第06章 向量代数与空间解析几何习题详解

第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 1 第六章 向量代数与空间解析几何 习 题 6-1 1111、在平行四边形 ABCD 中, 设 =aaaa, =bbbb. 试用 aaaa和 bbbb示向量 、 、 ⎯→⎯ AB ⎯→⎯ AD ⎯→⎯ MA ⎯→⎯ MB 、 , 其中 M是平行四边形对角线的交点. ⎯→⎯ MC ⎯→⎯ MD 解： 由于平行四边形的对角线互相平分, 所以 a aa a+bbbb , 即 −(aaaa+bbbb) , 于是 (aaaa+bbbb). ⎯→⎯⎯→⎯ == AMAC 2 ⎯→⎯ = MA2 2 1−= ⎯→⎯ MA 因为 , 所以 (aaaa+bbbb). 又因−aaaa+bbbb , 所以 (bbbb−aaaa). ⎯→⎯⎯→⎯ −= MAMC 2 1= ⎯→⎯ MC ⎯→⎯⎯→⎯ == MDBD 2 2 1= ⎯→⎯ MD 由于 , 所以 (aaaa−bbbb). ⎯→⎯⎯→⎯ −= MDMB 2 1= ⎯→⎯ MB 2222、若四边形的对角线互相平分，用向量方法证明它是平行四边形. 证： , ，Q AM = MC BM = MD ∴ AD = AM + MD = MC + BM = BC 与 平行且相等, 结论得证.AD BC 3333、 求起点为 ，终点为 的向量 与 的坐标表达式.)1,2,1(A )1,18,19( −−B → AB 1 2 AB ABAB AB ⎯⎯→ − 解 ： = = , → AB j j j ji i i ik k k kj j j ji i i i 2020)11()218()119( −−=−+−−+−− { 20, 20,0}− − = 1 2 AB ABAB AB ⎯⎯→ − {10,10,0} 4444、 求平行于 ={1，1，1}的单位向量.aaaa 解：与 平行的单位向量为 .aaaa { }1,1,1 3 1 ±=± a a a a a a a a 5555 、 在 空 间 直 角 坐 标 系 中 ， 指 出 下 列 各 点 在 哪 个 卦 限 ？ (1, 1,1) ,AAAA − (1,1, 1) ,BBBB − (1, 1, 1) ,CCCC − − ( 1, 1,1).DDDD − − 解： A:Ⅳ; B:Ⅴ; C:Ⅷ; D:Ⅲ. 6666、 求点 与 轴， 平面及原点的对称点坐标.),,( zyxM x xOy 解： 关于 轴的对称点为 ，关于 平面的对称点为),,( zyxM x ),,(1 zyxM −− xOy ，关于原点的对称点为 .),,(2 zyxM − ),,(3 zyxM −−− 7777、已知点 A(a, b, c), 求它在各坐标平面上及各坐标轴上的垂足的坐标（即投影点的坐 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 2 标）. 解：分别为 ....),0,0(),0,,0(),0,0,(),,0,(),,,0(),0,,( cbacacbba 8888、过点 分别作平行于 z 轴的直线和平行于 xOy面的平面，问它们上面的点的( , , )P a b c 坐标各有什么特点？ 解：平行于 z 轴的直线上面的点的坐标： ；平行于 xOy 面的平面上的x a, y b,z R= = ∈ 点的坐标为 .z c, x, y R= ∈ 9999、求点 P(2,-5,4)到原点、各坐标轴和各坐标面的距离. 解：到原点的距离为 ，到 x 轴的距离为 ，到 y 轴的距离为 ,到 z 轴的距离3 5 41 2 5 为 .29 10、 求证以 、 、 三点为顶点的三角形是一个等腰三角)1,3,4(1M )2,1,7(2M )3,2,5(3M 形. 解： , 2 2 2 2 1 2 (7 4) (1 3) (2 1) 14M M = − + − + − = 2 2 2 2 2 3 (5 7) (2 1) (3 2) 6M M = − + − + − = ，即 ，因此结论成立. 2 2 2 2 1 3 (4 5) (3 2) (1 3) 6M M = − + − + − = 1 3 2 3M M M M= 11111111、 在 yoz 坐标面上，求与三个点 A(3, 1, 2), B(4, -2, -2), C(0, 5, 1)等距离的点的坐标. 解：设 yoz 坐标面所求点为 ，依题意有 ，从而),,0( zyM |||||| MCMBMA == 222 )2()1()30( −+−+− zy 222 )2()2()40( ++++−= zy ，222 )2()1()30( −+−+− zy 2 2 2(0 0) ( 5) ( 1)y z= − + − + − 联立解得 ，故所求点的坐标为 ....2,1 −== zy )2,1,0( − 12121212、 z 轴上，求与点 A(-4, 1, 7), 点 B(3, 5,-2)等距离的点. 解：设所求 z 轴上的点为 ，依题意：),0,0( z ，222 )7()10()40( −+−++ z 222 )2()50()30( ++−+−= z 两边平方得 ，故所求点为 .... 9 14 =z ) 9 14 ,0,0( 13131313、 求 使向量 与向量 平行.λ }5,1,{λ=aaaa }50,10,2{=bbbb 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 3 解：由 得 得 .bbbbaaaa // 50 5 10 1 2 == λ 5 1 =λ 14141414、 求与 轴反向，模为 10 的向量 的坐标表达式.y aaaa 解： = = .aaaa jjjjjjjj 10)(10 −=−⋅ {0, 10,0}− 15151515、求与向量 ={1，5，6}平行，模为 10 的向量 的坐标表达式.aaaa bbbb 解： ,故 .