二次函数专题复习

nullnull二次函数 y=ax²+bx+c 的符号问题null知识点一：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：与y轴的正半轴相交c>0与y轴的负半轴相交 c<0经过坐标原点c=0（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定nullnull如果y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A(x1,0),B(x2,0); 那么AB=|x1-x2|=Cx1x2null1.抛物线y=ax2+bx+c在x轴 上方的条件是什么？变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是正值的条件是什么？你知道吗？不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非负数的条件是什么？知识点二：a＞0b2-4ac＜0null知识点二：2、抛物线y=ax2+bx+c在x轴下方的条 件是什么？变式：不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是负值的条件是什么？你知道吗？不论x取何值时，函数y=ax2+bx+c（a≠0）的值永远是非正数的条件是什么？null知识点三：抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（5）a+b+c的符号：由x=1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a+b+c>0a+b+c<0a+b+c=0（6）a-b+c的符号：由x=-1时抛物线上的点的位置确定点在x轴上方点在x轴下方点在x轴上a-b+c>0a-b+c<0a-b+c=0null1、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo a>0, b<0, c>0, △>0.练习null2、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo a>0, b>0, c=0, △>0.练习null3、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo a<0, b<0, c>0, △>0.练习null4、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo a>0, b=0, c>0, △=0.练习null5、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo a>0, b=0, c=0, △=0.练习null6、抛物线y=ax2+bx+c如图所示，试确定a、b、c、△的符号：xyo a<0, b>0, c<0, △<0.练习null7、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点M（ ，a）在 （ ）A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限 xoy a<0, b>0, c>0,D练习null8、已知：一次函数y=ax+c与二次函数y=ax2+bx+c，它们在同一坐标系中的大致图象是图中的（ ）（A）（B）（C）（D）C练习null9、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a； ③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个C练习null10、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①b＞0；②c<0；③4a+2b+c ＞ 0；④（a+c）2＜b2，其中正确的个数是 （ ） A、4个 B、3个 C、2个 D、1个B练习null11、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下不正确的是 （ ） A、abc＞0 B、b2-4ac＞0 C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0D练习null1、抛物线y=x2-8x+m的顶点在 x轴上则c= .2、抛物线 y=x2+bx+1的顶点在 y轴上则b= ________ 3、抛物线 y=x2+bx+1对称轴是直线x=2则b= ________ null练一练：1、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②b=2a；③a+b+c＜0；④a+b-c＞0; ⑤a-b+c＞0正确的个数是 （ ） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个Cnull练一练：2、已知：二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论中下正确的是（ ） A、abc＞0 B、b2-4ac＞0 C、2a+b＞0 D、4a-2b+c＜0Dnull1.