高数下册总复习2

nullnull期末考试复习重点（1）直线与平面的位置关系,空间曲线的切线，空间曲面的 切平面（2）函数的定义域、极限和连续（连续的定义）、方向导数、 复合函数求导（高阶）、隐函数的求导与全微分、条件极值（3）二重积分的计算（直角坐标与极坐标）（4）第一、二类曲线积分，积分与路径无关 第一、二类曲面积分格林公式、高斯公式。（5）数项级数收敛性判别，绝对收敛与条件收敛 幂级数的收敛域、求级数求和函数。null（一）直线与平面的位置关系，空间曲线的切线， 空间曲面的切平面（1）设则null（2）曲面在某点处的切平面、空间曲线在某点处的切线要点：I：曲面在某点处的切平面（1）设曲面方程为第一步：计算第二步：计算曲面的法向量第三步：分别写出切平面和法线的方程null（2）设曲面方程为第一步：取第二步：计算曲面的法向量第三步：利用点法式和对称式分别写出切平面和法 线的方程null要点II：空间曲线的切线与法平面（1）设空间曲线  的方程第一步：确定点第二步：计算第三步：利用对称式和点法式分别写出切线和法 平面的方程null（2）设空间曲线  的方程null解设所求直线的方向向量为根据题意知所求直线的方程3、典型例题null例2：设直线 L 和平面  的方程分别为则必有（ ）解：Cnull例3：求曲面上同时垂直于平面与平面解：取的切平面方程。设切点为nullnull（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值（1）多元函数在某点的定义域、极限和连续要点：I：求二元函数在某点的极限1、利用函数在一点连续的定义和极限的四则运算法则2、利用有界函数与无穷小乘积的性质3、利用变量对换化为一元函数极限4、利用夹逼准则与两个重要极限null例：求下列函数的极限：nullnull解：求极限null解：求极限null（1）多元函数的定义域、极限、连续要点：I：求二元函数在某点的极限（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值null（1）多元函数的定义域、在某点的极限、连续要点：II：用定义求二元函数在某点的偏导数（二）多元函数的定义域、极限和连续；方向导数 ，复合函数求导（高阶），隐函数的求导和全微分、 条件极值null典型例题例1：设求解：null典型例题例2：设求解：null典型例题例3：设求解：null二元函数的连续性要点：III：多元函数的连续性null(2) 讨论函数在(0,0)的连续性．null例： 讨论函数在(0,0)的连续性．解取其值随k的不同而变化，极限不存在．故函数在(0,0)处不连续．null（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、 隐函数的求导、多元函数的微分要点：I、方向导数 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III ：隐函数的偏导数的计算；例1：设答案：IV ：多元函数全微分的计算；null例:(1)函数 在点 处沿哪个方向 的方向导数最大？并求方向导数的最大值.例1：设例3：设求null例3：设求解：zxyuxyunull例4：设答案：要点：I、方向导数 II ：二元抽象函数的二阶偏导数的计算；III ：隐函数的偏导数的计算；IV ：多元函数全微分的计算；（2）方向导数、复合函数求导（高阶）、 隐函数的求导、多元函数的微分null例3：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得null例3：设是由方程解：两边取全微分所确定的二元函数，求整理并解得null拉格朗日乘数法：（1）构造拉格朗日函数：（2）联解方程组，求出问题 1 的所有可能的极值点。问题 1：求函数 z = f ( x , y ) 在约束条件  ( x , y ) = 0 下的极值（称为条件极值问题）。（3）进一步确定所求点是否为极值点，在实际问题 中往往可根据问题本身的性质来判断。（3） 条件极值。null例1：在椭球面上，求距离平面的最近点和最远点。解：设 ( x , y , z ) 为椭球面上任意一点则该点到平面的距离为问题1：在约束条件下，求距离 d 的最大最小值。 由于 d 中含有绝对值，为便于计算，考虑将问题 1 转化为下面的等价问题null问题2：在条件下，求函数的最大最小值。（1）作拉格朗日函数（2）联解方程组null（2）联解方程组求得两个驻点：对应的距离为null（3）判断：由于驻点只有两个，且由题意知最近距 离和最远距离均存在。