}6,5,1{ 62 10 == a a a a a a a a a a a a { }6,5,1 62 10 10 0 ±=±= aaaabbbb 16161616、 已知向量 ， ，试求：6 4 10= − +a i j ka i j ka i j ka i j k 3 4 9= + −b i j kb i j kb i j kb i j k （1） ； （2） ．2+a ba ba ba b 3 2−a ba ba ba b 解 ：（1） ;2 6 4 10 2(3 4 9 ) 12 4 8ia b i j k i j k j ka b i j k i j k j ka b i j k i j k j ka b i j k i j k j k+ = − + + + − = + − （2） .3 2 3(6 4 10 ) 2(3 4 9 )=12 20 48a b = i j k i j k i j ka b = i j k i j k i j ka b = i j k i j k i j ka b = i j k i j k i j k− − + − + − − + 17、已知两点 和 ，求向量 的模、方向余弦和方向角．(2, 2,5)A (3,0, 4)B AB uuur 解： 因为 , 所以 , ,从而(1, 2, 1)AB = − − uuur 2AB = uuur 1 2 1 cos ,cos ,cos 2 2 2 α β γ= = − = − , , . π 3 α = 3π 4 β = 2π 3 γ = 18181818、设向量的方向角为 、 、 ．若已知其中的两个角为 ， ．求第α β γ π 3 α = 2π 3 β = 三个角 ．γ 解： , ,由 得 .故 或 . π 3 α = 2π 3 β = 2 2 2cos cos cos 1α β γ+ + = 2 1 cos 2 γ = π 4 γ = 3π 4 19191919、 已知三点 ， ， ，求：（ 1） 与 及其模；(1,0,0)=A (3,1,1)B (2,0,1)C uuur BC uuur CA （2） 的方向余弦、方向角；（3）与 同向的单位向量. uuur BC uuur BC 解 ： （ 1 ） 由 题 意 知 { } { }2 3,0 1,1 1 1, 1,0 ,BC = − − − = − − uuur { } { }1 2,0 0,0 1 1,0, 1 ,CA = − − − = − − uuur 故 .2, 2= = uuur uuur BC CA （2）因为 所以，由向量的方向余弦的坐标表示式得：{ }1, 1,0 ,= − − uuur BC 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 4 ，方向角为： . 1 1 cos ,cos ,cos 0 2 2 α β γ= − = − = 3 , 4 2 π π α β γ= = = （3）与 同向的单位向量为： . uuur BC o a a a a = 1 1 , ,0 2 2 ⎧ ⎫ = − −⎨ ⎬ ⎩ ⎭ uuur uuur BC BC 20202020、 设 在 x 轴上2 3 , 2 3 , 3 4 ,m i j k n i j k p i j km i j k n i j k p i j km i j k n i j k p i j km i j k n i j k p i j k= + + = + − = − +和 2 3a m n pa m n pa m n pa m n p= + −求向量 的投影和在 y 轴上的分向量. 解： ....故向量 在 x 轴上的2( 2 3 ) 3(2 3 ) (3 4 ) 5 11 4a i j k i j k i j k i j ka i j k i j k i j k i j ka i j k i j k i j k i j ka i j k i j k i j k i j k= + + + + − − − + = + − aaaa 投影 ，在 y 轴上的投影分量为 .5= x a 11 y yy y a j a ja j a j= 21212121、一向量的终点为点 B(-2,1,-4),它在 x 轴，y 轴和 z 轴上的投影依次为 3，-3 和 8，求 这向量起点 A 的坐标. 解：设点 A 为（x, y, z）,依题意有： ， 故84,31,32 =−−−=−=−− zyx ，即所求的点 A（-5， 4，-12）.12,4,5 −==−= zyx 22222222、 已知向量 的两个方向余弦为 cos = ,cos = , 且 与 z 轴的方向角是钝角.aaaa α 7 2 β 7 3 a aa a 求 cos .γ 解：因 ，又 是钝2 2 2cos cos cos 1,α β γ+ + = 2 2 2 2 3 36 6 cos 1 cos 7 7 49 7 γ γ= − = = ±故 （ ）—（ ） ， γ 角，所以 . 7 6 cos −=γ 23232323、设三力 作用于同一质点，求合力的大小和方向1 2 32 2 3 4F ,F ,Fi j i j k j ki j i j k j ki j i j k j ki j i j k j k= − = − + = + 角. 解： 合力 ，因此，合力1 2 3 ( 2 ) (2 3 4 ) ( )F F F F i k i j k j kF F F F i k i j k j kF F F F i k i j k j kF F F F i k i j k j k= + + = − + − + + + 3 2 3i j ki j ki j ki j k= − + 的 大 小 为 合 力 的 方 向 余 弦 为 因 此22| F | ,= , 22 2 cos,cos 22 3 cos − === βγα 3 2 π 22 22 arccos , arccosα γ β= = = − 习习习习 题题题题 6666————2222 1111、 ， ， ，求 ， ， ，及 ， ，{ }0,0,1=aaaa { }0,1,0=bbbb )1,0,0(=cccc ⋅a ba ba ba b ccccaaaa ⋅ ccccbbbb ⋅ aaaaaaaa× bbbbaaaa× ， .ccccaaaa× ccccbbbb× 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 5 解 ：依 题 意 ， ， ， ，故 ， ，iiiiaaaa = jjjjbbbb = kkkkcccc = 0=⋅=⋅ jjjjiiiibbbbaaaa 0=⋅=⋅ kkkkiiiiccccaaaa .0=⋅=⋅ kkkkjjjjccccbbbb ， ， ， .0000=×=× iiiiiiiiaaaaaaaa kkkkjjjjiiiibbbbaaaa =×=× jjjjkkkkiiiiccccaaaa −=×=× iiiikkkkjjjjccccbbbb =×=× 2222、 ，求 及 . 与 的夹角余弦.} }{{ 1,2,2,21,1 == bbbbaaaa , bbbbaaaa ⋅ bbbbaaaa× ar b r 解：（ 1） , .1 2 1 2 2 1⋅ = × + × + × =a ba ba ba b 6 1 1 2 2 2 1 × = = i j k i j ki j k i j k a b a ba b a b }{ 3,3,0− . 2 2 2 2 2 2 (2) cos x x y y z z x y z x y z a b a b a b a a a b b b θ θθ θ + ++ ++ ++ + = == == == = + + + ++ + + ++ + + ++ + + + 6 3 3333、 已知 ，求 π 5, 2, , 3 ∧⎛ ⎞= = =⎜ ⎟ ⎝ ⎠ a b a b a b a ba b a b a b a b 2 3a ba ba ba b− 解 ： ， ∴( ) ( )22 3 2 3 2 3− = − ⋅ −a b a b a ba b a b a ba b a b a ba b a b a b 2 2 4 12 9 76= − ⋅ + =a a b ba a b ba a b ba a b b .2 3− =a ba ba ba b 2 19 4444、 证明下列问题：1）证明向量 与向量 垂直.}{ 1,0,1=aaaa }{ 1,1,1−=bbbb 2222） 证明向量 与向量 垂直.cccc ( ) ( )a c b b c aa c b b c aa c b b c aa c b b c a⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅⋅ − ⋅ 证：1） , ，即 与 垂直.01110)1(1 =×+×+−×=⋅ bbbbaaaaQ ^ π ( , ) 2 a b a ba b a b∴ =∴ =∴ =∴ = aaaa bbbb 2222 ） [( ) ( ) ]⋅ − ⋅ ⋅Q a c b b c a ca c b b c a ca c b b c a ca c b b c a c [( ) ( ) ]= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅a c b c b c a ca c b c b c a ca c b c b c a ca c b c b c a c ( )[ ]= ⋅ ⋅ − ⋅c b a c a cc b a c a cc b a c a cc b a c a c .0= [( ) ( ) ]∴ ⋅ − ⋅ ⊥a c b b c a ca c b b c a ca c b b c a ca c b b c a c 5555、 求点 的向径 与坐标轴之间的夹角.)1,2,1(M OM 解 ： 设 与 、 、 轴 之 间 的 夹 角 分 别 为 ， 则OM x y z γβα ,, , 2 1 1)2(1 1 cos 22 = ++ = ⋅ = OM OM i i i i i i i i α , . , , . 2 2 cos = ⋅ = OM OM j j j j j j j j β 2 1 cos = ⋅ = OM OM k k k k k k k k γ 3 π =∴α 4 π =β 3 π =γ 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 6 6666、 求与 平行且满足 的向量 .kkkkjjjjiiiiaaaa ++= 1=⋅ xxxxaaaa xxxx 解：因 , 故可设 ，再由 得 ，即 ，xxxxaaaa // { }λλλλ ,,== aaaaxxxx 1=⋅ xxxxaaaa 1=++ λλλ 3 1 =λ 从而 . ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧= 3 1 , 3 1 , 3 1 x x x x 7、求与向量 ， 都垂直的单位向量.3 2 4= − +a i j ka i j ka i j ka i j k 2= + −b i j kb i j kb i j kb i j k 解 ： ，= × = x y z x y zx y z x y z x y z x y zx y z x y z i j k i j ki j k i j k c a b a a a c a b a a ac a b a a a c a b a a a b b b b b bb b b b b b 3 2 4 1 1 2 = − − i j k i j ki j k i j k = 10 5+j kj kj kj k 2 2| | 10 5 5 5,= + =Q cccc 0 | | ∴ = c cc c c cc c c cc c = 2 1 . 