样的年叫“平年”。所以，1个平年比一个回归年短5时48分45.6秒，4年就要短23有时15分2.4秒。因此公历规定，连续3个平年之后有1个“闰年”，闰年有366日(这年的2月有29日)。这就是公历上规定的“四年一闰”。如果年数能被4整除，那就是闰年。 因此，每4年比4个回归年要长44分57.6秒，照这样计算，400年将要长3日2时56分，又需要减少3个闰年。所以公历又规定:“逢百年不闰，四百年再闰”。总之: 1.公历年数能被4整除而不能被100整除时是闰年; 2.公历年数能被400整除时也是闰年; 3.其他都是平年。 农历的“月”是参照月球绕地球旋转一周所用时间(29日12时44分3秒)规定的。因此，“大月”30日，“小月”29日，12个月作为1年。全年254日或355日。比1个回归年约差11日。19年约差209日。因此，每19年设置7个闰年。有闰年时全年有383或384日。 【思考练习】下列年份中，哪个是平年?( C) A(2008 B(2000 C(2100 D(1984 【问题提出】A4-1“式”、“式子”、“算式”、“代数式”、“解析式”、“等式”与“方程”各指什么, 【释疑参考】 数学中用来表述某种规律的一组符号叫做“式”。“式子”则是算式、代数式、方程式„„等的统称。 用，、,、×、?等运算符号联结数字而成的横列的式子叫做“算式”，如(3，4)×5。 用加、减、乘、除、乘方、开方等运算符号把数字或表示数的字母连接起来，所得的式子叫做“代数式”。单独的一个数字或字母也叫 “代数式”。用字母表示数，并用表示运算类型、运算次序的记号把数字或表示数的字母连接起来所得到的式子叫做“解析式”。 表示两个数(或两个代数式)相等的式子叫做等式。表示所要求的数的字母叫做未知数，含有未知数的等式叫做方程。 【思考练习】 在下列概念中，哪个的范围最大,(A) A. 式子 B. 算式 C. 代数式 D. 方程 【问题提出】A4-2“2，3=6”是等式吗, 【释疑参考】“表示两个数(或算式)相等的式子叫做等式。”或者说，“用等号连接两个表示数的式子叫做等式。”因此，“2，3=6”是 等式。但它是一个错误的等式。 等式也是一种判断，“2，3=6”是一个假判断。 【思考练习】 下列式子中哪个不是等式,(B) A. 2×3，4=10 B. 3，7,11 C. 4+5=7 D. 2x=6 【问题提出】A4—3 “5?5”是真判断吗, 【释问参考】 “5?5”表示“5大于或等于5”，即“5,5或5=5”。它是一种复合判断，叫做“选言判断”。选言判断只有当用“或”连结的每一个判 断都假时，这个选言判断才是假的。否则，它总是真的。因为“5=5”真，所以虽然“5,5假，但“5,5或5=5”还是真的。即“5?5” 是真判断。 【思考练习】 如何判断一个选言判断是否为真判断,( A ) A(至少要有一个判断是正确的。 B(至少要有两个以上判断是正确的。 C(要求其中每一个判断都是正确的。 【问题提出】A4—4 x=1是方程吗? 【释问参考】 只要这里的x是用来表示所要求的数，即x是未知数，那么“x=1”就是方程。 【思考练习】 下面三个式子中，不属于方程的是( C ) A(kx，b=0 B(y=5 C(x,8,10 【问题提出】A4—5 “不知道的数叫做未知数”对吗, 【释问参考】 列方程解答实际问题时，问题的实际情境所涉及的数量有些是已知的，有些是未知的。在暂且不知道的那些数量中，有些是要我们求的，有些没有提出这样的要求。于是，我们从所要求的或与它们紧密相关的那些暂时不知道的数量中，选择几个数量分别用字母x,y„表示，并根据数量关系，列出关于x,y„的等式(或不等式)组，从中求出x,y„所表示的数量，进而求出题目要求的那些数量。 因此，把等式(或不等式)组中的x,y„统称为“不知道的数”是不恰当的。确切地说，这些字母表示的是题目要求的数量(直接未知数)或者与这些数量紧密相关的数量(间接未知数) 【未知数】【方程】表示所要求的数的字母叫做未知数;含有未知数的等式叫做方程。 【思考练习】 在列方程解答实际问题中，字母“x”可以表示( C ): A、已经知道的数或数量。 B、不知道的数或数量。 C、要求的数量或与这些数量密切相关的数量。 【问题提出】A4—6 如果x是未知数，那么x?24=6„„5是不是方程, 【释问参考】 5当然是方程。即x?24=6 ,并且它的解是x=6×24，5。 24 【思考练习】 下面三个方程中，与方程“x?32=3„7”相等的是( A ) 7A、 x?32= 3 32 3B、x?32= 7 32 3C、x?32= 3 7 【问题提出】A4—7 “除法”、“分数”和“比”有什么区别与联系, 【释问参考】 【除法】在除法中，已知的积叫做被除数。已知的一个因数叫做除数，求出的未知因数作为除法运算的结果叫做商。除法是一种运算。它是乘法的逆运算。在除法里，除数不能为零。 【比】两个数相除又叫做两个数的比。两个同类量的比就是用相同的计量单位时它们的量数的比。两个不同类量的比将产生一种新的量。比的后项不能为零。前项除以后项所得的商叫做比的“比值”。 【比、除法和分数的关系】比、除法和分数之间的对应关系如下表: 分数 分子 —(分数线) 分母 分数值 除法 被除数 ?(除号) 除数 商 比 前项 :(比号) 后项 比值 它们的主要区别在于:分数是一个数。除法是一种运算，要解决的基本问题是如何求出这种运算的结果—商，以及讨论商的存在性和唯一性、商的变化规律等问题。比是用来比较两个数量的一种方法。它是用除法来定义的，但比可以脱离比值而单独使用，用来表述两个同类数量比较的结果，说明它们之间的倍数关系。还可以用于比较两个不同类的数量，以产生一种新的数量。 33它们之间的联系还表现在除法的商和比的比值都可以用分数表示。如“3:5”可以表示为“ ”;3?5所得的商也可以表示为“ ”。因55 3此3:5=3?5= 。 5 【思考练习】 适合用来比较两个数量的一种方法是( C ) A:、分数 B、除法 C、比 【问题提出】A4—8 “比”、“连比”和“比例”有什么区别和联系, 【释问参考】 【连比】3个或3个以上的数组成的比叫做连比。连比不是连除，而是几个比连在一起写。通常表示各部分数量(连比中的各项)和总数量之间的关系。 【比例】表示两个比相等的式子叫做比例。组成比例的4个数，叫做比例的项。两端的两项叫做比例的外项，中间的两项叫做比例的内项。 比、连比和比例是有区别的。从意义上看，比由两个数组成，表示两个数相除，反映前项、后项与比值间的关系;连比表示各部分数量与总数量之间的关系。比例由两个比用等号连成，是一个等式，四个数成比例表示四个数之间的一种关系。 【思考练习】 五年级有4个社团小组，为了表示每个社团组人数和参加社团总人数之间的关系，我们选用( B )。 A、 比 B、连比 C、比例 【问题提出】A4—9“比”是一种运算，还是一种关系,体育比赛中的比分(如2:0)是比吗, 【释问参考】 根据“比”的意义，比是一种运算，表示比的前项除以后项的运算。但比也常常被用来表示两个数、两个同类量或者不同类量之间的数量关系。在数理逻辑中，“关系”被解释为含有两个可填入个体名称的空位的命题。如( ):( )=3:2表示一个关系。这个关系要用含有两个空位的命题来表示，不能仅仅用“3:2”来表示。因此，说“比是一种关系”属于对“比”的误解。 体育比赛中的比分(如2:0)，仅仅表示按照比赛规则两队所得分数的对比，它的表达方式像“比”，但实质上并不是数学里的“比”。数学名词“比”要求比的后项不能为零。但比分的双方都可以是零。在数学教学中，要注意区分数学语言与自然语言，不能蓄意地把它们混在一起。 【思考练习】 根据“比”的意义，“3:4”表示的是( A ): A:、3?4这样一种运算。 3B、 这样一个具体的数。 4 C、3与4两个数之间的关系。 【问题提出】A4—10 “比例尺”是“比”还是“比值”, 【释问参考】 一幅图的图上距离和实际距离的比叫做这幅图的“比例尺”。可见，比例尺是一个比。通常把这个比写成前项是1(或后项是1)的比的形式。 在计算图上距离或实际距离的问题中，比例尺往往作为一个分数参与运算。这个分数实质上是图上距离与实际距离的比的比值。这就是说，比例尺也可以作为图上距离与实际距离的比的比值，参与实际问题的有关计算。 【思考练习】 “比例尺”表示的是( A ) A、一个比 B、一个比值 C、既是一个比，也可以是一个比值 【问题提出】A4—11 如何判断四个数量是否成比例, 【释问参考】 1.根据比例的意义，看这四个数能否组成比值相等的两个比。 2.根据比例的基本性质，看这四个数能否组成两个相等的积。 【思考练习】 下列哪组中的两个比可组成比例,( 3 ) 1、0.1:2和0.2:0.4 2、9:12和12:5 3、2:12和5:30 【问题提出】A4—12 “求比值”与“化简比”有什么不同, 【释问参考】 【求比值】根据比的意义，将比的前项除以后项，求出商，这样的运算过程叫做“求比值”。 【化简比】根据比的基本性质，把一个比化作为最简整比数，叫做“化简比”。 根据 目标 方法 结果 求比的前项是后项用比的前项除以后得到的一个数(整求比值 比的意义 的几倍(或几分之项 数、分数或小数) 几) 前项与后项化为整把一个比化为简单得到的一个比(简化简比 比的基本性质 数后，分别除以它整数比 单整数比) 们的最大公约数 【思考练习】 50.375: 化成最简比是( 3 )，比值是( 2 )。 8 351、 : 88 2、0.6 3、3 :5 【问题提出】A4—13 “比的基本性质”与“比例的基本性质有什么不同”, 【释问参考】 【比的基本性质】是指比的前项与后项同乘或者同除以某一个数(零除外)，比值不变。 它和除法的“商不变的性质”以及“分数的基本性质”的内容相同，并且可以根据比的意义由商不变的性质推出。 【比例的基本性质】在一个比例中，两个外项的积等于两个内项的积。即如果a:b=c:d，则ad=bc。这个性质叫做“比例的基本性质”。 内容 依据 作用 比的意义和除法的化简比或把一个比变为比a?kaak比的基本性质 = = (k?0) bbkb?k商不变的性质 值相等的另一个比 比例的意义和等式将等比式化为等积式，达到ac比例的基本性质 = bd的基本性质 解比例的目的 【思考练习】 9?393 = = 这一过程是依据( 1、3 )。 1212?34 1(比的基本性质 2(比例的基本性质 3(分数的基本性质 【问题提出】A4—14 “成正比例”、“成反比例”与“不成比例”有什么不同, 【释问参考】 【成正比例的量】【正比例关系】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值(也就 是商)一定，这两种量就叫做正比例的量，它们的关系叫做正比例关系。 【成反比例的量】【反比例关系】两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的积一定，这 两种量就叫做反比例的量，它们的关系叫做反比例关系。 【正比例关系和反比例关系的相同点和不同点】 正比例关系 反比例关系 相同点 两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化。 (1)变化的方向相同，一种量随着另一个(1)变化的方向不同，一种量随着另一个量扩不同点 量扩大(缩小)而扩大(缩小)。 大(缩小)而缩小(扩大)。 (2)相对应的两个数的比值(商)一定。 (2)相对应的两个数的积一定。 “两种相关联的量”通常就是指存在函数关系的两个变量。 对应的两个数的商一定 „„成正比例 两种相关联的量 对应的两个数的积一定 „„成反比例 对应的两个数的积和商都不是定值 „„不成比例 【思考练习】 汽车往返于AB两地的速度和时间关系( 2 ) 1(成正比例 2(成反比例 3(不成比例 【问题提出】B1—1 “几何学”、“图形”与“空间”各指什么, 【释问参考】 【几何学】几何学据说起源于古代埃及在尼罗河泛滥后为整修土地而产生的测量法。“几何学”一词的外国语言名称就有土地测量的意 思。 几何学是研究图形性质的一门数学分科。 【图形】图形是数学的分支学科几何学的研究对象。“图形”曾经被解释为“点、线、面、体以及它们的组合”，现在则解释为“点的集 合(点集)”，因为“线、面、体”都可以看做点的集合。 【几何体】【体】在几何学中所研究的图形，包括体、面、线、点以及它们的组合。对于一个物体，如果只研究它的形状和大小，而不 管它的其他性质，那么这样的物体就叫做几何体，简称为体。 【面】体是由面围成的。 【线】面和面相交于线，线可以分为直线和曲线。 【点】线和线相交于点，几何里的点只有位置，没有大小。 在哲学上，“空间”和“时间”构成运动着的物质存在的两种基本形式，都具有不依赖于人的意识的客观性，它们同运动着的物质是不可分割的，“空间”和“时间”是无限和有限的统一。就宇宙而言，“空间”无边无际，“时间”无始无终;就每一个具体的事物而言，“空间”和“时间”都是有限的。 在自然语言中，“空间”是物质存在的一种客观形式，由长度、宽度和高度表现出来。 