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2009年普通高等学校招生全国统一考试(天津卷)
数学(理工农医类)
参考
:
。如果事件A,B互相排斥,那么P(AUB)=P(A)+P(B)。
。棱柱的体积公式V=sh。其中S表示棱柱的底面积,h表示棱柱的高
1、 选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(1) i是虚数单位,
=
(A)1+2i (B)-1-2i (C)1-2i (D)-1+2i
【考点定位】本小考查复数的运算,基础题。
解析:
,故选择D。
(2)设变量x,y满足约束条件:
.则目标函数z=2x+3y的最小值为
(A)6 (B)7 (C)8 (D)23
【考点定位】本小考查简单的线性规划,基础题。
解析:画出不等式
表示的可行域,如右图,
让目标函数表示直线
在可行域上平移,知在点B自目标函数取到最小值,解方程组
得
,所以
,故选择B。
(3)命题“存在
R,
EMBED Equation.DSMT4 0”的否定是
(A)不存在
R,
>0 (B)存在
R,
EMBED Equation.DSMT4 0
(C)对任意的
R,
EMBED Equation.DSMT4 0 (D)对任意的
R,
>0
【考点定位】本小考查四种命题的改写,基础题。
解析:由题否定即“不存在
,使
”,故选择D。
(4)设函数
则
A在区间
内均有零点。 B在区间
内均无零点。
C在区间
内有零点,在区间
内无零点。
D在区间
内无零点,在区间
内有零点。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考点定位】本小考查导数的应用,基础题。
解析:由题得
,令
得
;令
得
;
得
,故知函数
在区间
上为减函数,在区间
为增函数,在点
处有极小值
;又
,故选择D。
(5)阅读右图的程序框图,则输出的S=
A 26 B 35 C 40 D 57
【考点定位】本小考查框架图运算,基础题。
解:当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
;当
时,
,故选择C。
(6)设
若
的最小值为
A 8 B 4 C 1 D
【考点定位】本小题考查指数式和对数式的互化,以及均值不等式求最值的运用,考查了变通能力。
【解析】因为
,所以
,
,当且仅当
即
时“=”成立,故选择C
(7)已知函数
的最小正周期为
,为了得到函数
的图象,只要将
的图象w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
A 向左平移
个单位长度 B 向右平移
个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
C 向左平移
个单位长度 D 向右平移
个单位长度w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考点定位】本小题考查诱导公式、函数图象的变换,基础题。
解析:由题知
,所以
,故选择A。
(8)已知函数
若
则实数
的取值范围是
A
B
C
D
【考点定位】本小题考查分段函数的单调性问题的运用。以及一元二次不等式的求解。
解析:由题知
在
上是增函数,由题得
,解得
,故选择C。
(9).设抛物线
=2x的焦点为F,过点M(
,0)的直线与抛物线相交于A,B两点,与抛物线的准线相交于C,
=2,则
BCF与
ACF的面积之比
=
(A)
(B)
(C)
(D)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考点定位】本小题考查抛物线的性质、三点共线的坐标关系,和综合运算数学的能力,中档题。
解析:由题知
,
又
由A、B、M三点共线有
即
,故
,w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
∴
,故选择A。
(10)
,若关于x 的不等式
>
的解集中的整数恰有3个,则
(A)
(B)
(C)
(D)
【考点定位】本小题考查解一元二次不等式,
解析:由题得不等式
>
即
,它的解应在两根之间,故有
,不等式的解集为
或
。若不等式的解集为
,又由
得
,故
,即
二.填空题:(6小题,每题4分,共24分)
(11)某学院的A,B,C三个专业共有1200名学生,为了调查这些学生勤工俭学的情况,拟采用分层抽样的方法抽取一个容量为120的样本。已知该学院的A专业有380名学生,B专业有420名学生,则在该学院的C专业应抽取____名学生。
【考点定位】本小题考查分层抽样,基础题。
解析:C专业的学生有
,由分层抽样原理,应抽取
名。
(12)如图是一个几何体的三视图,若它的体积是
,则
_______
【考点定位】本小题考查三视图、三棱柱的体积,基础题。
解析:知此几何体是三棱柱,其高为3,底面是底边长为2,底边上的高为