5 5 ⎛ ⎞ ± +⎜ ⎟ ⎝ ⎠ j k j kj k j k 8、 在顶点为 、 和 的三角形中，求三角形 的面积)2,1,1( −A )2,6,5( −B )1,3,1( −C ABC 以及 边上的高 .AC BD 解 ： , 三 角 形 的 面 积 为{0,4, 3}, {4, 5,0}AC AB= − = − uuur uuur ABC , 2 25 161215 2 1 || 2 1 222 =++=×= ABCAS |||| 2 1 ,5)3(4|| 22 BDACSAC ==−+= ||5 2 1 2 25 BD⋅⋅= .5|| =∴ BD 9999、 已知向量 ， ，证明 .≠ 0000aaaa ≠ 0000bbbb 2 2 2 2| | | | | | ( )× = − ⋅a b a b a ba b a b a ba b a b a ba b a b a b 解 2 2 2 2| | | | | | sin ( ) ∧ × = ⋅a b a b aba b a b aba b a b aba b a b ab 2 2 2| | | | [1 cos ( )] ∧ = ⋅ −a b aba b aba b aba b ab 2 2| | | |= ⋅a ba ba ba b 2 2 2| | | | cos ( ) ∧ − ⋅a b aba b aba b aba b ab 2 2| | | |= ⋅a ba ba ba b 2( ) .− ⋅a ba ba ba b 10101010、 证明：如果 ，那么 ，并它的几何意义.+ + = 0000a b ca b ca b ca b c × = × = ×b c c a a bb c c a a bb c c a a bb c c a a b 证： 由 , 有 , 但 ，于是 ,所以+ + = 0000a b ca b ca b ca b c ( )+ + × = × =0 00 00 00 0a b c c ca b c c ca b c c ca b c c c × = 0000c cc cc cc c × + × = 0000a c b ca c b ca c b ca c b c .× = − × = ×b c a c c ab c a c c ab c a c c ab c a c c a 同理 由 , 有 ,从而 .( )+ + × = 0000a b c aa b c aa b c aa b c a × = ×c a a bc a a bc a a bc a a b × = × = ×b c c a a bb c c a a bb c c a a bb c c a a b 其几何意义是以三角形的任二边为邻边构成的平行四边形的面积相等. 11111111、 已知向量 和 ，计算下列各式：2 3 , 3= − + = − +a i j k b i j ka i j k b i j ka i j k b i j ka i j k b i j k 2= −c i jc i jc i jc i j （1） （2） （3） （4）( ) ( )⋅ − ⋅a b c a c ba b c a c ba b c a c ba b c a c b ( ) ( )+ × +a b b ca b b ca b b ca b b c ( )× ⋅a b ca b ca b ca b c × ×a b ca b ca b ca b c 解： （1） .( ) ( ) 8( 2 ) 8( 3 )⋅ − ⋅ = − − − + =a b c a c b i j i j ka b c a c b i j i j ka b c a c b i j i j ka b c a c b i j i j k 8 24− −j kj kj kj k 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 7 (2) ，故 .3 4 4 , 2 3 3+ = − + + = − +a b i j k b c i j ka b i j k b c i j ka b i j k b c i j ka b i j k b c i j k ( ) ( )+ × +a b b ca b b ca b b ca b b c 3 4 4 2 3 3 = − = − i j k i j ki j k i j k − −j kj kj kj k （3） . 2 3 1 ( ) 2 3 1 ( 2 ) ( 8 5 ) ( 2 ) 1 1 3 1 1 3 1 2 0 − × ⋅ = − ⋅ − = − − + ⋅ − = − = − − i j k i j ki j k i j k a b c i j i j k i j a b c i j i j k i ja b c i j i j k i j a b c i j i j k i j 2 （4）由（3）知 .8 5 ,( ) 8 5 1 1 2 0 × = − − + × × = − − = − i j k i j ki j k i j k a b i j k a b c a b i j k a b ca b i j k a b c a b i j k a b c 2 21+ +i j ki j ki j ki j k 习习习习 题题题题 6666————3333 1111、已知 ， ，求线段 的垂直平分面的方程.)3,2,1(A )4,1,2( −B AB 解：设 是所求平面上任一点，据题意有),,( zyxM |,||| MBMA = ( ) ( ) ( )222 321 −+−+− zyx ( ) ( ) ( ) ,412 222 −+++−= zyx 化简得所求方程 .这就是所求平面上的点的坐标所满足的方程, 而不在此2 6 2 7 0x y z− + − = 平面上的点的坐标都不满足这个方程，所以这个方程就是所求平面的方程. 