二面角习题及答案

二面角1.如图三棱锥P-ABC中，PC⊥平面ABC，PC=，D是BC的中点，且△ADC是边长为2的正三角形，求二面角P-AB－C的大小。解2.如图在三棱锥S-ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥BC，DE垂直平分SC，且分别交AC、SC于D、E，又SA=AB，BS=BC，求以BD为棱，BDE与BDC为面的二面角的度数。解：3.如图：ABCD是矩形，AB=8，BC=4，AC与BD相交于O点，P是平面ABCD外一点，PO⊥面ABCD，PO=4，M是PC的中点，求二面角M-BD-C大小。解：4.如图△ABC与△BCD所在平面垂直，且AB=BC=BD，∠ABC=∠DBC=，求二面角A-BD-C的余弦值。解：5.已知正方体AC'，M、N分别是BB'，DD'的中点，求截面AMC'N与面ABCD，CC'D'D所成的角。解：6.如图AC⊥面BCD，BD⊥面ACD，若AC=CD=1，∠ABC=30°，求二面角的大小。解：7.三棱锥A-BCD中，∠BAC=∠BCD=90°，∠DBC=30°，AB=AC=，AD=4，求二面角A-BC-D的度数。解：9.如图所示，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠A＝60°，PC⊥平面ABCD，PC＝a,E是PA的中点.(1)求证平面BDE⊥平面ABCD.(2)求点E到平面PBC的距离.(3)求二面角A—EB—D的平面角大小.解析：10.如图，已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为1，E、F分别在棱AB、BC上，G在对角线BD1上，且AE＝，BF＝，D1G∶GB＝1∶2，求平面EFG与底面ABCD所成的二面角的大小.11.如图，设ABC—A1B1C1是直三棱柱，E、F分别为AB、A1B1的中点，且AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a.(1)求证：AF⊥A1C(2)求二面角C—AF—B的大小12．如图是长方体，AB=2，，求二平面与所成二面角的大小．13.在正方体中，，，且，.．求：平面AKM与ABCD所成角的大小．14.如图，将边长为a的正三角形ABC按它的高AD为折痕折成一个二面角．　　（1）若二面角是直二面角，求的长；　　（2）求与平面所成的角；　　（3）若二面角的平面角为120°，求二面角的平面角的正切值．参考解：由已知条件，D是BC的中点∴CD=BD=2又△ADC是正三角形∴AD=CD=BD=2∴D是△ABC之外心又在BC上∴△ABC是以∠BAC为直角的三角形，∴AB⊥AC，又PC⊥面ABC∴PA⊥AB(三垂线定理)∴∠PAC即为二面角P-AB-C之平面角，易求∠PAC=30°2、解：∵BS=BC，又DE垂直平分SC∴BE⊥SC，SC⊥面BDE∴BD⊥SC，又SA⊥面ABC∴SA⊥BD，BD⊥面SAC∴BD⊥DE，且BD⊥DC则∠EDC就是所要求的平面角设SA=AB=a，则BC=SB=a且AC=易证△SAC∽△DEC∴∠CDE=∠SAC=60°3、解：取OC之中点N，则MN∥PO∵PO⊥面ABCD∴MN⊥面ABCD且MN=PO/2=2，过N作NR⊥BD于R，连MR，则∠MRN即为二面角M-BD-C的平面角过C作CE⊥BD于S则RN=CE在Rt△BCD中，CD·BC=BD·CE∴∴∴4.解：过A作AE⊥CB的延长线于E，连结DE，∵面ABC⊥面BCD∴AE⊥面BCD∴E点即为点A在面BCD内的射影∴△EBD为△ABD在面BCD内的射影设AB=a则AE=DE=ABsin60°=∴AD=，∴sin∠ABD=∴又∴∴5.解：设边长为a，易证ANC'N是菱形且MN=，A'C=∴Ｓ□AMC'N=由于AMC'N在面ABCD上的射影即为正方形ABCD∴Ｓ□ABCD=∴∴取CC'的中点M'，连结DM'则平行四边形DM'C'N是四边形AMC'N在CC'D'D上的射影，Ｓ□DM'C'M=∴∴6.解：作DF⊥AB于F，CE⊥AB于E，∵AC=CD=1∠ABC=30°∴AD=，BC=，AB=2，BD=在Rt△ABC中，，同理∴∴∴∴即所求角的大小为。7、解：由已知条件∠BAC=90°，AB=AC，设BC的中点设为O，则OA=OC=BC=∴解之得：∴9、解析：(1)设O是AC，BD的交点，连结EO.∵ABCD是菱形，∴O是AC、BD的中点，∵E是PA的中点，∴EO∥PC，又PC⊥平面ABCD，∴EO⊥平面ABCD，EO平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABCD.(2)EO∥PC，PC平面PBC，∴EO∥平面PBC，于是点O到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离.作OF⊥BC于F，∵EO⊥平面ABCD，EO∥PC，PC平面PBC，∴平面PBC⊥平面ABCD，于是OF⊥平面PBC，OF的长等于O到平面PBC的距离.由条件可知，OB＝,OF＝×＝a，则点E到平面PBC的距离为a.(3)过O作OG⊥EB于G，连接AG∵OE⊥AC，BD⊥AC∴AC⊥平面BDE∴AG⊥EB(三垂线定理)∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角∵OE＝PC＝a,OB＝a∴EB＝a.∴OG＝＝a又AO＝a.∴tan∠AGO＝＝∴∠AGO＝arctan.评析本题考查了面面垂直判定与性质，以及利用其性质求点到面距离，及二面角的求法，三垂线定理及逆定理的应用.10、设G在底面ABCD上的射影为H，H∈BD，∵＝＝∴GH＝作HM⊥EF于M，连GM，由三垂线定理知GM⊥EF，则∠GMH＝θ就是平面BFG与底面ABCD所成的二面角的平面角，tanθ＝.下面求HM的值.建立如图所示的直角坐标系，据题设可知.H(，)、E(，0)、F(1，)∴直线EF的方程为＝，即4x-6y-1＝0.由点到直线的距离公式可得｜HM｜＝＝，∴tgθ＝·＝，θ＝arctg.说明运用解析法来求HM的值是本例的巧妙所在.11、本小题考查空间几何垂直的概念和二面角的度量等知识.解(1)∵AC＝BC，E为AB中点，∴CE⊥AB又∵ABC—A1B1C1为直棱柱，∴CE⊥面AA1BB连结EF，由于AB＝2AA1∴AA1FE为正方形∴AF⊥A1E，从而AF⊥A1C(2)设AF与A1E交于O，连结CO，由于AF⊥A1E，知AF⊥面CEA1∴∠COE即为二面角C—AF—B的平面角∵AB＝2AA1＝2a,AC＝BC＝a∴CE＝a,OE＝a,∴tan∠COE＝＝2.∴二面角C—AF—B的大小是arctan2.12、解析：∵　平面ABCD∥平面，∴　平面与平面的交线l为过点且平行于AC的直线．直线l就是二平面与所成二面角的棱．又⊥平面，过作AH⊥l于H，连结AH．则为二面角的平面角．可求得．因此所求角的大小为或14、解析：　　　（1）若，∵　AC=a，∴　，∴　．　　　（2）∵　，AD⊥DC，∴　AD⊥平面．∴　为与平面所成的角，在Rt△中，，∴　，于是．　　　（3）取的中点E，连结AE、DE，∵　，，∴　，，∴　∠AED为二面角的平面角，∵　，，∴　，在Rt△AED中，，∴　DPCABEDBASCSRNMOBDPACDBAECD’B’DAC’BA’CMNBFEACDDOABCDPCABEDBASCSRNMOBDPACD’B’DAC’BA’CMNBFEACDDOABC-8-_1234567907.unknown_1234567916.unknown_1234567924.unknown_1234567928.unknown_1234567930.unknown_1234567932.unknown_1234567933.unknown_1234567934.unknown_1234567931.unknown_1234567929.unknown_1234567926.unknown_1234567927.unknown_1234567925.unknown_1234567920.unknown_1234567922.unknown_1234567923.unknown_1234567921.unknown_1234567918.unknown_1234567919.unknown_1234567917.unknown_1234567911.unknown_1234567913.unknown_1234567914.unknown_1234567915.unknown_1234567912.unknown_1234567909.unknown_1234567910.unknown_1234567908.unknown_1234567898.unknown_1234567902.unknown_1234567904.unknown_1234567905.unknown_1234567903.unknown_1234567900.unknown_1234567901.unknown_1234567899.unknown_1234567893.unknown_1234567895.unknown_1234567896.unknown_1234567897.unknown_1234567894.unknown_1234567891.unknown_1234567892.unknown_1234567890.unknown