【思考练习】 一瓶牛奶包装上标有净含量为250ml,这是指( 3 ) 1(牛奶盒的重量 2(牛奶盒的体积 3(牛奶盒的容积 【问题提出】B1—2 小学阶段认识“直线”包括哪些要点,如何认识直线的无限延伸性, 【释问参考】 【直线的无限延伸性】事实上，“直线”概念的教学有三个要素:直、无粗细可言和无限延伸性。 认识直线的无限延伸性可采用如下方案: (1)用直尺在黑板上的两点间或在作业本上的两点间画线。指出:这样画出的都是线段。 (2)让学生讨论、交流，最后启发性讲解小结，使学生明确; 1.线段是直的(而不是弯曲的) 2.线段有两个端点和一定的长度。 3.在连接两点的线中，线段最短。 4.数学上所说的“线段”是没有粗细的(可以举出有关的事例，引导学生进行理想化抽象) (3)出示画有各种线的卡片，让学生辨别，其中哪些是线段，哪些不是线段。 (4)让学生从周围的环境里找出线段。 (5)让学生将画出的线段向一方延长再延长„„告诉学生:设想纸面向各方都无限制地扩大了，于是画在纸上的线段可以无限延长。线段向一方无限制延长得到的图形叫做射线;线段向两方无限延长得到的图形叫做直线。 【思考练习】 下列说法正确的是( 1、2、3 ) 1(线段向一方无限制延长得到的图形叫做射线。 2(线段向两端无限制延长得到的图形叫做直线。 3(在连接两点的线中，线段最短。 【问题提出】B1—3 说“直线可以无限延长”、“线段不能无限延长”为什么不对,“直线”、“线段”、和“射线”有什么区别和联系, 【释问参考】 因为在几何理论体系中所说的“直线”，本来就是向两方无限延伸着的，它不需要延长，也不可能再延长;而“线段”是直线上两点间的部分，它可以向一方或者两方延长，或者无限延长。说“延长直线AB”或“直线可以无限延长”等，实质上是对“直线”概念还没有正确地认识和领悟。 【直线、线段和射线的比较】 线段 射线 直线 图形 共同点 都是直的，都没有粗线可说。 (1)有两个端点，有一定的长(1)有一个端点，向一方无(1)没有端点，是向两方无 度 限延伸着 限延伸着的 差异 (2)可以向两方延长或无限延(2)可以反向延长或无限延(2)不能也不需要再延长或 长 长 无限延长 其他 在联接两点的线中，线段最短 两点确定一条直线 【思考练习】 下列说法不正确的是( 2 ) 1(线段是直线上两点间的部分。 2(直线比射线长。 3(两点确定一条直线 【问题提出】B1—4 研究“点与点”、“点与直线”、“直线与直线”、“点与圆”、“直线与圆”、“圆与圆”的位置关系时，如何定性分 类与定量刻画, 【释问参考】 点与点、点与直线、点与圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系的分类、定量研究所引入的几何量以及两者之间的关系大致如下表: 位置关系 定性分类 定量刻画 两者的关系 点与点 1.重合 连结两点的线段的长度d叫做这如果d=0，则两点重合 两点间的距离 2.不重合 如果d?0，则两点不重合 点与直线 1.点在直线上 点到直线的垂线段的长度d叫做如果d=0，则点在直线上 这点到这条直线的距离 2.点在直线外 如果d?0，点在直线外 点和圆 1.点在圆上 设圆的半径为r，点到圆心的距如果d=r，则点在圆上， 2.点在圆内 离为d 如果d,r，则点在圆内， 3.点在圆外 如果d,r，则点在圆外 直线和圆 1.直线和圆相交 设圆的半径为r，直线到圆心的如果d,r，则直线和圆相交 2.直线和圆相切 距离为d 如果d=r，则直线和圆相切 3.直线和圆相离 如果d,r，则直线和圆相离 不等的两个1.两圆外离 设圆的半径分别为r1、r2(r1,如果d, r1+r2，则两圆外离 圆 2.两圆外切 r2)，两圆的圆心距为d 如果d= r1+r2，则两圆外切 3.两圆相交 如果r1-r2,d,r1+r2，则两圆相交 4.两圆内切 如果d= r1-r2，则两圆内切， 5.两圆内含 如果0,d,r1-r2，则两圆内含 6.两圆同心 如果d=0，则两圆同心 【思考练习】 下列说法正确的是( 1 ) 1(点到直线的垂线段的长度最短 2(在同一平面内，两条直线一定相交 3(点在圆内，点到圆心的距离大于半径 【问题提出】B1—5 说“角的大小与边的长短没有关系”对吗, 【释问参考】 因为角的边事射线，射线是向一方无限延伸的，无长短可言。因此，说“角的大小与边的长短没有关系”是荒唐的、错误的。 从逻辑学的角度来分析，这里所犯得是“自相矛盾”的逻辑错误。一方面承认角的边事射线，射线是向一方无限延伸的，是没有长短的;另一方面又说角的边有长短。 “角的初步认识”一节中的“角”，还只是日常语言中的词汇，并且常常是作为具体事物的组成部分而存在着。如三角板中的三个角。教学时，要引导学生从日常语言中的“角”逐步过渡到数学概念的“角”，在相关事物的“角”的表象的基础上形成“角”的数学概念。指导学生画角时，可以告诉学生:角的两边“随便画多长都行”暗示角的两边的无限延伸性。 【思考练习】 下图中最大的角是( 3 ) 【问题提出】B1—6 “平行线”是指“平行的直线”还是指“平行的线段”, 【释问参考】 在同一平面内不相交的两条直线叫做“平行线”，或者说“这两条直线互相平行”。可见，根据定义，“平行线”是指两条平行的直线。 两条线段互相平行:在几何学中，常常出现诸如“平行四边形的对边平行”之类的句子。这里所说的“平行四边形的对边”当然是指两条线段。 用类比的方法，把“两条线段平行”定义为“同一平面内不相交的两条线段”是错误的。因为即使同一平面内的两条线段不相交，它们所在的两条直线仍然有可能相交(如梯形的两腰)。因此，我们只能这样定义“两条线段平行”:如果两条线段所在的两条直线互相平行，我们就说这两条线段互相平行。 “平行”一词最初是用来描述两条直线的一种特定的位置关系的。后来，又用来刻画两条线段或两条射线的位置关系。 【思考练习】 下图中相互平行的直线有( 2、3 ) 1(ac 2(ab 3(de 4(bc 【问题提出】B1—7 垂直和垂足有什么区别和联系, 【释问参考】 【垂线】【两条直线互相垂直】【垂足】如果两条直线相交成直角，就说这两条直线互相垂直。其中的每一条直线都可以称作另一条直线的垂线。它们的交点叫做垂足。 可见，平面几何中所说的两条直线互相垂直是两条直线的一种位置关系，是两条直线相交的特例。 【直线和平面垂直】【平面和平面垂直】在立体几何中，垂直的概念还用于表述直线和平面以及平面和平面的位置关系。 如果直线和平面相交，并且垂直于平面内过交点的每一条直线，就说这条直线和这个平面垂直。这条直线叫做这个平面的垂线，这个平面叫做这条直线的垂面。它们的交点叫做垂足。 如果两个平面相交，并且所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直。其中每个平面都称作另一个平面的垂面。 【思考练习】 下列说法正确的是(1、2、3 ) 1(直线a，b互相垂直和直线a是直线b的垂线，直线b也是直线a的垂线表述的意义相同。 2(两条直线相交成直角，它们的交点叫做垂足。 3(两条直线互相垂直是两条直线的一种位置关系。 【问题提出】B1—8三角形的稳定性，平行四边形的不稳定性是不是这些图形特有的属性,它们的确切含义是什么, 【释问参考】 【性质】【关系】【属性】在客观世界中，每一个事物都有许多性质(如形状颜色等)，和其他事物之间都存在各种各样的关系(如大小关系，位置关系等)。性质和关系统称属性。 事物和属性是分不开的。事物总是有属性的事物;属性也都是事物的属性。事物正是按其属性的异同归类的。 【特有属性】一类事物都具有，而别的事物都不具有的属性叫做这类事物的特有属性。稳定性不但是三角形的属性，而且是三角形的特有属性。因为三角形之外的其他多边形都不具有稳定性。 平行四边形的不稳定性则不然。不稳定性仅仅是平行四边形的一种属性，而不是平行四边形的特有属性，因为其他四边形以及五边形，六边形„„也都具有不稳定性。 【三角形的稳定性】【四边形，五边形的不稳定性】这里所说的稳定性和不稳定性，并不是日常语言中的词语，它们的确切含义必须作为数学学科中的专业名词来解释。 如果给定三角形三边的长度，那么这个三角形的形状和大小也就完全确定了。这就叫三角形的稳定性。三角形的这种特性在实践中有广泛的运用。 而四边形，五边形„„即使各边的长度完全给定，这些图形的形状和大小仍然可能在一定的范围内变化。研究和掌握这种变化规律，就可以设计出适合我们需要的、具有某种特定的运动规律的机构。如蒸汽机种所运用的平行四连杆机构、各种农业机械中所用的机构等。 稳定性和不稳定性初看起来，似乎是对立的东西，但它们都可以用来为人类服务，用来满足人们不同场合下的不同需要。 【思考练习】 以下生活中的哪种情况是利用三角形的稳定性( 2 )。 1(伸缩门 2(摄像机的三脚架 3(伸缩凉衣架 【问题提出】B1—9定义“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”、“有两边相等的三角形叫做等边三角形”各有什么不对, 【释问参考】 【定义】【属加种差定义】定义是揭示概念内涵的逻辑方法。所谓“定义”，就是用简明的语句揭示概念所反映的一类事物的特有属性。在初等数学中，用得最多的是属加种差定义。 一般地，在属加种差定义中说明了两点: (1)指出了一个更一般的概念(所谓“属概念”)，被定义的概念是它的特例; (2)指出被定义概念从属概念中划分出来所依据的属性(即种差)。 考虑到小学生的知识基础和思维能力，小学课本对于许多概念并没有给出符合逻辑学要求的严格定义。如:小学的初步认识，只是通过实例，使学生初步了解小数的意义;有些概念只是用直观的方法加以描述(如直线)，或者从一些具体事例直接抽象概括出来(如长方形)。 【定义的规则】 (1)被定义概念和属加种差所说的事物集合应该相同。否则，就会犯“定义过宽”或“定义过窄”的错误。 (2)定义不应该循环。这就是说，种差与属概念不能直接或间接地又用被定义概念来说明。否则，就会犯“循环定义”的逻辑错误。 说“两腰相等的三角形叫做等腰三角形”之所以不对，也是因为它犯了“循环定义”的错误。因为它在这里用“腰”来定义“等腰三角形”，而定义“腰”还得用“等腰三角形”。 (3)定义应该用科学上确定的概念。不能用暧昧隐喻之词，也不能用日常语言的词义解释作为定义。否则，就会犯“比喻定义”的逻辑错误。 (4)表示数学概念，应该用科学院名词委员会审定的专业术语。切忌使用擅自杜撰的不规范的词语。如定义“有两边相等的三角形叫做等边三角形”中使用的词语“有等边三角形”就不是规范的数学名词，应该改为“等腰三角形”。 【思考练习】 下列说法不正确的是( 2 ) 1(等边三角形一定是等腰三角形。 2(等腰三角形一定是等边三角形。 3(等边三角形一定是锐角三角形。 【问题提出】B1—10作为定义，说“两边相等的三角形是等腰三角形”、“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”有什么不妥, 【释问参考】 在一个正确的定义中，被定义概念和属加种差所说的事物的集合应该相同。这种同一性不仅要体现在语句的主项与谓项上，还应该体现在联项上。作为表达定义的语句，所用的联项应该是“称为”、“叫做”、“就是”或其他意义相同的词语。用“是”是不适当的。因为“是” 有这样三种不同的逻辑意义: (1)表示集合元素和集合的关系。 (2)表示真子集和包集之间的关系。 (3)表示两个相同的集合之间的关系。 因为定义所要表达的是第三种意义，所以要排除前两种意义。用“是”达不到这样的要求，改为“叫做”、“称为”、“就是”等词语更为恰当、准确。 【思考练习】 下列叫做等腰三角形的有( 1 ) 1(三角形A的三条边分别是7cm、7cm、2cm。 2(三角形B的三条边分别是5cm、2cm、2cm。 3(三角形C的三个角分别是90?、60?、30?。 【问题提出】B1—11小学阶段认识“三角形两边之和大于第三边”时，要不要论证,根据这个真命题可以进一步推出哪些真命题, 【释问参考】 小学数学课程中的“论证”，只能是局部的、有限度的、小学生能够理解的。其目的主要是揭示学生原有的认知结构中的某些真命题和新学习的真命题之间的必然的逻辑联系，从前者推出后者。 如学习“三角形两边之和大于第三边”时，可以先复习“在连接两点的线中，线段最短”。然后，将这个真命题用于三角形，结果可以归结为“三角形两边之和大于第三边”或者“三角形的任何一边小于另两边的和”。 据此，还可以进一步推出“多边形的任何一边小于另几边的和”。理性思维的培养离不开逻辑推理的训练。教学中不能仅仅满足于学生动手操作的实验方法以及归纳、类比的合情推理。 【思考练习】 有8cm、3cm、4cm长的小棒各2根，能围成一个三角形的选择是(2、3、5、7 ) 1(8cm、3cm、4cm 5(3cm、3cm、4cm 2(8cm、8cm、3cm 6(4cm、4cm、8cm 3(8cm、8cm、4cm 7(4cm、4cm、3cm 4(3cm、3cm、8cm 【问题提出】B1—12三角形的“高”究竟指的是特定的“线段”，还是指该“线段的长度”, 【释问参考】 在认识图形时，常常需要画出某个三角形或平行四边形或梯形的高。这时的“高”指的是一条垂直线段。它是一种图形。