外部区域上椭圆型方程的解在无穷远处的极限性质

外部区域上椭圆型方程的解在无穷远处的极限性质 外部区域上椭圆型方程的解在无穷远处的 极限性质 第?巷第3期 【994明 廷边火牛学摊【挞科学版) . toUtllt~ofYanbianUniw.~itv(Nalm V0I20N03 SoD1994 ( I一7 外部区域上椭圆型方程的解 在无穷远处的极限性质 粱鎏廷 f中山太学魏学系) 01-7~+5+7 摘要措助非负解的Harnack不等式和解的最走值原理,本文下面的椭田型方程(,)在外部 区域上的有界广殳解在无穷远处的极限存在.这是蝮性方程相应蛄果的推广 关键词外部区域;椭圆方程;广义解;Harnack~不等式;最大值原理 l弓『言 设G是n维欧氏空问En中的有界区域,G记它的边界,Gc=P\G记它的补. 在上考虑方程: div,\Vt0=B(x,Vu】 设A(x,{)和B(x,白分别在GxEII上定义,对固定的x关于{为连续, 假于x为可测,并且满足下面的结构条件: 关 }?A(x,旬?f},l<p?n fA,白I?KIr_.,?1 fB【x,1.1,旬f?b(x)fI,P一1?7?pIb(x】?L(G, 并且b(x)一0(Ixl)当fxI-.. 和通常一样,记BR=B(R):{Ixl<R).称U是(1)的广义解,如果对任何DG, 阂彳霉乏 (1) 对固定的{ (2) (3) uEw(BG)当l<p<n且P—l??p一1+詈 或P=n且P—l?<p ue(BR\G)nLG)当I<p<n且p-i+詈p(4】 uew~(aRkG)nLR\G)当rp> 并且满足 I{.(x,u,Vu)+1_B(,{)x=ovvEW0\G)JBl 定理I在=P—l的情形+如果u是( 收藕日期:1993—09,1 )的单侧有界广义解,那存在 (I)' 定理2在P一1<?p的情形,如果u是fI)的有界J义解,那/厶u存在 当P:2时,Mc--的?I中陈述井证明了线性方程在外部区域上的有界广义解的类似结果.本 文结果足【1)中?I卡H应结果的适当推广,和…一样+证明要利用环形区域上非负广义解的Hamack 不等式和解的最大值原理. 2定理的证明 定理I的证明不妨设u有下界fu有上界的情形只需用f—u)代替tl作考虑),如有 必要增加 适当常数到u(这样作不会改变解所满足的结构条件),我们可设 Iimjnfu=0(5) R't?R 撇据(5),对任意,>0,取单增数列{}: Rk<8R.?Rk…R?z当k,z 使在{xl~>RI上u(x)?一,(当然,设B(R.)G)井缱Vminu?, Bf5R)'4R) 现在,考瞎到:P—I井且在fxf?R.上u+e?O.掇据[2J成立如下的Hamack不等式: Vrai;r~xlu+e)?CVmiminfu+,)?2@ B~'5RI)'.B(4Rk)B(SR)B(4R) 上式最后不等式的得米是由于利用了前面的结果,常数C>O和u,R无关.再山广义解的最 大值原理(例如见I3】),在詈R.??詈R上成立: , Vra鞴V锄rain~,,xRi}?zce.n啪?寻)锄寻f.' 命k?-上(【lj于常数C和R无美),[jj上式继续得 luf?2CEvIxl??R 又[{{,的任意性,上式隐含rlirau=0,亦即?z时u有饭限.定理1于l址获证. 定理2的证明和定理J完全类似.不同的是在老理2的情形,;>P—J.为要得到解在环状区 域上的Harnack不等式,需要要求u为彳『界,更确田地,我们订如下 引理设P一1<?p,设0?u?M足(1)在G上的广义解,那幺对任何G.成立 B Vr5aRi ))"?aM嚷)皤R)" 其?{,C(M}>O足不依赖于R的常数《坦要依赖M). 至于'>P一1情形广义解的址夫f『(原胖在l4】I51【}】彳『证明.融而迩理2的证明归结证明91理 成立. 3引理的证明 竹兜,通过代换x:Ry,我们得到 fB,B(古Vr.A~+vB).e荫_H) 2 即(V,?B)Rdy=0v1E{BB)(6) 其中 A.(y,u,")=R..A|(x,ur),B.O一., u)=Wtl(x,LLV. 根据(2),和B.满足结构条件: , u?=RVu(x)?ReA_(x.uu】?RqVuF=IVuJ, lAI?RlI?RrKIVulr,=KIV,ul. ~ <RrS(xlVul=Rb(Ry)IVyL~._b.(y)IVyL~. 其中b(y)=Rb(Ry).根据(3).b.()在B.B上有界而?界和R无关.我ff/T而只对 I<p<n的 情况给出完全的证明,P=n的情形差别仅在嵌入定理的形式(这时要用充分大的I 采取代下面的D, 来作沦证).证明分为三步进行. 