316两圆的公切线

316两圆的公切线 31.6两圆的公切线 中国中学 张颖 一、教学目标: 1(正确理解两圆公切线(外公切线及内公切线)的意义，并通过实验观察知道两圆各种位置条件下内外公切线的条数。 2(理解两圆公切线长的概念，会通过平移方法计算两圆公切线的长。 3(通过学生实验操作、图形运动、分类讨论解题等实践培养解决问题中的探究意识、动态意识和运用数学思想方法解题的意识。 二、教学重点、难点: 重点:两圆公切线、公切线长的意义，用平移法求两圆公切线的长以及解决这类问题中的数学思想方法。 难点:在证明两条外(内)公切线长相等的分类讨论思想及在动态意识下计算公切线长的处理方法 三、教学过程: (一)复习两圆的位置关系，直线与圆的位置关系 (二)实际问题(引入) 很多机器上的传动带与主动轮、从动轮之间的位置关系，自行车的飞轮与链条，火车轮子与铁轨，给我们以一条直线和两个圆同时相切的形象。 (三)两圆公切线的概念。 我们把与两个圆都相切的直线叫做两圆的公切线。 问:两圆有五种位置关系，在每种位置关系中，两圆是否一定有公切线,如果有，有多少条公切线, (学生会对各种位置关系画出相应的公切线。虽然不全面，但教师应给予肯定) 为了研究学习的需要，我们把公切线分两类。 当两圆在公切线的同旁时，这样的公切线叫做外公切线。 OO21 当两圆在公切线的两旁时，这样的公切线叫做内公切线。 OO12 外公切线 内公切线 (操作)请同学们把刚才两圆五种位置关系中的所有公切线全画出来，填好书上p45的表格。 教师说明:公切线的条数也决定了两圆的位置关系。 (四)例题讲评: 由于公切线与两圆都相切，故切线长定理，切线的性质及推论都能运用。 例1如图，已知圆O1和圆02外切于点P，AB是圆O1圆O2的外公切线，A,B为切点。 求证:AP?PB ::要证AP?PB,只需证?APB=90度.故过P作两圆的公切线CD如图，因为AB是两圆的公切线，所以?CPB=?ABP，?CPA=?BAP(因为?BAP+?CPA+?CPB+?ABP=180?，所以2?CPA+2?CPB=180?，所以?CPA+?CPB=90?，即?APB=90?. 教师说明(1)证明过程中运用了切线的性质及切线长定理(2)本题添了一条辅助线,当两圆外切时,经常要添两圆的内公切线,这也是一条常用的辅助线. (五)两圆公切线长的研究: 师:我们知道,由圆外一点作该圆的切线,这一点和切点之间的线段的长叫做这点到圆的切线长.类似的,两圆公切线上的两个切点之间的距离叫做公切线的长. 师:从圆外一点引圆的两条切线,他们的切线长相等.那么当两圆有两条外公切线时,这两条外公切线的长会相等吗? (引导学生思考,讨论,并在自己画的图上进行论证.证明过程中会出现不完整情况,教师应引导学生进行分类讨论并出现例2. 例2 已知圆O1和圆O2的半径为r1,r2,AB和CD都是两圆的外公切线,A,B,C,D都是切点. 求证:AB=CD (教师让学生归纳了两种可能出现的情况并完成了本题的具体过程.) 师:由此我们得到了一个结论,即两圆的两条外公切线长相等. 问:两圆的两条内公切线长相等吗?如果相等你们会证明吗? 学生论证并得出结论两圆的两条内公切线长相等. (六)公切线长的计算 例题3已知:?O与 ? O的半径分别为r和R,(R>r),圆心距OO=d,AB是两1212圆的外公切线,切点分别是A、B，求公切线AB的长。 分析:首先想到切线性质，故连结OA、OB，得直角梯形AOOB(一般要把1212它分解成一个直角三角形和一个矩形，再用其性质((组织学生分析，教师点拨，步骤)学生自己完成解答后，引导学生计算公式: 师:这一方法实际是”平移法”.仿照这个方法,你们会求两圆的内公切线长吗? 例4如图，已知圆O、圆O的半径分别是R和r，圆心距为d，AB是圆O、圆121O的内公切线，切点分别为A、B，求公切线的长AB。 2 引导学生思考，要求公切线的长可将问题转化为直角三角形问题去解决。(投影添加辅助线的方法)学生自己完成解答后，引导学生总结计算公式: 四、小结 1(本节课学习了两圆公切线、公切线长等概念，还通过例题学习了“两圆的外公切线长相等，两圆的内公切线长相等”，以及两圆公切线长的计算方法，这些在今后研究两圆相切的问题中很有作用。 2(本节课在学习过程中，介绍了常用添辅助线的方法。当两圆相切时要添公切线，当研究两圆公切线问题时，常用“平移法”，使问题转化为矩形和直角三角形问题。 五、布置作业: