概率论第三章：二维随机变量及其联合分布

概率论第三章：二维随机变量及其联合分布 第三章 二维随机变量及其联合概率分布 考试内容: 二维随机变量的联合分布函数 / 离散型二维随机变量的联合概率分布、边缘分布和条件分布 / 连 续型二维随机变量的联合概率密度、边缘密度/ 随机变量的独立性和相关性 / 常见二维随机变量的概 率分布 / 两个随机变量的函数的概率分布 考试要求: 1、理解二维随机变量的联合分布函数的概念和基本性质。 2、理解二维随机变量的联合分布的概念、性质及其两种基本达形式:离散型二维随机变量联合概率 分布和连续型二维随机变量联合概率密度。掌握已知两个随机变量的联合分布时分别求它们的边缘 分布的方法。 3、理解随机变量的独立性和相关性的概念，掌握随机变量独立的条件;理解随机变量的不相关性与独 立性的关系。 4、掌握二维均匀分布和二维正态分布，理解其中参数的概率意义。 5、掌握根据两个随机变量的联合概率分布求其函数概率分布的方法。 一、知识要点 1、二维随机变量的分布函数 的联合分布函数 ， (X,Y)F(x,y),P{X,x,Y,y} ，单调不减，右连续， 性质:0,F(x,y),1 ，，，; F(,,,,,),0F(,,,y),0F(x,,,),0F(，,,，,),1 X的边缘分布函数:; F(x),F(x,，,)X Y的边缘分布函数:. F(y),F(，,,y)Y 2、二维离散型随机变量 (X,Y) P(X,x,Y,y),p联合分布律:，，一般用矩形列出; i,j,1,2,？1jij 记 i,1,2,？P(X,x),p,p边缘分布律:， ,iiji,j 记 ，. P(Y,y),p,pj,1,2,？,jij,ji 3、二维连续型随机变量 (X,Y) xy若，称为的联合密度函数; f(x,y)(X,Y)F(x,y),f(u,v)dudv,,,,,, 的性质: f(x,y) (1) ; f(x,y),0 ，,，,(2) ; f(x,y)dxdy,1,,,,,, 2,F(x,y)(3)若f(x,y)连续，则,f(x,y); ,x,y P{(X,Y),D},f(x,y)dxdy(4); ,,D 1 ，,，,边缘密度: ;; f(x),f(x,y)dyf(y),f(x,y)dxXY,,,,,, 1, , (x,y),D,S二维均匀分布:，为的面积; f(x,y),SD,DD ,0 , 其它, 22二维正态分布: N(,,,;,,,;,)1212 22,,，，,,,,,,,,,,,,xxyy11,,1122,,,, ,,,,,,，(,)exp2fxy,,,,,,22,,,,,,2(1),,,,,,,,,,,21,,1122，，12,, 22其边缘分布分别为一维正态分布，. X~N(,,,)Y~N(,,,)11224、随机变量的独立性 若，称与相互独立; F(x,y),F(x),F(y)YXXY 离散型:，; p,p,pi,j,1,2,？iji .,j 连续型:，. x,y,Rf(x,y),f(x),f(y),f(x),f(y)XYXY 5、条件分布 离散型:在条件下X的条件分布为 Y,yj pijPXxYy，. (,|,),j,1,2,？ijp,j 6、二维随机变量函数的分布 主要研究的分布: Z,X，Y ，,，,连续型，卷积公式:或; f(z),f(x,z,x)dxf(z),f(z,y,y)dyZZ,,,,,, ，,，,X,Y若相互独立，则或; f(z),f(x)f(z,x)dxf(z),f(z,y)f(y)dyZXYZXY,,,,,,可加性定理: X,Y(1) 设，，且相互独立，则; X~B(m,p)Y~B(n,p)X，Y~B(m，n,p) X,Y(2) 设，，且相互独立，则; X~P(,)Y~P(,)X，Y~P(,，,)121222X,Y(3) 设，，且相互独立，则有 X~N(,,,)Y~N(,,,)112222; X，Y~N(,，,,,，,)12122i,1,2,？,nX,X,？,X推广到有限多个，若，，且相互独立，则有 X~N(,,,)12niiinnn22 ， Z,aX~N(a,,a,),,,iiiiii,1,,11iii 称为正态分布的可加性. 