而在计算面积时又会用到高，这时“高”指的是一条线段的长度，是一种数量。那么，“高”究竟是图形还是长度,还是两种说法都可以, 【高】【高线】【底】在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的“高线”，简称“高”。垂足所在的边叫做这个高对应的“底”。 从平行四边形任意一条边上的任意一点作对边的垂线，这点和垂足之间的线段叫做平行四边形的高，垂足所在的边叫做平行四边形的这个高对应的底。 在梯形里，互相平行的一组对边叫做梯形的底(通常把较短的底叫做上底，较长的底叫做下底);从上底的一点到下底引一条垂线，这点和垂足之间的线段叫做梯形的高。 事实上，通常也把三角形、平行四边形或梯形的“高”理解为从底部到顶部(顶点或平行线)的垂直线段的长度。也就是说，“高”有两种不同的含义:表示一个图形(符合特定条件的一条线段);或者指一个数量(该线段的长度)。根据上下文，一般都可以判定其中所说的“高”指的哪一种意义。 比如，说“三角形的面积等于底乘高的积得一半”时，这里的“高”又是指三角形某边上的垂线段的长度。 由于小学教学教材中，仅仅是将“高”定义为图形中的垂线段，因此在认识求面积的公式时，可补充说明:公式里的“高”实际上是指垂线段的长度，以便对“高”有一个更完整的认识。 【思考练习】 如，“梯形的高有无数个”，这里的“高”指的是( 2 ) 1(连接上下两底的线段。 2(上、下底的垂线段。 【问题提出】B1—13“中线”、“中位线”与“中垂线”有什么不同, 【释问参考】 中线、中位线和中垂线都是初中平面几何中的几个普通的概念。 【中线】【重心】连接三角形的顶点和对边中点的线段叫做这个三角形的中线。每个三角形都有三条中线。三角形的三条中线交于一点。 三角形的三条中线共同经过的那个点叫做这个三角形的重心。 【三角形的中位线】三角形的两边中点的连线叫做这个三角形的中位线。三角形的两边中点的连线平行于第三边，并且等于第三边的一半。 一个三角形有三条中位线。 【梯形的中位线】梯形也有中位线。梯形两腰中点的连线叫做这个梯形的中位线。 【中垂线】【垂直平分线】经过线段的中点并且和线段垂直的直线叫做这条线段的“垂直平分线”。也叫“中垂线”。 在中学几何中容易证明:线段的垂直平分线就是到线段两端距离相等的点的集合。 【思考练习】 下图三角形中的中线是( 1 )，中位线是( 3 )，中垂线是( 2 )。 1(DE 2. G F 3. B E 【问题提出】B1—14能不能说“三角形和平行四边形都是特殊的梯形”, 【释问参考】 两个端点重合的折线叫做“封闭折线”。封闭折线又叫“多边形”，有时也可以称为“多角形”。 多边形的边数最少为三。按照边数，可以把多边形分成三角形、四边形、五边形„„也可以说“三边形”、“四角形”、“五角形”„„ 四边形中有共同端点的两条边互称邻边，没有共同端点的两条边互称为对边。一个四边形有两组对边。四边形可以按照它的每一组对边是否平行分为以下三类:两组对边分别平行的四边形叫做“平行四边形”;一组对边平行，另一组对边不平行(或者说只有一组对边平行)的四边形叫做“梯形”;两组对边都不平行的四边形自然称为“两组对边都不平行的四边形”。 按照这样的分类，三角形、平行四边形与梯形等概念的关系都是反对关系(即并列关系)，而不是属种关系(即不是一般和特殊的关系)。 【思考练习】 下列说法正确的是( 2 ) 1(三角形和平行四边形都是特殊的梯形。 2(三角形是多边形中边数最少的图形。 3(一组对边平行的四边形叫做“梯形”。 【问题提出】B1—15 两组对边分别相等的四边形是平行四边形在什么条件下不成立, 【释问参考】 小学生对于两条线段是否平行的敏感远低于对两条线段是否相等的敏感。因此，当他们直观认识平行四边形后，进一步研究这类图形的特征，从而领会平行四边形的定义时，思维定向容易聚焦于作为对边的两条线段是否相等，而不是对边是否平行。学生通过从图形中找平行线，按照每一组对边是否平行将四边形分类等活动，注意到平行四边形的两组对边不但平行，而且相等，在给平行四边形下定义时，就很可能对下面的问题感到困惑:为什么不把平行四边形定义为两组对边分别相等的四边形，而要把它定义为两组对边分别平行的四边形呢, 事实上，前一种定义不合适的主要原因就在于:两组对边分别相等的四边形如果不能首先确认它是平面四边形，那么它就不一定是平行四边形。这不仅可以用一张长方形的纸板，把它沿一条对角线折叠显示，而且可以在正方体的直观图上标出两组对边分别相等的空间四边形，来说明:虽然四边形的两组对边分别相等，但它实际上并不是平行四边形。而小学生考察的并不局限于平面图形。他们从周围的物体中抽象出来的图形也不可能都是平面图形。 平面几何中有一个平行四边形的判定定理:两组对边分别相等的四边形是平行四边形。这个定理在立体几何中应该表述为两组对边分别相等的平面四边形是平行四边形，不能表述为两组对边分别相等的四边形是平行四边形。一般地说，平面几何的任何一个定理在空间的 任何一个平面内总是成立的，所以，只要约定所讨论的图形是平面图形，那么平面几何定理对于在空间的这样的图形就必然成立。 【思考练习】 下列说法正确的是( 1、2 ) 1(平行四边形的两组对边分别相等。 2(平行四边形的两组对边分别平行。 3(平行四边形具有稳定性。 【问题提出】B1—16 为什么小学生往往不认为正方形是特殊的长方形,怎样防止这样的误解,为什么让小学生思考长方形和正方形有什么相同点和不同点是不妥当的, 【释问参考】 究其原因，有以下几点: (1)在小学一年级直观认识正方形和长方形阶段，学生对长方形和正方形的感受从一开始就是:它们是从不同的事物抽象出来的不同的图形。对于这些图形仅仅是通过直观地感知来积累表象，并且通过整体地辨认做出判断，既不分析它们的特征，更谈不上去研究它们的逻辑关系。 (2)在长方形和正方形的第二认识一般安排在二、三年级，用折一折、量一量、比一比等实验的方法分别研究长方形和正方形的特征: 长方形: 有四条边，对边相等 有四个角，都是直角 正方形: 有四条边，全都相等 有四个角，都是直角 这时，教科书往往要求学生思考:长方形和正方形有什么相同点和不同点,导致学生误认为它们是并列的两个概念(反对关系)，而不是要求学生先概括出长方形的特征，然后，对照被称为正方形的那一类图形，研究:长方形的每一项特征，正方形是不是都具有,既然长方形的每一项特征正方形都具有，那么可以对这两种图形的关系作出什么结论,(正方形是特殊的长方形;正方形是长等于宽的长方形。)然后进行分类，使学生明确长方形和正方形的属种关系。 (3)现行教科书在计算长方形和正方形的面积时，用同样的方法去推导两个面积公式。没有强调:因为正方形是特殊的长方形，所以长方形的面积公式对正方形的面积计算同样适用。因此，可以根据长方形的面积公式推导出正方形的面积公式。 【思考练习】 长方形的面积公式是( 3 ) 1(长方形的面积=(长+宽)×2 2(长方形的面积=长×宽?2 3. 长方形的面积= 长×宽 【问题提出】B1—17 说长方体的六个面都是正方形对吗,在这六个长方形中，是否可能只有一个正方形,是否可能只有两个正方形,是否可能只有四个正方形,是否可能都是正方形, 【释问参考】 探究和认识长方体的特征，主要还是让学生观察、测量，同时适当应用空间想象和逻辑推理，悟出长方体的面、棱、顶点的特点，特别是长方体的六个面都是长方形;每两个相对的面完全相同。并由此推出:在长方体的六个面中，如果有正方形，那么必然有偶数个正方形。进而推之:长方体的六个面中，如果有了两个面是正方形，那么其他四个面就一定是完全一样的长方形;如果有四个面是正方形，那么另两个面必然也是正方形。 【思考练习】 长方体六个面的六个长方形中，可能出现以下哪种情况( 4 ) A(六个面都是长与宽不等的长方形。这时长方体的长、宽、高两两不等。 B(六个面中有且只有两个相对的面是正方形。另四个面是完全相同的、长与宽不等的长方形。即长方体的长=宽?高。 C(六个面都是正方形。这个长方体的长=宽=高，实际上是一个正方体。 1(AB 2(BC 3(AC 4(ABC 【问题提出】B1—18 圆、圆周和圆面有什么不同, 【释问参考】 【圆】圆是平面上的一种曲线，它包含了这个平面内到某个定点的距离等于定长的所有的点，并且只有这样的点在这条曲线上。 【圆周】【圆周长】根据圆的定义:圆就是平面内到定点的距离等于定长的点的集合。所以圆就是圆周。圆周的长度就是圆周长。 【圆面】【圆面积】圆所围的平面部分叫做圆面。圆所围的平面部分的大小叫做圆的面积。在日常语言和小学数学中，“圆”有时指“圆周”，有时指“圆面”。 【思考练习】 下面说法错误的是( 2 ) 1.在同一个圆内，圆心到圆上任意一点的距离都相等。 2.两端都在圆上的线段叫做这个圆的直径。 3.在同一个圆内，所有半径的长度都相等，所有的直径的长度都相等。 【问题提出】B1-19 说“圆就是360?的扇形”对吗, 【释问参考】 不对。因为“圆”和“360?的扇形”不是相同的点集。 【思考练习】 圆就是360?的扇形。( B ) A对 B不对 【问题提出】B1-20“圆”和“球”有什么相同点、不同点,它们之间有什么相互联系, 【释问参考】 相同点:圆和球面都是“到定点的距离等于定长的点的集合”。 不同点:圆是就一个平面内的点而言，而球面则以整个三维空间作为论域(全集)。 相互联系:可以相互转化，如半圆绕直径所在的直线旋转一周，产生的旋转面就是球面。 【思考练习】 球是( B ) A在一个平面内到定点的距离等于定长的点的集合 B在空间到一个定点的距离等于定长的点的集合 【问题提出】B1-21小学生直观认识图形后，在辨认形体时作出肯定或否定的判断，需不需要说明理由, 【释问参考】 不需要说明理由。因为学生主要是依靠整体观察与表象储备对照从而直觉地作出判断的，因此不可能讲出令人信服的理由。不过学生如果辨认错误，教师在调整或修改时必须借助直观手段加以解释，如学生指着削好的圆铅笔说这是圆柱体，教师就该拿出没有削过的圆铅笔给学生看，说这样的铅笔才是圆柱体。 【思考练习】 一位一年级学生在判断一个物体的形状是不是长方体时，老师要求他说出判断的理由，你认为这样合适吗,( A ) A不合适 B合适 【问题提出】B2-1“面积”概念在小学数学中的说明和在中学数学中的定义有什么不同, 【释问参考】 小学数学教科书对“面积”概念的表述:物体的表面或平面封闭图形所围的平面部分的大小叫做它们的面积。关于面积概念，有两点基本特征: (1)可以完全叠合的两个平面封闭图形的面积相等(简单地说就是“全等形等积”) (2)把一个平面部分分成两块，那么这个平面部分的面积等于两块的面积和(“面积的可加性”) 在中学数学教师培训教材中，关于面积概念是这样论述的:对应于一个简单多边形且具有下列性质的正数叫做这个简单多边形的面积: (1)与的(即全等的)多边形对应的是相等的正数。 (2)两个多边形之和对应的正数等于这两个多边形对应的正数的和。 可见，“面积”概念在小学数学中的说明和在中学数学中的定义基本上是一致的。不过，小学数学中的面积概念的表述较为直观、笼统，教学中教师需要另行安排一些数学活动以突出对“全等形等积”和“面积的可加性”的感知。 【思考练习】 小学数学中对“面积”概念的说明和中学里的定义是( A )。 A 基本一致 B完全不一样 C完全一样 【问题提出】B2-2用数方格的办法求一个图形的面积，它的理论根据是什么, 【释问参考】 用数方格的办法来求图形面积的理论根据有两点: 22因为每个小方格表示的正方形和表示1cm的单位正方形全等，所以每个方格表示的面积都是1 cm。 22(2)(假设方格图上有两个图形，面积分别为12 cm和10 cm)因为两个图形分别是由12个和10个这样的正方形拼成的，所以它们 22的面积分别等于12个和10个正方形面积的和，即分别为12 cm10 cm。 通过数方格求图形的面积，就是把这个图形的面积直接和面积单位比较，实质上是用“直接计量法”求面积。而用直接计量法求面积的理论根据正是关于面积概念的两个公理:“全等形等积”和“面积的可加性”。 【思考练习】 通过数方格求图形的面积，就是把这个图形的面积直接和面积单位比较，实质上是用( A )求面积。 A直接计量法 B间接计量法 【问题提出】B2-3用数方格的办法求面积时，为什么不满一格的一律按半格计算, 【释问参考】 用数方格的办法求一个封闭图形的面积时，可能会在靠近边界的地方遇到一些不完整的方格。如果这些不完整的方格可以拼成完整的方格，那么就凑整后计数。但更多情况下不完整的方格无法拼成完整的方格，这时，似乎可以参照截取近似数的“四舍五入法“，将哪些达到或超过半个的不完整的方格算作1格;而将那些不足半格的不完整的方格算作0。但如此操作较为繁琐，因此约定:在对结果的精确度要求不高的条件下，可以将每个不完整的方格一律按半格计算。 【思考练习】 用数方格的方法求面积时，通常规定:不满一格的一律按半格计算，这是( B )。 A数学家规定的 B为了方便约定俗成的 【问题提出】B2-4面积的“直接计量法”与“间接计量法”有什么不同, 【释问参考】 “面积的直接计量法“就是把需要测量的一块面积和面积单位直接比较，得出被量的面积是面积单位的多少倍。