2014北京北师大附属实验中学高二上期中数学理（含解析）

北师大附属实验中学2014—2015学年度第一学期高二年级期中考试试卷（理科一卷）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．1．己知两条相交直线，，平面，则与的位置关系是（）．A．平面 B．平面C．平面 D．与平面相交，或平面2．已知过点和的直线与直线平行，则的值为（）．A． B．C． D．3．过点作圆的切线，则切线方程为（）．A． B． C．或 D．或4．设，示两条不同的直线，，表示两个不同的平面，则下列命题中不正确的是（）．A．，，则 B．，，则C．，，则 D．，，则5．点与圆上任一点所连线段的中点轨迹方程是（）．A． B．C． D．6．在中，，，，若使绕直线旋转一周，则所成的几何体的体积是（）．A． B． C． D．7．某正三棱柱的三视图如图所示，其中正（主）视图是边长为的正方形，该正三棱柱的表面积是（）．A． B． C． D．8．已知点，，若点在函数的图象上，则使得的面积为的点的个数为（）．A． B． C． D．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．把填在答题卡上．9．若圆的半径为，其圆心与点关于直线对称，则圆的方程为__________．10．棱锥的高为，底面积为，平行于底面的截面积为，则截面与底面的距离为__________．11．平面截球的球面所得圆的半径为，球心到平面的距离为，则此球的表面积为__________．12．如图，若边长为和与边长为和的两个矩形所在平面互相垂直，则__________．13．已知直线与圆心为的圆相交于、两点，且为等边三角形，则实数__________．14．在平面直角坐标系中，圆的方程为，若直线上至少存在一点，使得以该点为圆心，为半径的圆与圆有公共点，则的最大值是__________．三、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．15．在平面直角坐标系内有三个定点、、，记的外接圆为．（Ⅰ）求圆的方程；（Ⅱ）若过圆点的直线与圆相交所得弦的长为，求直线的方程．16．如图，在三棱锥中，，，，平面平面，、分别为、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：；（Ⅲ）求三棱锥的体积．17．在四棱柱中，底面，底面为菱形，为与交点，已知，．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）求证：平面；（Ⅲ）设点在内（含边界），且，说明满足条件的点的轨迹，并求的最小值．2014—2015学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷（理科二卷）四、填空题：本大题共5小题，每小题4分，共20分．把答案填在答题卡上．18．已知的展开式中的系数是，则实数的值是__________．19．已知正三棱锥的每个侧面是顶角为，腰长为的等腰三角形，、分别是、上的点，则的周长的最小值为__________．20．空间四边形中，若，则的取值范围是__________．21．设点，若在圆：上存在点，使得，则的取值范围是__________．22．设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的最大值是__________．五、解答题：本大题共3小题，共30分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．23．如图，在三棱柱中，底面，，，、分别是棱、的中点．（Ⅰ）求证：平面；（Ⅱ）若线段上的点满足平面平面，试确定点的位置，并说明理由．（Ⅲ）证明：．24．已知点及圆：．（Ⅰ）设过的直线与圆交于、两点，当时，求以为直径的圆的方程；（Ⅱ）设直线与圆交于、两点，是否存在实数，使得过点的直线垂直平分弦？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由．25．设圆的方程为，直线的方程为．（Ⅰ）求关于对称的圆的方程；（Ⅱ）当变化且时，求证：的圆心在一条定直线上，并求所表示的一系列圆的公切线方程．