怎样用换元法证明不等式

怎样用换元法证明不等式 陆世永 我们知道,无论在中学,还是在大学,不等式的证明都是一个难点。人们在证 明不等式时创造了许多方法,其中有换元法。下面我们探索怎样用换元法证明不 等式。 所谓“换元法”就是根据不等式的结构特征,选择适当的变量代换,从而化繁为简,或实现某种转化,以便证题。其换元的实质是转化,关键是构造和设元,理论依据是等量代换,目的是变换研究对象,将问题移至新对象的知识背景中去研究,从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化,变得容易处理。 例1 设，a,b,c,R,，，，，，，求证:. abc,b，c,a,c，a,b,a，b,c 分析:经过观察,我们发现,把中的两个互换,不等式不变,说明这是一a,b,c 个对称不等式,如果我们令则原不等式可x,b，c,a,y,c，a,b,z,a，b,c, 化为: ，，，，，，x，y,y，z,z，x,8xyz. 这是一个较简单而且容易与已知不等式联系的不等式,因而可以按上述换元证明不等式。 证明:令,则 x,b，c,a,y,c，a,b,z,a，b,c 111，，，，，，a,y，zb,x，z,c,x，y,. 222 ，？a,b,c,R,？当xyz,0时,有 ，，，，，，x，y,y，z,z，x,8xyz； ，当x,y,z,Rx,0xyz,0时,有(否则中必有两个不为正值,不妨设, x,y,z y,0c,0c,0,则,这与矛盾), 因此 z，x,2zx,0,, x，y,2xy,0y，z,2yz,0, ，，，，，，x，y,y，z,z，x,8xyz, 综上所述,恒有 ，，，，，，x，y,y，z,z，x,8xyz, 把代入上式得: x,y,z ，，，，，，. abc,b，c,a,c，a,b,a，b,c 例2 设,求证: a,b,c,R 22222222,,，，，，，，a，b，ca，b，c,ab，bc，ca, 22222 . ,,，，，，a，b，ca，b，c,ab，bc，ca 分析:类似于例1,我们不难发现,这也是一个对称不等式,因此可考虑令 222y,a，b，c, x,a，b，c,z,ab，bc，ca, 2则原不等式可化为2，，y,zz,0.这是一个简单的不等式,由已知条件可证该不 等式,因此我们可按上述换元证明原不等式。 222证明:令y,a，b，c,则 x,a，b，c,z,ab，bc，ca, 12222x,y，2z,,,，，，，，，y,z,a,b，b,c，c,a,0 , 2 原不等式可化为: 2222，，，，yy,z,xy,z, 2将x,y，2z,代入上式得: 222，，，，，，yy,z,y，2z,y,z, 2,,，，，，，，y,zy，yz,y，2zy,z,0, 2，，2y,zz,0, 2又由已知条件可知,2，，y,zz,0成立,而上述过程可逆,因此原不等式成立。 对于类似于例1与例2的对称不等式，可以结合不等式的具体形式换元，简 化不等式的结构，使得不等式容易证明。 例3 已知a,b,c,ABC是三边的长，求证： 333222222ab，bc，ca,ab，bc，ca. A分析:(如图)作,ABC的内切圆,设D,E,FEF为切点, ，令x,y,z,Rx,BD,z,AE,y,CD,(其中), CBD 则原不等式可转化为: 222,,,,,,yzx,,,,,,，z，，x，，y,2x，2y，2z. ,,,,,,zxy,,,,,, 利用重要不等式:a，b,2ab可证该不等式,因此可以通过上述换元证明原不等式。 证明:设为切点,令则原不等式可转化为: x,BD,z,AE,D,E,Fy,CD, 222,,,,,,yzx,,,,,,，z，，x，，y,2x，2y，2z.，， ？？1,,,,,,zxy,,,,,, ，又因为x,y,z,R,则有 222yzx，z,2y,，x,2z，y,2x , ， xyz 所以(1)式成立,因此原不等式成立。 从例3可以看出，在证明不等式时，我们可以根据题意结合几何图形进行分 析、换元，从而借助几何图形的性质来证明不等式。 例4 已知:,,,,111求证: . a,1,b,0,a,b,1,0,,a,,,b，,,1,,,,aab,,,, 分析:由于a,b,a,1,b,0,a,b,1,并且不等式中有因此我们联想三角 222函数的平方关系:asec,,tan,,1sec, .经过对比,发现相当于，b相当于 ,,,222a,sec,,tan,b，因而可令：,tan,0,,,. ,,2,, ,,,22证明:令a,sec,,b,tan,0,,,, 则 ,,2,, ,,,,111 ,a,,,b，,,,,,aab,,,, 221sec,,1tan,，1,,, 2sec,tan,sec, ,sin, ， ,1 可见原不等式成立。 2222例5 若x，y,1,x，2xy,y,2求证: . 2222x，y,1,知点在圆x，y,1的内部或边界上,因此可以考，，x,y 虑变换:，，0,r,1,0,,,2, . x,rsin,,y,rcos, 分析:由 证明:设，，0,r,1,0,,,2, , 则 x,rsin,,y,rcos, 22 x，2xy,y 2 ,rcos2,，sin2, ,,,2 ,r,2cos2,,,4,, 2,2r,2. 从例4，例5可以看出，证明不等式时，我们可以结合已知条件或不等式的 结构与三角函数的性质进行分析，利用三角函数换元，从而借助三角函数的性质 来证明不等式。 22xx例6 12n个正数x,x,？x,它们的和是1,求证: ，，？，12n，，xxxx122322xx1n,1n. ，,，，xxxx2n,1nn1 分析:就这个不等式而言,我们容易想到均值不等式，但是直接用均值不等 x，x12式却难以证明这个不等式，因此我们把分子变为两项，可令x,，m, 112 nx，xx，x123nx,，m,？x,，mm,0,（其中）. ,22nni22i,1 x，xx，xx，xn12312证明:令x,，m,x,，m,？,x,，m,则1122nn222nm,0. ,ii,1 2222xxxxn,1n12 ，，？，，，，xxxxx，xx，x1223n,1nn1 222111，，，，，，，，，，，，x，x，mx，x，mx，x，m121232n1n,,,,,,222，，，，，， ,，，？，x，xx，xx，x1223n1 22x，xx，xx，xmmn2311212 ，，,，，？，，m，m，？，m，，n12444x，xx，x1223 2mn ，？，x，xn1 ，，x，x，？，x212n ,4 1， ,2 因而原不等式成立。 例6说明，在证明不等式时，可以从不等式的形式出发，借助均值不等式进 行换元。