【2020创新设计一轮复习数学】第九章 第7节 抛物线的方程与性质

考试要求　掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质.第7节　抛物线的方程与性质考点一　抛物线的定义及应用【例1】(1)(2016·浙江卷)若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________. (2)若抛物线y2＝2x的焦点是F，点P是抛物线上的动点，又有点A(3，2)，则|PA|＋|PF|取最小值时点P的坐标为________.解析　(1)抛物线y2＝4x的焦点F(1，0).准线为x＝－1，由M到焦点的距离为10，可知M到准线x＝－1的距离也为10，故M的横坐标满足xM＋1＝10，解得xM＝9，所以点M到y轴的距离为9.2.抛物线的标准方程与几何性质基础自测(4)抛物线是只有一条对称轴的轴对称图形.答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×解析　抛物线的标准方程为x2＝8y，则其焦点坐标为(0，2)，故选B.答案　B答案　B答案　C5.(2015·上海卷)抛物线y2＝2px(p>0)上的动点Q到焦点的距离的最小值为1，则p＝________.答案　26.(2019·金华十校调研)已知抛物线y2＝2px(p>0)上一点A(1，a)到焦点的距离为2，则该抛物线的准线方程为________，a＝________.答案　x＝－1　±2(2)将x＝3代入抛物线方程答案　(1)9　(2)(2，2)规律方法　与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.考点二　抛物线的标准方程【例2】根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)的抛物线；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与x轴的交点.规律方法　(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)求标准方程要先确定形式，必要时要进行分类讨论，标准方程有时可设为y2＝mx或x2＝my(m≠0).(3)结合抛物线定义，先确定轨迹，若是抛物线，再求出其标准方程.所以轨迹方程为y2＝20x(x>0)；当点P在y轴左侧时，则|PC|＝－x＋5，此时点P的轨迹就是x轴的负半轴，所以轨迹方程为y＝0(x<0).所以圆心P的轨迹方程为y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0).答案　(1)D　(2)y2＝20x(x>0)或y＝0(x<0)解析　由△MKF为等腰三角形，若KF＝MF，则M有两个点，若MK＝MF，则不存在，若MK＝KF，则M有两个点，使得△MKF为等腰三角形的点M有四个；在△MKF中，∠MFK为直角的点M有两个，∠MKF为直角的点M不存在，∠FMK为直角的点M有两个，则使得△MKF为直角三角形的点M有且仅有四个；答案　C规律方法　(1)判定符合条件几何元素的个数，要注意运用对称性.(2)求最值(范围)问题注意利用定义和抛物线的范围.