初升高衔接数学讲义：函 数

初升高衔接数学讲义：函 数 海量资料 超值下载 函 数 知识延展 的定义可以进一步叙述如下: 设为给定的两个数集，如果按某个确定的对应关系，使对于A中的任意一个数，xA,Bf在B中都有唯一确定的数和它对应，那么就称为从A到B的一个函数，f(x)f:A,B 记作: y,f(x) 其中x是自变量，与x的值相对应的的值叫做函数值。 y 在这个定义下，示一个函数。因为对于任何一个数x，按对应法则“函数值总是y,1 1x”，y都有唯一确定的值1与它对应，所以是的函数。 y 型归类 一 已知函数解析式，求函数值 2例1 已知函数，求 f(x),3x,5x，2f(3),f(,2),f(a，1) 2a变式训练 已知且，求的值; f(x),ax,2f(2),,22 二 求函数解析式 题型1:代入法求解析式 f(x，1)例2 (1)已知，求; f(x),x，2 f(x)(2)已知f(x，1),x，2，求 2f(x)f(x，1),x,3x，2变式训练 已知，求 ? 海量资料 超值下载 题型2:待定系数法求函数解析式 例3 已知是一次函数，且满足，求 f(x)f(x)3f(x，1),2f(x,1),2x，17 变式训练:已知是二次函数，若，且，求的表f(x)f(x)f(0),0f(x，1),f(x)，x，1达式; 习题精练 21 已知求 f(2x，1)f(x),x，2x, x,1f(x),2 已知，求方程的解 f(4x),xx S,1f(x)y,f(x)3 已知为反比例函数，其图像上一点A，轴，，求的解析AB,x,OAB式 ? 海量资料 超值下载 24 已知，求 f(x),f(x，1),f(x)f(x，1),x，2x 225 已知，且求 f(,2)f(1),1，2f(x),x，ax，1，x 536 若，其中均为常数，已知，求 a,b,cf(7),f(,7),,7f(x),ax，bx，cx，5 3.2 分段函数 知识延展 当函数关系(注意:不是函数值)随着自变量不同的取值范围而改变时，就需要将函数 2，1;,0xx,,y关系式分段表示，通常，我们把这样的函数叫做分段函数。例如: ,2x，1;x,0, 注意:(1)分段函数是指自变量在不同的取值范围内对应不同的解析式的函数。 (2)分段函数就整个“变化过程”而言，是一个函数，而不是几个函数，只是“过程中”的不同阶段，其解析式不同而已。 (3)在实际生活中，我们常见到诸如“质点运动相关的图形面积”，“出租车计价”，电话收费“。”个人所得税纳税金额“等分段函数。 题型归类 一 已知分段函数，求相关值或范围 ? 海量资料 超值下载 x，2;x,0, ,x,3,, 例1 已知当时，，当时，函数的值为, y,2;x,0x,ayy,a, ,,;x,0, 2,;,2xx,y变式训练 设函数求使得函数值的自变量x的值。 y,9,4,x;x,2, 2x，3;x,0, ,y,x，3;0,x,1例2 设函数求函数的最大值; , ,,x，5;x,1, 2,(,1,,1)xx,y变式训练 设函数求函数值的取值范围。 y,xx，3(,1), 二 作分段函数的图像 0,(x,,2), ,1,2 y,x(,2,x,2) ,2, xx4,(2,,4),, y,2x,3变式训练 画出函数的图像 ? 海量资料 超值下载 习题精练 x，1(x,1),1 已知y, ,,x，3(x,1), (1x)分别求出当取时，函数的值; ,1,0,1,2y 5 (2)设当时，，求当时，的值. y,bx,x,by2 2,xx(,0) ,2 已知 yx,3(,0), ,x0(,0), x (1)分别求出当取时，函数的值; ,3y xx (2)当y,3?y,1?取何值时，当取何值时， ? 海量资料 超值下载 2,1,x(x,1),3 已知函数当取何值时，函数的值小于 xy,,3?,1x(x,1),2, 1(,,1)x,,y4 画出函数的图像. ,2x(,1,x,1), 11,2,2(x,)，1(0,x,),,225 求函数y,的最大值和最小值. ,1,xx,2，2(,,1),2, 2,，2(,1,,1)xx,y6 作函数的图像 ,2x，1(x,1), 3.3 函数图像的变换 ? 