【2020创新设计一轮复习数学】第七章 第3节 数列求和

考试要求　1.熟练掌握等差、等比数列的前n项和公式；2.了解非等差数列、非等比数列求和的几种常见方法.第3节　数列求和考点一　分组转化法求和【例1】已知等差数列{an}的公差d为1，且a1，a3，a4成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列bn＝2an＋5＋n，求数列{bn}的前n项和Sn. 解　(1)在等差数列{an}中，因为a1，a3，a4成等比数列，解得a1d＋4d2＝0.因为d＝1，所以a1＝－4，所以数列{an}的通项公式an＝n－5.(2)分组转化法把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解.(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差求和，正负相消剩下首尾若干项.(4)倒序相加法把数列分别正着写和倒着写再相加，即等差数列求和公式的推导过程的推广.(5)错位相减法主要用于一个等差数列与一个等比数列对应项相乘所得的数列的求和，即等比数列求和公式的推导过程的推广.(6)并项求和法一个数列的前n项和中，可两两结合求解，则称之为并项求和.形如an＝(－1)nf(n)类型，可采用两项合并求解.例如，Sn＝1002－992＋982－972＋…＋22－12＝(100＋99)＋(98＋97)＋…＋(2＋1)＝5050.基础自测解析　(3)要分a＝0或a＝1或a≠0且a≠1讨论求解.　(1)√　(2)√　(3)×　(4)√答案　B3.若数列{an}的通项公式为an＝2n＋2n－1，则数列{an}的前n项和为(　　) A.2n＋n2－1 B.2n＋1＋n2－1 C.2n＋1＋n2－2 D.2n＋n－2答案　C4.已知首项为a1，公差为d的等差数列{an}，其前n项为Sn，若Sk－n＝Sk＋n(n，k∈N*且k>n)，则一定有S2k＝(　　) A.ka1 B.kd C.0 D.不确定答案　C5.(必修5P61A4(3)改编)1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1＝________(x≠0且x≠1).解析　设Sn＝1＋2x＋3x2＋…＋nxn－1，①则xSn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，②①－②得：(1－x)Sn＝1＋x＋x2＋…＋xn－1－nxn6.(2016·浙江卷)设数列{an}的前n项和为Sn.若S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*，则a1＝________，S5＝________.当n≥2时，由已知可得：an＋1＝2Sn＋1，①an＝2Sn－1＋1，②①－②得an＋1－an＝2an，∴an＋1＝3an，又a2＝3a1，∴{an}是以a1＝1为首项，公比q＝3的等比数列.答案　1　121(2)由(1)知an＝n－5，故所以bn＝2an＋5＋n＝2n＋n.故Sn＝b1＋b2＋b3＋…＋bn＝(2＋22＋23＋…＋2n)＋(1＋2＋3＋…＋n)【训练1】已知数列{an}的通项公式an＝2·3n－1＋(－1)n(ln2－ln3)＋(－1)nnln3，求其前n项和Sn. 解　Sn＝2(1＋3＋…＋3n－1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)n](ln2－ln3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)nn]ln3当n为奇数时，解　(1)由题意知，an＋1－an＝2(an－an－1)(n≥2)，又因为a2－a1＝1≠0，所以数列{an＋1－an}为首项为1，公比为2的等比数列，所以an＋1－an＝2n－1.当n＝1时，a1＝1也满足上式，故an＝2n－1，n∈N*.(2)由(1)知，Sn＝2n－1，规律方法　(1)利用裂项相消法求和时，应注意抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项.(2)将通项公式裂项后，有时候需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项公式相等.解　(1)因为a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，①故当n≥2时，a1＋3a2＋…＋(2n－3)an－1＝2(n－1)，②又n＝1时，a1＝2适合上式，解　(1)当n＝1时，a1＝S1＝3；当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n2＋1－2(n－1)2－1＝4n－2，∴当n＝1时，Tn＝c1＝1，当n≥2时，Tn＝c1＋c2＋c3＋…＋cn＝1＋6×30＋10×31＋14×32＋…＋(4n－6)·3n－3＋(4n－2)·3n－2，∴3Tn＝3＋6×31＋10×32＋14×33＋…＋(4n－6)·3n－2＋(4n－2)·3n－1，两式相减，得－2Tn＝4＋4×31＋4×32＋…＋4·3n－2－(4n－2)·3n－1∴Tn＝(2n－2)·3n－1＋1，上式对n＝1也成立，∴Tn＝(2n－2)·3n－1＋1.规律方法　(1)一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和.(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式.【训练3】设数列{an}满足：2a1＋2a2＋2a3＋…＋2an－1＋2an＝2n＋1－2(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；(2)设bn＝an·2an，数列{bn}的前n项和为Tn，求Tn.解　(1)因为2a1＋2a2＋…＋2an－1＋2an＝2n＋1－2，①所以当n≥2时，有2a1＋2a2＋…＋2an－1＝2n－2，②①－②得：2an＝2n，所以an＝n(n≥2)，当n＝1时，有2a1＝2，∴a1＝1，也满足上式，∴an＝n(n∈N*).(2)由(1)知，bn＝n·2n，Tn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，则2Tn＝1×22＋2×23＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，∴Tn＝(n－1)·2n＋1＋2.