第一步设))=(IyI)是其自变的运段为线性的连续函数,满足 『yl?l或iy1>~8 当2?lYl?7 那么lu)i?】f2~r>0待定,r丁?e>0 ,-=c.n /11~/.4,山~=f~Ii20?u?M,u.W在Bx'.B.上非负并且ueW;(BB.,w(BH:).取u作试验 甬散,代 ^(61即得 c(u+砷..:((p一1Xu+,)_.一Vu)一'Vu+;.】?+B)dy 一 , w ]a + l…lVl;』KIV,wJR一 借助Young不等式,对任何实数d>0.成立: IeIV;}lVdy ?Ic(Ij,,,r+c(6giVy: a 7) 3 r上r …a ? cc击a~p-l<7<p 联合以上结皋,取>0足够小(只依赣n,P,k)井取 盯=1当p一1<<p;盯#llb(x)?k(西?bI?}1Ll?当7=P 由(7)我们得 C- lC1V,wlDdylc一咖(l州y?cliIV(r+Ko)?丁1V1-一)dy(8)JBJAJB.B. 其中常数C>0依赣于n,P,k,M和IJb(x)}GcI; K)=0当=p;K口)=1当P一1<<p. 在P一1<8<p的情形,对(8)右端末项应用Young不等式来处理.我们最后得 lIVwp'dy<~l1咀y?c(M)? 回到原来的变量x.我们即得 5~\BOR)和任何PI<2R,成立 (9) 根据I6l中定理7.i,(9)隐含了对任何x~B(SR)\B(4R) lpx),w一)dx?c(M)R(10) J日'.基' 其中和c(M)是只依赖于n,P,k,7,M和b【x)的界的常数,但和R无关;则为 w~=lB#x2刚1w【x?x (1cl记e的Lcbcsquc测度).由(10)继续得 c古cu+咖x)(古上cu+ax) = (古,,cxax)(古L?x) ?C(M)Vx~eB(SR)\B(4R】(1I) ?l R阿 q对 证?U叮州 ?的 由于常数alM)和,无关,命0(11)保持成立.再由有限笈盖定理,我们可得 (iL州x)(古L—u??.?c 第=步设o>o待定,取>0满足 lulx=OR 现在截断函数f(x)=f(fxI)修改为 f(x)=. I? Ixl~SR , ?<?R.那么I(x?(p0一P1)'' 其中0 设R?,取V=(u-R)一作试验函数,代人(1)得 .?一一—Kr—cu—cxwrx 其中A,={B(SR+\B(4R一删n{u>k}是积分有效域. 首先限制8<1IB(5)\B(4)l'那么(13)隐舍了 IA(ko,Po)I~<0R?IIB(5R)\S(4R)I: I(B(5RR)}n{u?}-?I{B(5RR}nu?畸 ??IB(5R)\B(4R)I?.i(一4'6—1B(6R)I ?—(一436—1A(K,pVk?k. 在{B(5R+p)\B(4R—P.)j上对(u—k)一应用【7】引理2,给出 )卿.)一,古古一 根据(3),只要K_>0取得足够大,可使 lb(x?KRV?R. 琨' Lk)b(x)lVuldx…MkRL,;qVuldxIu一?"_I呻.瞄J忡,帕 ?C(Mpu…,uJ(k,po)l'.}.\J坤》, 联合(14),(16)和(i7),通过Young不等式,即碍 axLx (13) (14) (15) ,Vk?k0(I6) (I7) 5 耐 L ?C{Mx d lIIV{jx+RlA(k,p?C(M4_I_+古jIA(k,p柚L"lIl,''J ?C(MXPo一)一IA(k,po)l,V0-.<p.<?R(18) 对m=o,1,2…置Pm=,km=2k.一ko .Am=IA(k,Om)l由于常数c(M)和k,Po,p无差,分 别用,p…取代Po,P.用k取代k,由(18)得 (k.一km)lA【k一,,H?(Ilu—kIP'dxy J艄 ?C(M)(p一P一 )一IA(k,pJI,即 哪?)(等)P(yA一z,…? 根据(15),m=0时我们有A0=IA(k..?OR,设已证 A?OR(20) 那么,联合(19),(20)继续得 : ?ccM1((等m-:F(a-0Ro)= 号2帅.(21) 由于k0山(13)联系,因此减小0必然导致k增大.不妨设k.?1.那么只要一开始取 0>0满足 CfM)2?,(2)=1(22) 那/厶【I】(21)邺见(2O)对ITIA-l成立.根据归纳法,(如)无例外地对一切正整数m 成立.命m?.:, 得0=… limAIA(2ko0)lI{B(5R)B(R))n{u> 即vmiz Lax) 其中的0山f22)确定,因而0与R无关. 第三步再一次设(x)是在第二步证明中出现的截断函数.设>0待定,取 rn+p=i0>0,置 u=c"一一 , ={u+一,7>/7o,s>0 那么uEw(B(6R)B(3R))可取作试验函数,代入(1)得 0?