海量资料 超值下载 题型归类 一:平移变换 12例1 将抛物线向左平移2个单位，再向上平移3个单位，求所得抛物线的解析式. y,x2 3变式训练:将双曲线沿x轴正方向平移2个单位，在沿轴负方向平移1个单位，y,,yx 求所得的函数解析式。 二 翻折变换 例2 画出下列函数的图像: 22y,x,2x,3 (1) (2) y,x，2x,3 xx方法总结:将函数的图像在轴上方的部分不变，下方的部分翻折到轴上方得y,f(x) y,f(x)到函数的图像 将函数的图像在轴右方的部分不变，左方的部分图像由右方的图像沿轴y,f(x)yy y,f(x)翻折，得到函数的图像 y,2x,3变式训练 画出函数的图像. ? 海量资料 超值下载 三 对称变换 ,2,x,2例3 已知定义在上的函数的图像如图所示，分别画出y,f(x) 的图像. y,,f(x),y,f(,x),y,,f(,x) 方法点拨:函数的图像与函数的图像分别关y,f(x)y,,f(x),y,f(,x),y,,f(,x) x于轴，轴，原点对称。 y 2x变式训练 抛物线沿轴对折，所得图像的函数解析式是 ; y,x,2x 习题精练 1 如何将直线平移，能够得到直线试写出两种不同的。 y,,2x，2y,,2x,3? 2 说出下列问题中图像变换的途径: 22 (1)由抛物线变换为; y,x,2x,1y,x,4x，2 1122 (2)有抛物线变换为. y,x，3x,2y,,x,x22 y,3x,2，23 画出函数的图像，求函数的最小值. ? 海量资料 超值下载 24 画出函数的图像. y,,x,3x，2 x，25 画出函数的图像. y,x，3 6 作下列函数的图像(已知的图像如图所示) f(x) y,f(x) (1) (2) (3) (4) y,f(,x)y,,f(x)y,,f(,x)(5) (6) y,f(x,a)(a,0)y,f(x)，b(b,0) 3.4 给定范围内的二次函数的最值 知识衔接: 2x 在初中阶段，我们比较详细的讨论了二次函数在自变量取任意实数y,ax，bx，c 2b,4acb时的最小值和最大值:当x,,时，函数在处取得最小值，无最大值;a,04a2a 2b,4acbx,,当时，函数在处取得最大值，无最小值。 a,04a2a x(m,n都是常数) 如果我们限制自变量在某个范围内取值，例如时，函数m,x,n 2y,ax，bx，c的最大值或最小值又是怎样的情况呢, ? 海量资料 超值下载 知识延展: 二次函数在自变量的给定范围内，对应的图像是抛物线上的一段(含两xm,x,n 2个端点)，必存在最高点和最低点.二次函数在闭区间上的最大值或最小值y,ax，bx，c b只能在给定范围内的端点处包含在给定范围内的顶点处取得. 解题时通常先确定x,,2a 是否属于该范围，然后分别求出给定范围的两个端点处的函数值来进行比较。在遇到有待定 系数时，画出函数图像，就待定系数分类讨论是常用的数学思想方法。 题型归类: 一 无限制条件的最值 2例1 对于函数 y,ax，bx，c(a,0) 1 当时，(1)当 时，取最小值， ; x,y,a,0ymin bx (2)当时，随的增大而 ; x,,y2a bx (3)当时，随的增大而 ; x,,y2a y,2 当时，(1)当 时，取最大值， ; x,a,0ymax bx (2)当时，随的增大而 ; x,,y2a bx (3)当时，随的增大而 ; x,,y2a 23 作出二次函数的图像，并求出函数的最值; y,x,4x，1 2变式训练 求二次函数的最值. y,mx，4x，2(m,0) 二 给定范围内的最值 2 例2 观察函数y,x,2x,3在下列范围内时的图像，并求出其最值。 ? 海量资料 超值下载 ,4,x,,1,4,x,54,x,5 (1) (2) (3) 2变式训练 已知，求在下列给定范围内时，函数的最大值和最小值。 