所以最近距离为最远距离为null三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容（1）二重积分在直角坐标下的计算；null答案：答案：null三、二重积分的计算（直角坐标、极坐标）重点内容（2）二重积分中二次积分的交换次序；答案:例2：试证：null解积分区域分为两块null例2：试证：证明：画出积分区域 D 由图可知 D 又可以写成 X 型区域null（3）利用极坐标计算二重积分；再根据 D 的极坐标示，将极坐标下的二重积分 化为累次积分。例3:计算由直线 y = x 及曲线所围平面区域。null（4）利用对称性和被积函数的奇偶性计算二重积分；在二重积分的计算过程中，要注意对称性。例5：计算其中 D 由直线 y = x , y = 1 , 及x = 1 所围平面区域null解null（5）三重积分在直角坐标系中“先二后一”的计算方法；例6：提示：再对用“ 先二后一 ” 的方法计算，并用对称性给出另外两项的结果。null例7：提示：利用对称性、被积函数奇偶性及 “先二后一” 法（6）利用柱面坐标计算三重积分例8：绕 z 轴旋转一周而成曲面与平面 z = 8 所围空间立体null四、第一、二类曲线积分，积分与路径无关、 第一、二类曲面积分、格林公式、高斯公式。（1）曲线和曲面积分的基本概念和基本计算方法；（2）基本公式格林公式高斯公式主要作用：将平面曲线积分转化为二重积分主要作用：将曲面积分转化为三重积分null（3）基本应用：格林公式和高斯公式的两类典型应用题：2. 平面曲线积分“ 封口法 ” 和 “ 挖洞法 ”。与路径无关在单连通区域 G 内null（4）基本计算技巧1. 利用对称性；2. 利用曲线或曲面方程化简被积函数；3. 利用关系式将对不同的坐标的曲面积分化为同一个曲面积分；4. 利用积分与路径无关，适当改变积分路径，简 化平面曲线积分。null例1：设椭球面 的表面积为a，则20a提示：利用曲面方程及对称性例2：设则提示：利用曲线方 程及对称性0例3：提示：利用高斯公式及 椭球体的体积。null例4：设 f (x) 在 ( 0 , +  ) 上有连续的导数，L 是由点提示：利用积分与路径无关，并取新路径：A ( 1 , 2 ) 到点 B ( 2 , 8 ) 的直线段，计算（30）例5：计算 由抛物面与圆柱面及坐标面在第一卦限中所围曲面外侧。提示：利用高斯公式及（三重积分）柱面坐标nullnull例6：计算再由坐标原点沿 x 轴到 B (2 , 0)。解：其中，L 为由点 A (1 , 1) 沿曲线到坐标原点，分析：应用格林公式补充：null五、数项级数收敛性判别，条件收敛与绝对收敛、 幂级数的收敛域，幂级数求和函数。（1）数项级数收敛性判别1. 正项级数比较判别法，比值判别法，根值判别法， 收敛的必要条件几何级数、P 级数和调和级数2. 交错级数：莱布尼茨定理3. 任意项级数：绝对收敛和条件收敛。null任意项级数收敛性判断的一般步骤：（1）检验（3）用正项级数审敛法检验是否收敛？则原级数绝对收敛，从而收敛，（4）若发散，但是用比值或根值法判断的则原级数也发散。是否成立？若否，则原级数发散若是或难求，则进行下一步；若是，否则，进行下一步；（2）若原级数为正项级数或交错级数，则可用正项级数 或莱布尼茨判别法检验其收敛性，否则进行下一步（5）用性质或其它方法。null（2）幂级数的收敛半径和收敛域求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径 R 及收敛区间 处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换null（3）求幂级数的和函数求幂级数（1）利用极限（2）判定幂级数在端点确定收敛半径 R 及收敛区间 处的收敛性，收敛域的一般步骤：（3）收敛域等于收敛区间加收敛的端点。说明（1）幂级数中不能出现“缺项”。（2）对幂级数要先做变换null性质3：幂级数逐项积分后所得级数的和函数 s (x) 在收敛域 I 上可积，并有逐项积分公式其收敛半径与原级数相同。 （3）求幂级数的和函数null性质4：幂级数逐项求导后所得级数的和函数 s (x) 在收敛区间内可导，并有逐项求导公式其收敛半径与原级数相同。 说明：求和函数一定要先求收敛域。null典型例题例1：若幂级数在 x = - 2 处收敛，则此幂级数在 x = 5 处（ ） （A）一定发散。（B）一定条件收敛。 （C）一定绝对收敛。（D）收敛性不能确定。 C例2：若幂级数的收敛半径是16，则幂级数的收敛半径是 （ ）4null例3：已知的收敛半径为 3 ，则的收敛区间为（ ） 例4：级数当（ ）（A）p > 1 时条件收敛，（B）0< p  1 时绝对收敛，（C）0< p  1 时条件收敛，（D）0< p  1 时发散。Cnull例5：求下列幂级数的和函数答案：答案：null例5：求下列幂级数的和函数容易求得null答案：