比如我们在进行面积的直接计量时，总是设法将需要测量面积的封闭图形尽可能分成若干个边长为长度单位的小方格，每格的面积是1个面积单位，数一数被测量面积包含了多少个单位小方格，就可以知道该图形的面积是多少个面积单位。 而用公式计算求面积实质上是用了“面积的间接计量法”。间接计量法和面积公式的运用，大大地简化了求面积的操作。 但直接计量法在求某些不规则图形的面积时，仍有其不可替代的作用。 【思考练习】 我们在计算三角形面积时，通常运用公式“底×高?2”来算，这实质上是运用( B )法求面积。 A直接计量法 B间接计量法 【问题提出】B2-5怎样得出常见图形的面积公式, 【释问参考】 首先，根据面积概念、面积单位以及长方形的特征推出长方形的面积公式，运用演绎推理推出正方形的面积公式。接下去，根据化归的思想，采用割补的方法，将平行四边形变换为长方形，推出平行四边形的面积公式。 再次，将三角形等积变换为长方形，将梯形等积变换为三角形或长方形来推导面积公式。 最后，运用变换的思想和方法，运用极限思想和极限方法，将圆平均分成若干等份，拼成近似的长方形或平行四边形，推导出圆面积公式。 【思考练习】 在推导常见图形的面积公式时，我们常常运用( ABC )的思想方法。 A极限 B转化 C推理 【问题提出】B2-6?是怎样算出来的, 【释问参考】 44根据史料记载，公元前1650年左右，在古埃及流传下来的莱茵德纸草书上，取?=()=3.1604„„ 3 公元前240年，古希腊的阿基米德从计算圆内接正多边形与圆外切正多边形的周长来确定圆周率。他先从正六边形开始，逐步算到正96边形，得到 1013,?,3，?=3.14 771 公元150年，C.托勒密根据圆心角所对弦的长度推算出 308377?=3++=?3.1417 60的平方60120 281427年，阿拉伯的卡西通过计算3×2边形的周长，得出了精确到17位有效数字的?的近似值。?=3.1415926535898732 中国早在公元前100多年的古代算书《周髀算经》里就记有“周三径一”，即取?=3，称之为古率。东汉张衡计算球的体积时，取?=3.16 公元263年，三国时魏人刘徽在注《九章算术》时提出了“割圆术”，用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆面积的方法，从圆内接正六边形开始，成倍增加边数，逐步算到正192边形，得到?=3.14. 南北朝时的祖冲之则用“缀术”(已失传)求出了圆周率的8位有效数字的近似值3.1415926,?,3.1415927.这比卡西早了九百多年。 1767年，J.H.朗伯证明了圆周率?是无理数，它不能表示为有限小数或无限循环小数，即?不是任何有理系数的一元n次方程的根。 1948年，D.F.弗格森和J.W.小雷恩联合发表了808位准确的?值。 电子计算机发明以后，?值的计算得到了飞速的发展。1949年，算到2037位;1959年，算到16167位;1967年，算到50万位;1974年，算到100万位;1083年，算到800多万位。20世纪90年代，用先进的电子计算机“克雷-2”28小时就算出了2936万位的?值，创下了当时最新的世界记录。 【思考练习】 我国古代( A )提出用“割圆术”求出?=3.14。 A祖冲之 B张衡 C刘徽 【问题提出】B2-7速度的计量单位和长度的计量单位相同吗, 【释问参考】 速度的计量单位和长度的计量单位是不同的。在一个单位制中，一般都以长度单位作为基本单位之一。而速度单位则是由长度单位与时间单位构成的所谓“导出单位”。在日常语言中，“汽车的速度是80千米/时，有时也说成“汽车的时速是80千米”，但不能说“汽车的速度是80千米”。 【思考练习】 一辆尼桑轿车的速度是70千米/时，下列说法不正确的是( A )。 A这辆轿车的时速是70千米 B这辆轿车的速度是70千米 C这辆轿车每小时的速度是70千米 【问题提出】B2—8 “体积”和“容积”有什么相同点和不同点, 【释问参考】 相同点: 容积就是容器所能容纳其他物体的体积。因此，容积也是一种体积。体积的计量单位对于容积的计量全都适用。 容积的计算公式和计算方法与体积相同。 不同点: 容积的单位“升”与“毫升”只适用于计量液体、颗粒状或粉末状固体的体积，对于一般的固体的体积计量不适用。 在一般的计算中，可以认为:1升=1立方分米，1毫米=1立方厘米。但升与立方分米(毫米与立方厘米)的原始依据不同，在要求结果十分精确的问题中，一律用立方米等体积单位，不用升与毫升。 容器的体积决定与它的外形和外部尺寸，容器的容积则取决于这个容器内部可以盛放其他物体的空间的形状和内部大小。容器的体积和容积是两个不同的数量。 【思考练习】 一个长方体水池,从里面量长,宽,高都是1米,水池的( B )是1立方米。 A.体积 B.容积 3 【问题提出】B2—9 用棱长为a的正方体木块旋切成体积最大的圆锥，它的体积是1/12?a吗, 【释问参考】 不是。(涉及图形较复杂，讲课时投影显示) 【思考练习】 一个圆柱体与一个圆锥体的底面周长的比为1:2，高的比是3:1，这个圆柱体积与圆锥体的体积比是( B ) A 9:2 B 9:4 C 4:9 D 2:9 【问题提出】B2—10 怎样证明“等底面积、等高的圆锥的体积等于圆柱的体积的三分之一”, 【释问参考】 实验证明。 【思考练习】 把一个底面积45平方分米、高7分米的圆柱体钢块，铸成一个圆锥体零件，这个零件的体积是( A )立方分米。 A 315 B 105 【问题提出】B3—1 火车车厢的运动是“平移”吗,火车车轮的运动是“旋转”吗, 【释问参考】 运行中的火车车厢仅当铁路线是直线时才是平移。如果铁路线是曲线(线路有高低起伏或转弯)，则火车车厢的运动就不是平移。 行进中火车车轮的运动并不是旋转。因为车轮上每一点的运动轨迹并不是圆，而是旋轮线。 【思考练习】 若在同一平面内的两个图形A和B通过平移总可以完全重合在一起(不论A和B的初始位置如何),则A和B是( C ) A 两条长度相等的线段 B 两个相等的角 C 两个半径相等的圆 D 两个全等的多边形 【问题提出】B3—2如何准确地数出平移的格数, 【释问参考】 可以在图形上任意选择一个点作为依据，看这个点向什么方向平移了几格，我们就说这个图形向这个方向平移了几格。不论选择哪一个点观察，得出的结论都应该相同。 【思考练习】 在图形平移中，下面说法中错误的是 (D). A. 图形上每一点移动的方向相同 B. 图形上每一点移动的距离相等 C. 图形上对应两点的连线的长度不变 D. 图形上可能存在不动点 【问题提出】B3—3 “轴对称”、“平面对称”、“中心对称”与“旋转对称”有什么不同, 【释问参考】 “轴对称”:表示两个平面图形之间的一种位置关系。“轴对称”也表示一种图形变换。 “轴对称图形”:如果一个图形关于某直线成轴对称的图形和这个图形自身重合，那么这个图形就叫“轴对称图形”。 “平面对称”:如果两个立体图形的对应点之间的连线都被某一确定的平面垂直、平分，就说这两个立体图形关于这个平面成“平面对称”。 “中心对称”:如果两个图形的对应点之间的连线相交与同一点，并被这点平分，就说这两个图形关于这点成“中心对称”。这个点叫做“对称中心”。 “旋转对称”:如果一个平面图形绕某一定点o每旋转360/n(n>1,是正整数),都和原图形重合,那么这个图形就称为n-旋转对称图形” 。 【思考练习】 下面哪个是中心对称图形( A ) A 正方形、平行四边形 B菱形 三角形 【问题提出】B3—4说“飞机、天安门、桂林山水”等是轴对称图形对吗, 【释问参考】 飞机、天安门、桂林山水等作为立体图形，都是平面对称图形，而不是轴对称图形，但它们在一定方向上的正投影图有可能是轴对称图形。 【思考练习】 圆柱体和圆锥体都是轴对称图形吗,( B ) A 是 B 不是 【问题提出】B3—5平行四边形是不是轴对称图形, 【释问参考】 有些平行四边形是轴对称图形，有些平行四边形不是轴对称图形。更确切的说，应该是“邻边相等或垂直的平行四边形是轴对称图形”。“邻边不等并不垂直的平行四边形不是轴对称图形。 【思考练习】 ( D )是轴对称图形, A 三角形 B 梯形 C平行四边形 D 正方形 【问题提出】B3—6说“长方形有两条对称轴”对吗, 【释问参考】 确切的说:“长等于宽的长方形(正方形)有4条对称轴，长不等于宽的长方形有两条对称轴。” 【思考练习】 有两条对称轴的图形有( A ) A 菱形 B 圆 C 正方形 【问题提出】B3—7等腰三角形有多少条对称轴, 【释问参考】 底、腰相等的等腰三角形有3条对称轴，底、腰不相等的等腰三角形有1条对称轴。 【思考练习】 下列( C )有3条对称轴, A 三角形 B 等腰三角形 C 等边三角形 【问题提出】B4-1 辨别一个物体的“上下”、“前后”、“左右”，应该以什么做为标准, 【释问参考】 上、下:实质上都是以地球的球心为标准的(离地心远，就是上面)，而与位置比较的两个物体本身无关，也与说这句话的观察者本人无关。 前、后:当我们说“A在B的前面”或“A在B的后面”时，所谓“前面”或“后面”是以B为标准的;而说“B在A的前面”或“B 在A的后面”时，又是以A为标准的。这两个标准可能一致，也可能不一致，要针对不同的情况作具体分析。在用“前、后”表述位置关系时，有时，可能要以观察者为标准。 左、右:如果B本身有“左、右”，那么当我们说“A在B的左面”或“A在B的右面”时，这里的“左、右”是以B为标准的。如果B本身无“左、右”可言，则这两句话里所说的“左、右”就是以观察者为标准的 所谓“上下、前后、左右”，实质上指的是从某个物体引出的两两垂直的三条直线上的六条射线的方向。 【思考练习】 王芳和李明朝相反方向站立，这时王芳在李明的左面，这里的左面是以( B )为标准的。 A、王芳 B、李明 C、观察者 【问题提出】B4-2 怎样从几何的三视图想象该几何体的形状, 【释问参考】 从不同的方位看一个物体，看到的形状一般是不同的。比如，看一个直立的圆柱，从正面或左侧面看，是一个长方形;从上面看，是一个圆。一般地说，从正面看一个物体，看到的形状叫“主视图”;从左侧面看到的形状叫“左视图”;从上面看到的形状叫“俯视图”。主视图、左视图、俯视图统称三视图。三视图实质上是用从前往后、从左到右以及从上到下的两两垂直的三组平行线，将物体投射到两两垂直的三个平面上得到的三个正投影图。 【思考练习】 物体的一个视图是圆，那这个物体不可能是( B ) A、圆柱 B、正方体 C、圆锥 【问题提出】C1-1 常用的“平均数”有哪几种,含义各指什么,“中位数”和“众数”各表示什么, 【释问参考】 常用的平均数有算术平均数、加权平均数和几何平均数。 算术平均数:如果有n个数，那么这n个数的和除以n所得的商叫做这n个数的算术平均数。 加权平均数:如果在n个数中，有几个数字重复出现几次，这时的算术平均数又叫加权平均数。 几何平均数:如果有n个正数，那么这n个正数的和除以n所得到的商叫做这n个正数的几何平均数。 众数:在一组数据中，出现次数最多的数据叫做这组数据的众数。它是反映这组数据集中趋势的一个特征值。 中位数:将一组数据按大小依次排列，当数据有奇数个时，把处在最中间位置的一个数据叫做这组数据的中位数;当数据有偶数个时，把最中间的两个数据的算术平均数叫做这组数据的中位数。中位数也是反映这组数据集中趋势的一个特征值。 【思考练习】 在一组数据汇总出现次数最多的数据叫做这组数据的( C ) A、平均数 B、中位数 C、众数 【问题提出】C1-2 “去掉一个最高分、去 掉一个最低分”的数学含义是什么, 【释问参考】 为了保证最后成绩的真实性、客观性和代表性，计分时常会“去掉一个最高分、去掉一个最低分”，防止了“一两个数据决定结果，多数服从少数”情况的发生，在一定程度上保证了数据分析的合理性。这是数据处理的一种统计方法。平均数作为表示集中趋势的代表数，它和一组数据中的每一个数据都有联系，对数据的反映比较充实。但是平均数易受极端数据的影响，也会削弱它的代表性。 【思考练习】 在一次歌唱比赛中，十位评委给一选手打分如下:67、86、89、91、91、92、92、92、93、95，如何确定这位选手的最终得分( B ) A、直接算出平均数 B去掉一个最高分和一个最低分，再算出平均数 【问题提出】C1-3 “平均分”、“平均水深”和“平均数”有什么区别和联系, 【释问参考】 “平均分”是对某个总体(或整体)而言的，是对总体(或整体)的一种划分。除了平均分，还有“按比例分”、“随意分”。 因为在小学数学中只讨论算术平均数，因而算术平均数被简称为平均数。将一个总体随意分时，各份数量的平均数等于将这个总体平均分时一份的数量。 某些版本的小学数学教科书中所说的池塘的“平均水深”已经不是上面所说的“算术平均数”，而是“积分中值”。它的几何意义是池塘里所有水的体积除以水面面积所得的商。 【思考练习】 ( A )是对总体(或整体)的一种划分 A、平均分 B、平均数 C、平均水深 【问题提出】C1-4 “极差”、“方差”和“标准差”各表示什么, 【释问参考】 极差:指一组数据中的最大值与最小值。极差越大，说明这组数据的离散程度越大。用极差反映数据离散程度直观、易算，但因为只用了两个极端数据，难免有其片面性。 