圆的切线方程的求解技法
圆的切线方程的求解技法,,
2222,,Px,yx,y,r大家知道,,1,过圆上一点的切线方程为,,2,xx,yy,r0000
222,,Px,y过圆上一点的切线方程为,,,,x,a,y,b,r00
222,,Px,yx,y,Dx,Ey,F,0,,3,过圆上一点的,,,,,,,,x,ax,a,y,by,b,r0000
x,xy,y,,,,00xx,yy,D,E,F,0切线方程为,由,2,可导出,3,,。那么,,,,,0022,,,,
222,,Px,y过圆外一点作圆的切线有两条,如何求切线方程呢,,,,,x,a,y,b,r00
举一例介绍求解技法如下。
22,,x,y,4x,2y,1,0P,2,,1例,从点向圆引切线,求切点坐标与切线方程。
A,,Ax,y解法一,转化与化归法。设切点坐标为,则过点的圆的切线方程11
,,P,2,,1,,,,xx,yy,2x,x,y,y,1,0,2x,y,4为。因为切线过点,所以 111111,2x,1,y,1,0x,1,解得,代入圆的方程,解得或。y,,1,3y,,1,311111
所以切点坐标为,,切线方程为或,,,,1,,1,31,,1,3x,3y,2,3,0
x,3y,2,3,0。
22解法二,转化与化归法及参数法。圆的方程化为,故可设,,,,x,2,y,1,4
,,,2,2cos,,,1,2sin,,,,0,2,切点坐标为,,则切线方程为
,,P,2,,1,,,,x,2,2cos,,y,1,2sin,,4 。 因为切线过点,代入切线方程,得
31,sin,,,cos,,,所以,。所以切点坐标为,,,,,,1,,1,31,,1,3,8cos,,422
x,3y,2,3,0切线方程为或。 x,3y,2,3,0
点评,若出型,可将移到右边,再两边平方求解。 Acos,,Bsin,,CAcos,
,,P,2,,1解法三,判别式法。设切线的斜率为,存在时,,则过点的直线方k
1
,,y,1,kx,2,2222,,,,1,kx,4k,1x,4k,0y程为,由,消去,得 y,1,k(x,2),22,,xxy,4,,1,0,
232221k,,? 由直线与圆相切有,,,16,,,,k,1,16k1,k,0,解得,此时切点的3
2,,4k,1y,,1,3x,,,1横坐标为,将代入圆的方程,解得,即切点坐标为x,122,,1,k
3k,,,。将代入切线方程,得两条切线方程为,,,,1,,1,31,,1,33
x,3y,2,3,0,。 x,3y,2,3,0
,,P,2,,1点评,若求得的值只有一个,再验证斜率不存在且过点的直线是k
否为切线。
22,,C2,,1解法四,几何法。圆的方程化为,圆心。设切线的,,,,x,2,y,1,4
,,P,2,,1y,1,k(x,2)斜率为,存在时,,则过点的直线方程为,即k
,,y,kx,2k,1,0C2,,1。由平面几何知识,圆心到切线的距离等于圆半径,所以
,1,2k,2k,133d,,2k,,k,,。解得。将代入切线方程,得两条切线方程2331,k
3,,y,1,,x,2x,3y,2,3,0为,。将切线方程代入圆的方x,3y,2,3,03
122y,,1,3,,,,x,2,x,2,4程,得,解得,再代入切线方程,得,所以切x,13
点坐标为,。 ,,,,1,,1,31,,1,3
,,P,2,,1点评,若求得的值只有一个,再验证斜率不存在且过点的直线是k
否为切线。就求切线方程而言,较解法三可减少运算量,值得重视。
22,,P,2,,1解法五,平移转化法。圆的方程化为,将圆和点同,,,,x,2,y,1,4
,,,,y,y,1y,y,1时按向量,,平移,,,从而,,,得到a,,2,1x,x,2x,x,2
2
22x,y,4,,的图形所对应的方程为,改写后,和点P,4,0。设此时切点坐标为
,,,,xx,yy,4P,4,0,4x,4x,,1x,y,则切线方程为,因其过点,所以,。000000
22x,,1x,y,4x,3y,4,0将代入圆的方程解得,所以切线方程为,即y,,300
,,切线方程为,,切点为。再将所得的切线和切点按向量,,x,3y,4,0,1,,3
,,1,,1,3平移,得到所要求的切点坐标为,切线方程为,,,a,2,,1
,即切点坐标为,,切线方程为,,,,,,,,x,2,3y,1,4,01,,1,31,,1,3
x,3y,2,3,0或。 x,3y,2,3,0
点评,利用平移化归法,化复杂为简单,减少运算量。但要确保平移的正
确性和能熟练运用。
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