轧钢问题

轧钢问题 摘要 随着节能减排观念的提出，各行各业都在设法为这一观念做出自己的贡献。工业上也是这样，轧钢厂在工艺上就这一目的进行分析，得知压下与能耗之间的关系，所以厂方希望知道每次轧制轧机的压下是多少时，生产出的产品为合格产品且使用的能量最小。从轧钢的工艺过程中得知轧钢是反复压轧，故应该为循环事件，且为达到能量最小化可见为优化问题。借助于Mathematica软件的循环结构解决优化问题。 对于该题我们由反复压轧的工艺和每次耗能与每次轧制轧机所用的能量与所轧钢坯的长度、轧制前后钢坯截面积压缩比以及压下成正比，首先建立压轧耗能与压下的相关模型Ⅰ。在对模型Ⅰ的手算模拟后再对模型Ⅰ进行理论证明和推导，然后借助于Mathematica软件进行优化分析。 关键词：反复压轧﹑最小能耗、产品合格 目录 第一部分    问题重述……………………………………………… 第二部分    问题分析…………………………………………………… 第三部分    模型的假设…………………………………………………… 第四部分    定义与符号说明……………………………… 第五部分    模型的建立与求解………………………………… 1. 模型………………… 2. 模型………………… 第六部分    对模型的评价……………………………… 第七部分    参考文献……………………………… 第八部分    附录……………………………………… 一、 问题重述 轧钢厂粗轧工序是对钢坯多次翻转粗轧。粗轧过程为：先将钢坯扎过去，再反向倒着轧回来，然后翻钢。即：将钢坯翻一个侧面，将高变为宽，宽为高，再来回轧一遍；接着再翻钢，再来回轧一遍；再翻钢，轧过去，进入下一道工序。这样整个粗轧过程中钢坯被轧了7次，每次我们都要调整轧机的压下，使得最终的产品达到合格的要求。由于轧机功率的限制，每次轧机的压下不能太大，有一个上限。所谓的合格产品是指最终的产品高和宽误差在0.5%之内。每次轧制的能量损耗跟所轧钢坯的长度、轧制前后钢坯截面积压缩比以及压下成正比。 我们要解决下列问题： （1)表达出每次轧制轧机的所用能量与所轧钢坯的长度、轧制前后钢坯截面积压缩比以及压下的关系。 （2）每次轧制轧机的压下值为多少时，生产出的产品为合格产品且使用的能量最小。 二、问题分析 钢坯在粗轧过程中被轧制七次，先将钢坯轧过去，再反向倒着轧回去，然后翻转钢坯。在七次轧制过程中，钢坯要翻转三次侧面，每翻一次侧面，钢坯高变为宽，宽变为高,确定每次轧制后钢坯的宽和高，然后根据钢坯的体积不变确定轧制后的钢坯的长度。每次轧制时都需要调节轧机的压下，使得最终的产品达到合格的要求同时还要使这个过程轧机使用的能量最小达到节能的目的。由于每次轧制机轧钢使用的能量与每次轧制轧机所用的能量与所轧钢坯的长度、轧制前后钢坯截面积压缩比以及压下成正比，就可以求出七次轧钢机所用的总能量的表达式。最终的合格产品为高度和宽度的误差在0.5%之内，由此确定最终产品的宽和高的约束条件。由于轧机的功率的限制每次下压最大不能超过90mm。最终使生产的最终产品为合格品且使用的总能量最小。 三、模型假设 （1）钢坯在轧制过程中体积基本保持不变。 （2）每次轧制轧机的功率都相同。 （3）钢坯每个面各处受压情况相同，且均匀受压。 （4）钢坯各向同性假设。 （5）每次轧制后钢坯仍然为长方体。 