(天津)已知二次函数y=ax2+bx+c， 且a＜0,a-b+c＞0,则一定有( ) A.b2-4ac＞0 B. b2-4ac=0 C.b2-4ac＜0 D. b2-4ac≤0二、典型例题分析A2.(重庆)二次函数y=ax2+bx+c的图 像如图所示，则点M（b,c/a)在 ( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D. 第四象限D-1a <0,b >0,c >0null3.(河北省)在同一直角坐标系中，一次函数y=ax+c和二次函数y=ax2+c的图像大致为 ( )B4.(山西省)二次函数y=x2+bx+c 的图像如图所示，则函数值 y＜0时，对应的x取值范围 是 .-3＜x＜1.-3-3１null5、已知二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图所示，下列结论： ① a+b+c＜0，②a-b+c＞0； ③ abc＞0；④b=2a 中正确个数为 ( ) A.4个 B.3个 C.2个 D.1个A6、无论m为任何实数，二次函数y=x2-(2-m)x+m 的图像总是过点 ( ) A.(1，3) B.(1，0) C.(-1，3) D.(-1，0)C当x= 1时,y=a+b+c当x=-1时,y=a-b+ca <0,b <0,c>0x=- b/2a=-1nullD7.(安徽)二次函数y=ax2+bx+c 的图像如图，则下列a、b、 c间的关系判断正确的是( ) A.ab < 0 B.bc < 0 C.a+b+c > 0 D.a-b+c < 0 8.(绵阳)二次函数y=ax2+bx+c的 图像如图，则不等式bx+a>0的 解为 　 ( ) A.x > a/b B.x > -a/b C.x < a/b D.x < -a/b Da <0,b <0,c <0a <0,b <0null9.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图所示， 那么下列判断不正确的有( ) A.abc＞0 B. b2-4ac＞0 C.2a+b＞0 D.4a-2b+c＜0 DX= - b/2a<1 ∴-b<2a ∴2a+b＞0 当x=-2时, y=4a-2b+c＞0nullD10、若抛物线y=ax2+3x+1与x轴有两 个交点，则a的取值范围是 ( ) A.a＞0 B.a＞- 4/9 C.a＞ 9/4 D.a＜9/4且a≠0null11.某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管向外喷水，喷出的水呈抛物线状(抛物线所在平面与墙面垂直，如图所示).如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面40/3米，则水流落地点B离墙的距离OB是 ( ) A.2米 B.3米 C.4米 D.5米BO①抛物线顶点M（1,40/3) 与y轴交点A(0.10) ②求得抛物线解析式;③求出抛物线与x轴的交点;null1、(青海省)如图所示，已知抛物线 y=-x2+bx+c与x轴的两个交点分别为A(x1,0)， B(x2，0)，且x1+x2=4，x1x2=3， (1)求此抛物线的解析式； (2)设此抛物线与y轴的交点为C，过点B、C作直线，求此直线的解析式； (3)求△ABC的面积. (1)y= -x2+4x-3 (2) y= x-3 (3) 3 三、综合应用 能力提升null2、已知;二次函数y=2x2-(m+1)x+(m-1). (1)求证:不论m为何值时,函数的图像与x轴总有交点,并指出m为何值时,只有一个交点； (2)当m为何值时,函数图像过原点,并指出此时函数图像与x轴的另一个交点； (3)若函数图像的顶点在第四象限,求m的取值范围. (2)另一个交点坐标为(1，0) (3)当m＞-1且m≠3时,抛物线的顶点在第四象限 nullnull用待定系数法求二次函数解析式，要根据给定条件的特点选择合适的方法来求解一般地，在所给条件中已知顶点坐标时，可设顶点式y=a(x-h)2+k，在所给条件中已知抛物线与x轴两交点坐标或已知抛物线与x轴一交点坐标与对称轴，可设交点式y=a(x-x1)(x-x2);在所给的三个条件是任意三点时，可设一般式y=ax2+bx+c;然后组成三元一次方程组来求解。null例:已知关于x的二次函数,当x=－1时,函数值为10,当x=1时,函数值为4,当x=2时,函数值为7,求这个二次函数的解析试.