的等腰三角形,所以有
。
(13) 设直线
的参数方程为
(t为参数),直线
的方程为y=3x+4则
与
的距离为_______ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
【考点定位】本小题考查参数方程化为普通方程、两条平行线间的距离,基础题。
解析:由题直线
的普通方程为
,故它与与
的距离为
。
(14)若圆
与圆
(a>0)的公共弦的长为
,
则
___________ w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 。
【考点定位】本小题考查圆与圆的位置关系,基础题。
解析:由知
的半径为
,由图可知
解之得
(15)在四边形ABCD中,
=
=(1,1),
,则四边形ABCD的面积是
【考点定位】本小题考查向量的几何运算,基础题。
解析:由题知四边形ABCD是菱形,其边长为
,且对角线BD等于边长的
倍,所以
,故
,
。
(16)用数字0,1,2,3,4,5,6组成没有重复数字的四位数,其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有 个(用数字作答)
【考点定位】本小题考查排列实际问题,基础题。
解析:个位、十位和百位上的数字为3个偶数的有:
种;个位、十位和百位上的数字为1个偶数2个奇数的有:
种,所以共有
个。
三、解答题:本大题共6小题,共76分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。
(17)(本小题满分12分)
在⊿ABC中,BC=
,AC=3,sinC=2sinA w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I) 求AB的值:w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II) 求sin
的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识,考查基本运算能力。满分12分。
(Ⅰ)解:在△ABC中,根据正弦定理,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
于是AB=
(Ⅱ)解:在△ABC中,根据余弦定理,得cosA=
于是 sinA=
从而sin2A=2sinAcosA=
,cos2A=cos2A-sin2A=
所以 sin(2A-
)=sin2Acos
-cos2Asin
=
(18)(本小题满分12分)
在10件产品中,有3件一等品,4件二等品,3件三等品。从这10件产品中任取3件,求:
(I) 取出的3件产品中一等品件数X的分布列和数学期望;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II) 取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小题主要考查古典概型及
、离散型随机变量的分布列和数学期望、互斥事件等基础知识,考查运用概率知识解决实际问题的能力。满分12分。
(Ⅰ)解:由于从10件产品中任取3件的结果为
,从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的结果数为
,那么从10件产品中任取3件,其中恰有k件一等品的概率为P(X=k)=
,k=0,1,2,3.
所以随机变量X的分布列是
X
0
1
2
3
P
X的数学期望EX=
(Ⅱ)解:设“取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数”为事件A,“恰好取出1件一等品和2件三等品”为事件A1“恰好取出2件一等品“为事件A2,”恰好取出3件一等品”为事件A3由于事件A1,A2,A3彼此互斥,且A=A1∪A2∪A3而
P(A2)=P(X=2)=
,P(A3)=P(X=3)=
,
所以取出的3件产品中一等品件数多于二等品件数的概率为
P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
+
+
=
(19)(本小题满分12分)
如图,在五面体ABCDEF中,FA
平面ABCD, AD//BC//FE,AB
AD,M为EC的中点,AF=AB=BC=FE=
AD w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I) 求异面直线BF与DE所成的角的大小;
(II) 证明平面AMD
平面CDE;
(III)求二面角A-CD-E的余弦值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小题要考查异面直线所成的角、平面与平面垂直、二面角等基础知识,考查用空间向量解决立体几何问题的方法,考查空间想像能力、运算能力和推理论证能力。满分12分.