四、定义与符号说明 L(i-1)表示第i-1次轧前钢的长度 ｉ=1，2，3，4，5，6，7 A（ｉ）表示第ｉ次轧制的前后钢坯截面积压缩比i=1，2，3，4，5，6，7 B（ｉ）表示第ｉ次轧制后钢坯的宽度ｉ=1，2，3，4，5，6，7 H（ｉ）表示第ｉ次轧制后钢坯的高度ｉ=1，2，3，4，5，6，7 C（ｉ）表示第ｉ次钢坯轧前与轧后的高度差，即压下ｉ=1，2，3，4，5，6，7 D（ｉ）表示第ｉ次轧钢后钢坯宽度的延伸量ｉ=1，2，3，4，5，6，7 E（ｉ）表示第ｉ次轧制轧机所用的能量ｉ=1，2，3，4，5，6，7 五、模型建立与求解 目标函数为确定每次轧制轧机的压下为多少时，产品为合格产品且使用的能量最小即 最小总能量为Ｍｉｎ＝ ，ｉ＝1，2，3，4，5，6，7 Ｅ（ｉ）＝Ｌ（i-1）＊A（ｉ）＊Ｃ（ｉ） Ａ（ｉ）＝Ｈ（ｉ－１）＊Ｂ（ｉ－１）／ H（ｉ）＊B（ｉ） D（ｉ）＝2.3＊C（ｉ）＊( ) 原始钢坯的体积V＝L(0）＊B(0)＊H(0) L（ｉ－１）＝ 第一次压轧：B(1)＝B(0)＋D(1) ，H(1)＝H(0)－C(1)，A(1)＝H(0)＊B(0)/ H(1)＊B(1) 第二次压轧：B(2)＝B(1)＋D(2)，H(2)＝H(1)－C(2)，A(2)＝H(1)＊B(1)/ H(2)＊B(2) 第三次压轧（翻转钢坯）：B(3)＝ H(2)＋D(3)，H(3)＝ D(2)－C(3)，A(3)＝H(2)＊B(2)/ H(3)*B(3) 第四次压轧：B（4）＝B（3）＋D（4），H（4）＝H（3）－C（4），A(4)＝H(3)＊B(3)/ H(4)＊B(4) 第五次压轧（翻转钢坯）：B（5）＝B（4）＋D（5），H（5）＝H（4）－C（5），A(5)＝H(4)＊B(4)/ H(5)＊B(5) 第六次压轧：B（6）＝B（5）＋D（6），H（6）＝H（5）－C（6），A(6)＝H(5)＊B(5)/ H(6)＊B(6) 第七次压轧（翻转钢坯）：B（7）＝H（6）＋D（7），H（7）＝H（6）－C（7），A(7)＝H(6)＊B(6)/ H(7)＊B(7) 因为每次轧制轧机所用的能量与所轧钢坯的长度、轧制前后钢坯截面积压缩比以及压下成正比的，所以每次轧制轧机所用能量的表达式为： E（ｉ）＝L（i-1）＊A（ｉ）＊C（ｉ），ｉ＝1，2，3，4，5，6，7 约束条件：每次压下的约束为：C（ｉ）＜＝90,i＝1,2,3,4,5,6,7 合格产品约束：233.825＜＝B(7)＜＝ 236.175；213.925＜＝H(7)＜＝216.075； 求解： 压下的值依次为： 六、模型的评价与推广 模型的优点 （1） 本次模型将复杂的粗压过程变得简单和直观，将每次轧制后的长宽高的变化以及每次轧制轧机所用的能量清晰地表现出来，再利用简单的线性规划进行建模使求解变得简单且易操作。 （2） 充分利用了体重提供的数据，且对数据进行了较透彻的分析，抓住了分析的要点。 （3） 假设合理，有助于问题的解决。 模型的缺点 （1） 本次模型中未考虑轧辊自身的因素在轧制过程中对钢坯形状和下压的影响。 （2） 本次模型行将钢坯当做一个的矩形，而在实际中钢坯未必是一个规则的长方体。 （3） 在计算钢坯的宽度延生量时使用的是经验公式，在计算每次轧制后钢坯的宽度时存在误差，影响最终的结果。 模型的改进与推广： 本次模型中还应将轧辊对钢坯轧制的影响考虑进去并且将轧钢的具体过程进行充分的了解，结合其中各方面的因素是结果根据说服力。 本次中采用了Mathematica软件来解决优化问题，可以推广到其他相类似的优化问题中，具有较强的可塑性. 七、参考文献 [1]韩中庚.数学建模方法及其应用.第二版.北京：高等教育出版社，2009 [2]姜启源.数学模型.第三版.北京：高等教育出版社，2003 八、附件