二、典型例 题型1:二维离散型随机变量的联合分布、边缘分布、条件分布 1P{X,,1},P{Y,,1},【例1】 (研97) 设两个随机变量X和Y相互独立且同分布:，2 2 1，则下列各式成立的是 【 】 P{X,1},P{Y,1},2 1(A)P{X,Y}, (B) P{X,Y},12 11P{X，Y,0},(C) (D) P{XY,0},44 【详解】 由X和Y相互独立知 P{X,Y},P{X,,1,Y,,1}，P{X,1,Y,1} ,P{X,,1},P{Y,,1}，P{X,1},P{Y,1} 11111,，，，,。 22222 而 P{X，Y,0},P{X,,1,Y,1}，P{X,1,Y,,1} ,P{X,,1},P{Y,1}，P{X,1},P{Y,,1} 11111,，，，,， 22222 。 P{XY,0},0 【答案】 应选(A). ,101，， 111,,~X【例2】 (研99) 设随机变量，且满足，则P{XX,0},1P{X,X}(i,1,2)i1212,,424，， 等于 【 】 11(A)0 (B) (C) (D)1 42 【详解】 先求联合分布: 由于，所以，即 P{XX,0},1P{XX,0},01212 ， P{X,,1,X,,1},P{X,,1,X,1},P{X,1,X,,1},P{X,1,X,1},012121212 X2p 0,11 i, X1 0 a 0 1/4,1 b c d 0 1/2 0 e 0 1/41 p 1/41/21/41 ,j 1c,0a,b,d,e,由联合与边缘分布的关系得 ，， 4 所以 P{X,X},0，c，0,0， 12 【答案】 应选(A). 【例3】 (研09) 设袋中有1个红球，2个黑球和3个白球。现有放回地从袋中取两次，每次取一球，以 分别表示两X,Y,Z次取球所取得的红球、黑球和白球的个数. (1) 求P{X,1|Z,0};(2) 求二维随机变量的概率分布(X,Y). 【详解】 (1) P{X,1|Z,0}表示在没有取得白球的情况下取了一次红球的概率，相当于在红球和 黑球中有放回地从袋中两次取球，其中一个为红球，一个为黑球的概率，故 3 11C,C422. {1|0}PX,Z,,,119C,C33 (2) 的取值为0，1，2，且 X,Y 1111C,CC,C113323，， {0,0}{1,0}PX,Y,,,PX,Y,,,111146C,CC,C6666111C,C,C111223，， {0,1}{2,0}PX,Y,,,PX,Y,,,1111363C,CC,C66661111C,C1C,C12222，， {1,1}{0,2}PX,Y,,,PX,Y,,,111199C,CC,C6666 ， P{X,2,Y,1},P{X,1,Y,2},P{X,2,Y,2},0故二维随机变量的概率分布如下: (X,Y) X 0 1 2 Y 0 1/4 1/6 1/36 1 1/3 1/9 0 2 1/9 0 0 题型2:二维连续型随机变量的联合分布、边缘分布 分布函数为 【例1】 设随机变量的(X,Y) xyF(x,y),A(B，arctan)(C，arctan)，试求: 23 (1) 系数;(2) 的概率密度;(3) 边缘密度函数;(4) . A,B,C(X,Y)P{0,X,2,Y,3} ,,1,F(，,,，,),A(B，)(C，)【详解】 (1) ， 22 ,,,,0,F(,,,，,),A(B,)(C，)0,F(，,,,,),A(B，)(C,)，， 2222 ,1,B,C,A,，. 22, 2,F(x,y)6,f(x,y),(2) 的联合概率密度函数为 . (X,Y)222,x,y,(4，x)(9，y) ，,，,62,dy,(3) ， f(x),f(x,y)dyX2222,,,,,,,(4，x)(9，y),(4，x) ，,，,63,dx,， f(y),f(x,y)dxY2222,,,,,,,(4，x)(9，y),(9，y)或解:边缘分布函数分别为 1x1y,,F(x),F(x,，,),(，arctan)F(y),F(，,,y),(，arctan)，， XY2223,,求导得边缘密度函数分别为 33,,,,f(x),F(x)f(y),F(y)，. XXYY22,(9，y),(4，x) 