“一点法”作三角函数的图象

46 福建中学数学 2010年第 1期 例 10已知关于 的不等式 <0的解集 为M ．若3∈M ，且5 M ，求 的取值范围． 解3∈ ==> < 或 >9，5 兰 20 j 2b—a ==>1 a<25 ；又 a=25时 ， 5 M ， 所 以 口 ∈l 1，詈Iu(9，25】． 说明 站在 解不等式的角度 上 ，应该有 a l l，；)u(9，25)，但作为分式 的隐含条 件 ：X 一a≠0应在考虑之列，因而当a=25时 x≠5，即5 M成立． 临界值的取舍看起来多与不等式有关，其实 这是个波及众多数学分支的问．要解决好这个 问题，不但要求我们养成良好的思维习惯，在考 虑问题时要树立一种全面和缜密的科学态度，同 时要掌握丰富的数学思想，如数形结合思想、分 类讨论思想等，培养在取值的“十字路口”选择正 确行题方向的驾驭能力．只有这样，我们才能减 少错误的发生，更能提高自身的思维品质和数学 素养． “ 一 点法"作三角函数的图象 刘亚利 湖南省株洲市南方中学 (412002) 熟知，函数Y=A sin(cox+ )(A>0，09>0)和 Y=ACOS(COX+ )(A>0， >0)在一个周期内的 大致图象一般采用五点法来作，即令COX+ =0， 一 一 ，7／"， 和2re，求出对应的 的值和函数值， Z 得到关键的五个点，再用平滑曲线将五个点顺次 连结．运用五点法作图的过程中，一般采取列、 计算求值及连线的方法，学生感觉计算复杂，操 作不方便．本文介绍运用“一点法”、结合函数的 性质来作上述两个函数的图象． 先来分析一个具体三角函数图象． 如右图所示是函数Y=A sin(cox+ )( >0， CO>0)在一个周期内函数图象，与X轴的交点依 次为点B、C和D，最大值点为点E，最小值点 为点，，过点E、F分别 轴的垂线，垂足分别 为点 、 ，点C到点B的距离为Y=Asin(嫩+ 的一个周期，点C为线段BD的中点，点 、 分别BC、CD的中点，点E、F与点 、 的 横坐标相等，且点 E的纵坐标为函数的最大值 、 点F的坐标为函数的最小值 一 ．所以要作 出函数 Y：Asin( + (A>0， >0)在一个周期 内函数图象，只需首先确定点B的位置，再利用 其周期和最值，这样就可以迅速作出函数的图 象． E 仆 F D ～ D B 。 c＼ ／ 一 F 根据以上分析，可得 “一点法”的作图步骤． (1)令COX+ =0，．·． =一 ，在 轴上取 ∞ 点 ，使其坐标为(一 ，0)； 一’一 (2)计算出Y=Asin(cox十 )的周期 = ， 1 在点 的右边取点 C，使JBC J= ； ∞ (3)取线段BC的中点，为点D； (4)取线段BD、DC的中点 、 ，过 作垂直 X轴的直线，在 X轴上方的部分取线段 E,E，使I巨E1=A，同样过 作垂直 轴的直线， 在X轴下方的部分取线段 F，使l FI=A； (5)根据 Y=sinX在一个周期内的大致图 2010年第 1期 福建中学数学 47 象，将五点B、C、D、E和F用一条光滑曲线 连结，即得到一个周期内函数的图象． “ 一 点法”作图也需要得到关键的五点，但 只需要确定第一点的位置，其他四点不需经过代 数运算，直接根据点的关系来确定其位置，这样 避免重复的繁杂的计算，操作简单，直观方便． 所以，笔者认为“一点法”作图是对“五点法” 的一种优化． 同样的原理和方法，我们也可以准确快捷地 作出 Y=Acos(~x+ )(A>0， >0)在一个周期 内的图象，作图步骤略． 数列中的图表问题 朱宗贵 陈照军 山东省费县第一中学 (273400) 对于以图表或数阵形式排列的数列问题，信 息直观形象，能很好的考查学生观察能力，探究 能力及分析问题，解决问题的能力，一直是高考 命题的一个热点．根据图表的构成形式，可将其 分为以下类型． 1．分组型 分组型是数列的通项已知，将其按照一 定的规则排列而成．解决这类问题的关键是找出 图表或数阵中的项在原数列中的位置． 例 1(2008年高考江苏卷)将全体正整数排 成一个三角形数阵： l 2 3 4 5 6 7 8 9 10 按照以上排列 的规律 ，第 ，2行 ("≥3、 ∈N )从左向右的第 3个数为 — — ． 解 由知前n一1行共有1+2+3+⋯+( 一1) ： 项，第 行 ( ≥3、 ∈N )从左向右 Z 第3个数为原数列的第 +3： ． 二 例2将正奇数数列{2n一1l(n∈N )各项 从小到大依次排成一个三角形数阵： 3 5 7 9 ll l3 15 l7 l9 记 M(s，f)表示该表中第S行的第f个数，则 表中的奇数 2007对应于( ) A．M(45，14) B．M(45，24) C．M(46，14) D．M(46，15) 解 由表知前胛行共有1+2+3+⋯+ ： 项，当n=44时有990项，又表中的奇数2007是 原数列的第1004项，因此2007位于表中第45行 的第14个位置，故选 A． 例 3把正整数按下表排列： 1 2 4 3 9．一 8· 10 17 11 l2 l6 l5 l4 l3 (1)求200在表中的位置(在第几行第几 列)； (2)试求从上到下的第 m行，从左至右的 第刀列上的数(其中m≥n)； (3)求主对角线上的数列：l、3、7、13、 2l、⋯的通项公式． 解 把表中的各数按下列方式分组：(1)，