方差:要比较精确地表示一组数据的离散程度，可以用整组数据中的每个数据偏离其中心位置的大小来刻画。一组数据的中心位置一般用算术平均数来表示。因为整组数据离中心位置的差之和一定等于0，所以这个和当然不能表示一组数据的离散程度。如果用整组数据的离差的绝对值之和来表示整组数据的离散程度，因带有绝对值符号，也不便于计算。因此，我们用整组数据离差的平方和来表示整组数据的离散程度。同时，为了消除数据个数n的影响，又因为这n个离差中只有n-1个相互独立，所以用n-1而不用n去除这个和，用除得的商表示真个数据的离散程度，叫做方差。(公式不方便输入，详见书P151-152) 标准差:为了使表示整组数据离散程度的数量的单位与原数据单位一致，引进标准差来表示一组数据的离散程度。(公式不方便输入，详见书P152) 【思考练习】 ( B )可以比较精确地表示一组数据的离散程度 A、极差 B、方差 【问题提出】C1-5 “统计表”和“统计图”常用的有哪几种,他们各有什么特点, 【释问参考】 统计表常用的有单式统计表和复式统计表，单式统计表所反映的是某一种数量有关的数据;复式统计表反映的是两种或者两种以上数量的相关数据。 统计图常用的有条形统计图、折线统计图、扇形统计图、圆形统计图和百分数统计图。条形统计图是用单位长度的条形表示一定的数量。用长短不同的直条表示不同数量，然后把这些直条按照一定的顺序排列起来，这样画出来的统计图叫做条形统计图。条形统计图有单式条形统计图和复式条形统计图两钟。单式条形统计图用来对比或表示一组数量或某一个数量的变化情况。复式条形统计图则用来对比几组数量或表示几个数量的变化。折线统计图是用用折线顶点的高低表示各种数量的大小，通过折线的上升或下降来表示统计数据的增减变化的统计图，折线统计图也有单式折线统计图和复式折线统计图两种。在扇形统计图中，总数用一个圆的面积来表示。用圆里的扇形面积表示总数的各个组成部分，以及各部分占总数的百分比，所以它也可以叫做圆形统计图或百分数统计图。扇形统计图可以清楚地表示出部分与总体、部分与部分之间的数量关系。 【思考练习】 如果想表示第四季度某一商品销售增减变化情况，我们应选择( B ) A、统计表 B、折线统计图 C、扇形统计图 【问题提出】C2-1 “确定性现象”和“随机现象”的主要区别是什么, 【释问参考】 确定性现象和随机现象的主要区别在于:确定性现象在一定的条件下，肯定出现或者肯定不出现，不存在其他的可能性;随机现象则是条件不能完全决定结果，在相同的条件下发生的结果可能不同。简单地说，确定性现象和随机现象的主要区别是:确定性现象在一组条件下某种结果必然发生，而随机现象在同一组条件下结果可能不同。 【思考练习】 一个磁铁的N极与另一个磁铁的S极靠近，则两磁铁相互吸引，这是( A )现象 A、确定性现象 B、随机现象 【问题提出】C2-2 “随机试验”和“等可能性试验”如何定义, 【释问参考】 随机试验:在概率论中，把对自然现象的一次观察或进行一次科学实验统称为一次“试验”，具有下列三个特征的试验，叫做随机试验。 可以在相同条件下重复进行; 每次试验的可能结果不止一个，并且能在试验之前明确试验的所有可能结果; 进行一次试验之前，不能确定会出现哪一个结果。 等可能性试验:在一次随机试验中，如果出现的可能结果的种数是一个有限数，且出现每种结果的可能性相等，那么这种试验叫做等可能性试验。 【思考练习】 掷一颗骰子，看朝上一面是几点，这是( A ) A、随机试验 B、等可能性试验 【问题提出】C2-3 “随机事件”、“事件”、“必然事件”、“偶然事件”和“不可能事件”各自的含义和相互联系如何, 【释问参考】 随机事件、事件、偶然事件:在随机试验中，可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，也称偶然事件，简称事件，通常用符号A、B、C来表示。如:掷一粒骰子，A=“出现偶数”，B=“出现奇数”，C=“点数至少是2”等，都是随机事件。 必然事件:在随机试验中，必然会发生的事件称为必然事件 不可能事件:在随机试验中，一定不会发生的事件称为不可能事件。 【思考练习】 掷一颗骰子，结果出现的点数不大于6，这属于( B ) A、随机事件 B、必然事件 C、不可能事件 【问题提出】C2-4“概率”和“频率”有什么区别和联系, Un(A)【释问参考】如果进行了n次试验，某事件A在n次试验中发生的次数为U(A)，通常称f(A)= 为事件A在n次试验中出nnn现的频率。频率在某种程度上能够反映出事件A发生的可能性究竟有多大。随着试验次数n的增加，f(A)将稳定与某一常数，这个常n数可以作为事件A可能性大小的数值表征，即概率。 在一定的条件下重复进行试验，如果随着试验次数n的增加，事件A在n次试验中出现的频率f(A)稳定于某一数值p(或稳定于某一n 数值p附近摆动)，则称该数值p为事件A在一定条件下发生的概率，记作P(A)=p. 【思考练习】在掷一枚硬币结果正面向上的试验中，皮尔逊掷了12000次，其中正面朝上6019次，那么0.5016指的是这个掷币实验发生的( A )。 A 频率 B 概率 C 都不是 【问题提出】C2-5“频数”与“累计频数”、“频率”与“累积频率”各指什么, 【释问参考】在分析一组数据的特征时，有时需要对这组数据进行适当整理并分成范围较小的组，以便获知在每个小组内的数据的多少，或某一小组的数据个数在该组数据总格数中所占的比例。经过整理后，每一小组中数据的个数叫做频数。数据小于某一数值的频数叫做该数值的累积频数。 某一小组的频数与数据总个数的比值叫做这一小组的频率。某一小组的频率反映了这些数据中的某个数据落在该小组的可能性的大小。数据小于某一数值的频率，叫做该数值的累计频率。 【思考练习】对20人的身高统计中，在145.5—148.5中的人有2个，那么频数是( )，频率是( A )。 A 2 0.1 B 0.1 2 C 1 0.2 【问题提出】C2-6一种奖券若干张，是买联号的奖券中奖的可能性大，还是买号码分散的奖券中奖的可能性大, 【释问参考】两种情况中奖的可能性一样大。因为每一张奖券中奖的概率都是一样大。 1比如一组奖券有100张，其中一等奖有2张，那么不论摸哪一张，每张奖券中奖的概率都是 . 50 【思考练习】有号码为001-100的奖券，某人买了其中的5张，他选连号的5张中奖的可能性大，还是选分散的5张中奖可能性大。( C ) A 连号的 B 分散的 C 两种情况中奖的可能性一样大。 【问题提出】C2-7一种摸奖游戏中的中奖率为10%。某人一连摸了9次，都未能中奖，那么当他摸到第10次摸奖时，能否断定他一定中奖, 【释问参考】不能断定第十次一定中奖。根据概率的统计定义，概率反映的是大量随机现象的规律性，对于少数或个别事件来说，只能说明它发生可能性的大小。而且各次摸奖是相互独立的，前9次是否中奖，对第10次是否中奖没有影响。 【思考练习】一种彩票的中奖率为1%，那么某人买100张彩票是否一定会中奖,(B ) A 会 B 不会 【问题提出】C2-8如何理解“抓阄”的合理性, 【释问参考】学校给某班(30个同学)5张电影票，为了公平起见，班长就在30张纸条中的5张上做了记号，然后让每个同学随机摸一张。凡摸到有记号的纸条就给他一张电影票。在这个过程中先摸的同学摸到的概率是否大一些,其实不是，任何一个同学摸到的可能 1性都是 。 6 【思考练习】在一个袋子中有m个红球和n个白球，从袋中不放回地摸球，那么第k次摸到红球的概率是( A )。 mA m+n nB m+n C 无法确定 【问题提出】C2-9怎样理解“小概率事件”, 【释问参考】小概率是指发生的可能性很小(接近于0)的随机事件。通常约定小于或等于0.05的概率为小概率，常用到的小概率有0.05、0.01、0.005、0.001等。 小概率事件发生的可能性尽管很小，但并非一定不发生。小概率的非常态事件一旦发生，就会吸引人的眼球。概率越小的事件，信息量越大。 【思考练习】下列哪种情况属于小概率事件( A )。 A 1000万个彩票中只有一个号码是500万元的大奖。 B 从装有3个红球、2个白球的袋中摸出一个白球。 C 从装有1000个红球的袋里摸出一个白球。 【问题提出】C2-10 连续六次摸到白球后，第七次摸到黄球的可能性会变大吗, 1【释问参考】第七次摸到黄球的可能性不会变大，仍然是。 2 这里的摸球试验是独立随机试验，每一次摸球都是独立的，与前几次试验的结果无关。不管前一次(或几次)摸球结果怎样，都不会对 1下一次的结果产生影响。即使已经连续多次摸到白球了，但下次摸到白球(或黄球)的可能性仍然为。 2 【思考练习】在一个不透明的盒子里，放入一个白球、一个黄球、一个红球，任意摸一次，摸后再放回盒中。前三次都摸到黄球。第四次摸到黄球的可能性是( B )。 1A 2 1B 3 1C 81 【问题提出】C2-11什么是“分赌注问题”, 【释问参考】进行某种独立重复实验，设每次实验成功的概率为p，失败的概率为1-p。问:在m次失败之前取得n次成功的概率是多少, 为了使n次成功发生在m次失败之前，必须且只需在前m+n-1次试验中至少成功n次。因为，如果在前m+n-1次试验中至多失败m-1次，于是n次成功发生在m才失败之前;另一方面，如果在前m+ n-1次试验中成功次数少于n，则在前m+n-1试验中失败次数至少 kkm，n,1,km次。这样，在m次失败之前就得不到n次成功。油二项概率公式，在m+n-1次试验中有k此成功的概率为Cp(1-p) 。m，n,1故在前m+n-1次试验中至少成功n次的概率为: n，m,1kkm，n,1,k P(n，m)= Cp(1-p) ,m，n,1k,n 【思考练习】甲乙两人进行某种比赛，已知每局甲胜的概率为0.6，乙胜的概率为0.4。采用3局2胜制或5局3胜制进行比赛，哪一种比赛制对甲有利,( B ) A 3局2胜 B 5局3胜 C 无法确定 【问题提出】C2-12什么是“蒲丰投针问题“, lb,b>c可以推出a>c那样。但事实并非如此。在对两个以上事物作两两对比选择时，往往会产生矛盾。所以，直觉思维的结论需要理性思维的检验。 22【思考练习】有张、王、李三位同学竞选班长。 测验表明，同学中有愿意选张不愿选王，有愿意选王不愿选李。那同学中选张的33 多还是选李的人多,( C ) A 选张的多 B 选李的多 C 无法确定 【问题提出】D1-1小学数学实践活动的概念是如何界定的, 【释问参考】数学实践活动指与数学知识(包括数学思想)、数学思维有关的实践活动。即通过时践活动来学习、研究数学，或应用数学知识来解决问题的实践活动。 我们可以从广义和狭义两个方面来理解。 广义理解:解决数学问题所进行的计算、化简、证明等“纯数学”活动，以及制作几何模型、做数学实验等操作性活动，都可以看作是教育中的实践活动。 狭义理解:教育中的数学实践活动仅指与数学教学有关的操作性实践活动。例如，制作几何图形、做数学实验实物(实地)测量、调查统计、数学建模等等。 【思考练习】小学数学活动的基本特征( A )。 A 实践性 B 操作性 C 体验性 【问题提出】D1-2小学数学实践活动有哪些类型, 【释问参考】数学实验是指运用小学数学知识、思想方法以及其它实验手段，人为的引起或控制某一事物或现象的发生、发展或变化，从而验证或探索数学规律的活动过程。 数学实验可以分为验证性实验和探索性实验两种。 验证性实验,就是验证别人公布的结论是否正确，或在学习过程中通过多已有结论的验证，进一步加深理解。 探索性实验，就是以解决数学问题为目标，根据实验的条件和规范的方法、程序进行实验，从而得到实验的结论。有数学测量、数学游戏数学故事、数学调查等。 另外，小学数学实践活动还有学具制作，数学墙报、手抄报的编辑设计等。 【思考练习】小学数学活动的类型( C )。 A 数学探索 B 数学观察 C 数学调查 【问题提出】D1-3怎样画几何体的三视图和直观图, 【释问参考】“三视图”是相对观察者(读者)而言的，分主视图、俯视图;左视图。简单点说就是:从正面看过去的投影叫主视图;从侧面看过去的投影叫左视图;从上面看过去的投影叫俯视图。 首先布局主视图，先画出主视图的布局线，形成图样的大致轮廓，然后再以布局线为基准图元绘制图样的细节。 布局左视图和俯视图，视图间的投影关系要满足“长对正”、“高平齐”、“宽相等”的原则。利用辅助投影线来绘制左视图和俯视图。 布局左视图:由于主视图里包含了左视图的许多几何信息，因此可以从主视图画一些投影线将几何特性投影到左视图中。然后根据辅助线绘制左视图的轮廓和局部细节。 布局俯视图:绘制完主视图和左视图后，俯视图延长度及宽度方向的尺寸就可以通过主视图和左视图的投影得到，为方便左视图向俯视图投影，可将左视图复制到新位置即和俯视图对齐并旋转90度，这样就可以很方便地画出投影线了。再根据辅助线画出俯视图的轮廓线和局部细节。 用斜二测画法和正等测画法画几何体的直观图。斜二测画法的其规则为: 在已知图形所在的空间中取水平平面，作互相垂直的轴Ox、Oy，再作Oz轴，使?xOz,90?，且?yOz,90?。 ?画直观图时，把它画成对应的轴O,x,、O,y,、O,z,，使? x,O,y,, 45?(或135?)，? x,O,z,, 90?