4 23236dxdy(4) ,P{0,X,2,Y,3},f(x,y)dxdy,,222,,,,0,,0,4，x9，y 23361x1y. ,,,,arctanarctan2162233,0,,【例2】 (研92) 设二维随机变量的概率密度为 (X,Y) ,y,e , 0,x,y， f(x,y),,0 , 其他, (1) 求X的边缘密度;(2) 求概率. f(x)P{X，Y,1}X ，,【详解】(1) ， f(x),f(x,y)dyX,,, x,0当时， ; f(x),0X，,-y,xx,0当时， ， f(x),edy,eX,x ,x,e , x,0所以 . f(x),,X0 , x0,, 1,1/21,x1,y2(2) . ,1，,2eP{X，Y,1},f(x,y)d,,dxedy,,,,0xex，y,1 【例3】 (研95) 设二维随机变量的联合密度函数为 (X,Y) ,,,,4xy , 0x1,0y1,,f(x,y)， , 0 , 其他,求的联合分布函数. (X,Y) xy【详解】 ，分块计算， F(x,y),f(u,v)dudv,,,,,, x,0当或时，显然; y,0F(x,y),0 xy220,x,1当且时，; 0,y,1F(x,y),4uvdudv,xy,,00 1y2x,1当且时，; 0,y,1F(x,y),4uvdudv,y,,00 1x20,x,1当且时，; y,1F(x,y),4uvdudv,x,,00 11x,1当且时，， y,1F(x,y),4uvdudv,1,,00 综上所述， 或 0 , x,0y,0, ,22 , 0,,1,0,,1xyxy,,2且F(x,y),x , y,10,x,1. , 2,y , x,1且0,y,1, x且y 1 , ,1,1,,题型3:二维随机变量函数的分布 (X,Y)G,{(x,y)|1,x,3,1,y,3}【例1】 (研01) 设二维随机变量在正方形上服从均匀分布，试 5 x–y = - uy 求随机变量的概率密度函数. U,|X,Y|p(u) 【详解】 由题设知， 的联合密度函数为 3(X,Y) 1/4 , (x,y),Gx–y = u, f(x,y),， ,2 0 , (x,y),G, 先求的分布函数， U,|X,Y|F(u),P{U,u} 1u,0u,2当时，;当时，; F(u),0F(u),1 0,u,2当时， 1 OF(u),P{|X,Y|,u},f(x,y)d,,d, 123x ,,,,4|x,y|,u|x,y|,u 11122， ,{4,[3,(u，1)]，[(3,u),1]},[4,(2,u)],1,(2,u)444 1,(2,u) , 0,u,2,,p(u),F(u),于是 . 2, , 0 , 其他, 【例2】 (研03) 设随机变量X与Y独立，其中X的概率分布为 12,, ,,， X~,,0.30.7,, U,X，Y而Y的概率密度为，求随机变量的概率密度. f(y)g(u)【分析】求二维随机变量函数的分布，一般用分布函数法转化为求相应的概率. 注意X只有两个可能 的取值，求概率时可用全概率公式进行计算. U,X，Y【详解】 设是Y的分布函数，则由全概率公式，知的分布函数为 F(y) G(u),P{X，Y,u} ,0.3P{X，Y,u|X,1}，0.7P{X，Y,u|X,2} . ,0.3P{Y,u,1|X,1}，0.7P{Y,u,2|X,2}由于X和Y相互独立，可见 ， G(u),0.3P{Y,u,1}，0.7P{Y,u,2},0.3F(u,1)，0.7F(u,2)由此，得U的概率密度 ,,,. g(u),G(u),0.3F(u,1)，0.7F(u,2),0.3f(u,1)，0.7f(u,2)【评注】 本题属新题型，求两个随机变量和的分布，其中一个是连续型一个是离散型，要求用全概率 公式进行计算，类似问题以前从未出现过，具有一定的难度和综合性。 