数学中考专题复习（一元二次方程3）

数学中考专题复习——一元二次方程3 一、本讲内容 复习与测试（第22章 一元二次方程） 二、重点讲解 回顾： 1. 一元二次方程的四种解法： 直接开平、因式分解法、配方法、公式法   2. 根的判别式： 关于x的一元二次方程 当 时，方程有两个不相等的实根 当 时，方程有两个相等的实根 当 时，方程无实根   3. 根与系数关系 关于x的一元二次方程 当   三、典型例题 例1. 用适当的方法解下列一元二次方程。 （1） 解： 或 （2） 解： （3） 解： （4） 解： （5） （注：用配方法） 解： 注：用配方法解一元二次方程的步骤为： （1）化二次项系数为1 （2）移项，使方程左边为二次项和一次项，右边为常数项。 （3）方程两边都加上一次项系数的一半的平方 （4）原方程变为 的形式 （5）如果右边是非负数，就可用直接开平方法求出方程的解。   例2. 已知方程 的两根的平方和为11，求k的值。 解：设方程的两根为 则有 ∴ 当 。 ∴ 注：用根与系数关系后，要计算判别式检验是否有实根。   例3. 若方程 的两个实根的倒数和是S，求：S的取值范围。 分析：本题是二次方程与不等式的综合题，即利用方程有两个实根， ，求出m的取值范围，再用S的代数式表示m，借助m的取值范围就可求出S的取值范围。 解：设方程的两个实根为 ∵方程有两个实根 。   例4. 已知关于x的一元二次方程 （1）k取什么值时，方程有两个实数根。 （2）如果方程的两个实数根 满足 ，求k的值。 解：（1） 解得 时，方程有两个实数根 （2）∵ ，分两种情况 ①当 ，∴方程有两个相等的实数根。 ②当 由根与系数关系，得 ∴   例5. 某农户种植花生，原来种植的花生的亩产量为200kg，出油率为50%（即每100kg花生可加工成花生油50kg），现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132kg，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的 ，求：新品种花生亩产量的增长率。 解：设新品种花生亩产量的增长率为x， 则有 解得 （不合题意，舍去） 答：新品种花生亩产量的增长率是20%。 注：对于增长率问题，解这类问题的公式是 ，其中，a是原来的量，x是平均增长率，n是增长的次数，b为增长的量。   例6. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件赢利40元，为了扩大销售，增加赢利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价，经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件。 求： （1）若商场平均每天要赢利1200元，每件衬衫应降价多少元？ （2）每件衬衫降价多少元时，商场平均每天赢利最多？ 解：（1）设每件衬衫应降价x元，则有 解得 根据题意，取x=20， ∴每件衬衫应降低20元。 （2）商场每天赢利 当 时，商场赢利最多，共1250元 ∴每件衬衫降价15元时，商场平均每天获利最多。   例7. 在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且 ，若关于x的方程 有两个相等的实数根，方程 的两实数根的平方和为6，求：△ABC的面积。 分析：这是一个一元二次方程和解直角三角形的综合题，由方程 有两个相等的实根及 ，易证△ABC为直角三角形，在方程 中，由根与系数关系和已知的两实根平方和为6，可求sinA的值，再由三角函数定义和勾股定理可求出a，b，则 。 解：∵方程 有两个相等实数根 设 的两实数根， 则 解得 在Rt△ABC中 ∴   例8. 已知关于x的一元二次方程 的两个实数根之差的平方为m （1）试分别判断当 时， 是否成立，并理由； （2）若对于任意一个非零的实数a， 总成立，求实数c及m的值。 解：（1） 原方程化为 ∴ 即 成立 当 时，原方程化为 由 ，可设方程的两根分别为 则 ∴ 即 不成立 （2）设原方程两个实数根是 则 ∵对于任意一个非零的实数a，都有   例9. 已知关于x的方程 ① （1）求证：对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。 （2）如果a是关于y的方程 ②的根，其中 为方程①的两个实数根。 求：代数式 的值。 分析：第（1）题直接运用根的判别式即可得到结论，第（2）题首先利用根与系数关系可将方程②化成 ，再利用根的定义得到 ，将代数式化简后，把 整体代入即可求出代数式的值。 （1）证明： ∵ ∴对于任意实数k，方程①总有两个不相等的实数根。 （2）解：∵ 是方程①的两个实数根 ∴方程② ∵a是方程②的根，∴ 注：第（2）问中的整体代换在恒等变形中有广泛的应用。   题 一、选择题（每题4分，共32分） 1、关于 的一元二次方程 的一个根是0，则 的值为（ ） A、 B、 C、 或 D、 2、关于 的方程 的根的情况是（ ） A、有两个不相等的实数根 B、有两个相等的实数根 C、无实数根 D、不能确定 3、如果关于 的方程 的两个实数根互为倒数，那么 的值为（ ） A、 B、 C、 D、 4、已知关于 的方程 有实数根，则 的取值范围是（ ） A、 B、 C、 D、 5、市政府为了申办2010年冬奥会决定改善城市容貌，绿化环境，计划经过两年时间，绿地面积增加44%，这两年平均绿地面积的增长率是（ ） A、19% B、20% C、21% D、22% 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程 的两个根，则这个直角三角形的斜边长是（ ） A、 B、3 C、6 D、9 7、如果 是一元二次方程 的一个根， 是一元二次方程 的一个根，那么 的值是（ ） A、1或2 B、0或 C、 或 D、0或3 8、若一元二次方程的两根 、 满足下列关系： ， ，则这个一元二次方程为（ ） A、 B、 C、 D、 二、填空题（每题4分，共16分） 9、写出一个一元二次方程使它的二次项系数、一次项系数、常数项系数的和为零，该方程可以是_____________。 10、写出一个一元二次方程，使它没有实数解，该方程可以是_________。 11、写出一个一元二次方程，使它的两实数根之和为3，该方程可以是_____________。 12、写出一个既能直接开方法解，又能用因式分解法解的一元二次方程是__________。 三、解下列方程（每题6分，共40分） 13、 14、 四、解答题（每题10分，共40分） 15、制造一种产品，原来每件的成本是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使第二个月的销售利润达到原来的水平，该产品的成本价平均每月应降低百分之几？ 16、如图所示，四边形 是矩形， ， 。动点P、Q分别同时从A、C出发，点P以3cm/s的速度向D移动，直到D为止，Q以2cm/s的速度向B移动。 ⑴P、Q两点从出发开始几秒后，四边形ABQP的面积是矩形面积的 ？何时四边形ABQP的面积最大，最大是多少？ ⑵P、Q从开始出发几秒后， ？ 17、已知 、 是关于 的一元二次方程 的两个非零实数根，问 与 能否同号？若能同号，请求出相应的 的值的范围；若不能同号，请说明理由。 18、如图，有矩形地ABCD一块，要在中央修建一矩形花圃EFGH，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周道路的宽相等，今无测量工具，只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽？ 参考答案 1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、B 7、D 8、B 9、答案不惟一， 10、答案不惟一， 11、答案不惟一， 12、答案不惟一， 13、 ， 14、 15、设平均每月应降低 ，则 ， ， （不合题意，舍去） 16、⑴ 秒，当出发 后，面积最大为64平方厘米 ⑵0.8秒 17、当 且 时， 、 同号，因为 。故只需保证 ，且 即可， ， 。 18、设道路的宽为 ， ， ，则 ， ，由于 （不合，舍去）故 。具体做法是：用绳量出 ，再减去 之长，将余下的 对折两次，即得道路的宽 。