，x,O,y,所确定的平面表示水平平面。 ?已知图形中平行于x轴、y轴、z轴的线段，在直观图中分别画成平行于x,轴、y,轴、z,轴的线段，并使它们和所画坐标轴的位置关系与已知图形中相应线段和原坐标轴的位置关系相同。 ?已知图形中平行于x轴和z轴的线段，在直观图中保持长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来的一半。 ?画图完成后，擦去作为辅助线的坐标轴，就得到了空间图形的直观图。 正等测画法具有以下投影特性: 1、空间相互平行的直线，它们的轴测投影互相平行。 2、立体上凡是与坐标轴平行的直线，在其轴测图中也必与轴测轴互相平行。 3、立体上两平行线段或同一直线上的两线段长度之比，在轴测图上保持不变 。 【思考练习】几何体的三视图有( D )。 A 主视图 B 俯视图; C 左视图 D 右视图 【问题提出】D1-4怎样在地面上画半径是几百米的大圆弧, 【释问参考】必须首先建立平面直角坐标系，然后算出弧线上若干个点的坐标，只要这些点足够密，就可以使连接这些点而画出的圆弧 达到所要求的精确度。 【思考练习】在地面上画半径是几百米的大圆弧的方法( B )。 A 用绳子画 B 建立平面直角坐标系 D1-5在放大镜下看，什么东西不能放大, 释问参考:小学数学实践活动用于帮助我们观察细小物体的、焦距约为1,10厘米的凸透镜。应用时，调节透镜与物体的距离，可以看 到物体放大的虚像。 在放大镜下看，物体的角度不能放大。 【思考练习】在放大镜下看，什么东西不能放大 ( B )。 A 图像 B 角度 【问题提出】D2—1“式题”、“文字题”、“实际问题”的主要区别是什么, 【释问参考】“式题”是小学数学题的一种类型。其中参与运算的数与对这些数的运算以及几个运算的顺序都由相应的数学符号表述清 楚了。 “文字题”是将式题按照规范的读法用日常的语言和数学名词表述出来的式题叫做“文字题”。又叫“文字式题”。 “实际问题”包含了实际背景的情节，又通过情节表述了某些数量关系的数学题。解答实际问题时，首先要通过分析，弄清题目的情节 和数量关系，然后借助理想化抽象(即“数学化”)将实际问题转化为数学问题(“建立数学模型”)，并运用有关数学知识得到这个数学 问题的答案。最后，再将数学问题的解转化为实际问题的解。 “式题”、 “文字题”、“实际问题”的主要区别如下表: 区别 举例 不仅给了已知数，还通过运算符号和括号，直1225,120×8 式题 接指明了运算的方法和运算顺序。 将几个已知数量用数学术语联结起来，这些数1225减去120与8的积，差是多少, 文字题 学术语直接指明了运算方法和运算顺序。 不但有数值，而且还有具体情节，但没有直接北京到武汉的铁路全长1225Km。一列火 指明要对这些数值按什么样的运算顺序进行车从北京到武汉，平均每小时行120Km，实际问题 何种计算。 行车8小时后，火车离武汉还有多少千 米, 【思考练习】下面哪种是用数学符号表述的问题( A )。 A(式题。 B(文字题。 C(实际问题。 【问题提出】D2—2“情境”、“实际问题”、“数学问题”是如何相互联系和转化的, 【释问参考】实际问题往往是通过理想化抽象作出某些简化假定而转化为数学问题的。有这样一种误解，似乎只要创设一个“情境”(出示一幅“图画”)，就相当于提出了一个“实际问题”，就可以“看图列式”。事实上，在“看图”与“列式”之间，还需要有“编题”的环节。如果仅仅出示一幅列车在铁路上运行的图画，不说明哪些是已知数量，哪些是所要求的数量，即不给出已知条件，也不提出问题，也就是说，不根据情境编出某个数学问题，就不可能列式计算。 【思考练习】编题时，创设的情境中包含的数量关系可以作为编题的( )，还可以虚构一些( )和( )，也可以引用一些真实的数据。 A(数据。 B(情节。 C(素材。 答案:C、B、A。 【问题提出】D2—3“增加”、“增加了”、“增加到”、“减少”、“减少了”、“减少到”，以及“扩大”、“缩小”各表示数量的什么样的变化, 【释问参考】“增加”、“减少”用于定性地表述变量在变化过程中的变化情况所用的词语。 “增加了”、“减少了”、“增加到”、“减少到”用于定量地表述变量在变化过程中的两个数值所用的词语。 “扩大”、“缩小”、“扩大到”、“缩小到”用于定性或定量地表述变量在变化过程中的两个数值时所用的词语，如果用乘、除法来替代加、减法，则“增加”、“减少”就被“扩大”、“缩小”所替代。但通常“扩大”、“缩小”只用于量的变化不致于出现相反意义的量的场合。 【思考练习】当变量y由y变化到y时，如果y,y，则y“由y 增加到y,”或者说y“由y增加了(y— y)”;如果y>y，22222111111则说变量y“由y( )y”;或者说y“由y( )(y—y)”。 22111 A(减少了。 B(减少。 C(减少到。 答案:C、A。 【问题提出】D2—4什么是数学模型、数学建模, 【释问参考】“数学模型”广义地说，一切数学概念、数学理论体系、数学公式、方程式和算法系统都可以称为数学模型。但数学建模中所说的数学模型指的是狭义的数学模型。它是指通过抽象和简化，使用数学语言对实际现象作一个近似的刻画，以便于人们更深刻地认识所研究的对象。 “数学建模”是指根据需要针对实际问题组建数学模型的过程。 【思考练习】下面说法正确的是( B )。 A(数学建模的过程是一种死板的步骤。 B(数学建模的过程可以循环往复，直至获得满意的结果为止。 C(数学建模的过程中如果发现模型不合理，不需要修改假设，重新建模。 【问题提出】D2—5解答实际问题的一般步骤是什么, 【释问参考】在小学数学中，解答实际问题一般按一下步骤进行。 审题，建立数学模型。弄清题目的情节和数量关系，分析已知条件和问题，将实际问题转化为一次方程或四则运算问题。 探索解题思路。基本方法是“由已知，想可知，逐步推算出未知(综合法)”;或者是“由未知，想需知，逐步靠拢已知”(分析法);或者同时进行两方面的思考，以找出由已知条件推算所求数量的途径。 解答。按照解题思路所确定的解答计划，依次解决这些问题(分布列式);或者把这些算式综合在一个算式中(列综合算式)，算出得数， 得出数学问题的解。 检查验算。检验数学问题的解是否正确，是否符合实际问题的要求。 作答。口答或书写答句。 【思考练习】服装厂计划做660套衣服，已经做了5天，平均每天做75套，剩下的要3天做完，剩下的平均每天要做多少套,这道题按照综合思路来考虑，第一步应该先求( B )。 A(剩下多少套, B(已经做了多少套, C(平均每天做多少套, D2—6 “比多、比少问题”的数量关系如何分析, 【释问参考】 在分析“比多、比少问题”的数量关系时，先要弄清谁与谁比，谁多、谁少。然后把多的数量分成两个部分:与少的数量同样多的部分和比它多的部分。最后再列加、减法算式计算。 【思考练习】 学校买了45盒彩色粉笔，白粉笔比彩色粉笔多30盒。白粉笔有多少盒,列式为:45，30=75(盒)其中的45表示( C )。 A(彩色粉笔的盒数 B(彩色粉笔与白粉笔同样多的盒数 C(白粉笔和彩色粉笔同样多的盒数 D2—7 实际问题条件的相容性和完备性与解答的存在性和唯一性怎样相互联系, 【释问参考】 题目的条件往往不止一个。.题目的几个条件“相容”，就是这些条件不自相矛盾。条件的相容性(不矛盾性)决定了解答的存在性。 条件的完备性决定了解答的唯一性。 【思考练习】 C )。 1.下面各题条件互相矛盾的是( A(已知等腰三角形的一个角是90?，求这个三角形的其余两个角的度数。 B(已知等腰三角形的顶角是90?，求这个三角形的其余两个角的度数。 C(已知等腰三角形的一个底角是90?，求这个三角形的其余两个角的度数。 D2—8 什么是数学开放题, 【释问参考】 数学问题按开放性分类，可分为封闭题和开放题。 封闭题指具有完备的条件和确定的答案的习题。多用于巩固知识，起同化作用。 开放题指那些答案不确定或者条件不完备的习题。在解题过程中要建立起新的认知结构，起顺应作用。 数学开放题分有条件开放题、策略开放题和结论开放题。有的开放问题只给出一定的情境，其条件、解题策略与结论都要求主休在情境中自行设定与寻找，这类题称为综合开放题。 数学开放题一般具有下列特征: 1(所提的问题常常是不确定的，其背景情况也是用一般词语来描述的，主体必须收集其他必要的信息，才能着手解题。 2(没有现在的解题模式。有些答案可能通过直觉就能发现，但是在求解过程中往往需要从多个角度进行思考和探索。 3(有些问题的答案是不确定的，存在着多样的解答。但重要的还不是答案本身的多样性，而在于寻求解答的过程中主体的认识结构的重建。 4(常常通过实际问题提出，必须运用数学语言将其数学化。 5(在求解过程中往往可以引出新的问题，或将问题加以推广，找出更一般、更有概括性的结论。 【思考练习】 1(题目“在?里填入合适的数，使下面的式子成立:???,143„„29”是一道( A )开放题。 A(条件 B(结论 C(策略 D(综合 17202(题目“你能用哪些方法来比较和的大小”是一道( C )开放题。 2118 A(条件 B(结论 C(策略 D(综合 3(题目“在1,2，3,4，5,6，7,8这八个数中，哪些数能组成比例，组成怎样的比例,”是一道( B )开放题。 A(条件 B(结论 C(策略 D(综合 4(在一个矩形地块上，欲辟出一部分作为花坛，要使花坛的面积为矩形面积的一半，请给出你的设计。“是一道( D )开放题。 A(条件 B(结论 C(策略 D(综合 D2—9 “提问题编题”和“补条件编题”的训练价值有什么不同, 【释问参考】 “提问题编题”和“补条件编题”各有其独特的思维训练价值。 “提课题编题”是“从已知，想可知”，是一种综合思维。“提问题编题”的价值是训练综合思维。 “补条件编题”是“从未知，想需知”，是一种“分析思维”。“补条件编题”的价值是训练分析思维。 分析思维和综合思维的训练，有助于学生领会和掌握分析法、综合法以及“分析-综合法”，这对于探索解题思路、提高分析问题和解决 问题的能力至关重要。 【思考练习】 提问题编题训练的是学生的( A )思维能力。 A(综合 B(分析 D2—10 小学数学中的几何实际问题主要有哪些类型, 【释问参考】 小学数学中的几何实际问题主要有几何计算题、计量问题、最短线路问题、几何判断题、证明题以及结合三视图的几何问题。 【思考练习】 彬彬的座位是第2列第3行，记为(2，3)，如果将他往后调3排，他的位置怎么表示,。A A((2,6) B((5,3) C((5,6) D((6,5) 【问题提出】D2-11 小学数学能解决的“经济问题”大致有几种, 【释问参考】 购物问题:涉及数量关系“单价×数量,总价 成数问题:实质上是一种百分数问题，只不过分率是用“几成“来表示。 折扣问题:也是一种百分数问题，只是有关的分率是用折扣来表示。 保险费问题:实际上是求一个数的百分之几是多少。 公式:保险费=保险金额×保险费率 利息问题:属于百分数问题。利息与本金的比叫做利率。 利息=本金×利率×时间，注意计算本利时要减去利息税。 纳税问题:是百分数的一种具体应用。税款=应税金额×税率。 【思考练习】 小学数学能解决的“经济问题“中哪个不是百分数问题, A(购物问题 B(利息问题 C(折扣问题 正确答案:A。 【问题提出】D2-12 怎样理解、分析和解答“分牛问题”, 【释问参考】 首先推算单位“1”。按遗嘱分遗产应该是分配全部遗产。 有了单位“1”，就可以根据遗嘱规定的分率计算三个儿子应得的遗产各是几头牛了。 弄清了上述数量关系和计算过程，可以编出更多的与此类似的“分牛问题”。 事实上，分牛问题也可以作为按比例分配问题来解决。 【思考练习】 一位老人写了一份遗嘱，谈到他的遗产17头牛如何分配给三个儿子:“大儿子分得1/2，二儿子分得1/3，小儿子分得1/9。”如何根据遗嘱进行遗产分割呢,这里的单位“1”是: A(17头牛。 B(18头牛 C(不确定 正确答案:B。 【问题提出】D2-13 为什么车轮是圆的, 【释问参考】 车轮是圆的，这是从车轮的作用和性质两方面来说明。 车轮的作用是将车箱移动时的滑动摩擦改变为车轮滚动时的滚动摩擦。 在车轮滚动时，装在车箱上的轮轴，离开地面的高度尽可能不要变化。这就要求车轮上存在这样一点，它与轮周各点的距离都相等。符合这一要求的平面曲线只有圆。因此，车轮都做成了圆的，并把轮轴装在车轮的圆心处。 【思考练习】 车轮做成圆形主要利用圆的(A )性质 A(圆是曲线图形 B(圆心到圆周各点距离都相等。 【问题提出】D2-14 为什么热水瓶、油桶大多是圆柱形的, 【释问参考】 热水瓶、油桶等做成圆柱形，都是为了节省材料。在面积一定的图形中，以圆的周长为最小，因而体积一定、高也一定的柱体中，圆柱的侧面积最小，所以表面积也就最小。 同样，水管做成圆柱形，也是为了在横截面面积一定的条件下尽可能减小侧面积，以节省材料。 【思考练习】 做一个体积一定，高也一定的柱体容器，( B )最省材料, A(长方体 B(圆柱 C(正方体 【问题提出】D2-15 什么是“哈米尔顿周游世界问题”, 【释问参考】 1895年，英国数学家哈密尔顿发明了一种叫做周游世界的游戏。他用一个正十二面体的20个顶点代表20个城市，要求从一个城市出发，沿着棱，经过每个城市恰好一次，然后回到出发的城市。 把问题转化为平面问题，经过图中所有顶点恰好一次的路线称为哈米尔顿链，如果起点和终点重合，这样的路线便称为哈米尔顿圈。 对于一个图是否存在哈米尔顿链，是图论中著名的难题之一，迄今还没有找到一般的判别方法。 【问题提出】D2—16什么是“柯尼斯堡七桥问题”, 【释问参考】 十八世纪，东普鲁士有个城市叫柯尼斯堡镇(现在属于东欧立陶宛东波罗的海的海岸地区)。城内有一条大河通过，河中有两个小岛C、D，全城有七座桥将河的两岸A、B和河中的两个小岛相连。当时，那里的许多人都热衷于这样一个难题:一个散步者怎样能一次走遍这七座桥，每座桥只走一次，不能重复，最后回到出发地点,这就是著名的柯尼斯堡七桥问题。著名的数学家欧拉把“七桥问题”抽象 成一个“一笔画”问题。“一笔画” 也就是笔不离开纸面，而且每条线只许画一次，不重复地画出一个图形。分别用C、D两点表示两个小岛，用A、B两点表示河的南、北两岸，每条线都表示连接两块陆地的一座桥。这样就得到一个有“四点七线”组成的几何图形。(如右下图) B B C D C D A A 【欧拉定理】一笔画的充分必要条件是它连通，并且奇点(如果图中某点与奇数条线相连，则称该点为奇点)的个数等于0或2。 “七桥问题”中有4个奇点，所以不重复第走遍这七座桥是不可能的。过了许多年，河上又架起了第八座桥连接河的两岸(如下图)，那么是否可能一次不重复地走遍八座桥呢,从图中看出奇点的个数只有2个，所以根据欧拉定理，一次不重复地走遍各桥是可能的，但是要回到出发点仍然是不可能的。 【思考练习】 著名的数学家欧拉把“七桥问题”抽象成一个( A )问题。 A(一笔画 B(画图 C(列举 【问题提出】D2—17什么是“费马大定理”, 【释问参考】 【费马大定理】方程X^2+Y^2=Z^2有无数组非零整数解，例如中国古代就知道的“勾三股四弦五”就给出了这个方程的一组解:X=3,Y=4,Z=5。由此自然地产生了一个问题:方程X^n+Y^n=Z^n当n,2时有没有非零的整数解, 17世纪的法国数学家费马对这个问题进行了潜心的研究。在他去世五年后，他的儿子赛缪尔发现家中的丢番图所著《算术》第二卷的页边上有费马写的注记:“不可能讲一个立方数写成两个立方数之和，或者将一个四次幂数写成两个四次幂数之和。一般地，对任何一个数，其幂次大于2时，就不可能写成同幂次的另两数之和。对此命题我得到了一个真正奇妙的证明，可惜空白太小无法写下来。”后来数学家们试图重新发现费马的证明。然而三百多年过去了，这个问题难倒了许多杰出的数学家，包括欧拉、狄利克雷、勒让德、库默这些一流大师。期间有数学家证明了其中的部分内容，到了1994年9月，英国数学家威尔斯终于完全证明了费马大定理，使它在21世纪到来之前成了一个真正的定理。 【思考练习】 方程X^n+Y^n=Z^n当n,2时( B )非零的整数解 A(有 B(没有 【问题提出】D2—18什么是“四色问题”, 【释问参考】 【四色问题】给地图着色，通常总是给相邻的不同区域涂上不同的颜色以示区别。那么画一张地图，要用多少种不同的颜色呢,1852年10月，刚从伦敦大学毕业不久的青年数学家弗兰西斯?古色利在为一张世界地图着色时，发现最多只要4种颜色，就能把相邻的国 家用不同的颜色区分开来。这就是著名的“四色问题”。 四色问题与费马大定理、哥德巴赫猜想一起，被称为“近代三大数学难题”。 1879年，肯泊在一篇论文中发表了一个证明。1890年希伍德指出了肯泊证明中的错误，同时也指出，肯泊的方法可以用来成功地证明用5(或小于5)种颜色就可以为每张地图着色。这就是“五色定理”。但是从“5色”减为“4色”，却困扰了许多的数学家。直到1976年美国伊利诺大学的两位数学家阿倍尔和哈肯分别在三台电子计算机上，花费了1200个小时计算，终于完成了四色定理的证明。这代表了计算机数学时代的来临。尽管如此，现在四色问题的书面证明仍在人们的探索之中。 【思考练习】 ( C )与费马大定理、哥德巴赫猜想一起，被称为“近代三大数学难题”。 A(浦丰投针问题 B(柯尼斯堡七桥问题 C(四色问题 【问题提出】D2—19怎样制作七巧板, 【释问参考】 七巧板是一种拼图游戏。所谓“七巧板”是由七块板组成的。其中，有五块等腰直角三角形(两块小的、一块中等的和两块大的)，另有一块正方形和一块平行四边形，这七块板合起来可以拼成一个大的正方形。游戏时可以用这七块板拼成各种几何图形、人物或者动物形象，还可以拼成桥、房子、宝塔，或一些中、英文字符号等。 制作七巧板的步骤是:(1)先在纸上画一个正方形ABCD，连接对角线AC，画出三角形ACD的中位线EF;(2)过E作AC的垂线EG,过B作EF的垂线BH;(3)过H作AB的平行线，交AC于I。这些线段就是把正方形ABCD分成了七块。最后把七块涂上不同的颜色并剪开，一副七巧板就制作完成了。 (1) (2) (3) 【思考练习】 所谓“七巧板”是由七块板组成的。其中，有五块( C )，另有一块正方形和一块平行四边形，这七块板合起来可以拼成一个大的正方形。 A(三角形 B(直角三角形 C(等腰直角三角形 【问题提出】D2—20 “算24点”的规则是什么, 【释问参考】 一副扑克牌有54张，去掉大王、小王，剩下的52张分别是A、1、2、„„、10、J、Q、K这13张牌，每种牌都有红桃、方块、梅花、黑桃四种花色。“算24点”的游戏规则是:从这样的52张扑克牌中任意抽出四张(A代表1，J代表11，Q代表12，K代表13)，用加、减、乘、除的方法使这四个数的计算结果等于24，每个数只能用一次。抽牌的可以是4人，可以是2人。谁最先列出得数是24的算式，谁就获胜。这52张扑克牌中，任意抽取4张，可有1820种不同组合，其中有458种组合算不出24点。 【思考练习】 这52张扑克牌中(去掉大王、小王)，任意抽取4张，可有1820种不同组合，其中有( B )种组合算不出24点。 A(456 B(458 【问题提出】D2—21 “邮政编码”、“身份证号”中的数字表达了哪些信息, 【释问参考】 【邮政编码】邮政编码是由阿拉伯数字组成、用来表示邮局及其投递区域的专用代号，也是这个投递局、所投递范围内的居民和单位的邮政通信代号。我国的邮政编码采用四级六位制的编排方式。分四级编到投递局。其中前两位的组合表示省、市、自治区;前四位的组合表示县、市局;最后两位表示投递局。六位数字相连，即是一组完整的邮政编码。 【身份证号】我国现行居民身份证是全国统一编号，由十八位数字组成。每个公民是一人一号，做到不重、不漏、不错。在身份证号中， ,6位数字为行政区划代码，行政区划指公民第一次申领身份证时常住户口所在地。第7,14位数字为出生年月日代码。第15,17第1 位数字为按人口数统一分配以固定顺序给予每个人的顺序号。第17位数是奇数的分配给男性，偶数分配给女性。第18位数字为校验码。校验码是由号码编制单位按统一的公式计算出来的，如果校验码是10，就用罗马数字X来代替。 【思考练习】 在身份证号中，第18位数字为( B ) A(顺序号 B(校验码 C(行政区划代码 【问题提出】D2—22什么叫“密铺”,哪些图形可以密铺, 【释问参考】 【密铺】街道两旁的道路常常用一种或几种形状和大小相同的砖铺成，将地面不留空隙、也不重叠地铺满，这就是“密铺”。 用地砖铺地，可以用周角是360?从理论上分析。如果用的地砖是正方形(或长方形)，那么4块地砖就可以在公共顶点处拼成一个360?的周角。如果用正六边形的地砖，那么在公共顶点处用3块地砖，3个角的和也是360?。此外正三角形也能把地面密铺。如果用两种地砖密铺，可以采用:正三角形和正方形，正三角形和正六边形或者正方形和正八边形。 【思考练习】 下面哪个图形不能密铺,( C ) A(正三角形 B(正六边形 C(圆 【问题提出】D2—23 “莫比乌斯带”有何奇妙之处, 【释问参考】 莫比乌斯带 莫比乌斯带是一种单侧、不可定向的曲面。因被德国数学家、天文学家A.F. 莫比乌斯发现而得名。将一个长方形纸条ABCD的一端AB固定，另一端DC扭转半周后，把AB和CD粘合在一起 ，得到的曲面就是莫比乌斯带，也称麦比乌斯圈。 莫比乌斯带的奇妙之处有三:第一，莫比乌斯带只存在一个面。第二，如果沿着莫比乌斯带的中间剪开，将会形成一个是原来的莫比乌斯带空间2倍的、具有正反两个面的环，而不是形成两个莫比乌斯带。第三，如果再沿着这个有正反两面的环中间剪开，将会形成两个与与它同样长度、也具有正反两个面的环，且这两个环是相互套在一起的。继续剪下去……每个环都会生成两个与自身同样长度的新环， 且所生成的所有的环都将套在一起，无法分开。 数学中有一个重要分支叫“拓扑学”，主要是研究几何图形连续改变形状时的一些特征和规律的，“麦比乌斯带”是拓扑学中最有趣的单侧面问题之一。麦比乌斯带的概念被广泛地应用到了建筑、艺术、工业生产中。运用麦比乌斯带原理，我们可以建造立交桥和道路，有效解决车辆行人的拥堵问题。 【思考练习】 麦比乌斯最为人知的数学发现是后来以他的名字命名的单侧曲面——( A ) A(麦比乌斯带 B(麦比乌斯图 C(麦比乌斯面 【问题提出】D2—24什么是“黄金比”, 【释问参考】 把一条线段分割为两部分，使其中一部分与全长之比等于另一部分与这部分之比。其比值是一个无理数，取其前三位数字的近似值是0.618。由于按此比例设计的造型十分美丽，因此称为黄金分割。黄金分割是一种数学上的比例关系。黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值。应用时一般取0.618 ，就像圆周率在应用时取3.14一样，称为“黄金比”。黄金比蕴藏着丰富的美学价值。在建筑物、绘画、人体美学等方面都有广泛的应用。比如最常见的五角星中许多线段之间的长度关系都是符合黄金比的。 【思考练习】 黄金比的比值是( B ) A(0.6 B(0.618 C(0.625 【问题提出】D2—25什么是“斐波那契数列”, 【释问参考】 斐波那契数列指的就是这样一个数列，从它的第三项开始，每一项都等于前两项之和。如1、1、2、3、5、8、13、21、34、55、89、144…就是一个斐波那契数列。 斐波那契数列又因数学家列昂纳多?斐波那契以兔子繁殖为例子而引入，“一般而言，兔子在出生两个月后，就有繁殖能力，一对兔子每个月能生出一对小兔子来。而每对小兔在它出生后第3个月里，又能开始生1对小兔子，如果所有兔都不死，由1对初生的小兔开始，那么一年以后可以繁殖多少对兔子,斐波那契把推算得到的头几个数排成一列:1，1，2，3，5，8„„这列数里隐含着一个规律:从第3个数起，每个数都是它前面两个数的和。根据这个规律，只要做一些简单的加法，就能推算出以后各个月兔子的数目了。 斐波拉契数列与黄金分割有什么关系呢,经研究发现，相邻两个斐波拉契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即f(n-1)/f(n)-?0.618…。由于斐波拉契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波拉契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。不仅这个由1,1,2,3,5....开始的"斐波拉契数"是这样,随便选两个整数,然后按照斐波拉契数的规律排下去,两数间比也是会逐渐逼近黄金比的( 【思考练习】 下面的数列中，( C )是斐波那契数列。 A(1，2，3，4，5，„„ B(1，4，9，16，25„„ C(1，1，2，3，5，8，13，21„„ 【问题提出】E1-1“数学”是一门什么样的学科, 【释问参考】 数学是研究空间形式和数量关系的科学，是刻画自然规律和社会规律的科学语言和有效工具。数学是自然科学和技术科学的基础，在经济科学、社会科学和人文科学的发展中发挥着越来越大的作用。在20世纪末高新科技发展的过程中，几何学原理得到了空前的应用，因此21实际的数学教育应当把几何学放在头等重要的位置。 【思考练习】( A )是自然科学和技术科学的基础，在经济科学、社会科学和人文科学的发展中发挥着越来越大的作用。 A( 数学 B( 物理 C( 化学 【问题提出】E1-2 数学的产生和发展大致经历了哪几个时期, 【释问参考】数学发展的几个阶段:第一，数学萌芽时期。人类从数数开始逐步建立了自然数的概念，掌握了简单的计算法则，并认识了简单的集合图形。 第二，初等数学时期(或称常量数学时期)。从公元前5世纪开始，直到公元14实际，逐渐形成了初等数学的主要分支:算术、几何、代数、三角。 第三，变量数学时期(或称古典高等数学时期)。变量数学以解析几何的建立为起点，接着是微积分学、概率论和射影几何等领域。 第四，现代数学时期。代数、几何、分析的深刻变化为其特征。 现代数学发展的特点:(1)“集合论”成为数学各分支的共同基础，“数学结构”成为主要研究对象。 (2)纯数学抽象化势头越来越大，分科越来越细，各分支内在联系越来越深，形成了许多新的综合性研究领域。 (3)电子计算机进入数学，发展了许多边缘科学(如人工智能、图像识别、机器证明、数据处理等)。 (4)发展的整体化趋势。