【例3】 (研07) 设二维随机变量的概率密度为 (X,Y) ,,,,,,2xy, 0x1,0y1,,f(x,y) , 0, 其他, (1) 求; P{X,2Y} Z,X，Y(2) 求的概率密度f(z). Z11137222,(,5y，4y)dy,,dy(2,x,y)dx,f(x,y)dxdy【详解】(1) P{X,2Y}. ,,,,,y020242x,2y (2) 方法一: 先求Z的分布函数: F(z),P{X，Y,Z},f(x,y)dxdy Z,,x，y,z z,0F(z),0当时, ; Z 6 zz,y1230,z,1当时, ; F(z),f(x,y)dxdy,z,z,dy(2,x,y)dxZ,,,,003D1 1113当时, F(z),1,f(x,y)dxdy; 1,z,2,1,(2,z),1,dy(2,x,y)dxZ,,,,z,z,y13D2 当时, . z,2F(z),1Z 故的概率密度Z,X，Y 2,2, 01,,,zzz ,2, . ()()(2), 12,,,,,fzFzzz,ZZ ,0, 其他, ，,方法二: ， f(z),f(x,z,x)dxZ,,, ,,,,,,,,2x(zx),0x1,0zx1,,, f(x,zx),0,其他, ,,,,,，2z,0x1,xz1x,,， ,0,其他, z,0当z,2 或 时, ; f(z),0Z z0,z,1当时, ; ,z(2,z)f(z),(2,z)dxZ,0 121,z,2当时, ; ,(2,z)f(z),(2,z)dxZ,z,1 Z,X，Y故的概率密度 2,2, 01,,,zzz ,2()(2), 12,,,,fzzz . ,Z ,0, 其他, 【例4】 (研08) 设随机变量独立同分布且X分布函数为，则的分布函数为X,YF(x)Z,max{X,Y} 【 】 2(A) (B) F(x)F(y)F(x) 2(C) (D) [1,F(x)][1,F(y)]1,[1,F(x)] 【详解】 独立同分布 F(x),P{Z,x},P{max{X,Y},x},P{X,x,Y,x}Z2. ,P{X,x},P{Y,x},F(x) 【答案】应选(A). 1P{X,i},(i,,1,0,1)【例5】 (研08) 设随机变量X与Y相互独立，的概率分布X为，Y的概率密3 ,,1, 0y1,,Z,X，Yf(y)为，记. 度,Y0, 其他, 1P{Z,|X,0}(1) 求;(2) 求Z的概率密度( 2 1111121dP{Z,|X,0},P{X，Y,|X,0},P{Y,},y,【详解1】 (1) . ,02222 F(z),P{X，Y,z}(2) 先求Z的分布函数 ， Z 7 当时，;当时，; z,2z,,1F(z),1F(z),0 当时，由全概率公式， ,1,z,2 F(z),P{X，Y,z},P{X，Y,z|X,,1},P{X,,1}Z ，P{X，Y,z|X,0},P{X,0}，P{X，Y,z|X,1},P{X,1} 1 ,[P{Y,z，1}，P{Y,z}，P{Y,z,1}]3 1， ,[F(z，1)，F(z)，F(z,1)]YYY3 所以Z的密度函数为 1,,,,, 1z21,,,. f(z),F(z),[f(z，1)，f(z)，f(z,1)]3,ZZYYY3,0, 其他, z，1111,1,z,0【详解2】 当时，F(z),P{Y,z，1},1dy,(z，1); Z,0333 z1110,z,1当时，F(z),[P{Y,z，1}，P{Y,z}],(1，1dy),(z，1); Z,0333 z,1111当1,z,2F(z),[P{Y,z，1}，P{Y,z}，P{Y,z,1}],(1，1，1dy),(z，1)时，; Z,0333 0, z,,1, ,1,F(z),(z，1), ,1,z,2综合如下 ， ,Z3, 1, z,2,, 1,, 1z2,,,,3,所以Z的概率密度为 . f(z)F(z),,,ZZ ,0, 其他, 【例6】 (研09) 设随机变量X与Y相互独立，且X服从标准正态分布，Y的概率分布为N(0,1) Z,XY，记为随机变量的分布函数，则函数的间断点个数F(z)F(z)P{Y,0},P{Y,1},1/2ZZ为 【 】 (A)0 (B)1 (C)2 (D)3 【详解】 F(z),P{XY,z},P{XY,z|Y,0},P(Y,0}，P{XY,z|Y,1},P(Y,1}Z 11,P{X,0,z|Y,0}，P{X,z|Y,1}， 22 ,(z)/2 , z,0,11F(z),P{X,0,z}，P{X,z},因为X与Y相互独立，所以 ， ,Z[1，,(z)]/2 , z,022, z,0显然是唯一的F(z)间断点. Z 【答案】 应选(B). 