Stirling公式的改进及二项分布概率的近似计算

Stirling公式的改进及二项分布概率的近似计算 Stirling公式的改进及二项分布概率的近似 计算 期哈尔滨商业大学 ( 自然科学版一.)VoAug1.2. 2 2006 No. JournalofHarbinUniversityofCommerceNaturalSciencesEdition 4 20o6年8月()Aug' Stifling公式的改进及二项分布概率的近似计算 彭求实 (广东商学院数学系,广东广州510320) 摘要:应用级数理论证明了一个关于阶乘的不等式,从而给出Stifling公式中参数的一个改进上界, 并在此基础上,对一个有关产品检测的古典概率——二项分布的近似计算问题进行了讨论? 关键词:阶乘;Stirling公式;参数;二项分布;近似计算 中图分类号:O221.1文献标识码:A文章编号:1672—0946(2006)O4—0101—03 ImprovementofStirlingSformulaandapproximatecalculation ofprobabilityofbinomialdistribution PENGQiu—shi (DepartmentofMathematics,GuangdongCommercialCollege,Guangzhou510320,China ) Abstract:Byapplyingthetheoryofinfiniteseries,thispaperprovesafactorialinequality andproposesanimprovedupperboundoftheparameteronStirling~formula.Basedonthat, discussestheapproximateofaclassicalprobabilitiyonproductexaminationbinomialdis. tribution. Keywords:factorial;Stirlng'sformula;parameter;binomialdistribution.;approximatecalc u' 1ati0n 关于阶乘数的计算,有一个着名的Stirling公 式,即 n= (詈)exp(). 它是概率理论分析的一个重要工具,也是函数论等 领域中常用的方法.早在1955年,Robbins就将 .的范围确定在1一<<1?后来, 又有一些学者在这方面作了改进工作.曹景天利用 一 .的范围缩小在一1< <1引;仲崇新又将其改进为1一1<<l? 但上述工作均限于对0的下界进行改进.本文则通 过讨论,给出的一个改进上界值<一嘉+ 收稿日期:2006一O1—17. 作者简介:彭求实(1961一),男,副教授,研究方向:概率统计 1 <1,从而得到一个更精确的Stirling公式. oUn 另外,由于在产品检测问题中的有放回抽样的 概率为二项分布这种古典概型,因此,它的计算问 题有着重要的实际意义.历史上,早已有了对于二 项分布普阿松近似和正态近似,近年来,又有人研 究了对这种分布的逐步逼近方法.因为二项分布概 率值中含有较多的阶乘数,所以出现了一种被称为 阶乘近似法的方法,即以求阶乘的近似值为途径, 求出概率值.本文即以此为改进的Stirling公式的 应用来讨论. 1主要结果及证明 关于Stirling公式,原有的结果为: 定理1对任意正整数n,其阶乘数可如下示 ? l02?哈尔滨商业大学(自然科学版)第22卷 n:=(詈)exp(), 其中参数的取值范围是1一<<? 证明见文献[4]. 为了推出参数0更精确的取值范围,我们首先 引入两个引理. 弓l理1设6:l.gn!一fn+~-)logn1+n,贝IJ 6n而i+ 1 5(2n+1)++…,(1)+而一'(' 且lim6=log2竹. 证明见文献[1]. 引理2对任意正整数n,以下等式成立, , 1 n(n+1)一 (2) (3) 6毫矗寺,c4, k=3,? 证明较容易,此处略. 下面给出更精确的Stirling公式. 定理2对任意正整数/7,,其阶乘数可如下表示 n:=(詈)nexp(~), 其中参数的取值范围是1一1<<1一 1 + 6—0—n4. 证明由定理1可知,只须证明在Stirling公式中, 参数<一1+? 这个结果等价于不等式 n!<2,/~-n"?ex一n+1一 1 + )_ (6) 而要证明i文个不等式.只须明 (7) 因为,若式(7)成立,则6一1+1一 1随 凡递增,于是由式(2)可知 6一+一一<l.720n一+一—— n 5<l.g,/2仃 即l!<l.g+(n+1)l0gn— n+一 —L—1_ 360n720n' 显然此式与式(6)等价. 下面证明式(7).由式(1)及式(3)可知式(7) 等价于 一一 1一 1一.一 1一 1< 黑(了1一)1(2n+1) 或一【720n5一或而一【——一 1 而+ 1 (2n+1) 1 360n(/7,+1) I72~,一】<毫(一)一丽J<点【了一J 而因为1 720n (2n+1) 1 720(n+1) 5n4+lOn+lOn+1. 5n4+10n+10n+5n 720n(n+1)一一720n(n+1) )?5n(n+1)+5n(n+1) 三:(? 720n(n+1)一 5(n+n+1).5(n+n)5 720n4(n+1)4—720n4(n+1)4—720n(n+1)' 所以,为证式(7),只须证明 1 丽+ 黑(1一)(2n+1)? ? 