门类繁多的各门学科相互渗透，一门学科所取得的成果迅速转移到其他学科中区，促进和带动了其他学科的发展。 现代数学发展的整体化趋势: 第一，数和形概念的不断深化，形成了多种多样的边缘学科。 第二，基础学科相互渗透产生了许多综合性学科。 第三，数学通其他科学相互渗透，导致了其他科学的“数学化”。 ) 【思考练习】代数、几何、分析发生深刻变化是属于数学发展的哪个阶段( D A( 数学萌芽阶段 B( 初等数学时期 C( 变量数学时期 D( 现代数学时期 【问题提出】E1-3数学有哪些基本特征, 【释问参考】数学的特点:第一是抽象性;第二是精确性，即逻辑的严格性以及结论的确定性;第三是应用的极端广泛性。 【思考练习】下面哪项不属于数学的基本特征( D )。 A( 抽象性 B( 精确性 C( 广泛性 D( 形象性 【问题提出】E1-4“数学观念”、“数学意识”和“数学精神”各指什么, 【释问参考】数学观念是指事物在人脑留下的有关数或形的概括形象。 数学意识指的是人脑对客观事物的数与形方面的属性或关系的感觉、知觉、表象或思维。 数学精神反映人的意识或心理活动关注事物的数与形的程度。数学精神也包括抽象性、精确性与逻辑严密性等特点。 【思考练习】( B )是指人脑对客观事物的数与形方面的属性或关系的感觉、知觉、表象或思维。 A(数学观念 B(数学意识 C(数学精神 【问题提出】E1-5数学的思想方法通常指的是哪些, 【释问参考】“方法”是人们在思考问题和解决问题是采用的方式、途径、手段、工具、规则和程序。 数学思想方法是从数学的各个分支学科中提炼和总结出来的研究方法，是形成数学概念、探讨数学规律、解决数学问题的方法。包括“证 明的方法”与“发现的方法”。 研究小学数学，有两条“线”值得注意。一条是数学基础知识体系的“线”，明明白白写在章节目录中，这是一条“明线”:另一条是渗透在数学基础知识中的数学思想和数学方法，那是一条“暗线”。数学教育不仅要强调数学的基础知识和基本技能，而且要关注数学思想和数学方法的教育。 “小学数学思想方法”是指在小学数学中所运用的数学思想方法。它包括了科学方法论的所有重要内容，并且体现了数学学科的严密性、符号化以及抽象与直观的结合。 【思考练习】 数学教育不仅要强调数学的基础知识和基本技能，而且要关注( A )的教育。 A(数学思想和数学方法 B(数学概念和数学规律 【问题提出】E1-6 “逻辑的方法”、“学科的方法”和“构造的方法”各指什么, 【释问参考】逻辑的方法:指逻辑学中使用的方法以及逻辑学研制的供其他学科选用的方法。包括演绎法、归纳法、类比法、分析法与综合法等。 学科的方法:包括代数法、几何法、集合论方法、组合论方法以及概率论方法等。 构造的方法:通过构造一个特定的数或形来达到解题的目的。包括平移法、旋转法、对称法、染色法等。 【思考练习】代数法是属于( B )的方法 A(逻辑的方法 B(学科的方法 C(构造的方法 【问题提出】E1-7 “直觉思维的方法”、“实验的方法”与“论证的方法”各指什么,在小学数学教学中为什么要强调三者的有机结合, 【释问参考】直觉思维是指人们在分析问题和解决问题时，迅速动用自己的全部知识和经验，在对事物做出总体上的观察和分析后，把握其本质，作出假设或推测的思维方法。 直觉思维的特点是:整体性、简约性、尝试性、创造性。 实验法是常用的教学方法之一，是指学生在教师的指导下，运用一定的一起设备、按指定的条件操作，从而获得知识。 一般地说，当我们运用直观教学达到某个教学目标后，应该及时地把学生引向抽象思维训练;当利用生活经验认识某项数学事实后，要力求把生活经验提炼为数学命题;当用实验的方法提出某个猜想后，要尽可能给予检验和论证。 【思考练习】估计两条线段的长短，两个角的大小，或者在同一幅地图上比较两个省的面积，都是运用( A )的方法作出判断的。 A(直觉思维 B(实验 C(论证 【问题提出】E1-8“分析法”与“综合法”的主要区别和联系是什么, 【释问参考】在解答实际问题时，为了寻求条件和问题之间的联系，有两种思路:一种是从“未知”想“需知”，逐步靠拢“已知”;另一种是从“已知”想“可知”，逐步推向“未知”。前一种思考方法叫分析法，后一种叫综合法。 【思考练习】“摩托车驾驶员以每小时20千米的速度由甲地到乙地，3小时到达。返回时每小时行30千米。问往返一趟的平均速度是多少,”解决这一问题时，这样思考:要求往返的平均速度，需要知道往返的总时间和往返的总路程;要求总路程，需要知道甲地到乙地的路程和返回的路程;要求往返总时间，需要先知道返回的时间，可由返回的速度和路程算出。这样的思考方法属于( A ) A(分析法 B(综合法 【问题提出】E1-9什么是列方程的“分析法”与“综合法”, 【释问参考】列方程的思考过程大致有一下两种:一分析法。即从整体到局部的思考方法。先找到题目中的一个等量关系，写出语言等式，然后设未知数x,并把这个等式里的各个数量分别换成x,已知数或者它们组成的代数式，以得出方程。二是综合法。即从部分到整体 的思考方法。先用x，已知数或者由它们组成的代数式表示各个数量，由于某个数量可以用两个不同的代数式表示，因此我们可以用等号把这两个不同的代数式连起来，成为一个方程。 【思考练习】“今有鸡兔同笼，上有35头，下有94足。问鸡兔各几何,” 根据等量关系“兔的只数+鸡的只数=94”列出方程4x+2(35-x)=94，这种列方程的方法是( A ); 考虑用什么代数式来表示鸡的足数，得到两个不同的代数式94-4x与2(35-x),列出方程94-4x=2(35-x), 这种列方程的方法是( B ) A(分析法 B(综合法 【问题提出】E1-10解答实际问题的“代数法”与“算术法”区别在哪里, 【释问参考】用算书法解实际问题时，所要求的未知数量始终作为一个“目标”，而用已知数量的分步算式或综合算式把它计算出来。由于算式中只能含已知数量，不能含未知数量，所以为了列式，常常需要将题目给予的数量关系作出适当的变换。 用代数方法解题时，用字母表示未知数量，就可以打破列式只能用已知数量的限制。未知数量和已知数量出于“同等地位”，可以直接根据题目给予的数量关系按照题中的叙述列式，得到方程。不必进行数量关系的变换，不需要逆向思考。因而思路比较直接，解题难度降低。用算术方法列综合算式解答实际问题仍然是用代数法列方程解题的基础。代数法是算术解法的发展。 【思考练习】“六年级的学生植树142棵，比五年级学生植树棵树的2倍少28棵。五年级学生植树多少课,”在解决这个问题时，不需要变换题目给出的数量关系，不需要逆向思考的方法是( A )。 A(代数法 B(算术法 【问题提出】E1—11 “图解法”、“图算法”与“图表法”有什么区别与联系, 【释问参考】 通过画图解决问题，这种方法叫做图解法。利用特制的带有刻度的线条进行计算的方法叫做“图算法”。图算法中所用的图叫做“算图”，或称“诺模图”。解数学问题时，可以设法把题目的条件和问题所涉及的数量和数量间的关系反映在一幅图或一个表格中，借助直观的图表进行分析、推理，寻找解题途径，这种方法叫做图表法。 【思考练习】 解数学问题时，把题目的条件和问题所涉及的数量和数量间的关系反映在一幅图或一个表格中，借助直观的图表进行分析、推理，寻找解题途径，这种方法叫做( C )。 A(图解法。 B(图算法。 C(图表法。 【问题提出】E1—12 小学数学运用图表法时常用的图有哪些, 【释问参考】 小学数学运用图表法时常用的图有情境图(实物图、几何图)、示意图(包括线段图、关系图、树形图、矩形图等)、集合图(包括欧拉图和维恩图)等。如果题目的情境用简笔画或照片的形式表示出来，附于题中，这样的图就是“情境图”，也称“实物图”。对于纯粹的几何问题画出的“实物图”，实际上就是有关的几何图形，因而称之为“几何图”。线段图是解决小学数学实际问题常用的一种示意图。表示数或形之间关系的图叫做“关系图”。依次考虑各种可能性，以便进而列举出所有可能的各种安排时，常用一种类似于树枝状的图形。这种图形叫做树形图。如果一道题涉及的是两种数量以及它们的乘积，则可用某个矩形的长和宽表示这两种数量，而用矩形的面积表示它们的积。这种示意图叫做矩形图。 【思考练习】 下列哪种不属于小学数学中常用的示意图。( B ) A(线段图。 B(实物图。 C(关系图。 【问题提出】E1—13 数学语言包括哪几方面, 怎样处理好它和自然语言(生活语言)的关系, 【释问参考】 “数学语言”指的是用于表达数学内容的语言，包括自然语言、符号语言和图形语言等三方面。数学中的自然语言植根于生活语言，是生活语言中某些词语的发展和提炼的结果。例如，生活语言中的“东南”表示“东”和“南”之间的每一个方向，而数学语言中的“东南”只表示“东”和“南”这两个方向所成的直角的平分线所指的方向。 【思考练习】 数学中常用的数学语言包括( C ) 。 A(自然语言和符号语言。 B(符号语言和图形语言。 C(自然语言、符号语言和图形语言。 【问题提出】E1—14 怎样从“白马非马”、“酒鬼非鬼”和“椭圆非圆”，认识自然语言和数学语言的不同特点, 【释问参考】 自然语言在表述“马”的一种，往往在“马”这个词的前面添上一个定语作为前缀。如“白马”实际上是“马”的一种。公孙龙所说的“白马非马”并不是否认这个事实，而是强调“白马”和“马”是两个不同的概念。同样，为了表述某些对酒有特殊嗜好的人，使用“酒鬼”、“酒仙”等词语，但它们表达的概念并不是“鬼”、“仙”等概念的种概念。这种情况在数学语言中也常见到。如“椭圆”并不是一种特殊的“圆”。在几何学中，圆和椭圆各有其特定的定义。 【思考练习】 下列哪种说法是正确的( A ) 。 A(白马是马的一种。 B(椭圆是一种特殊的圆。 C(双曲线是两条弯曲的线。 【问题提出】E1—15 一些经典历史故事中蕴含的数学思想方法有哪些, 【释问参考】 鲁班根据小草叶子的结构进行类比联想，发明了锯子。所谓“类比”，就是在两类不同的事物之间进行对比，找出相同或相似点，推测它们在其他方面也可能存在相同或相似之处。曹冲称象运用了转化的思想，即把较难解决的问题，通过适当的方法，转化为容易解决的问题。司马光砸缸救人运用的是逆向思维的方法。《内经》中樵夫发现“大敦穴”采用的是归纳法。《庄子》一书中有言，“一尺之棰，日取其半，而万世不竭”，体现出无穷思想。 【思考练习】 “曹冲称象”故事中蕴含的数学思想是( B ) 。 A(类比思想。 B(转化思想。 C(逆向思维。 【问题提出】E2—1 数学课程在义务教育中具有怎样的地位, 【释问参考】 数学教育在义务教育中占有特殊的重要地位。它能使学生掌握数学的基础知识、基本技能和基本思想，是进一步学习物理、化学、计算机等学科以及参加社会生活、生产的基础。它使学生学会用数学方法认识世界、解决问题、促使思维清晰、推理严密，并善于独立思考。 【思考练习】 ( A )是科学思考和科学行动的基础 。 A(领悟数学。 B(良好的数学训练。 C(渊博的学识。 【问题提出】E2—2 小学生的“数学能力”主要指的是哪些, 【释问参考】 小学生的“数学能力”主要指的是计算能力、思维能力、空间观念和解决简单实际问题的能力。 【思考练习】 小学生的“数学能力”主要指的是( ABCD ) 。 A(计算能力。 B(思维能力。 C(空间观念。 D(解决简单实际问题的能力。 【问题提出】E3—1 基本的思维形式有哪些, 【释问参考】 基本的思维形式有三种:概念、判断和推理。“性质”和“关系”统称属性。某类事物具有，而别的事物都不具有的属性叫做这类事物的特有属性。一类事物的特有属性反映在人们的思维中，就形成了关于这类事物的概念。比如，“三条线段围成的”、“两边之和大于第三边”、“三个内角的和是180?”等都是“三角形”这个概念所反映的一类图形的特有属性。判断也是一种思维形式，如实反映事物情况的判断叫真判断，不符合事物情况的判断叫假判断。从一个或几个已有的判断推出新判断的思维形式叫做推理。推理通常分为演绎推理、归纳推理和类比推理。 【思考练习】 基本的思维形式有( ABC ) 。 A(概念。 B(判断。 C(推理。 【问题提出】E3—2 逻辑思维的基本要求是什么, 【释问参考】 逻辑思维的基本要求是概念明确、判断恰当、推理合乎逻辑，使思维活动循着正确的方向前进。比如,“正方形是不是特殊的长方形,”这个问题有很多学生不明确。认识模糊的原因在于认识长方形、形成长方形概念时，除长方形的特征“有四条边，对边相等;有四个角，都是直角”外，还误把“邻边不等”也作为长方形的特征之一。纠正的方法是:先明确长方形的特征，并且强调:判断一个图形是不是长方形，就看它是否具有这些特征。然后将这些特征逐条与正方形对照，看看正方形是否具有这些特征。 【思考练习】 逻辑思维的基本要求是( ABCD ) 。 A(概念明确。 B(判断恰当。 C(推理合乎逻辑。 D(使思维活动循着正确的方向前进 【问题提出】E3—3 “非逻辑主义”指的是什么, 【释问参考】 “非逻辑主义”又称“非理性主义”，否认逻辑思维是获得科学认识的工具。它是一种为怀疑论、神秘论和信仰主义辩护的唯心主义观点。宣扬意志、直觉，试图证明认识只能通过直觉、信仰来实现。 【思考练习】 “非逻辑主义”是一种( B ) 。 A(唯物主义观点。 B(唯心主义观点。 C(科学的观点。