数学中的“三个二次”——一元二次函数、一元二次方程、一元二次不等式

☆高考热点专回顾与展望☆ 浙江省湖州市第一中学 黄加卫 1 考情比照 2006年全国高考数学的 18套理科试卷中，每套 均含有有关“三个二次”知识的，具体的试题特点 呈现如下 ： 卷型 题序 分值 考查的知识点 诱导公式，二倍角公式，特殊三角 全国卷 I 17 14 函数值求角，二次函数求最值． 数列的通项，前 项和，一元二次 全国卷Ⅱ 22 12 方程，数学归纳法． 双曲线的定义与性质，一元二次方 北京卷 19 14 程，直线与双曲线的位置关系． 天津卷 1O 5 二次函数与复合函数的单调性． 重庆卷 21 12 抽象函数，一元二次方程． 四川卷 21 12 双曲线的定义与性质，一元二次方 ^ 程，直线与双曲线的位置关系． 直线与抛物线的位置关系，一元二 上海卷 20 14 次方程，数量积，四种命题之间的 关系． 导数与极值，对称，向量，一元二次 广东卷 18 14 方程． 江苏卷 20 16 二次函数的最值，分段函数，值域． 双曲线 的几何性质，一元二次方 安徽卷 22 14 程，弦长的计算． 二次函数的最值 ，函数的单调性， 福建卷 21 12 极值 ，导数． 二次函数的图象，绝对值不等式， 湖 北卷 1O 5 方程与图象之间的联系 ． 直线与椭圆、抛物线的位置关系， 湖南卷 21 14 一元 二次 方程，探索 性 知识 的 解法． 二次函数，一元二次不等式 ，函数 江西卷 6 5 的单调性． 闭区间上二次函数的最值，函数的 辽宁卷 21 12 导数与极值，等差数列． 一 元二次不等式，分式及高次不等 山东卷 8 5 式，充要条件． 陕西卷 10 5 二次函数的图象及性质． 不等式的证明，“三个二次”的联 浙江卷 16，19 28 系，椭圆的几何性质，直线与椭圆 的位置关系． 从上表不难看出，高考对“三个二次”知识的考查 往往渗透在其他知识的考查之中，并且大都出现在解 答题之中(约占总数的 72．2 )，特别是与数列、三角 以及解析几何等高中数学的主干知识的结合成为其 一 大亮点，其中压轴题占六分之一．其重点考查的是 二次函数的图象与最值、一元二次方程以及根的分布 等内容，而直接涉及一元二次不等式的内容反而不 多．另外，在 2006年全国高考数学的 18套文科卷的 解答题中，全国卷 Ⅱ的第一21题(分值为 14分)、福建 卷的第21题(分值为 12分)、浙江卷的第 20题(分值 为 14分)考查的主要知识点就是以上“三个二次”的 内容． 2 考点解析 下面以2006年全国高考数学中的两道解答题为 例对所考查的知识点进行探本穷源，剖析研究． (浙江卷文科第 20题)设 厂(z)=3ax +2k+c， 若 a+6+c=O，f(O)f(1)>0，求证 ： 维普资讯 http://www.cqvip.com (I)方程 ，(z)一O有实根； 王I (II)一2< <一1： 口 (Ⅲ)设 z ，zz是方程 ，(z)一0的两个实根，则 ≤Iz 一z：l< ． o o 评注：不等式证明是高中数学 中的一个难点内 容，要求考生具有良好的推理论证能力，本题以二次 函数为背景，考查二次方程解的情况，二次不等式的 基本性质与解法以及二次函数的值域，极好地体现了 “三个二次”知识之间的关系，是考查它们相互关系的 一 道好题．而且此类解答题在往年的高考试题中也可 以找出它们的原形或背景．上题与如下 1997年全国 高考数学理科第 24题在考查点与解题思路上有异曲 同工之处． 设二次函数 ，(z)一ax +bx+c(a>O)，方程 ，(z)一z—O的两根 zl、z2满足 O思想

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