方法一:(Ⅰ)解:由题设知,BF//CE,所以∠CED(或其补角)为异面直线BF与DE所成的角。设P为AD的中点,连结EP,PC。因为FE
AP,所以FA
EP,同理AB
PC。又FA⊥平面ABCD,所以EP⊥平面ABCD。而PC,AD都在平面ABCD内,故EP⊥PC,EP⊥AD。由AB⊥AD,可得PC⊥AD设FA=a,则EP=PC=PD=a,CD=DE=EC=
,故∠CED=60°。所以异面直线BF与DE所成的角的大小为60°w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II)证明:因为
(III)
由(I)可得,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
方法二:如图所示,建立空间直角坐标系,
点
为坐标原点。设
依题意得
EMBED Equation.3
(I)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
所以异面直线
与
所成的角的大小为
.
(II)证明:
,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(III)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
又由题设,平面
的一个法向量为
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(20)(本小题满分12分)
已知函数
其中
(1) 当
时,求曲线
处的切线的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 当
时,求函数
的单调区间与极值。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识,考查运算能力及分类讨论的思想方法。满分12分。
(I)解:
(II)
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
以下分两种情况讨论。
(1)
>
,则
<
.当
变化时,
的变化情况如下表:
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2)
<
,则
>
,当
变化时,
的变化情况如下表:
+
0
—
0
+
↗
极大值
↘
极小值
↗
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(21)(本小题满分14分)
以知椭圆
的两个焦点分别为
,过点
的直线与椭圆相交与
两点,且
。
(1) 求椭圆的离心率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 求直线AB的斜率;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(3) 设点C与点A关于坐标原点对称,直线
上有一点
在
EMBED Equation.DSMT4 的外接圆上,求
的值w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
本小题主要考查椭圆的
方程和几何性质、直线的方程、圆的方程等基础知识,考查用代数方法研究圆锥曲线的性质及数形结合的思想,考查运算能力和推理能力,满分14分
(I) 解:由
//
且
,得
,从而
整理,得
,故离心率
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(II) 解:由(I)得
,所以椭圆的方程可写为
设直线AB的方程为
,即
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由已知设
,则它们的坐标满足方程组
消去y整理,得
.
依题意,
而
①
②w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
由题设知,点B为线段AE的中点,所以
③
联立①③解得
EMBED Equation.DSMT4 ,
将
代入②中,解得
.
(III)解法一:由(II)可知
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当
时,得
,由已知得
.
线段
的垂直平分线l的方程为
直线l与x轴
的交点
是
外接圆的圆心,因此外接圆的方程为
.
直线
的方程为
,于是点H(m,n)的坐标满足方程组
, 由
解得
故
当
时,同理可得
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
解法二:由(II)可知
当
时,得
,由已知得
由椭圆的对称性可知B,
,C三点共线,因为点H(m,n)在
的外接圆上,
且
,所以四边形
为等腰梯形.
由直线
的方程为
,知点H的坐标为
.
因为
,所以
,解得m=c(舍),或
.
则
,所以
. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
当
时同理可得
(22)(本小题满分14分)
已知等差数列{
}的公差为d(d
0),等比数列{
}的公比为q(q>1)。设
=
+
…..+
,
=
-
+…..+(-1
,n
EMBED Equation.DSMT4 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(I) 若
=
= 1,d=2,q=3,求
的值;
(II) 若
=1,证明(1-q)
-(1+q)
=
,n
EMBED Equation.DSMT4 ;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅲ) 若正数n满足2
n
q,设
的两个不同的排列,
,
证明
。
本小题主要考查等差数列的通项公式、等比数列的通项公式与前n项和公式等基础知识,考查运算能力,推理论证能力及综合分析和解决问题的能力的能力,满分14分。
(Ⅰ)解:由题设,可得
所以,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅱ)证明:由题设可得
则
①
②
1 式减去②式,得w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
1 式加上②式,得
③
2 式两边同乘q,得
所以,
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(Ⅲ)证明:
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
因为
所以
(1) 若
,取i=n w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
(2) 若
,取i满足
且
由(1),(2)及题设知,
且
1 当
时,得
即
,
…,
又
所以
因此
2 当
同理可得
,因此
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
综上,
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