题型4:随机变量的独立性与相关性 【例1】 (研90) 一电子仪器由两个部件构成，以X和Y分别表示两个部件的寿命(单位:千小时)，已知 X和Y的联合分布函数为 ,0.5x,0.5y,0.5(x，y),xy1,e,e，e, ,0,,0若Fxy(,),， ,0, 其他, 8 (1) 问X和Y是否独立, (2) 求两个部件的寿命都超过100小时的概率. , 【详解】 由题设条件知，X和Y的边缘分布函数分别‎‎为 ,0.5x,1,e, x,0， F(x),F(x,，,),,X0, x0,, ,0.5y,1,e, y,0. F(y),F(，,,y),,Y0, y0,, (1) 由上式知 ，故X和Y相互独立. F(x,y),F(x),F(y)XY (2) ,,P{X,0.1,Y,0.1},P{X,0.1},P{Y,0.1} ,0.1. ,e,[1,F(0.1)],[1,F(0.1)],(1,P{X,0.1}),(1,P{Y,0.1})XY【例2】 (研05) 设二维随机变量的概率分布为 (X,Y) Y 0 1 X 00.4 a 0.11 b 若随机事件与相互独立，则 a, ,b, .{X,0}{X，Y,1} 【答案】应填. 0.4,0.1 a，b,0.5【分析】 首先所有概率求和为1，可得。其次，利用事件的独立性又可得一个等式，由此可 确定的取值. a,b a，b,0.5【详解】 由题设，知 ; 又事件与相互独立，于是有 {X,0}{X，Y,1} ， P{X,0,X，Y,1},P{X,0}P{X，Y,1}即 , 由此可解得 。 a,(0.4，a)(a，b)a,0.4,b,0.1【例3】 (研06) 设随机变量X与Y相互独立，且均服从区间上的均匀分布，则 [0,3]Pma{x{X,Y},1} = . 1【答案】应填. 9 1,01P{X,1},P{Y,1},,【详解】因为X与Y服从上的均匀分布，则有 ， [0,3]3,03 再由X与Y相互独立，有 12,. P{max{X,Y},1},P{X,1,Y,1},P{X,1},P{Y,1},(P{X,1})9 【例4】 设二维随机变量的联合概率密度为 (X,Y) 1xy，, , |x|1,|y|1,,,f(x,y),， 4, , 0 , 其他, 22XY:X与Y不独立，但与独立. 【详解】 先求边缘分布， 1111，1，1xyxy,,d, , ||,1d, , ||,1yyyx,,,,,,11(),(),fxfy，， 4242,,XY ,, 0 , 其他 0 , 其他,, f(x,y),f(x),f(y)因为，所以X与Y不独立; XY 9 22再计算与的分布函数， XY 0 , u,0, 0 , v,0,,u1,,2F(u),P(X,u),dx,u , 0,u,1，， F(v),v , 0,v,12,2,,XY,u2,, 1 , v,1, 1 , u1,,, 22再计算与的联合分布函数， XY ,, 0 , u0 v0或, ,vu，1xy,,,,,,dydxuv , 0u1,0v1,,,vu4,,22,,,,,,,， F(u,v)P(Xu,Yv)u , 0u1,v1, ,,,,v , 0v1,u1, ,,1 , u1,v1, ,, 22于是有 ，即与独立. F(u,v),F(u),F(v)XY22XY 【评注】 如果X与Y相互独立，则与也相互独立，但反之不然，本例即说明了这一点. h(X)g(Y)题型5:综合题 【例1】 设随机变量X与Y相互独立，下表列出了的联合分布及边缘分布的部分数值，试在空白(X,Y)处填入相应数值。 Y pyyyi,321 X cb xa181 fd x18e2 1 hp g 16,j 111a,,,【详解】， 6824 1111113b,,,,c,f,1,c,c,a由独立性，，，， ,,,442481246 1111131h,1,,g,g,d,,,gc,再由独立性，,，,，,， 8228863 11e,f,,d,,， 84 将所得数字填入，得下表: Ypyy y i,321 X 1/4 1/241/12x18 13/4 3/81/4x18 2 1 1/21/3p16 ,j 1~4【例2】 设袋中有标记为的四张卡片，从中不放回地抽取两张，X表示首次抽到的卡片上的‎‎数字， Y表示抽到的两张卡片上的‎‎数字差的绝对值。 (X,Y)(1) 求的联合概率分布; (2) 求X和Y的边缘分布; 10 Y,3(3) 求在条件下Y的条件分布以及在条件下X的条件分布。 X,4 1~3【详解】(1)按题意， X的可能取值为，Y的可能取值为，的联合概率分布如下表，1~4(X,Y)其中，表示卡片上的数字分别为和，所以，其它可类2,12,3(X,2,Y,1),,,,P(X,2,Y,1),1/12 似求得. pij Y p3 12i, X 1/121/121/121/4 1 2/121/1201/4 2 3 2/121/1201/4 4 1/121/121/121/4 p1/21/31/6 1,j X 1 2 3 4 (2) X的边缘分布为 ， P 1/4 1/4 1/4 1/4 Y 1 2 3 Y的边缘分布为 . P 1/2 1/3 1/6 X,4X,4(3) 取定，则把该行各概率除以，即可得到在条件下Y的条件分布: p4, Y 1 2 3 P 1/3 1/3 1/3 X 1 4 Y,3在条件下X的条件分布为 . 同理， P 1/2 1/2 【例3】 (研05) 设二维随机变量的概率密度为 (X,Y) 1,01,02,,x,,y,x,(,) fxy,,0,其他., 求:(1) 的边缘概率密度; f(x),f(y)(X,Y)XY Z,2X,Y(2) 的概率密度. f(z)Z 【分析】 求边缘概率密度直接用公式即可;而求二维随机变量函数的概率密度，一般用分布函数法， 即先用定义求出分布函数，再求导得到相应的概率密度;直接用条件概率公式计算即可. 【详解】 (1) 关于X的边缘概率密度 ，, f(x),f(x,y)dyX= 02x - yy, ,, 2x,,,2x, 0x1d, 0,,1yx,,,0,， ,,,0, 其他,,0, 其他 ,2x - y= z 关于Y的边缘概率密度 1,xyd, 0,,2y，,,,, f(y),f(x,y)dx2,Y,,,,0, 其他, y,O 1 x1, 0y2,,, ,,， 2, , 0, 其他, F(z),P{Z,z},P{2X,Y,z}(2) Z的分布函数为 ， Z z,0F(z),P{2X,Y,z},01) 当时，; Z 11 11z20,z,22) 当时， ， ,z,z,1,(1,)(2,z)F(z),P{2X,Y,z}Z422 3) 当时， z,2F(z),P{2X,Y,z},1.Z 0, z,0, ,1,2F(z),z,z, 0,z,2即Z的分布函数为 ,Z4,z 1, ,2,, 1,1,z, 0,z,2,f(z),故Z的的概率密度为 . 2,Z ,0, 其他, 【评注】 求随机变量函数分布，一般都是通过定义用“分布函数法”计算. 【例4】 设二维随机变量的联合概率密度为 (X,Y) y 2,kxyxyG , (,),， fxy(,),, 0 , 其他, y= x = - x1y 其中G是由和围成的区域， y,|x|y,1 (1) 求k; X,Y(2) 求的边缘密度函数; 1P{Y,}(3) 求. O2 1x 【详解】 (1) 由规范性， 1y2152f(x,y)d,,dykxydx,k,1k,， ; ,,,,,,0y215G ，,(2) ， f(x),f(x,y)dyX,,, 11515222,1,x,0f(x),xydy,x(1,x)当时， ， X,,x24 115152220,x,1f(x),xydy,x(1,x)当时， ， X,x24 15,22(1) , 11,,,,xxx,(),fx所以 ; 4,X , 0 , 其他, y15,24，,d5 , 01,,,xyxyy,,,y,而 ; f(y),f(x,y)dx2,Y,,,, 0 , 其他, 1B,{(x,y)|y,}(3) 记 ， 2 1y151511222,f(x,y)d,,xyd,ddP{Y,},yxyx,则 ， ,,,,,,,y022322BB:G 1111422()d5dP{Y,},fyy,yy,或解:. Y,,,,0232 12