y,,x，2x，3 2,x,31,x,3 (2) (3) (1),2,x,,1 三 含参数的二次函数的最值 20,x,1a 例3 已知在时的最大值是3，求实数的值; y,,x，2ax，1,a x方法点拨:当二次函数的对称轴不定，而自变量的取值范围给定时，则应对对称轴的位置 进行分类讨论，即对称轴在给定范围的左侧，中间和右侧，分别结合图像求其最值。 2变式训练 已知函数，且m,x,m，1(m为常数)，求函数的最值。 y,,2x,4x，7 习题精练 2,2,x,21 求二次函数在时的最大值和最小值。 y,2x,3x，5 11 海量资料 超值下载 2 对于函数。当变化时，求的取值范围. y,,x(2,x)x,0y 223 已知关于x的函数当取何值时，的最小值为零, my,x，(2m，1)x，m,1y 20,x,m4 已知函数m在时的最大值是3，最小值是2，求的取值范围。 y,x,2x，3 2,1,x,15 若a,b，当时，函数的最小值是，最大值是0，求y,,x,ax，b，1a,0,4的值。 26 求函数的最大值和最小值. y,4,,3x，5x,2 21 求函数的值域; y,x,ax，1(a为常数)，x,[,1,1] 22 已知y,x，ax，1 12 海量资料 超值下载 (1)若，恒有，求的取值范围; xa,[,1,1]y,0 (2)若恒有，求的取值范围; ax,[,1,1]y,0 23 设为实数，函数的最大值为. ag(a)f(x),a1,x，1，x，1,x (1)设t,1，x，1,x，求的取值范围，并把表示成的函数 m(t)f(x)tt a,0 (2)当时，求. g(a) 2,1,x,14 (1)若方程在时有实数解，求的取值范围; 1，x,2x,k,0k 2,1,x,1 (2)为何值时方程1，x,2x,k,0在时有两解,有一解,无解, k 12,a,15 已知，若在区间上的最大值为，最小值为，[1,3]M(a)N(a)f(x),ax,2x，13 令。 g(a),M(a),N(a) (1)求的表达式及的最小值; g(a)g(a) 26 已知二次函数，满足条件:f(2),0，且方程f(x),ax，bx(a,b是常数，且a,0)f(x),x有等根. f(x) (1)求的解析式 13 海量资料 超值下载 (2)是否存在实数，使在定义域和值域分别为和，如f(x)[m,n][2m,2n]m,n(m,n) 果存在求出的值;如果不存在，说明理由; m,n 3.5 一元二次方程的实根分布 知识延展 22 一元二次方程，一元二次不等式及一ax，bx，c,0(a,0)ax，bx，c,0(a,0) 2元二次函数三者关系紧密，相互关联，结合二次函数f(x),ax，bx，c(a,0) 22的图像来讨论一元二次方程的实根分布ax，bx，c,0(a,0)f(x),ax，bx，c(a,0) 问题，不仅可以解决利用韦达定理无法解决的问题，还可以简化计算步奏这种方法为数形结 合。 表一:(两根与0的大小比较即根的正负情况) 两个负根即两根都小于0 两个正根即两根都大于0 一正根一负根即一个根小于0，分 布 情xx,,0,0xx,,0,0xx,,0 一个大于0 ，，，，，，121212况 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出 bb, ,,,0,,0，，f0,0 ,的,2a2a,,结f00,,，，f00,,，，论, , 大 致 图 象 ) a,0 ) 14 海量资料 超值下载 得,,0,,,0, ,出, b,b, ,,0,,0，，f0,0,的,2a2a,,结f00,,，，,f00,,，，,论 ),,0,,0,,不综,, bb,讨,合,,0,,0 ，，a,f0,0,,论结2a2a,,a论 af,,00,，，af,,00,，，,,) 15 海量资料 超值下载 表二:(两根与的大小比较) k kkk分两根都小于即 即 ，一个大于即 两根都大于一个根小于k布 情 x,k,x,kx,k,x,kx,k,x况 121212 大k致kk图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,k,,k ，，fk,0的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,,大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,0,,得,,出bb,, ,,k,,k，，fk,0 的,,2a2a结,,论 fk,0fk,0,,，，，，,, ,,0,,0综,,讨合,,bb,,论结 ,,k,,k，，a,fk,0 ,,a论2a2a,,)) afk,,0afk,,0,,，，，，不,, 16 海量资料 超值下载 表三:(根在区间上的分布) 题型归类 分内 一根在内，另一根在两根有且仅有一根在，，，，，，m,nm,np,q两根都在内 况布，，m,n 情内， m,n,p,q(图象有两种情况，只画了一种) 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,fm0,，， ,,得fm,0fn,0，，，，,fmfn,0，，，，,,,出或 ,,, fn,0，，，，fm,fn,0的，，fpfq,0fp,0,，，，，，，,,,结,,b论fq,0，， ,mn,,,,2a,, 大 致 图 象 ) a,0 ) ,,0,,,fm0，，,得fm,0，，,,fn,0出，，,fmfn,0，，，，,,,fn,0，，，，fm,fn,0 ，，的或 ,,,fpfq,0fp,0，，，，，，结,,,,b论 ,mn,,,,fq,0，，,2a,, 综 合，，，，fmfn,0结,,a论，，，，fm,fn,0 ,)) ,，，，，fpfq,0不,讨 论 17 海量资料 超值下载 一 两根同号或异号 2例1 已知关于的方程，分别下列情况，确定的取值范围: xax,ax，a，3,0 (1)方程两根都是正数 (2)方程两根都是负数 (3)方程有一个正根，一个负根。 2xa变式训练 已知关于的方程x，x，a,0有两个负根，求的取值范围。 二 两根在某一点的同侧 2xm例2 当为何值时，关于的方程的两实根均大于2, x,2mx,(m,12),0 方法点拨:代数法:x,k,x,k应转化 12 为; x,k,0,x,k,0,即x,k，x,k,0,且(x,k)(x,k),0121212 几何法:作出符合题意的图形，从判别式，对称轴的位置及特殊点的函数值三方面来, 列出符合题意的不等式(组) 2x，bx，c,0b,c变式训练 讨论方程在满足什么条件时两实根都小于1 三 两根在某一点的异侧 2xm例3 当为何值时，关于的方程有一根大于1，另一根小x，(m，2)x，(2m，1),0于1. 18 海量资料 超值下载 2变式训练 当取何值时，关于的方程有一个根大于xm(m,1)x，(3m，2)x，2m,1,01，另一个根小于1, 习 题 精 练 21 函数的图像如图所示，试确定下列代数式的值的符号: y,ax，bx，c 2b4ac,b2 a,b,c,b,4ac,,,,a，b，c,a,b，c,4a，2b，c2a4a 2x2x,4mx，2m,1,0m2 已知关于的方程，求证:不论取何值，方程总有两个不相等 的实数根，但不可能都是负数。 2x3 若关于的方程中，一个根大于3，另一个根小于3，求实x，2(a，3)x，(2a,3),0 a数的取值范围。 2xx,x，m,0mx,xx,0,x,24 设关于的方程的两个实数根为，若，求实数的取1212值范围. 19 海量资料 超值下载 225 设关于的方程的两实根，已知xx,x7x,(k，13)x，k,k,2,012 ，求的取值范围。 0,x,1,x,2k12 2,1,x,1x6 已知关于的方程x,mx，4,0在范围内有实根，求m的取值范围。 21 关于x的方程根据下列条件分别求出的取值范围. mx，(m,2)x，5,m,0 (1)两根都大于 (2)一根大于2 ，另一根小于2 2 (3)一根在区间上，另一根在区间上. (0,1)(2,3) 22x，4mx，3m,1,0m2 (1)当为何值时，方程有两个负实数根; 2xa (2)关于的方程至少有一个正实数根，求实数的取值范围. x，2(a,1)x，2a，6,0 20