再由式(4)及式(5)可知上式等价于 一 黑?215(n+1) 毫(1一一言()11(2n+1) 为证此式,只须证明对于所有正整数?2,成立 一 (一1)(一2)?1一一2(一 1),一舌(一1)(一2)?一一(一1), 即2k-7k+7k一21>0,或(2一1)(k一1)(一 2)I>0,这显然是对的. ? 一3 ?或 第4期彭求实:Stirling公式的改进及二项分布概率的近似计算?103? 定理2证毕. 2阶乘数的近似值及其误差估计 容易看出,定理1和定理2可以表示为下面两 个关于阶乘的不等式. n+{exp(一n+1一1)<n!< n"{exp(一n+1)(8) 凡+}exp(一凡+1一1)<n!< 凡"}exp(一凡+1一1+), 由此可以得到以下定理. ~t:l3若令凡!,/一2~n"p(一凡+), 则计算n!值的相对误差 r.?exp(1) 一?一=唧 () 证毕. 定理4若令 !=2,/~n"p(一凡+1一), 则计算n!值的相对误差 ?ex(1/'2P)lJ' 证明由式9可知: (9) L(11. + , 1) . .., (11)L n A. 一p ()+一 J," 3二项分布概率的近似计算此为襄布禾口超几1可分布概率的计算 抽取的一个大小为的样本中恰有件次品的概率为阶乘近似法通常采用这样的程 序进行计算,先 , , 要时对州定 此为云嚣件次品的件抽exp+1一1DN360n)2)若对某批含有件次品的件产品进行 抽'一……\l2nJ D,?)=d?莉似澌辙舣博 ) 第4期谭慧莉:几类{2}一逆的存在性及表征?109? 尺(XA) 则(U)=R(XA)=N[(XA)']=N[(A' ')]=N(X')=NR(X) 所以()=(). 综上所述X=()V是A'逆. 3广义逆A.(1,2' 定理3lA(… t,2存在甘?jv(A)=C, 且S=N(A'),dimT=dimAT. 2).A(Is,2=U(AU)甘秩U= 秩AU=秩A,且JIv(',)=N(A'). 证明1) ()若X=Aj'存在,则满足下列方程: AXA=A,(7) XAX=X.(8) (A)'=A(9) 由于X=A'同时也是一Ar.s(I,2'逆,A逆, 故Tt~N(A)=C和dimT=dimAT成立. 再由(1.9) (AX)'=A=P(),Jv(^jr)=PL5=L=S S=R(A)S=N(A') (乍)因为 dimT=dimATdimR()=dimAR()= dimR(AU) 秩U=秩AU,(1O) 又因 Tt~N(A)=C=,dimT=dimN(A)= dimR(A') 秩U=秩A'=秩A.(11) 故由(1.10),(1.11)得秩U=秩A=秩AU 又S=N(A')』v(V)=N(A') 所以由定理3中2)得一A(I,2'逆存在. 证明2) ()已知X=U(AU) 则有 A=AXA=AU(AU)A秩A=秩A,(12) 又=X~U(AU)AU(AU)=U(AU) 秩?秩(AU)?秩X=秩秩AU=秩 (13) 故由式(12),(13)得秩A=秩AU=秩 又(A)'=AX~N(AX)'=N(AX)jR(A) =N(X) (A)=N(V)』v(A')=N(V) (乍)令X=U(AU) 则由秩A=秩AU 得AXA=AU(AU)A=A XAX=U(AU)AU(AU)=U(AU)=X (A)'=(AU(AU))'=AU(AU)=AX 故X=U(AU)EA{1,2,3}逆. 下证()=()且』v()=』v(y) 其中R(u)=R(u)定理l中已证 又』v(V)=N(A')=R(A)=R(AU)=[AR ()]=[AR(X)]=[R(AX)]=N[(AX)'] =N(AX)=』v() 综上所述X=U(AU)疋一A(I,2'逆. 对于指定值域和零空间的其他{2}一逆问题 如一A(I,2',A'的存在性及表征,迄今还没有给 出相应的结论,作者将进一步的探讨. 参考文献: [I] [2] [3] 王国荣.矩阵与算子广义逆[M].北京:科学出版社.1998. BEN—ISRAELA,GREVILLTNE.GeneralizedIme~stheory andApplications[M].NewYork:John.Wiley.1974. URQUHARTNS.Computationofgeneralizedinversematrices whichsatisfyspecifiedconditions[J].Philadelphia:SIAMRe— view,1968,10:216—218. (上接103页) 值的比较.我们取M=5,可以看出,结果非常接近. 这种方法计算简单,在普通的计算器上就可以 进行,并且计算结果的精度较高.另外计算者可以 自行调整精度值,以满足实际问题的需要. 表1若干二项分布概率近似值 参考文献: [2] [3] [4] FEU正RW.AnIntroductiontoPrDbabihtyTheoryandItsApplic— ation(2nded)【M].NewYork:JohnWiley&Sons,1957.50—53. ROBBINSH.ARemarkonStirling~Formula[J].American MathematicalMonthly,1955.62:26—29. 曹景天.一种级数求和方法及其几个推论[J].数学的实践 与认识,1990,20(2):77—84. 仲崇新.二项概率和超几何概率的近似计算及其误差[J]. 数学的实践与认识,1991,21(1):55—61.