一le—{.+2p一?;wIwr+w一IVui J,巩IL, I — p;p-;IKtVw]一p一b(x)Nulx(24) J 由于. Ie.'btx)lVuldx 6 fllb(x)_LI【.c,IefNul~dx ?{r'【I e一f.I一一lVulP+b(x)古v,tVwlx Jh讯II~34R} 只要取a>O足够大,通过Young不等式.由(24)可得 C-*~d仃+2p—l一)I1wIrdx'J日}日象 r ?c(M,I【1l一K(.)b(x)吉(p一p]dx ?C(M, 阱 【(一P1)一+K0")R一,1.dx ?c(M,i)I(p0一p.)一一dx JBI一?-一, 当7=P 当P一1<7<P f25) 其中K()的取值和第二步中的相同,又在推导过程中我们利用了对b(x)的假定(3). 代按w=co~- 山(25)继续有 j,.VIf'dx~<C(M,J一?w融】…1JH一附一附 从而~Co6orcB嵌人定理:成立 .一 c‰ C(n,p)I J限1?1R ?c,p)I JRIIN)R V()rdx (Vl+lV)dx ?cr而L一ax 对m=O.I,2,…置 +p=+p)譬Pr(因+p, = , J,一dx,k一 (26) 注意到和W的关系及常数C(M.)和PP}及'都无关,分别用P,p一取代Pp.,用 取代由(26)给出 Jm.?IC(M,罟r(.Jm1m_o'l,2,…(27) - 7 L r? 利用(27)经过逐次造代,然后令m一?,最后得 rI vraiITkaX(dx)Jm ?,()pl亡等市 ?芒,:oR--~J.=C(M.一nfdxJBI? 考虑到09=(u+B)一,u?O和,>O,命,一0,由(28)给出 r一上 vrain1inu?c(Rlu一dx) 其中的常数C>0除了依赖于M,外,还依赖于11,P,k及b(x)的界,但和R无关 联台(12),(23)和(29),即得 WaiITIaXU?CvrajrninU. B(曩(4I)B{曩nBI积】 常数C和R无关.引理至此证讫 参考文囊I (28) (29) [11MeierM.Asymptoticbehaviorofsolutionsof$oolequasilinearettipticsyaemsjnexterior domains, L耐"NotesinMath.1357(HildebrandtS&LPREd.J.297—316. 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A(x,U,)?J{P,1<p?n IA【x,_u,旬I-<KI{Ip,,K1 IB(x,u,旬I?b(x)fr,P一1?7?p withb(x)EL(P\G)and b(x)=0(IXrasIxI,oG. Itprovedthatthelin~tatinfiniteforthesolutionuexistspmvid~uisboundedfrom one,sidefor7:p一1anduisboundedforP—l<?p. KeywordsExteriordomain,Ellipticequation,Generalizedsolution,Harnackinequality,Ma ximum principle. (上接第69页) THETHEORYOFMETALLCHYDROGEN(1) WangJifang (1nstftute砷cs.Academ/as/n/ca' ZhuZaiwan r咖脚础咖 Abarat'lThePresentpaper,detailedintroducethetheorgofsolidhydm雪 mofmolecularslatetr— ansitionto~alli~h雷d? gerIathighpressure.ContentsuMmn~include;Progr~ofstudiesonthe theorgande~periment,InteractivepotentialofapairH2molecular;Thegroundstateofmetull ic e柏(Jw,Ssphereo幢inalcellapproximation,(2)Heine-AbarenkovpseudopotentiuIpen— urMt~nmethod,andStmngCouplingSuperconductivity. Key~rthMetallichydrogen,OriginalCellApproximation.pseudoputentialmethodSupercondoc一 6vky.