2222、 一动点移动时，与 及 平面等距离，求该动点的轨迹方程.)0,0,4(A xOy 解 ： 设 在 给 定 的 坐 标 系 下 ， 动 点 ， 所 求 的 轨 迹 为 ， 则),,( zyxM C 亦即( , , )M x y z C MA z uuur ∈ ⇔ = zzyx =++− 222)4( 0)4( 22 =+−∴ yx 从而所求的轨迹方程为 .0)4( 22 =+− yx 3333、 求下列各球面的方程： （1）圆心 ，半径为 ； （2）圆心在原点，且经过点 ；)3,1,2( − 6=R )3,2,6( − （ 3 ） 一 条 直 径 的 两 端 点 是 ；（ 4 ） 通 过 原 点 与)3,1,4()5,32( −− 与 )4,0,0(),0,3,1(),0,0,4( − 解：（ 1）所求的球面方程为： 36)3()1()2( 222 =−+++− zyx （2）由已知，半径 ，所以球面方程为73)2(6 222 =+−+=R 49222 =++ zyx 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 8 （3）由已知，球面的球心坐标 ，1 2 35 ,1 2 13 ,3 2 42 = − =−= +− == + = cba 球的半径 ，所以球面方程为：21)35()31()24( 2 1 222 =++++−=R 21)1()1()3( 222 =−+++− zyx （4）设所求的球面方程为： 0222222 =++++++ lkzhygxzyx 因该球面经过点 ，所以 解之得)4,0,0(),0,3,1(),0,0,4(),0,0,0( − ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ =− =++ =+ = 0816 06210 0816 0 k hg g l ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = −= −= = 2 2 1 0 k g h l 所求的球面方程为 .∴ 0424222 =+−−++ zyxzyx 4444、将 坐标面上的抛物线 绕 旋转一周，求所生成的旋转曲面的方程．yOz 2 2y z==== z 解： (旋转抛物面) .2 2 2x y z+ = 5555、将 坐标面上的双曲线 分别绕 轴和 轴旋转一周，求所生成的旋转zOx 1 2 2 2 2 =− c z a x x z 曲面的方程． 解： 绕 轴旋转得 绕 轴旋转得 .x 1 2 22 2 2 = + − c zy a x z 1 2 2 2 22 =− + c z a yx 6666、指出下列曲面的名称，并作图： （1） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） ； 2 2 1 4 9 x z + = 2 2y z= 2 2 1x z+ = 2 2 2 2 0x y z x+ + − = （5） ；（ 6） ；（ 7） ；2 2 2y x z+ = 2 24 4 1x y z− + = 2 2 1 9 16 x y z+ + = （8） ；（ 9） ；（ 10） . 2 2 2 1 4 9 x y z− + = − 1 334 222 =++ zyx 222 3122 zyx +=+ 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 9 解： (1)椭圆柱面；(2) 抛物柱面；(3) 圆柱面；(4)球面；（ 5）圆锥面；（6）双曲抛 物面； （7）椭圆抛物面；（ 8）双叶双曲面；（ 9）为旋转椭球面；（10）单叶双曲面. 7、指出下列方程在平面解析几何和空间解析几何中分别表示什么图形？ （1） ；（ 2） ；（ 3） ；（ 4） .1+= xy 422 =+ yx 122 =− yx 2 2x y= 解：（1） 在平面解析几何中表示直线，在空间解析几何中表示平面；1+= xy （2） 在平面解析几何中表示圆周，在空间解析几何中表示圆柱面；422 =+ yx （3） 在平面解析几何中表示双曲线，在空间解析几何中表示双曲柱面；122 =− yx （4） 在平面解析几何中表示抛物线，在空间解析几何中表示抛物柱面.yx 22 = 8、 说明下列旋转曲面是怎样形成的？ （ 1 ） ；（ 2 ） （ 3 ） ；（ 4 ）1 994 222 =++ z y x 1 4 2 2 2 =+− z y x 1222 =−− zyx 222)( yxaz +=− 解 ：（1） 平面上椭圆 绕 轴旋转而成；或者 平面上椭圆xOy 1 94 22 =+ y x x xOz 绕 轴旋转而成 2 2 1 4 9 + = x z x （2） 平面上的双曲线 绕 轴旋转而成；或者 平面上的双曲线xOy 1 4 2 2 =− y x y yOz 绕 轴旋转而成 2 2 1 4 − = y z y （3） 平面上的双曲线 绕 轴旋转而成；或者 平面上的双曲线xOy 122 =− yx x xOz 绕 轴旋转而成2 2 1x z− = x （4） 平面上的直线 绕 轴旋转而成或者 平面上的直线 绕 轴旋yOz ayz += z xOz z x a= + z 转而成. 9999、 画出下列各曲面所围立体的图形： （1） 与三个坐标平面所围成；（2） 及三012243 =−++ zyx 42,4 2 =+−= yxxz 坐标平面所围成； （ 3 ） 及 在 第 一 卦 限 所 围 成 ；（ 4 ）2 2= 0, ( 0) = 1z z = a a > , y = x,x + y 0x ==== 所围.2 2 2 2, 8z x y z x y= + = − − 解 ：（1）平面 与三个坐标平面围成一个在第一卦限的四面体；012243 =−++ zyx （2）抛物柱面 与平面 及三坐标平面所围成；24z x= −= −= −= − 2 4x y+ = 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 10 （3）坐标面 、 及平面 、 和圆柱面 在第一卦限所= 0z 0x ==== ( 0)z = a a > y= x 2 2 = 1x + y 围成； （4）开口向上的旋转抛物面 与开口向下的抛物面 所围.