｛待定系数法null例：根据下列条件，分别求出对应的二次函数解析式（1）已知抛物线的顶点是（1，2）且过点（2，3)（2）已知抛物线与x轴两交点横坐标为1，3且图像过（0，-3）已知顶点坐标设顶点式y=a(x-h)2+k ∵顶点是（1，2） ∴设y=a(x-1)2+2，又过点（2，3） ∴a(2-1)2+2=3，∴a=1 ∴ y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知与x轴两交点横坐标，设交点式y=a(x-x1)(x-x2) 由抛物线与x轴两交点横坐标为1，3，∴设y=a(x-1)(x-3),过 （0，-3），∴ a(0-1)(0-3)=-3, ∴a=-1 ∴ y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3null(3)已知二次函数的图像过（-1，2），（0，1），（2，-7）已知普通三点设一般式y=ax2+bx+c, 设y=ax2+bx+c过（-1，2），（0，1），（2，-7）三点 ∴y=-x2-2x+1null例：已知一抛物线与x轴的交点A（-2，0），B（1，0）且经过点C（2，8） （1）求该抛物线的解析式 （2）求该抛物线的顶点坐标 解：设这个抛物线的表达式为Y=ax2+bx+c 由已知，抛物线过点（-2，0），B（1，0），C（2，8）三点，得4a-2b+c=0a+b+c=04a+2b+c=8解这个方程组得，a=2b=2C=-4所以该抛物线的表达式为y=2x2+2x-4(2)y=2x2+2x-4=2(x2+x-2)=2(x+1/2)2-9/2所以该抛物线的顶点坐标为（-1/2，-9/2）null例：如图，已知二次函数 的图像经过点A和点B． （1）求该二次函数的表达式； （2）写出该抛物线的对称轴及顶点坐标； （3）点P（m，m）与点Q均在该函数图像上（其中m＞0），且这两点关于抛物线的对称轴对称，求m的值及点Q 到x轴的距离．null解：（1）将x=-1，y=-1；x=3，y=-9分别代入 得 解得 ∴二次函数的表达式为． （2）对称轴为 ；顶点坐标为（2，-10）． （3）将（m，m）代入 ，得 ， 解得 ．∵m＞0，∴ 不合题意，舍去． ∴ m=6． ∵点P与点Q关于对称轴 对称， ∴点Q到x轴的距离为6． null抛物线y=ax2+bx+c的符号问题：（1）a的符号：由抛物线的开口方向确定小结例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是抛物线，求m的值及函数解析式.例1.若函数y= -mxm+1+2mx+3的图象是抛物线，求m的值及函数解析式.解：由题意得 m+1=2 -m≠0 ∴m=1 解析式为：y= -x2+2x+3 null(1)在抛物线y= -x2+2x+3上是否存在点P（点C除外），使△ABP面积等于△ABC面积?解：假设存在满足条件的点P， 则作PQ⊥x轴∵ S△ABp = S△ABC, ∴ AB×PQ/2= AB×OC/2,∴ PQ=CO=3, ∴ |y|=3，∴ 3= -x2+2x+3, ∴x1=0,x2=2 。 ∴p(2,3) 或-3= -x2+2x+3， x2_2x-6=0 x=1±√7，∴p(1+√7,-3),p(1-√7 ,-3) xy03B-1C3PQAnull(2)二次函数y= -x2+2x+3的顶点为M，当M在对称轴上移动时，抛物线与 x轴有两个交点E(x1,0),F(x2,0)(x10,c>0,则它的图像顶点在第________象限7.已知二次函数y=ax2+bx+c的图像如图,用不等式连结下列各式: a __0,b __0,c ___0, △___0 a+b+c___0, a-b+c___01-1=1,-7,-3一<>>>>3/410. 若二次函数y=kx2+3x-5的图像与x轴有两个交点,则k的取值范围是__________________.K>-9/20且k≠0null1.已知二次函数y=5x2-5x+m的图像与x轴交于点A(x1,0),B(x2,0)且有x12+x22=9/5,求二次函数解析式.null2.如图,AC=5, (1)求A,B,C三点坐标 (2)求经过A,B,C三点的二次函数解析式 (3)写出二次函数的对称轴,顶点坐标 (4)当y随x的增大而增大时,x的取值范围ACBOnullB1.抛物线y=2x2+8x-11的顶点在 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.不论k 取任何实数，抛物线y=a(x+k)2+k(a≠0)的 顶点都在 A.直线y = x上 B.直线y = - x上 C.x轴上 D.y轴上 3.若二次函数y=ax2 + 4x+a-1的最小值是2,则a的值是 4 B. -1 C. 3 D.4或-1 4.若二次函数 y=ax2 + b x + c 的图象如下,与x 轴的一个交点为(1,0),则下列 各式中不成立的是( ) A.b2-4ac>0 B.abc>0 C.a+b+c=0 D.a-b+c<0 1CAxyo-1 B( ) （ ）　null5.若把抛物线y=x2+bx+c向左平移2个单位,再向上平 移3个单位,得抛物线y = x2 - 2x+1,则 A.b=2 B.b= - 6 , c= 6 C.b= - 8 D.b= - 8 , c= 18 6.若一次函数 y= ax + b 的图象经过第二、三、四象限， 则二次函数y = ax2 + bx - 3的大致图象是 ( )( ) B -3-3-3-3C null应用 用6 m长的铝合金型材做一个形状如 图所示的矩形窗框．应做成长、宽各为 多少时，才能使做成的窗框的透光面积 最大？最大透光面积是多少？