北师大附属实验中学2014—2015学年度第一学期高二年级数学期中考试试卷（理工类）一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C D A D C A二、填空题 题号 9 10 11 12 13 14 18 19 20 21 22 答案 三、解答题15．解：（Ⅰ）设圆的方程为、、都在圆上解得：因此，圆的方程为．（Ⅱ）将圆化成标准方程，可得圆心为，半径设直线的方程为，则圆心到直线的距离为直线与圆相交所得的弦的长为，可得，解得或直线的直线方程为或．16．解：（Ⅰ）中，、分别为、的中点又平面且平面平面．（Ⅱ）连接，为中点又，又平面．（Ⅲ）平面平面平面平面平面可得时三棱锥的高又三棱锥的体积．17．解：（Ⅰ）依题意，因为四棱柱中，底面所以底面又平面所以因为为菱形所以而所以平面（Ⅱ）连接，交于点，连接．依题意，，且，，所以为矩形．所以又，，，所以，所以为平行四边形，所以又平面，平面，所以平面（Ⅲ）在内，满足的点的轨迹是线段，包括端点．分析如下：连接，则．由于，故欲使，只需，从而需．又在中，，又为中点，所以．故点一定在线段上．当时，取值最小．在直角三角形中，，，所以．23．解：（Ⅰ）因为底面，所以，因为，，所以平面．（Ⅱ）因为面面，面面，面面，所以，因为在中是棱的中点，所以是线段的中点．（Ⅲ）因为三棱柱中，所以侧面是菱形，所以由（Ⅰ）可得，因为，所以平面，所以．又因为、分别是棱、的中点，所以，所以．24．解：（Ⅰ）因为圆：所以圆的圆心为，半径所以，因为，所以弦心距，所以，所以为的中点，所以所求圆的圆心为，半径为，故以为直径的圆的方程为．（Ⅱ）将直线即代入圆的方程，整理得由直线与圆交于、两点，故，解得假设存在实数，使得过点的直线垂直平分弦，由于垂直平分弦，故圆心必在上，所以的斜率，则，所以由于，故不存在实数，使得过点的直线垂直平分弦．25．解：（Ⅰ）由已知可得，圆的圆心为，设关于直线对称点为则解得所以圆的方程为．（Ⅱ）由消去得所以圆的圆心在定直线上．①当公切线的斜率不存在时，易求公切线的方程为；②当公切线的斜率存在时，设直线与圆系中的所有圆都相切则，因为直线与圆系中的所有圆都相切，所以上述方程对所有的值都成立，解得：，所表示的一系列圆的公切线方程为或．北京市北师大附属实验中学2014～2015学年度第一学期期中考试高二理科数学选填解析一、选择题：1．【答案】D【解析】解：因为平面，所以与平面相交，或平面，故答案选D．2．【答案】B【解析】解：因为与直线平行，所以，解得，故答案选B．3．【答案】C【解析】解：当切线斜率不存在时，方程为；当切线方程存在时，设切线方程为：，则，所以圆心到直线的距离，解得，所以切线方程：，故答案选C．4．【答案】D【解析】解：，不能推出，故答案选D．5．【答案】A【解析】解：设圆心为，中点，则，所以，即，故答案选A．6．【答案】D【解析】解：绕直线旋转一周的几何体为圆锥，所以该圆锥的体积为，故答案选D．7．【答案】C【解析】解：底面积：，侧面积：，故该正三棱柱的表面积：，故答案选C．8．【答案】A【解析】解：由已知得直线的方程为，设，则点到直线的距离为由三角形面积得方程有四个根，所以函数图像上有四个点满足题意，如图故答案为A二、填空题：9．【答案】【解析】解：因为圆的圆心与点关于直线对称，所以圆的圆心为，所以圆的标准方程为．10．【答案】【解析】解：设截面与底面的距离为，则，解得：．11．【答案】A【解析】解：11.解析：由题知，设球的半径为，则，解得：．．12．【答案】【解析】解：由题意，两个矩形的对角线长分别为、，，，所以．13．【答案】【解析】解：圆心：，半径为，因为为等边三角形，所以圆心到直线的距离为，即，解得．14．【答案】【解析】解：圆的标准方程为，即圆是以为圆心，为半径的圆．由题知，圆心到直线的距离，即，解得，所以最大值为．18．【答案】【解析】解：的系数为，．19．【答案】【解析】解：正三棱锥的每个侧面是顶角为，腰长为的等腰三角形，侧面展开图如下：连接得，直角三角形中，长度为，所以的周长的最小值为．20．【答案】【解析】解：为中点，，所以，，，所以的取值范围是．21．【答案】【解析】解：由题意画出图形如图：点，要使圆：上存在点，使得，而当的最大值大于或等于时一定存在点，使得，而当与圆相切时取得最大值，此时，图中只有到之间的区域满足，所以的取值范围是22．【答案】【解析】解：由题意可知，动直线经过定点，动直线即，经过定点，动直线和动直线始终垂直，又是两条直线的交点，则有，所以．故（当且仅当时取），故答案为．10/18