作图略.2 2z x y= + 2 28z x y= − −= − −= − −= − − 习习习习 题题题题 6666————4444 1111、画出下列曲线在第一卦限内的图形 （1） ；（ 2） ；（ 3） ⎩ ⎨ ⎧ = = 2 1 y x ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− −−= 0 4 22 yx yxz ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =+ 222 222 azx ayx 解 ：（1）是平面 与 相交所得的一条直线；1x = 2y = （2）上半球面 与平面 的交线为 圆弧；2 24z x y= − − 0x y− = 1 4 （3）圆柱面 与 的交线.图形略.2 2 2x y a+ = 2 2 2x z a+ = 2222、分别求母线平行于 轴及 轴而且通过曲线 的柱面方程.x y ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =++ 0 162 222 222 yzx zyx 解：消去 坐标得 ，为母线平行于 轴的柱面；x 163 22 =− zy x 消去 坐标得： ，为母线平行于 轴的柱面.y 1623 22 =+ zx y 3333、求在 平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程）.yOz 解： ； ； . ⎩ ⎨ ⎧ = =+ 0 122 x zy ⎩ ⎨ ⎧ = =++ 0 1222 x zyx ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ =++ 1 1 22 222 zy zyx 4444、试求平面 与椭球面 相交所得椭圆的半轴与顶点.2 0x − =− =− =− = 2 2 2 1 16 12 4 x y z + + =+ + =+ + =+ + = 解：将椭圆方程 化简为： ，可知其为平面 上的椭圆 ， 2 2 2 1 16 12 4 2 0 x y z x ⎧⎧⎧⎧ + + =+ + =+ + =+ + =⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ − =− =− =− =⎩⎩⎩⎩ 2 2 1 9 3 2 y z x ⎧⎧⎧⎧ + =+ =+ =+ =⎪⎪⎪⎪ ⎨⎨⎨⎨ ⎪⎪⎪⎪ ====⎩⎩⎩⎩ 2=x 半轴分别为 ，顶点分别为 .3,3 )3,0,2(),3,0,2(),0,3,2(),0,3,2( −− 5555 、将下面曲线的一般方程化为参数方程 （1） ； （2） 2 2 2 9x y z y x ⎧⎧⎧⎧ + + =+ + =+ + =+ + = ⎨⎨⎨⎨ ====⎩⎩⎩⎩ ⎩ ⎨ ⎧ = =+++− 0 4)1()1( 22 z zyx 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 11 解 ：（1）原曲线方程即： ，化为 ； ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =+ = 1 99 2 22 zx xy ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎧ = ≤≤= = tz tty tx sin3 )20(cos 2 3 cos 2 3 π （2） .)20( 0 sin3 cos31 πθθ θ ≤≤ ⎪ ⎪ ⎩ ⎪⎪ ⎨ ⎧ = = += z y x 6666、求螺旋线 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程. ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = = θ θ θ bz ay ax sin cos 解： ； ； . ⎩ ⎨ ⎧ = =+ 0 222 z ayx ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 0 sin x b z ay ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = 0 cos y b z ax 7777、指出下列方程所表示的曲线 （1） （2） ； 2 2 2 25 3 ⎧ + + = ⎨ =⎩ x y z x ⎩ ⎨ ⎧ = =++ 1 3094 222 z zyx （3） ； （4） ； （5） . ⎩ ⎨ ⎧ −= =+− 3 254 222 x zyx ⎩ ⎨ ⎧ = =+−+ 4 08422 y xzy ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =− =− 02 1 49 22 x z y 解 ：（1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线； （5）双曲线. 8888、 求曲线 在 面上的投影曲线方程，并指出原曲线是何种曲线. ⎩ ⎨ ⎧ = =−+ 3 0222 z xzy xOy 解：原曲线即： ，是位于平面 上的抛物线，在 面上的投影曲 ⎩ ⎨ ⎧ = −= 3 922 z xy 3=z xOy 线为 ⎩ ⎨ ⎧ = −= 0 922 z xy 9999、 求曲线 在坐标面上的投影. ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =++ 2 1 1222 z zyx 解 ：（1）消去变量 后得 在 面上的投影为 它是中心在z , 4 322 =+ yx xOy , 0 4 322 ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = =+ z yx 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 12 原点，半径为 的圆周. 2 3 （2）因为曲线在平面 上，所以在 面上的投影为线段. 2 1 =z xOz ; 2 3 ||, 0 2 1 ≤ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = x y z （3）同理在 面上的投影也为线段.yOz . 2 3 ||, 0 2 1 ≤ ⎪⎩ ⎪ ⎨ ⎧ = = y x z 10101010、 求抛物面 与平面 的交线在三个坐标面上的投影曲线方xzy =+ 22 02 =−+ zyx 程. 解： 交线方程为 ，（ 1）消去 得投影 ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =+ 02 22 zyx xzy z , 0 045 22 ⎩ ⎨ ⎧ = =−++ z xxyyx （2）消去 得投影 ，（ 3）消去 得投影 .y 2 25 2 4 0 0 x z xz x y ⎧ + − − = ⎨ =⎩ x 2 2 2 0 0 y z y z x ⎧ + + − = ⎨ =⎩ 习习习习 题题题题 6666————5555 1111、写出过点 且以 为法向量的平面方程.( )3,2,10M { }1,2,2=nnnn 解：平面的点法式方程为 .( ) ( ) ( ) 032212 =−+−+− zyx 2222、求过三点 的平面方程.( ) ( ) ( )01,0,0,1,0,0,0,1 CBA 解：设所求平面方程为 ,将 的坐标代入方程，可得0=+++ dczbyax CBA ,, ，故所求平面方程为 .dcba −=== 1=++ zyx 3333、求过点 且与平面 平行的平面方程.( )1,0,0 1243 =++ zyx 解：依题意可取所求平面的法向量为 ,从而其方程为}2,4,3{=nnnn 即 .( ) ( ) ( ) 0120403 =−+−+− zyx 2243 =++ zyx 4444、求通过 x轴和点(4, −3, −1)的平面的方程. 解：平面通过 x轴, 一方面表明它的法线向量垂直于 x轴, 即 A=0; 另一方面表明 它必 通过原点, 即D=0. 因此可设这平面的方程为By+Cz=0.又因为这平面通过点(4, −3, −1), 所以 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 13 有−3B−C=0, 或 C=−3B . 将其代入所设方程并除以 B (B≠0), 便得所求的平面方程为 y− 3z=0. 5555、求过点 ，且垂直于平面 和 的平面方程.)1,1,1( 7=+− zyx 051223 =+−+ zyx 解： 取法向量 所求平面方程为},1,1,1{1 −=n r }12,2,3{2 −=n r },5,15,10{21 =×= nnn vvr 化简得: .0632 =−++ zyx 6666、设平面过原点及点 ，且与平面 垂直，求此平面方程.)1,1,1( 8x y z− + =− + =− + =− + = 解： 设所求平面为 由平面过点 知平,0=+++ DCzByAx )1,1,1( 0,A B C D+ + + =+ + + =+ + + =+ + + = 由平面过原点知 ， ，所求平面方程为0D ==== {1, 1,1},n ⊥ −⊥ −⊥ −⊥ − rQ 0A B C∴ − + =∴ − + =∴ − + =∴ − + = , 0A C B⇒ = − =⇒ = − =⇒ = − =⇒ = − = 0.x z− =− =− =− = 7777、写出下列平面方程： （1） 平面；（2）过 轴的平面；（3）平行于 的平面；（4）在 ， ， 轴上的截xOy z zOx x y z 距相等的平面. 解：（ 1） ,（2） （ 为不等于零的常数）,0=z 0=+ byax ba, （3） ( 为常数), （4） .cy = c azyx =++ ( 0)a ≠ 8888、 求平行于 而与三个坐标面所围成的四面体体积为 1 的平面方程.0566 =+++ zyx 解: 设平面为 由所求平面与已知平面平行得,1=++ c z b y a x ,1=VQ 1 1 1, 3 2 abc∴ ⋅ =∴ ⋅ =∴ ⋅ =∴ ⋅ = , 6 1 1 1 6 1 cba == 化简得 令 代入体积式, 6 11 6 1 cba == t c t b t at cba 6 1 , 1 , 6 1 6 11 6 1 ===⇒=== 或 所求平 1 1 1 1 1 6 6 6t t t ∴ = ⋅ ⋅ ⋅∴ = ⋅ ⋅ ⋅∴ = ⋅ ⋅ ⋅∴ = ⋅ ⋅ ⋅ 1 , 6 t⇒ = ±⇒ = ±⇒ = ±⇒ = ± ,1,6,1 ===∴ cba 1, 6, 1,a b c= − = − = −= − = − = −= − = − = −= − = − = − 面方程为 或 .6 6 6x y z+ + = 6 6 6x y z+ + = − 9999、分别在下列条件下确定 的值：nml ,, （1）使 和 表08)3()1()3( =+−+++− znymxl 016)3()9()3( =−−+−++ zlynxm 示同一平面； （2）使 与 表示二平行平面；0532 =−++ zmyx 0266 =+−− zylx 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 14 （3）使 与 表示二互相垂直的平面.013 =+−+ zylx 027 =−+ zyx 解 ：（1）欲使所给的二方程表示同一平面，则： 即： 16 8 3 3 9 1 3 3 − = − − = − + = + − l n n m m l ，解之得 ， ， . ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ =−+ =−+ =−+ 092 072 032 nl mn lm 9 7 =l 9 13 =m 9 37 =n （2）欲使所给的二方程表示二平行平面，则： ，所以 ， . 6 3 6 2 − = − = m l 4−=l 3=m （3）欲使所给的二方程表示二垂直平面，则： 所以： .7 2 3 0l + + = 5 7 l = −= −= −= − 10101010 、求平面 与 的夹角；011 =−+ yx 083 =+x 解：设 与 的夹角为 ，则 .011 =−+ yx 083 =+x θ 3 2 cos 22 3 θ = = × ∴ 4 π θ = 11111111、 求点 到平面 的距离.(2,1,1) 2 2 4 0x y z+ − + = 解：利用点到平面的距离公式可得 . 2 2 2 2 2 2 1 1 1 4 9 3 32 2 ( 1) d × + × − × + = = = + + − 习习习习 题题题题 6666————6666 1111、求下列各直线的方程： （1）通过点 和点 的直线；)1,0,3(−A )1,5,2( −B （2） 过点 且与直线 平行的直线.( )1,1,1 4 3 3 2 2 1 − = − = − zyx （3）通过点 且与 三轴分别成 的直线；)3,51( −M zyx ,, °°° 120,45,60 （4）一直线过点 ，且和 轴垂直相交，求其方程.(2, 3, 4)−A y （5）通过点 且与两直线 和 垂直的直线；)2,0,1( −M 1 1 11 1 − + == − zyx 0 1 1 1 1 + = − − = zyx （6）通过点 且与平面 垂直的直线.)5,3,2( −−M 02536 =+−− zyx 解 ：（1）所求的直线方程为： 即： ，亦即 0 1 532 3 − = − = + + zyx 0 1 55 3 − = − = + zyx . 0 1 11 3 − = − = + zyx 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 15 （2）依题意，可取 的方向向量为 ，则直线 的方程为 .L { }4,3,2=ssss L 4 1 3 1 2 1 − = − = − zyx （3）所求直线的方向向量为： ，故直线方程为 ：{ } ⎭ ⎬ ⎫ ⎩ ⎨ ⎧ −=°°° 2 1 , 2 2 , 2 1 120cos,45cos,60cos . 1 3 2 5 1 1 − − = + = − zyx （4）因为直线和 轴垂直相交,所以交点为 取 所求直线方程y ),0,3,0( −B {2, 0, 4},BAssss ⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→⎯⎯→ = == == == = . 4 4 0 3 2 2 − = + = − zyx （5）所求直线的方向向量为： ，所以，直线方程为：{ } { } { }2,1,10,1,11,1,1 −−−=−×− . 2 2 11 1 + == − zyx （6）所求直线的方向向量为： ，所以直线方程为： .{ }5,3,6 −− 2 3 5 6 3 5 x y z− + +− + +− + +− + + = == == == = − −− −− −− − 2222、求直线 的点向式方程与参数方程. 1, 2 3 4 x y z x y z + + = −⎧ ⎨ − + = −⎩ 解 在直线上任取一点 ,取 解 .),,( 000 zyx 10 =x ,063 02 00 00 ⎩ ⎨ ⎧ =−− =++ ⇒ zy zy 2,0 00 −== zy 所 求 点 的 坐 标 为 , 取 直 线 的 方 向 向 量)2,0,1( − ,所以直线的点向式方程为：{ } { }3,1,21,1,1 −×=ssss kkkkjjjjiiii k k k kj j j ji i i i 34 312 111 −−= − = 令 则所求参数方程:, 3 2 1 0 4 1 − + = − − = − zyx 1 0 2 , 4 1 3 x y z t − − + = = = − − . 32 41 ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= −= += tz ty tx 3333、判别下列各对直线的相互位置，如果是相交的或平行的直线求出它们所在的平面， 如果相交时请求出夹角的余弦. （1） 与 ；（ 2） 与 . ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =+− 0623 022 yx zyx ⎩ ⎨ ⎧ =−+ =−−+ 0142 0112 zx zyx ⎪ ⎩ ⎪ ⎨ ⎧ −−= += = 2 12 tz ty tx 1 4 2 4 7 5 x y z− − + = = − 第六章 向量代数与空间解析几何习题详解 16 解 ：（ 1 ） 将 所 给 的 直 线 方 程 化 为 标 准 式 为 ： 43 4 3 2 2 3 z yx = − = − − 43 2 2 7 − = − − = − zyx 二直线平行.又点 与点（7，2，0）在二直线上， 向量Q 2 3 4 2 3 4 −−−− = == == == = − −− −−